1 1.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角、斜率及其关系，涵盖方向向量、三点共线及数形结合求范围等核心内容。通过问题导思（如两点确定直线、坡度类比斜率）衔接一次函数图象与直线方程，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合生活实例（坡度）和几何直观（正切函数图象分析斜率变化），通过典例（如三点共线求参数）和分层评价（随堂+课时），培养数学抽象、数学运算和直观想象素养。小结系统梳理任务与方法，学生能构建知识体系，教师可提升教学针对性。

　 第一章　§1　直线与直线的方程 1.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 学习目标 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素，培养直观想象的核心素养.　 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，提升数学抽象的核心 素养.　 3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式，提升数学运算的核心素养.　 4.理解直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系，并会应用斜率公式求直线的斜率，提升数学抽象、数学运算的核心 素养. 任务一　直线的倾斜角 1 任务二　直线的斜率 2 任务三　直线的斜率与方向向量的关系 3 课时分层评价 7 任务四 三点共线问题 4 内容索引 随堂评价 6 任务五 数形结合法求倾斜角或斜率范围 5 任务一　直线的倾斜角 返回 问题导思 问题1.在平面中，怎样才能确定一条直线？ 提示：两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线. 问题2.在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 提示：直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同. 新知构建 倾斜角的概念 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把_____(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l__________时所成的角，称为直线l的倾斜角 规定 当直线l和x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为___ 记法 α 图示 范围 __________ x轴 首次重合 0 [0，π) 具体如下： 倾斜角 α＝0 0＜α＜ α＝ ＜α＜π 直线 与x轴平行(重合) 由左向右上升 与x轴垂直 由左向右下降 (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角.(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度. 微提醒 任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？ 提示：由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的. 微思考 求图中各直线的倾斜角： 典例 1 解：如图①，可知∠OAB为直线l1的倾斜角. 易知∠ABO＝， 所以∠OAB＝，即直线l1的倾斜角为. 解：如图②，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知 ∠OBA＝，所以∠OAB＝， 所以∠xAB＝，即直线l2的倾斜角为. 解：如图③，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝，所以 ∠BAO＝， 所以∠OAC＝，即直线l3的倾斜角为. 规律方法 求直线倾斜角的关键及两点注意 1.关键：依据平面几何知识判断直线向上的方向与x轴正方向之间所成的角. 2.注意：(1)当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0；当直线与x轴垂直时，倾斜角为.(2)直线倾斜角的取值范围是[0，π). 直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是90°＜α＜180°.故选C. √ 对点练1.(1)若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是 A.0°≤α＜90° B.90°≤α＜180° C.90°＜α＜180° D.0°＜α＜180° (2)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为______________. 有两种情况：如图①所示，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. 如图②所示，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 60°或120° 返回 任务二　直线的斜率 返回 问题导思 问题3.日常生活中，常用坡度(坡度＝)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度＞.在平面直角坐标系中，我们能否用“坡度”的计算方法来刻画直线的倾斜程度？ 提示：结合“坡度”的计算方法可以利用倾斜角的正切值来刻画直线的倾斜程度. 问题4.(1)直线l的斜率k和它的倾斜角α的取值范围分别是什么？ 提示：k∈(－∞，＋∞)，α∈[0，π). (2)如图，A(x1，y1)，B(x2，y2)是倾斜角为α的直线l上的两点，则该直线的斜率k与倾斜角有什么关系？ 提示：过A作直线平行于x轴，过B作直线垂直于 x轴， 交于一点C， 如图， 则△ABC是直角三角 形，故有tan α＝，而BC＝y2－y1，AC＝x2－x1， 所以tan α＝，即k＝tan α. 问题5.当直线的倾斜角由0逐渐增大到π，其斜率如何变化？为什么？ 提示：如图所示， 根据正切函数的图象变化可知，当倾斜角为锐角时，斜率为正，斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，斜率随着倾斜角的增大而增大.当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在. 新知构建 1.直线的斜率 (1)称k＝_________(其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率. (2)若直线l垂直于x轴，则它的斜率________；若直线l不与x轴垂直，则它的斜率____________.因此我们常用斜率表示直线的__________. 2.直线的斜率与倾斜角的关系 (1)倾斜角不是的直线，它的斜率k和它的倾斜角α满足k＝________ . 不存在 存在且唯一 倾斜程度 tan 𝛼 (2)从函数角度看，k是α的函数，其中k＝tan α，图象如图 所示. ①当α∈时， 斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而______； ②当α∈时，斜率k＜0，且k随倾斜角α的增大而______； ③当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率________. 增大 增大 不存在 微提醒 k的大小与两点P1，P2的位置无关. (链教材P4例1，P6例3)(1)已知两条直线的倾斜角分别为，，求这两条直线的斜率； 解：直线的斜率分别为k1＝tan ＝，k2＝tan ＝－1. (2)已知A(3，2)，B(－4，1)，求直线AB的斜率； 解：直线AB的斜率kAB＝＝. (3)求经过两点A(2，3)，B(m，4)的直线的斜率； 解：当m＝2时，直线AB的斜率不存在； 当m≠2时，直线AB的斜率为kAB＝＝. 典例 2 (4)若≤α≤，求斜率k的取值范围. 解：由正切函数的性质，可得当≤α＜时，k＝tan α≥1；当＜α≤时，k＝tan α≤－；当α＝时，斜率k不存在. 综上，斜率k的取值范围是{k｜k≤－，或k≥1}.特别地，当α＝时，斜率k不存在. 规律方法 求直线斜率的两种类型 1.已知直线的倾斜角α(α≠)求直线斜率时，可利用斜率与倾斜角的关系，即k＝tan α求得. 2.已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，代入斜率公式k＝ 求得. 注意：(1)x1≠x2，当x1＝x2时斜率不存在.(2)公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置. 对点练2.若－≤k≤1，则倾斜角α的取值范围为_________________________. 由－≤k≤1，可得－≤tan α≤1.又0≤α＜π，所以由正切函数的性质，得倾斜角α的取值范围是. 返回 任务三　直线的斜率与方向向量的关系 返回 问题导思 问题6.(1)什么是直线的方向向量？ 提示：直线上的向量及与之平行的非零向量. (2)已知直线l上两点A(1，2)，B(－1，3)，你能写出直线l的一个方向向量吗？若A(1，2)，B(1，3)呢？ ＝(－1－1，3－2)＝(－2，1). ＝(1－1，3－2)＝(0，1). 新知构建 1.直线的方向向量 如图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).由平面向量的知识可知，向量是直线l的__________，它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量分别从不同角度刻画一条直线相对于 平面直角坐标系中x轴的倾斜程度.它们之间的关系是k＝_____________＝________(其中x1≠x2). 方向向量 tan α 2.直线的斜率与方向向量的坐标之间的关系 若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个__________；若直线l的一个方 向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝____. 方向向量 (1)任意斜率不存在的直线的单位方向向量为a＝(0，±1). (2)任意直线的方向向量可表示为a＝(cos θ，sin θ)(θ为倾斜角). 微提醒 (1)已知直线l经过点P(1，2)和点Q(－2，－2)，则直线l的单位方向向量为 A.(－3，－4) B.( －，－) C.( ±，±) D.±( ，) 典例 3 √ 由题意得，直线l的一个方向向量为＝(－3，－4)，所以直线l的单位方向向量为±＝±(－3，－4)＝±( ，).故选D. (2)已知直线l的一个方向向量为(5，8)，且该直线过点(1，2)，则直线l过点 A.(6，10) B.(4，8) C.(2，4) D. √ 因为直线l的一个方向向量为(5，8)，所以直线l的斜率为，设直线l上一点为(x，y)，则＝(x≠1)，将选项对应点的坐标代入此式，选项A能使等式成立.故选A. 规律方法 直线的方向向量的求法 1.在直线上任找两个不同的点P1，P2，则(或)为直线l的一个方向向量. 2.已知直线的斜率为k，则v＝(1，k)为直线的一个方向向量. 3.a＝(t，0)(t≠0)表示与x轴平行或重合的直线的方向向量，a＝(0，t)(t≠0)表示与y轴平行或重合的直线的方向向量. 对点练3.已知直线l的斜率为－，求直线l的模长为1的方向向量. 解：设直线l的方向向量为b＝(x，y)， 则＝－.① 因为｜b｜＝1，所以x2＋y2＝1.② 由①②得 所以b＝，或b＝. 返回 任务四 三点共线问题 返回 (链教材P5例2)已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a). (1)若A，B，C三点在同一直线上，求实数a的值； 解：因为A，B，C三点共线， 所以kAB＝kBC，即＝， 所以a＝2，或a＝. (2)若点A不在直线BC上，求实数a的取值范围. 解：当A，B，C三点共线时，a＝2，或a＝， 那么当A，B，C三点不共线，即点A不在直线BC上时，a≠2，且a≠. 所以实数a的取值范围为. 典例 4 规律方法 用斜率公式解决三点共线的方法 对点练4.已知A(a＋2，a)，B(1，－a)，C(a－4，a－1)三点构成一个三角形，求实数a的取值范围. 解：因为A(a＋2，a)，B(1，－a)，C(a－4，a－1)， 所以kAC＝＝. 当a＋2＝1，即a＝－1，此时A(1，－1)，B(1，1)，C(－5，－2)，则AB的斜率不存在， 此时A，B，C三点能构成一个三角形； 当a＋2≠1，即a≠－1时，kAB＝，要使A，B，C三点能构成一个三角形，则kAB≠kAC，即≠，解得a≠. 综上可得，实数a的取值范围为( －∞，)∪( ，＋∞). 返回 任务五 数形结合法求倾斜角或斜率范围 返回 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点.求直线l的斜率k的取值范围. 解：如图所示，由题意知kPA＝＝－1，kPB＝＝1. 要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞， －1]∪[1，＋∞). 典例 5 变式探究 1.(变条件)本例条件中“与线段AB有公共点”改为“与线段AB无公共点”.求直线l的斜率k的取值范围. 解：由本例知与线段AB有公共点时， 斜率k满足k≤－1或k≥1. 则与线段AB无公共点时斜率k的取值范围为(－1，1). 2.(变条件，变结论)本例条件改为点(x，y)在线段AB上，求的取值 范围. 解：表示连接两点(x，y)和(1，0)的直线的斜率，与本例题解题过程 一样. 规律方法 解决取值范围问题的基本方法——数形结合 斜率k的大小与正切函数之间的关系是用倾斜角α来联系的，因此，可以由倾斜角的变化得出斜率的变化.如图所示，过点P的直线l与线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而直线PC与线段AB不相交，所以直线l的斜率k的取值范围是kPA≤k≤kPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线的位置. 对点练5.已知过点(0，－2)的直线l与以点A(3，1)和B(－2，4)为端点的线段AB相交，求直线l的斜率的取值范围. 解：设点P(0，－2)，由题意作出图形，如图所示， 因为kPA＝＝1，kPB＝＝－， 若要使直线l与线段AB相交， 则kl≥kPA或kl≤kPB， 所以直线l的斜率的取值范围为(－∞，－]∪[1，＋∞). 返回 课堂小结 任务再现 1.直线的倾斜角及其范围.2.直线斜率的定义和斜率公式.3.直线的倾斜角与斜率的关系.4.直线的斜率与方向向量的关系.5.三点共线问题.6.数形结合法求倾斜角或斜率范围 方法提炼 数形结合思想、分类讨论思想 易错警示 忽视倾斜角范围、图形理解不清、由于对正切函数性质理解不到位而造成求解斜率范围出现错误 随堂评价 返回 √ 1.下列图中，α能表示直线l的倾斜角的是 A.① B.①② C.①③ D.②④ 由倾斜角的定义可得. 由题意可得AB的斜率为k＝＝－2.故选B. √ 2.已知直线过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为 A.3 B.－2 C.2 D.不存在 3.已知经过A(1－a，1＋a)，B(3，2a)两点的直线l的方向向量为(1，－2)，则实数a的值为________. 由已知可得，＝(2＋a，a－1).又直线l的方向向量为(1，－2)，所以＝(2＋a，a－1)与(1，－2)共线，所以有－2(2＋a)－1×(a－1)＝0，解得a＝－1. －1 4.已知直线l的倾斜角的范围是，则直线l的斜率的取值范围是__________________________. 当倾斜角α＝时，l的斜率不存在；当α∈时，l的斜率k＝tan α∈[1，＋∞)；当α∈时，l的斜率k＝tan α∈(－∞，－1]. (－∞，－1]∪[1，＋∞) 返回 课时分层评价 返回 选项A、B、C、D中，只有D选项的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x轴垂直，即它们确定的直线的斜率不存在.故选D. √ 1.以下两点确定的直线的斜率不存在的是 A.(4，1)与(－4，－1) B.(0，1)与(1，0) C.(1，4)与(－1，4) D.(－4，1)与(－4，－1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 A.k1＜k2＜k3 B.k3＜k1＜k2 C.k3＜k2＜k1 D.k1＜k3＜k2 直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0.直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.(多选题)给出下列结论，其中说法正确的是 A.若(1，k)是直线l的一个方向向量，则k是该直线的斜率 B.若直线l的斜率是k，则是该直线的一个方向向量 C.任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D.任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为kMN＝＝1，所以m＝1.故选A. √ 4.过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为 A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.(多选题)已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为，则点P的坐标为 A.(0，1) B.(－1，0) C.(3，0) D.(0，－3) 若点P在x轴上，设P(x，0)，则k＝＝tan ＝1，所以x＝3，即P(3，0).若点P在y轴上，设P(0，y)，则k＝＝tan＝1，所以y＝－3，即 P(0，－3).故选CD. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6.(一题多解)直线l的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为 A.1 B. C. D.－ 法一：设斜率为的直线的倾斜角为α，则tan α＝，0≤α＜π，所以α＝，所以2α＝，所以l的斜率k＝tan 2α＝.故选B. 法二：设斜率为的直线的倾斜角为α，则tan α＝，所以l的斜率k＝tan 2α＝＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是_______. 2 如图所示，kOA＝2，＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k∈[0，2].故直线l的斜率k的最大值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若直线l的斜率k的取值范围是，则该直线的倾斜角α的取值范围 是____________. 当0≤k＜时，即0≤tan α＜，又α∈，所以α∈. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(开放题)已知点A(1，0)，B(2，)，C(m，2m)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则实数m的值为__________，直线AC的一个方向向量为______________________. 因为kAB＝＝，所以直线AB的倾斜角为，则直线AC的倾斜角为.kAC＝＝tan ，即＝－，得m＝2－3，直线AC的一个方向向量为(1，－). 2－3 (1，－)(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)已知坐标平面内三点P(3，－1)，M(6，2)，N(－，)，直线l过点P.若直线l与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围. 解：如图所示，考虑临界状态，令直线PM的倾斜角为α1，直线PN的倾斜角为α2， 由题意知，tan α1＝＝1， tan α2＝＝－， 故直线PM的倾斜角为，直线PN的倾斜角为. 结合图形，根据倾斜角的定义知，符合条件的直线l的倾斜角α的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11.若经过两点A(2，1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则实数m的取值范围是 A.(－∞，1) B.(－1，＋∞) C.(－1，1) D.(－∞，－1)∪(1，＋∞) 因为直线l的倾斜角为锐角，所以斜率k＝＞0，所以－1＜m＜1.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(双空题)已知点A(3，1)，B(－2，k)，C(8，1).则直线AC的倾斜角为________；若这三点能构成三角形，则实数k的取值范围为_____________ _________. 0 (－∞，1)∪ (1，＋∞) 因为kAC＝＝＝0，所以直线AC的倾斜角为0，又kAB＝＝，要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，即kAB≠kAC，所以≠0，所以k≠1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知直线l的方向向量n＝(2，4)且与x轴交于点A，直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l'，则直线l'的斜率为__________. － 设直线l，l'的倾斜角分别为α，β，由直线l的方向向量n＝(2，4)可得直线l的斜率为2，即tan α＝2＞0，α为锐角，又因为直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l'，所以β＝α＋60°，所以直线l'的斜率为k＝tan β＝tan(α ＋60°)＝＝＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)已知A(3，1)，B(2，4)，C(m，2)三点. (1)若直线BC的倾斜角为135°，求m的值； 解：因为B(2，4)，C(m，2)，直线BC的倾斜角为135°， 所以kBC＝－1＝，解得m＝4，故m的值为4. (2)是否存在m，使得A，B，C三点共线？若存在，求m的值；若不存在，说明理由. 解：已知A(3，1)，B(2，4)，C(m，2)三点， 当A，B，C三点共线时，kAB＝kBC，即＝，解得m＝. 所以存在m使得A，B，C三点共线，此时m＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(新情境)函数y＝f(x)的图象如图，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，则n的取值集合为 A.{3，4} B.{2，3，4} C.{3，4，5} D.{2，3} √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，＝＝…＝的几何意义是：曲线上存在n个点与坐标原点连线的斜率相等，即n指的是过原点的直线与曲线的交点个数，由图可得n的值可以为2，3，4.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)已知点M(x，y)在函数y＝2x＋8的图象上，当x∈时，求： (1)的取值范围； 解：因为点M在函数y＝2x＋8的图象上，且x∈，记点A(－3，2)，B(5，18). 由题意可知点M(x，y)在线段AB上移动.记点N(－1，－1)， 则可看作过点M(x，y)与点N(－1，－1)的直线的斜率. 又因为kNA＝－，kNB＝， 由于－1∈，可知线段AB上存在点与N点连线的斜率不存在， 所以的取值范围为( －∞，－］∪［，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 (2)的取值范围. 解：因为＝2×，记点P， 则可看作过点M(x，y)与点P的直线的斜率. 又因为kPA＝－，kPB＝－，所以. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 1.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 返回 $