6 1.5　两条直线的交点坐标-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦“两条直线的交点坐标”，核心内容包括交点坐标与方程组解的关系、过交点直线方程、直线过定点及相关证明问题。通过具体直线方程画图分析的问题导思导入，衔接直线方程与方程组求解，为直线位置关系判断等后续学习搭建支架。 其亮点是以数形结合思想为主线，通过典例分析和一题多解（如直线过定点的三种证法）培养逻辑推理与数学运算核心素养。规律方法总结助学生构建知识体系，分层评价设计满足不同学情，既提升学生解题能力，又为教师提供丰富教学资源。

1.5　两条直线的交点坐标 　 第一章　§1　直线与直线的方程 学习目标 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，提升逻辑推 理、数学运算的核心素养. 2.会根据方程解的个数判断两条直线的位置关系，提升逻辑 推理、数学运算的核心素养. 任务一　两条直线的交点坐标与方程组的解 1 任务二　求过两条直线交点的直线方程 2 任务三　直线过定点问题 3 课时分层评价 6 任务四　与交点有关的证明问题 4 内容索引 随堂评价 5 任务一　两条直线的交点坐标与方程组的解 返回 问题导思 问题1.已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系. 提示：直线l1，l2的图象如图所示.点M既在直线l1上，也在直线l2上.满足直线l1的方程x＋y－5＝0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0. 即交点坐标是方程组的解. 问题2.关于x，y的二元一次方程组的解如何求？ 提示：利用加减消元法或代入消元法求解. 新知构建 1.两条直线的交点 一般地，对于两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 我们可以用直线的__________________或________先定性判断两条直线是否相交，若相交，可通过求解方程组得到两条直线l1，l2的__________. 斜率(斜率存在时) 法向量 交点坐标 2.两直线的位置关系和方程组解的个数的关系 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 ______ ______ ______ 相交 重合 平行 微提醒 判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况. 如有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0. (链教材P21练习2)判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： (1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0； 典例 1 解：解方程组 所以l1与l2相交，交点坐标是(，). (2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0； 解：解方程组 ①×2－②得9＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，所以l1∥l2. (3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0. 解：解方程组 ①×2得6x＋8y－10＝0， 因此，①和②可以化成同一个方程，有无数组解，故①和②表示同一条直线，所以l1与l2重合. 规律方法 1.方程组解的个数与两直线的位置关系：一般地，若方程组有一组解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无数组解，则两直线重合.这体现了“以形助数，以数释形”的数形结合思想. 2.求两条直线的交点坐标，只需将两条直线的方程联立，解方程组即可，体现了用代数方法研究几何问题的思想. √ 对点练1.(1)已知直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在y＝－x上，那么k的值是 A.－4 B.3 C.3或－4 D.±4 直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点为(，)，又该点在直线y＝－x上，所以＝－，解得k＝3或－4.故选C. (2)已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则实数 a的取值范围是__________. (－，2) 直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点为(，)，又该点位于第四象限，则解得－＜a＜2. 返回 任务二　求过两条直线交点的直线方程 返回 问题导思 问题3.观察下面的图象，发现直线都经过点M(4，1)，怎么表示出经过M点的直线方程？ 提示：当斜率存在时，y－1＝k(x－4)(k∈R)；当斜率不存在时，x＝4. 新知构建 过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). (一题多解)求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x－y－1＝0平行的直线l的方程. 解：法一：由方程组 得两直线交点坐标为(－，－)， 因为直线l和直线3x－y－1＝0平行， 所以直线l的斜率k＝3， 所以根据点斜式有y－(－)＝3， 即所求直线l的方程为15x－5y＋2＝0. 典例 2 法二：因为直线l过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点， 所以可设直线l的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0. 因为直线l与直线3x－y－1＝0平行， 所以＝≠，解得λ＝. 从而所求直线l的方程为15x－5y＋2＝0. 变式探究 (变设问)将本例改为“求过2x＋y＋8＝0和x＋y＋3＝0的交点，且与直线2x＋3y－10＝0垂直的直线l的方程.” 解：法一：解方程组 即交点P(－5，2). 因为直线2x＋3y－10＝0的斜率k＝－， 所以所求直线的斜率是. 故所求直线l的方程是y－2＝(x＋5)， 即3x－2y＋19＝0. 法二：设所求直线方程是3x－2y＋m＝0. 解方程组 得交点P(－5，2)，把点P(－5，2)坐标代入3x－2y＋m＝0，求得m＝19. 故所求直线l的方程为3x－2y＋19＝0. 法三：设所求直线的方程为(2x＋y＋8)＋λ(x＋y＋3)＝0，即(2＋λ)x＋(1＋λ)y＋8＋3λ＝0(*)，因为所求直线与直线2x＋3y－10＝0垂直，所以2(2＋λ)＋3(1＋λ)＝0，解得λ＝－，把λ＝－代入(*)式得所求直线l的方程为3x－2y＋19＝0. 规律方法 1.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C'＝0(C'≠C). 2.与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C'＝0. 3.过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ1，λ2为参数). 当λ1＝1，λ2＝0时，方程即为直线l1； 当λ1＝0，λ2＝1时，方程即为直线l2. 对点练2.求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程. 解：由方程组 即l1与l2的交点坐标为(－2，2). 因为直线l过l1，l2的交点及坐标原点， 所以其斜率k＝＝－1. 故直线l的方程为y＝－x，即x＋y＝0. 返回 任务三　直线过定点问题 返回 (一题多解)求证：无论k取何值时，直线l：(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，并求出该定点坐标. 证明：法一：令k＝1，得到直线l1：x＝1， 令k＝0，得到直线l2：x＋y＝0， 由得l1与l2交点M(1，－1)， 把M(1，－1)的坐标代入方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0恒成立， 所以无论k取何值时，直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，且定点为M(1，－1). 典例 3 法二：由已知直线l的方程得(k＋1)x＝(k－1)y＋2k，整理可得y＋1＝(x－1)(k≠1)， 因此当k≠1时，直线l必过定点M(1，－1)； 当k＝1时，原直线l的方程为x＝1，也过点M(1，－1). 综上所述，不论k取何值时，直线l必过定点M(1，－1). 法三：方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0可化为k(x－y－2)＋(x＋y)＝0， 由 显然使方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0恒成立， 所以无论k取何值时， 直线l必过定点M(1，－1). 规律方法 处理动直线过定点问题的常用方法 1.将直线方程化为点斜式. 2.从特殊入手，先求其中两条直线的交点，再验证动直线恒过交点. 3.从“恒成立”入手，将动直线方程看作对参数恒成立，即将原方程化为f(x，y)＋mg(x，y)＝0的形式，欲使此式成立与m的取值无关，则由此方程组求得定点坐标. 对点练3.求证：无论m取何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都恒过一个定点. 证明：把原方程写成(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0， 此方程对任意实数m都成立， 则必有 所以m为任何实数时，此直线恒过定点P(9，－4). 返回 任务四　与交点有关的证明问题 返回 (链教材P20例20)已知A(1，4)，B(－2，－1)，C(4，1)是△ABC的三个顶点，求证：△ABC的三条高所在的直线交于一点. 证明：kAB＝＝，kBC＝＝， 则AB，BC边上的高所在直线的斜率分别为－，－3， 则AB，BC边上的高所在直线的方程分别为 y－1＝－(x－4)，y－4＝－3(x－1)， 由 典例 4 则AB，BC边上的高所在直线的交点坐标为(，)， 又kAC＝＝－1，则AC边上的高所在直线的斜率为1，则AC边上的高所在的直线方程为y＋1＝x＋2，即y＝x＋1， 因为点(，)满足方程y＝x＋1， 故△ABC的三条高所在的直线交于一点. 规律方法 证明平面几何中的三条直线交于一点的基本思路 先求其中两条直线的交点坐标，然后证明这一点在第三条直线上. 对点练4.已知m为实数，设直线l1的方程为2x＋my＝1，直线l2的方程为mx＋8y＝m－2.当l1与l2相交时，用m表示交点A的坐标，并证明点A一定在某一条定直线上. 解：因为l1与l2相交，所以m2－16≠0，m≠±4， 联立 解得x＝，y＝－， 所以点A(，－)， 证明如下：因为x＝＝＝1－＝1＋2y， 即x－2y－1＝0(y≠0). 因此，点A一定在直线x－2y－1＝0(y≠0)上. 课堂小结 任务再现 1.两条直线的交点坐标与方程组的解.2.求过两条直线交点的直线方程. 3.直线过定点问题.4.与交点有关的证明问题 方法提炼 消元法、直线系法 易错警示 对两直线相交条件认识模糊 返回 随堂评价 返回 √ 1.下列直线中与直线l：3x＋2y－5＝0相交的直线是 A.y＝－x＋5 B.3x＋2y＝0 C.＋＝1 D.＋＝1 kl＝－，又选项C中所对应直线的斜率k＝－，所以kl≠k，从而两直线相交.故选C. √ 2.两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为 A.(3，2) B.(2，3) C.(－2，－3) D.(－3，－2) 解方程组故两条直线的交点坐标为(2，3).故选B. 3.若三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为______. －1 由所以两条直线的交点坐标为(4，－2).由题意知点(4，－2)也在直线ax＋2y＋8＝0上，将(4，－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋8＝0，解得a＝－1. 4.经过直线l1：x＋3y－4＝0与l2：5x＋2y＋6＝0的交点，且过点A(2，3)的直线方程是______________. x－4y＋10＝0 法一：联立直线方程，解方程组故l1，l2的交点坐标为(－2，2).由两点式得所求直线的方程为＝，即x－4y＋10＝0. 法二：易知直线5x＋2y＋6＝0不符合所求方程，设所求直线方程为x＋3y－4＋λ(5x＋2y＋6)＝0(λ∈R)，将点A(2，3)的坐标代入，得2＋3×3－4＋λ(5×2＋2×3＋6)＝0，解得λ＝－.故所求直线方程为x＋3y－4－(5x＋2y＋6)＝0，整理得x－4y＋10＝0. 返回 课时分层评价 返回 √ 1.直线3x－2y＋m＝0和(m2＋1)x＋3y－3m＝0的位置关系是 A.平行 B.相交 C.重合 D.不确定 因为k1＝，k2＝－＜0，所以k1≠k2，所以两直线相交.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为 A.(－4，－3) B.(4，3) C.(－4，3) D.(3，4) 由方程组故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝的直线方程为 A.3x－2y－1＝0 B.2x－3y－1＝0 C.3x－2y＋1＝0 D.2x－3y＋1＝0 由，因为直线的一个方向向量v＝，所以直线方程为y－1＝，即.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是 A.(－，) B. C. D. 直线y＝－x＋2与两坐标轴的交点为A(0，2)，B(2，0).直线y＝kx＋2k＋1恒过定点P(－2，1)，要使两直线的交点位于第一象限，只需实数k满足：kPB＜k＜kPA，即－＜k＜.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.已知实数a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0过定点 A.(，) B.(，) C.(，－) D.(，－) 由a＋2b＝1，得a＝1－2b，则直线ax＋3y＋b＝0可化为(1－2b)x＋3y＋b＝0，整理得x＋3y－b(2x－1)＝0，所以故直线过定点( ，－).故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 6.(多选题)已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则 A.Ax0＋By0＋C≠0 B.Ax0＋By0＋C＝0 C.方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示不过点P且与l垂直的直线 D.方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示不过点P且与l平行的直线 因为点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P；又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行，排除C.故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知三条直线mx＋2y－8＝0，2x－y－10＝0，x＋y－2＝0相交于一点，则m＝___. 3 联立即公共点为(4，－2)，将点(4， －2)代入直线mx＋2y－8＝0中，即4m＋2×(－2)－8＝0，解得m＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知直线y＝kx＋3k－2与直线y＝－x＋1的交点在x轴上，则k的值为___. . 直线y＝－x＋1交x轴于点(4，0).因为两条直线的交点在x轴上，所以直线y＝kx＋3k－2过点(4，0)，所以0＝4k＋3k－2，所以k＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为__________. (－1，－2) 直线方程可写成a(x＋y＋3)＋2x－y＝0，则该直线系必过直线x＋y＋3＝0与直线2x－y＝0的交点，即(－1，－2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)如图，△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠BAC的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2)，点A在x轴上，求点A和点C的坐标. 解：由方程组得顶点A(－1，0)， 则边AB所在直线的斜率kAB＝＝1. 因为∠BAC的平分线所在直线的方程为y＝0， 所以直线AC的斜率为－1，AC所在直线的方程为y＝－(x＋1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0， 所以kBC＝－2. 又点B的坐标为(1，2)， 所以BC所在直线的方程为y＝－2(x－1)＋2. 由得C(5，－6). 综上，A(－1，0)，C(5，－6). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11.已知直线l：(m＋3)x＋(m－2)y－m－2＝0，点A(－2，－1)，B(2，－2)，若直线l与线段AB相交，则实数m的取值范围为 A.(－∞，－4]∪[4，＋∞) B.(－2，2) C.［－，8］ D.(4，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由直线l的方程变形得，(x＋y－1)m＋(3x－2y－2)＝0.由所以直线l恒过点C( ，)，kAC＝＝，kBC＝＝－， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，由图可知，直线l的斜率k的取值范围为k≤－或k≥，又k＝－，所以－≤－或－≥，即2＜m≤8或－≤m＜2，又m＝2时直线的方程为x＝，仍与线段AB相交，所以实数m的取值范围为［－，8］.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 12.(多选题)已知直线l1：x－y－1＝0和直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论正确的是 A.存在实数k，使得直线l2的倾斜角为 B.对任意的实数k，直线l1与直线l2都有公共点 C.对任意的实数k，直线l1与直线l2都不重合 D.对任意的实数k，直线l1与直线l2都不垂直 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，当k＝0时，直线l2的方程为x＝0，此时直线l2的倾斜角为，故A正确；对于B，当k＝－时，直线l2的方程为x－y－1＝0，与l1重合，此时两直线有公共点；当k≠－时，有1×k－(－1)×(k＋1)＝2k＋1≠0，即l1，l2一定相交.综上所述，对任意的实数k，直线l1与直线l2都有公共点，故B正确；对于C，由B可知，当k＝－时，直线l2与l1重合，故C错误；对于D，要使直线l1与直线l2垂直，则应有k＋1－k＝0，该方程无解，所以对任意的实数k，直线l1与直线l2都不垂直，故D正确.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.若三条直线l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0不 能围成三角形，则实数m的值为____________. 2或－2或 当三条直线交于一点或其中任意两条平行或重合时，它们不能围成三角形.由将x＝1，y＝－1代入l1的方程，得m＝2.即当m＝2时，三条直线共点，不能围成三角形.又m＝－2时，l1∥l2，m＝时，l1∥l3，此时三条直线也不能围成三角形.故当m＝±2，或m＝时，l1，l2和l3不能围成三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)已知直线m：(a＋2)x＋(1－2a)y＋4－3a＝0. (1)求证：直线m过定点M； 解：证明：方程(a＋2)x＋(1－2a)y＋4－3a＝0化为a(x－2y－3)＋(2x＋y＋4)＝0， 由 故直线m恒过定点M(－1，－2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)过点M作直线n使直线与两负半轴围成的三角形AOB的面积等于4，求直线n的方程. 解：设直线n：＋＝1(a＜0，b＜0)， 则由题意得 所以直线n：＋＝1，即2x＋y＋4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(新角度)若点A(2，－3)是直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的公共点，则相异两点(a1，b1)和(a2，b2)所确定的直线方程是 A.2x－3y＋1＝0 B.3x－2y＋1＝0 C.2x－3y－1＝0 D.3x－2y－1＝0 √ 因为A(2，－3)是直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的公共点，所以2a1－3b1＋1＝0，且2a2－3b2＋1＝0，所以两点(a1，b1)和(a2，b2)都在同一条直线2x－3y＋1＝0上，故两点(a1，b1)和(a2，b2)所确定的直线方程是2x－3y＋1＝0.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)已知△ABC的顶点A(4，3)，AB边上的高所在直线为x－y－3＝0，D为AC的中点，且BD所在直线方程为3x＋y－7＝0. (1)求顶点B的坐标； 解：由A(4，3)及AB边上的高所在直线为x－y－3＝0， 得AB所在直线的斜率为－1， 则直线AB的方程为y－3＝－(x－4)，即x＋y－7＝0. 又BD所在直线方程为3x＋y－7＝0， 由求得点B(0，7). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求BC边所在的直线方程. 解：设C(m，n)，又A(4，3)，D为AC的中点，则D， 由已知得 解得C. 又B(0，7)，则＝， 化简得直线BC的方程为19x＋y－7＝0. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 1.5　两条直线的交点坐标 返回 $