2025年广东省河源市紫金县紫城第二中学九年级中考数学一模试卷

2025年广东省河源市紫金县紫城二中中考数学一模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列四个数中，无理数是(    ) A. B. C. D. 2.粮食是人类赖以生存的重要物质基础．2021年我国粮食总产量再创新高，达68285万吨．该数据可用科学记数法表示为(    ) A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 3.下列各式中，运算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.已知，则a的取值范围在数轴上表示正确的是(    ) A. B. C. D. 5.已知，，则等于(    ) A. 5 B. 6 C. 1 D. 6.如图，直线，射线DC与直线a相交于点C，过点D作于点E，已知，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.某销售公司有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售量定额，统计了这15人某月的销售量，如下表所示： 每人销售件数 1800 510 250 210 150 120 人数 1 1 3 5 3 2 那么这15位销售人员该月销售量的平均数、众数、中位数分别是(    ) A. 320，210，230 B. 320，210，210 C. 206，210，210 D. 206，210，230 8.如图，点A，B，C，D在上，AC是的直径，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 9.把抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 10.若正比例函数的图象过第二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.已知点与点关于原点对称，则______. 12.因式分解：______. 13.在函数中，自变量x的取值范围是______. 14.如图，四边形ABCD内接于，四边形ADCO是平行四边形，则的度数为______. 15.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB、AC相交于点D，且，，反比例函数的图象经过点E，若，，则k的值是______. 三、计算题：本大题共1小题，共8分。 16.计算： 四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 某校七年级计划举办一场文艺晚会，为了解学生最喜欢的节目形式，学生会从七年级随机抽取若干名学生进行调查，规定每人从“舞蹈、歌曲、相声、演奏、小品”五项中选择一项最喜欢的节目形式，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图. 本次一共抽查了______名学生，并补全条形统计图. 扇形统计图中，“演奏”所在扇形的圆心角为______度. 请估计该校七年级的600名学生中最喜欢“舞蹈”项目的有多少名. 18.本小题8分 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作.港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”.某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为然后向后走160米米，到达C处，此时看塔顶A，仰角为，求该主塔的高度. 19.本小题9分 如图，在等腰三角形ABC中，， 在AC上作一点D，使BD平分；要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 求证：是等腰三角形. 20.本小题9分 某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同. 求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ 每台A型机器人售价万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元.设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式，并求出最少购买金额. 21.本小题9分 如图，AB是的直径，AC是的切线，A为切点，BC交于点D，点E是弧BD的中点，AE与BC交于点 当时，______； 求证：； 已知，，求DF的长. 22.本小题12分 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数为常数，且与反比例函数为常数，且的图象交于点， 求反比例函数和一次函数的表达式； 当时，直接写出自变量x的取值范围； 已知一次函数的图象与x轴交于点C，点P在x轴上，若的面积为9；求点P的坐标. 23.本小题12分 【感知】 如图1，在四边形ABCD中，点P在边AB上点P不与A，B重合， 易证：∽不要求证明 【探究】 如图2，在四边形ABCD中，点P在边AB上点P不与点A，B重合， 求证：∽； 【应用】 如图3，在中，，点P在边AB上点P不与点A，B重合，连接CP，作，PE与边BC交于点 当时，求AP的长； 当是等腰三角形时，直接写出AP的长. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：，，是有理数，是无理数， 故选： 根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，…每两个8之间依次多1个等形式． 2.【答案】D  【解析】解：68285万吨 吨， 故选： 将较大的数写成科学记数法形式：，其中，n为正整数即可． 本题考查了科学记数法-表示较大的数，掌握是解题的关键． 3.【答案】A  【解析】解：， 故A合题意． ， 不合题意． ， 不合题意． ， 不合题意． 故选： 根据完全平方公式，合并同类项，同底数幂的运算法则判断即可． 本题考查完全平方公式，合并同类项，同底数幂的运算，正确掌握相关法则是求解本题的关键． 4.【答案】A  【解析】解：， ， 故选： 由，可知，解这个不等式并在数轴表示出来即可． 本题考查在数轴上表示不等式的解集、绝对值，掌握一元一次不等式的解法及在数轴上表示不等式的解集是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：，， ， 故选： 先根据平方差公式分解因式 本题考查了平方差公式，能熟记是解此题的关键． 6.【答案】A  【解析】解：如图，过点D作 则 又，， ，， 故选： 如图，过点D作由平行线的性质进行解题． 本题考查了平行线的性质．此题利用了“两直线平行，同位角相等”来解题的． 7.【答案】B  【解析】【分析】 此题主要考查了一组数据平均数的求法，以及众数与中位数的求法． 找中位数要把数据按顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 【解答】 解：平均数是：件； 210出现了5次最多，所以众数是210； 表中的数据是按从大到小的顺序排列的，处于中间位置的是210，因而中位数是 故选： 8.【答案】B  【解析】解：是的直径， ， ， 由圆周角定理得，， 故选： 根据直径所对的圆周角是直角得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理解答即可． 本题考查的是圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 9.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题． 根据题意，求出平移后的顶点坐标，即可得解. 【解答】解：抛物线的顶点坐标为，把它向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的顶点坐标为， 则所得抛物线的函数解析式为 故选 10.【答案】A  【解析】解：正比例函数的图象过第二、四象限， ， 一元二次方程， ， 该方程有两个不相等的实数根． 故选： 根据正比例函数的图象过第二、四象限，可知，再根据一元二次方程，可以计算出的正负情况，从而可以判断该方程根的情况． 本题考查正比例函数的性质、根的判别式，解答本题的关键是求出的正负情况． 11.【答案】2  【解析】解：点与点关于原点对称， ，， ， 故答案为： 根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数． 此题主要考查了关于原点对称，解题的关键是掌握点的坐标变化规律． 12.【答案】  【解析】解：原式， 故答案为： 提取公因式2x进行因式分解即可． 本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：由题意，得 ， 解得， 故答案为： 根据分母不为0可得：，然后进行计算即可解答． 本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：由平行四边形性质可得， 由圆周角定理可知，， 则， 又四边形ABCD是圆的内接四边形， ，即：， ， 故答案为： 由平行四边形的性质，得，由圆周角定理可知，，可知，在结合内接四边形对角互补可知，即可求解． 本题考查圆内接四边形，圆周角定理，平行四边形的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 15.【答案】18  【解析】解：，， 四边形AEBD是平行四边形， 四边形OABC是矩形，，， ，，，， ， 四边形AEBD是菱形； 连接DE，AB交于F，如图所示： 四边形AEBD是菱形， 与DE互相垂直平分， ，， ，， 则， 点E坐标为： 反比例函数的图象经过点E， ， 故答案为： 连接DE，与AB交于F，先证明四边形AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出，证出四边形AEBD是菱形，由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分，求出EF、AF，得出点E的坐标；把点E坐标代入，出k的值即可． 本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、反比例函数坐标上点的特征，关键是菱形性质的应用，本题综合性强，有一定难度． 16.【答案】解：   【解析】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式等知识点的运算． 根据绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简的计算法则进行计算即可求得结果． 17.【答案】50，补全条形统计图见解析；   ；   最喜欢“舞蹈”项目的约有168名．  【解析】解：由题意可得：名， 本次一共抽查了50名学生， 喜欢歌曲的有人， 补全图形如下： 故答案为：50； 扇形统计图中，“演奏”所在扇形的圆心角为， 故答案为：； 该校七年级的600名学生中最喜欢“舞蹈”项目的有： 名 由喜欢相声的人数除以其占比即可得到总人数，再求解喜欢歌曲的人数，补全图形即可； 由乘以喜欢“演奏”的占比即可得到答案； 由600乘以最喜欢“舞蹈”项目的占比即可得到答案． 本题考查的是条形统计图，扇形统计图，利用样本估计总体，熟知以上知识是解题的关键． 18.【答案】该主塔的高度是米．  【解析】解：过点A作，垂足为D， 由题意得：，， 是的一个外角， ， ， 米， 在中，米， 该主塔的高度是米． 过点A作，垂足为D，根据题意可得：，，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得米，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 19.【答案】解：根据尺规作角平分线的方法作图如下，点D即为所求； 证明：，， ， 平分， ， ， ， ， 是等腰三角形．  【解析】以点B为圆心，以任意长为半径画弧交AB，BC于点M，N，以点M，N为圆心，以MN为半径画弧交于点P，连接BP交AC于点D，即可求解； 根据，可求出，根据角平分线的性质，三角形内角和定理可得，由此即可求证． 本题主要考查尺规作角平分线，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的运用，掌握尺规作角平分线的方法，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 20.【答案】解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为吨， 由题意得：， 解得：； 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨； 解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人为台， ， 由题意得：， 解得：， ， 随m的增大而减小， 当时，w有最小值， 即w与m的函数关系式为，最少购买金额为万元．  【解析】设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物吨，根据A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．列出分式方程，解方程即可； 先根据题意求出w与m的函数关系式，再根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式组好一次函数关系式． 21.【答案】；   见解析；     【解析】解：是的直径，AC是的切线，， ，， ，， ， 故答案为：； 证明：由可知，，， ，则， 点E是弧BD的中点， ， ， ； 解：在中，，， 由勾股定理得：， 由可知，， ∽，AF平分， ， ， 解得：，， 设点F到AD、AB的距离为，，则， ， ， 解得：， ， 解得： 根据题意可知，，进而利用直角三角形两锐角互余即可求解； 由可知，，，进而可得，由点E是弧BD的中点，可知，即可证明结论； 在中，由勾股定理可得：，结合可证明∽，AF平分，在根据相似三角形的性质得，，设点F到AD、AB的距离为，，则，结合等面积法可得，即，进而求得答案． 本题属于圆的综合题，主要考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，角平分线的性质等知识点，掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 22.【答案】解：将代入， 解得：， 反比例函数表达式为， 将代入， 解得：， ， 将，代入， 得， 解得：， 一次函数的表达式为：； ，， 根据函数图象可得：当时，； ，令， 解得：， ， 设， 则， 的面积为9， ， 解得：或， 或  【解析】待定系数法求解析式，即可求解； 根据函数图象，写出反比例函数图象在一次函数上方时且在x轴上方时，自变量的取值范围，即可求解； 先求得点C的坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题的关键． 23.【答案】【探究】证明：由三角形外角的性质可得：； ， ， 又， ∽； 【应用】解：设，则， ，， ，，， ，， ， ∽， ，即， 化简可得：， 解得或， 即或； 由可得，， ， 则为等腰三角形，有两种情况，或， 当时， 由可得，，， ≌， ， ， 当时，， 则， ∽， ， 设，则，， ， 由∽可得，， 即， 解得，， 综上，或  【解析】【探究】利用三角形外角的性质，得到，即可求解； 【应用】通过三角形外角的性质，得到∽，利用相似三角形的性质，求解即可； 分两种情况，、，分别求解即可． 本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $