第5章 勾股定理与实数（复习课件）数学新教材青岛版八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了勾股定理及其逆定理、无理数、实数、平方根与立方根等核心知识，通过单元知识图谱和考点对比表格将概念性质应用串联，构建“形与数”结合的知识网络。 其亮点在于“考点串讲-题型剖析-思想提炼”的复习路径，如将立体图形展开转化为平面问题用勾股定理求解，结合非负数性质求参数等实例，培养数学推理与几何直观能力。分层设计的练一练和综合题满足不同学生需求，助力教师精准复习，提升知识巩固效率。

单元复习课件 第5章 勾股定理与实数 青岛版2024·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1．进一步理解勾股定理及其逆定理，能用它们解决问题。 2．能识别无理数 ，正确理解与运用平方根、立方根、实数的概念和性质。 4.用勾股定理及逆定理解决几何问题。 3. 勾股定理及其逆定理的基本应用；能运用数轴比较数的大小，能进行平方根、立方根、实数的计算。 单元学习目标 单元知识图谱 考点一、勾股定理及其逆定理 1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。数学表达式即 . B A C 2．勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方 ，那么这个三角形是直角三角形. 实际问题 （直角三角形边长计算） 由形到数 勾股定理 勾股定理的逆定理 互 逆 由数到形 实际问题 （判定直角三角形） 考点串讲 考点一、勾股定理及其逆定理 B A C 勾股定理 勾股定理的逆定理 题设 是直角 （为直角边，为斜边） 结论 （为直角边，为斜边） 是直角 考点串讲 考点二、无理数 2．无理数 ：无限不循环的小数叫作无理数。 1．有理数 ： 和 统称有理数，即有限小数或无限循环小数。 整数 分数 总结：无理数的形式 （1）开方开不尽的数，如； （2）化简后含有的数，如； （3）有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001……． 考点串讲 考点三、实数 1．概念 ： 和 统称实数。 有理数 无理数 按概念分： 按符号分： 考点串讲 考点三、实数 2．每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，数轴上的每一个点都表示一个唯一的实数，实数与数轴上的点 . 一一对应 0 正实数 负实数 考点串讲 考点四 、算术平方根、平方根和立方根 1．算术平方根：如果一个正数的平方等于，那么这个正数叫做的算术平方根，记作 ，读作“根号 ”. 1.正数有一个正的算数平方根，如=2； 2.0的算数平方根是0，即=0； 3.负数没有算数平方根. 性质：双重非负性，即，. 考点串讲 考点四 、算术平方根、平方根和立方根 2．平方根：如果一个数的平方等于，即，那么叫做的平方根，或二次方根，记作 ，读作“正负根号”. 1.正数有两个平方根，它们互为相反数，如4的平方根是，即； 2.0的平方根是0.即=0； 3.负数没有平方根. 考点串讲 考点四 、算术平方根、平方根和立方根 3．立方根：如果一个数的立方等于，即，那么叫做的立方根，或三次方根，记作 ，读作“三次根号”，其中叫作 ，3叫作 . 1.正数的立方根是一个正数，如； 2.0的立方根是0.即=0； 3.负数的立方根是一个负数。如. 被开方数 根指数 方法归纳：求一个负数的立方根，可以先求这个负数的绝对值的立方根，再取相反数 . 考点串讲 考点四 、算术平方根、平方根和立方根 概念 表示 主要性质 平方根 若，则 叫做 的平方根. 正数有两个平方根，互为相反数;0 的平方根是 0;负数没有平方根. 算术平方根 若，则的非负数值叫做 的算术平方根. 双重非负性，即， . 立方根 若，则 叫做的立方根. 正数的立方根是一个正数； 负数的立方根是一个负数； 0 的立方根是 0. 考点串讲 考点四 、算术平方根、平方根和立方根 联 系 平方根与算术平方根： (1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种； (2)存在条件相同：平方根和算术平方根都只有 才有； (3)0 的平方根、算术平方根均为 　. 平方根与立方根： (1)都与相应的乘方运算互为 　运算； (2)都可归结为非负数的非负方根来研究．平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可通过转化为正数的立方根来研究， 即 ＝ ； (3)0 的平方根和立方根都是 0. 非负数 0 逆 考点串讲 考点四 、算术平方根、平方根和立方根 4．开平方：求一个数（）的 的运算，叫作开平方，其中叫作 . 平方根 被开方数 5．开立方：求一个数的 的运算，叫作开立方，其中叫作 . 立方根 被开方数 6．开平方和平方、开立方和立方都分别互为逆运算. 考点串讲 题型一、勾股定理 例1 在△中，已知 是高，∠＝90°，∠、∠、∠ 的对边分别是 、、，且 ＝3，＝4，求的长． 解：根据勾股定理： 因为BD是高，直角三角形的面积有两种计算方式： 1） ； 2）  这两个面积相等，所以： 解得： 解析：依据题意，画出符合题意的图，再利用等面积法求解. B A C D 题型剖析 题型一、勾股定理 练一练 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　） D A、25 B、14 C、7 D、7或25 解析：可画图进行分类讨论： 1.当两直角边长为3和4时，根据勾股定理得第三边长的平方是； 2.当斜边长为4，一直角边长为3时，根据勾股定理得第三边长的平方是7. 题型剖析 题型一、勾股定理 解题总结： 1.在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便. 2.在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边. 题型剖析 题型二、勾股定理的逆定理与勾股数 例2 已知在△ 中，∠，∠，∠ 的对边分别是，，，＝－1，＝2，＝+1(＞1)，判断△ 是否为直角三角形． 解：首先计算三边的平方：=;=; . 然后计算 +=+== . 可以看到 = ，满足勾股定理的逆定理. 所以△是直角三角形. 解析：要判断这个三角形是否为直角三角形，我们可以用勾股定理的逆定理：如果三角形的三边满足，那么这个三角形是直角三角形. 题型剖析 题型二、勾股定理的逆定理与勾股数 练一练 已知△的三边长分别为，，且满足，那么该三角形是 三角形. 解：因为， 则=0；=0；=0 即=3，=4；=5. 3,4,5是勾股数，根据勾股定理的逆定理， 所以该三角形是直角三角形. 直角 题型剖析 题型二、勾股定理的逆定理与勾股数 解题总结： 运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断哪条边最大；②分别用代数方法计算出和 的值( c 边最大)；③判断 和 是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形． 题型剖析 题型三、勾股定理的应用 例3 如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 解：如图，将可能路径展开，有3条路径. 题型剖析 题型三、勾股定理的应用 例3 如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 解：(1)在 Rt△1 中，,所以=5； (2)在 Rt△1 中，,所以=； (3)在 Rt△1 中，,所以=； 因为5<<，所以沿（1）走路线最短，最短为5. 题型剖析 题型三、勾股定理的应用 练一练 如图，已知长方体的长宽高分别为 5、3、1，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点 A 爬到点 B，最短路程为（　　） A 解题总结： 用勾股定理解决立体图形的问题，常以长方体、正方体、圆柱、圆锥为背景，做题思路是“展曲为平”--把立体图形转化为平面图形，即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题，再运用“两点之间，线段最短”求解． 要注意的是需要认真审题，确定出最短路线，不要忽视多种展开情况． 题型剖析 题型四、勾股定理的逆定理的应用 例4 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 问题1 认真审题，弄清已知是什么？要解决的问题是什么？ “远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程、距离 16×1.5=24 12×1.5=18 45° 实质是求∠2的度数. 问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长，需要求角，由此你联想到了什么？ 勾股定理的逆定理 题型剖析 题型四、勾股定理的逆定理的应用 16×1.5=24 12×1.5=18 45° 解：根据题意得 =16×1.5=24(海里) =12×1.5=18(海里) ，=30(海里) ∵，即 ∴∠=90°， 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45° ∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行. 解决实际问题的步骤：①构建几何模型(从整体到局部)；②标注有用信息,明确已知和所求；③应用数学知识求解. 题型剖析 题型四、勾股定理的逆定理的应用 练一练 如图，南北方向以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在处发现其正西方向的C 处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在上处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，=10海里，=8海里，=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时， 则可疑船只最早何时进入我领海？ 题型剖析 题型四、勾股定理的逆定理的应用 解：∵=10，=6，=8 ∴△是直角三角形，且∠= 90°， 直角三角形中，面积可以表示为， 解得 在Rt△BCD中，=6.4海里 ∵该船只的速度为12.8海里/时，∴6.4÷12.8=0.5(小时)=30(分钟) ∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海. 题型剖析 题型五 平方根、算术平方根和立方根 例5 已知一个正数的两个平方根分别是 + 3 和 2 - 18，求这个正数. 解：根据平方根的性质，有+ 3 + 2 - 18 = 0，解得 = 5， + 3 = 8， 8² = 64，所以这个正数是 64. 解析：根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，可以得到关于 的一元一次方程，解之求得的值，从而可求出这个正数. 题型剖析 题型五 平方根、算术平方根和立方根 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数.而一个非负数的算术平方根只有一个.另外，一个数的立方根也只有一个，且与它本身的符号相同. 练一练 下列说法正确的有（ ） B ① -64 的立方根是 -4； ② 49 的算术平方根是±7； ③ 的立方根是； ④的平方根是. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 题型剖析 题型五 平方根、算术平方根和立方根 例6 若，为实数且+ | - 1| = 0，则(= . 解：先根据非负数的性质求出 ，b 的值，再根据乘方的定义求出(值. ∵ , ∴ + 1 = 0，且 - 1 = 0. ∴ = -1 ，= 1. ∴ (== 1. 故填 1. 1 题型剖析 题型五 平方根、算术平方根和立方根 练一练 若与 互为相反数，则= . -5 解：因为算术平方根和平方数都是非负数（即大于等于0的数）。 与 互为相反数，互为相反数的两个数和为0， 所以： 与 = 0， 因为两个非负数相加为0，只有这两个数都为0才成立， 所以： = 0 ,+ 8 = 0 ,所以 = -8 = 0 ， - 27 = 0 ，所以= 27 = =-5 初中阶段主要涉及三种非负数：≥0，||≥0，≥0.如果若干个非负数的和为 0，那么这几干个非负数都必为 0. 题型剖析 例7 在实数，，中，分数有 （ ） A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个 题型六 无理数的识别 解：是分数；虽然含有分母 2，但它的分子是无理数，所以是无理数；同理也是无理数. 故选 C. C 练一练 在实数 π，，0，-1 中，无理数是（ ） A. π B. C. 0 D. -1 A 题型剖析 例8 如图，数轴上的点 A，B 分别对应实数，，下列结论正确的是（ ） A. ＞ B. | |＞| | C. -＜ D. + ＜0 题型七 实数与数轴上的点的关系 解：数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大，故 A 不正确；根据点 A，B 与原点的距离知 | |＜| |，B 不正确；-＞0，根据 | |＜| |，知-＜，C 正确.故选 C. C 练一练 若 | | = -，则实数 在数轴上的对应点一在（ ） A. 原点左侧 B. 原点或原点左侧 C. 原点右侧 D. 原点或原点右侧 B 题型剖析 例9 估计 的值在（ ） A. 2 到 3 之间 B. 3 到 4 之间 C. 4 到 5 之间 D. 5 到 6 之间 题型八 实数的运算与大小比较 解：∵4＜6＜9， ∴<<，即2<<3，所以3<+1<4 因此+1的值在 3 到 4 之间. 故选 B. B 练一练 满足的整数是 . -1，0，1 题型剖析 例10 计算= . 题型八 实数的运算与大小比较 解：对于被开方数是带分数的，通常需要先将带分数化成假分数，然后再开方。=-6+ + 3=-6+ + 3=。 练一练 计算 . 题型剖析 1. 的算术平方根是 3，b 是 16 的平方根，则 + b = ． 涉及实数的数学思想和解题方法 解析：分类讨论思想。 解： 的算术平方根是 3，可知 = 9；16 的平方根有两个，为±4.由此可以确定 ，b 的值，然后代入计算即可.当 = 9，b = 4 时， + b =13；当 = 9，b = -4 时， + b = 5.故答案为 13 或 5. 13或5 方法总结：对于该类问题，在求解时，按一定的标准进行分类，并考虑到所有可能的情况，避免漏解或重复。 针对训练 2. 如图，数轴上 ，B 两点对应的实数分别是 1和，若点 关于 B 点的对称点为点 C，则点C 所对应的实数为 ． 涉及实数的数学思想和解题方法 解析：数形结合思想。 解：设点 C 所对应的实数是．根据对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可．设点 C 所对应的实数是 ，则有 - = -1，解得 = 2 -1． 针对训练 针对训练： 数轴上 A，B 两点对应的实数分别是和 2，若点 A 关于点 B 的对称点为点 C，则点 C 所对应的实数为 . 涉及实数的数学思想和解题方法 方法总结： 数的范围由有理数扩大到实数，实数与数轴上的点建立了一一对应的关系，这样可以通过观察“形”的特点（借助数轴），解答一些关于实数的比较抽象的问题.对于该类问题，运用数形结合思想，先利用数轴表示出三个点的位置，再根据对称的性质解答. 针对训练 3. 计算： 解：原式= = 涉及实数的数学思想和解题方法 针对训练 针对训练： 若 是 16 的平方根，b 是 -27 的立方根，c 的绝对值为 2，求 - b + c 的值. 涉及实数的数学思想和解题方法 解：由题意可知 = 4 或 -4，b = -3，c = 2 或 -2. （1）当 = 4，b = -3，c = 2 时， - b + c = 9； （2）当 = -4，b = -3，c = 2 时， - b + c = 1； （3）当 = 4，b = -3，c = -2 时， - b + c = 5； （4）当 = -4，b = -3，c = -2 时， - b + c = -3. 综上所述， - b + c 的值为 9 或 1 或 5 或 -3. 针对训练 4. 如图，已知在 Rt△ 中，∠ = 90°， = 4，分别以 、为直径作半圆，面积分别记为 、，则+等于 ． 涉及勾股定理的数学思想和解题方法 解析：转化思想。 解：∵ == π， == π ∴ + = π+ π = π = 2π． 针对训练 涉及勾股定理的数学思想和解题方法 方法总结： 利用勾股定理求相关图形的面积或它们之间的关系时，通常将图形的面积关系转化为直角三角形三边的关系或将不规则图形转化为直角三角形面积的和或差来解决. 针对训练 5. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 ＝6 cm，＝8 cm，将△ 折叠，使点 与点 重合，折痕是，求 的长． 涉及勾股定理的数学思想和解题方法 解析：方程思想。欲求的线段 CD 在 Rt△ACD 中，但此三角形只知一边，可设法找出另两边的关系，然后用勾股定理求解． 针对训练 5. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 ＝6 cm，＝8 cm，将△ 折叠，使点 与点 重合，折痕是，求 的长． 解：由折叠知：＝，△ 为直角三角形． 在 Rt△ 中，， 设 ＝ cm，则 ＝＝(8－) cm， 所以 ， 化简，得 36＝64－16， 解得 ＝＝1.75，即的长为 1.75 cm. 涉及勾股定理的数学思想和解题方法 方法总结：勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解． 针对训练 6. 如图，每个小方格都是边长为 1 的正方形， （1）求四边形 的面积； （2）求∠ 的度数． 涉及勾股定理的数学思想和解题方法 解析：数形结合思想. 解：（1）∵每个小方格都是边长为 1 的正方形， ∴S正方形EFGH = 5×5 = 25. ∴S四边形ABCD = S正方形EFGH - S△ADE - S△AFB - S△BCG - S△CDH = 25 - ×2×3 - ×2×4 - ×1×2 - ×3×3 = 25 - 3 - 4 - 1 - 4.5 =12.5. 针对训练 6. 如图，每个小方格都是边长为 1 的正方形， （1）求四边形 的面积； （2）求∠ 的度数． 涉及勾股定理的数学思想和解题方法 解：（2）在 Rt△ 中， = + = + = 20. 在 Rt△ 中， = + = + =5. ∴ + = 20 + 5 = 25. 又∵ = ， ∴ + = . ∴△ 是直角三角形. ∴∠ = 90°． 针对训练 方法总结： 勾股定理及其逆定理均体现了数形结合思想。 勾股定理是由图形的特征(三角形中有一个角是直角)得到数量之间的关系(三角形的三边长，， 满足 )；勾股定理的逆定理由数量之间的关系 () 得到图形的特征 (以,,为三边长的三角形是直角三角形).只有把数和形有机地结合起来，才能更好地理解和应用勾股定理及其逆定理解决问题.对于网格中图形的有关计算问题，往往需要通过数形结合，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差来计算. 涉及勾股定理的数学思想和解题方法 针对训练 本节课你学到了什么知识和方法？ 经历了哪些思考？ 建立了什么样的数学模型？ 还有什么疑惑？ 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $