2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册综合检测卷综合检测卷（三）

2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册 【本书综合检测卷（三）】 单项选择题 1.[2025陕西省咸阳市高二期末]在等差数列{an}中,a1+a3=12,则a2=(　　) A.8 B.7 C.6 D.5 2.[2025慈溪中学高二期末改编]已知函数f(x)=sin 2x,则=(　　) A.2cos 4 B.cos 4 C.2sin 4 D.sin 4 3.[2025启东中学高二月考]已知F是抛物线C:y2=12x的焦点,P是C上一点,若|PF|=9,则P点的横坐标为(　　) A.3 B.6 C.9 D.12 4.[2024福州三中高二期中]已知a=(-1,1,2),b=(0,1,-1),c=(-3,5,k),若a,b,c共面,则实数k为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 5.[2025沧州一中月考]若曲线y=x3+2x在点(1,3)处的切线也与曲线y=x2+x+m相切,则m=(　　) A.4 B.-2 C.-4 D.2 6.[2025巴蜀中学月考]如图,正方形ABCD的边长为a,取ABCD各边的中点E,F,G,H作第二个正方形EFGH,然后再取EFGH各边的中点作第三个正方形,依此方法一直继续下去,那么所有正方形的面积之和趋近于(　　) A.a2 B.2a2 C.3a2 D.4a2 7.[2025宜昌一中、荆州中学等校高二联考]已知圆C1:(x+2)2+(y-1)2=1,圆C2:(x-2)2+(y-3)2=4,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　) A.4-3 B.2-3 C.4 D.5-4 8.[2024武昌实验中学高二月考]设函数f(x)=若f(x1)=f(x2)(x1<x2),且2x2-x1的最小值为ln 2,则a的值为(　　) A. B.- C.- D.- 多项选择题 9.[2024沈阳二中高二期中]已知数列{an}的前n项和是Sn,则下列说法正确的是(　　) A.若Sn=n2-1,则{an}是等差数列 B.若a1=2,an+1=2an+3,则{an+3}是等比数列 C.若{an}是等差数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列 D.若{an}是等比数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列 10.[2025潍坊一中高二调研]已知定义在[-2,3]上的函数f(x),部分函数值如表所示,其导函数f'(x)的图象如图所示,则(　　) x -2 -1 2 3 f(x) 1 -1 2 0 A.f(x)在[1,3]上单调递减 B.f(x)在定义域上有两个极值点 C.若-1<a<0,则函数y=f(x)-a有两个零点 D.若f(x)在[-2,t]上的最大值为2,则2≤t≤3 11.[2024长安一中高二期中]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,P是正方形ABCD内部(含边界)的一个动点,则(　　)  A.存在唯一点P,使得D1P⊥B1C B.存在唯一点P,使得直线D1P与平面ABCD所成的角取到最小值 C.若=,则三棱锥P-BB1C外接球的表面积为8π D.若异面直线D1P与A1B所成的角为,则动点P的轨迹是抛物线的一部分 填空题 12.[2025山东省实验中学模拟]若数列{an}满足a1=1,an+1=(-1)n+1an+1,则{an}的前2 027项的和为　　　　.  13.[2025郑州外国语学校调研]已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在双曲线C的右支上,MF1⊥MF2,若MF1与C的一条渐近线l垂直,垂足为N,且|NF1|-|ON|=2,其中O为坐标原点,则双曲线C的标准方程为　　　　　　.  14.【探索新定义】[2025合肥八中高二期中]已知=ad-bc,定义运算 :f(x) g(x)=,其中f'(x)是函数f(x)的导数.若φ(x)=[ln(ax)] (ex+1),实数a>1,且对任意x≥1,φ(x)≥0恒成立,则a的取值范围为　　　　.  解答题 15.(13分)[2025徐州一中高二月考]已知△ABC的三个顶点为A(4,3),B(5,2),C(1,0). (1)求△ABC外接圆M的方程; (2)若直线l过点P(2,-2),且被圆M截得的弦长为4,求直线l的方程. 16.(15分)[2024广东实验中学高二期中]已知各项均不为0的数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=,bn=,数列{bn}的前n项和为Tn. (1)求{an}的通项公式; (2)求Tn. 17.(15分)[2024执信中学高二期中]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=90°,且PA=PD=AD,PC=PB. (1)若O为AD的中点,证明:CO⊥PO; (2)若∠CDA=60°,AB=CD=1,点M满足=2,求平面PCB与平面ACM夹角的余弦值. 18.(17分)[2025临川一中、高安中学等校高二联考]已知过点(1,)的椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为. (1)求C的方程. (2)已知A是C的左顶点,直线l:y=kx+m与C相交于P,Q两点,且P,Q两点均不与点A重合. (i)若直线l与圆x2+y2=相切,证明:以PQ为直径的圆经过坐标原点; (ii)若直线AP,AQ的斜率之积为-,证明:直线l过定点,并求出定点的坐标. 19.(17分)[2025全国二卷]已知函数f(x)=ln(1+x)-x+x2-kx3,其中0<k<. (1)证明:f(x)在区间(0,+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点. (2)设x1,x2分别为f(x)在区间(0,+∞)的极值点和零点. (i)设函数g(t)=f(x1+t)-f(x1-t),证明:g(t)在区间(0,x1)单调递减; (ii)比较2x1与x2的大小,并证明你的结论. 参考答案 1.C　设等差数列{an}的公差为d,则a1+a3=2a1+2d=12,则a1+d=6,即a2=6. 2.A　易知f'(x)=2cos 2x,所以=f'(2)=2cos 4. 3.B　因为抛物线C:y2=12x,所以p=6,焦点在x轴的正半轴上,又|PF|=9,设P(x,y),则由焦半径公式得x+=9(抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F(),即x+=9,解得x=6. 4.D　由于a,b,c共面,则存在x,y∈R,使得c=xa+yb,又a=(-1,1,2),b=(0,1,-1),c=(-3,5,k),故(-3,5,k)=x(-1,1,2)+y(0,1,-1)=(-x,x+y,2x-y),故解得 5.D　由y=x3+2x,得y'=3x2+2,所以y'│x=1=3+2=5,则曲线y=x3+2x在点(1,3)处的切线方程为y-3=5(x-1),即y=5x-2. 方法一　联立整理得x2-4x+m+2=0,因为直线y=5x-2与曲线y=x2+x+m相切,所以Δ=16-4(m+2)=0,解得m=2. 方法二　y=x2+x+m的导数为y'=2x+1,令y'=2x+1=5,得x=2,代入y=5x-2,得y=8,即曲线y=x2+x+m过点(2,8),代入得4+2+m=8,解得m=2. 6.B　求等比数列前n项和 思路导引　记第n个正方形的面积为Sn,第n个正方形的边长为an,则=,即数列{an}是首项为a1=a,公比为的等比数列,进而得数列{Sn}是首项为S1=a2,公比为的等比数列,再利用等比数列的求和公式求解即可. 记第n个正方形的面积为Sn,第n个正方形的边长为an,则第n个正方形的对角线长为an,所以第n+1个正方形的边长an+1=an,则=,即数列{an}是首项为a1=a,公比为的等比数列,所以an=a×()n-1,所以Sn==a2×()n-1,则==,即数列{Sn}是首项为S1=a2,公比为的等比数列,所以S1+S2+…+Sn==2a2×(1-).若这个作图过程可以一直继续下去,则所有正方形的面积之和趋近于常数2a2. 7.A　圆C1:(x+2)2+(y-1)2=1,圆心为C1(-2,1),半径为r1=1,圆C2:(x-2)2+(y-3)2=4,圆心为C2(2,3),半径为r2=2.如图: 作圆C1关于x轴的对称圆,为圆C'1:(x+2)2+(y+1)2=1,则C'1(-2,-1).连接C'1C2,交x轴于P,交圆C2于N,连接C1P,交圆C1于点M,此时|PM|+|PN|最小,最小值为|C'1C2|-r1-r2=-1-2=4-3. 8.D　利用导数研究函数的单调性与最值 思路导引　作出f(x)的大致图象,令f(x1)=f(x2)=t,结合图象得到t的范围,再将2x2-x1转化为关于t的表达式,构造函数g(t)=2et-t-2a,利用导数即可得解. f(x)=作出f(x)的大致图象,如图所示, 令f(x1)=f(x2)=t,由图象可得t∈(-∞,-2a],因为x1<x2,所以x1-2a=t,ln x2=t,即x1=t+2a,x2=et,则2x2-x1=2et-t-2a(将2x2-x1转化为关于t的表达式).令g(t)=2et-t-2a,t≤-2a,则g'(t)=2et-1,令2et-1=0,解得t=-ln 2,当-2a≤-ln 2,即a≥时,g'(t)≤0,g(t)单调递减,则g(t)min=g(-2a)=2e-2a=ln 2,解得a=-,符合题意.当-2a>-ln 2,即a<时,当t<-ln 2时,g'(t)<0;当-ln 2<t<-2a时,g'(t)>0.故g(t)在(-∞,-ln 2)上单调递减,在(-ln 2,-2a)上单调递增,则g(t)min=g(-ln 2)=1+ln 2-2a=ln 2,解得a=,不符合题意( 求出的参数的值要检验是否符合题意).综上,a=-. 9.BC　A(✕)若Sn=n2-1,则当n=1时,a1=S1=1-1=0,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2-1)-[(n-1)2-1]=2n-1,且a1=0不满足上式,则an=则{an}不是等差数列. B(√)由条件变形可得an+1+3=2(an+3),所以=2,且a1+3=5,所以数列{an+3}是首项为5,公比为2的等比数列. C(√)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则Sn=a1+a2+…+an,S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+an+nd=Sn+n2d,同理S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=an+1+an+2+…+a2n+n2d=S2n-Sn+n2d,所以2(S2n-Sn)=Sn+(S3n-S2n),所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列. D(✕)设an=(-1)n,则S2=0,S4-S2=0,S6-S4=0,所以此数列不是等比数列( 直接证明较烦琐时,可以选择举反例). 10.BCD　根据f'(x)的图象可知:函数f(x)在(-2,-1)上单调递减,在(-1,2)上单调递增,在(2,3)上单调递减.结合给定的函数值,可作出函数f(x)的草图,如图: A(✕)由图可知,函数f(x)在[1,2]上单调递增,在[2,3]上单调递减. B(√)由图可知,函数f(x)在[-2,3]上有两个极值点,分别为-1和2. C(√)由图可知当-1<a<0时,直线y=a与f(x)的图象有两个交点,即方程f(x)=a有两个不同的解,即函数y=f(x)-a有两个零点. D(√)由图可知,若函数f(x)在[-2,t]上的最大值为2,则2≤t≤3. 11.BCD　A(✕)正方形BCC1B1中,连接BC1,有BC1⊥B1C,正方体ABCD-A1B1C1D1中,有AB⊥平面BCC1B1,又B1C⊂平面BCC1B1,故AB⊥B1C,又BC1∩AB=B,BC1,AB⊂平面ABC1D1,故B1C⊥平面ABC1D1,只要D1P⊂平面ABC1D1,就有D1P⊥B1C,此时P在线段AB上,有无数个点. B(√)D1D⊥平面ABCD,则直线D1P与平面ABCD所成的角为∠D1PD,D1D=2,∠D1PD取到最小值时,PD最大,此时点P与点B重合. C(√)若=,则P为DB中点,△PBC为等腰直角三角形,外接圆半径为BC=1,又三棱锥P-BB1C外接球的球心到平面PBC的距离为BB1=1,则外接球的半径为,所以三棱锥P-BB1C外接球的表面积为8π. D(√)以D为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,2),A1(2,0,2),B(2,2,0),设P(x,y,0)(0≤x≤2,0≤y≤2),则有=(x,y,-2),=(0,2,-2),有|cos<,>|===cos =,化简得x2=4y,又P是正方形ABCD内部(含边界)的一个动点,所以P的轨迹是抛物线的一部分. 12.1 014　由题意,得a2=a1+1=2,a3=-a2+1=-1,a4=a3+1=0,a5=-a4+1=1,a6=a5+1=2,…,所以{an}是周期为4的周期数列,又a1+a2+a3+a4=2,2 027=4×506+3,所以{an}的前2 027项的和为2×506+1+2-1=1 014. 13.=1　双曲线的标准方程+双曲线定义的理解+双曲线的渐近线 思路导引　利用中位线的性质得到ON∥MF2,且|ON|=|MF2|,根据|NF1|-|ON|=2得到a=2,然后利用点到直线的距离公式得到|NF1|=b,最后在Rt△F1NO中利用勾股定理列方程得到b=4,即可得到双曲线方程. 如图,因为MF1⊥MF2,ON⊥NF1,且O为F1F2中点,所以ON∥MF2,且|ON|=|MF2|,|NF1|=|MF1|.因为|NF1|-|ON|=2,所以|MF1|-|MF2|=2(|NF1|-|ON|)=4=2a,解得a=2.直线l的方程为y=-x,所以|NF1|==b,则|ON|=b-2=b-a.在Rt△F1NO中利用勾股定理得b2+(b-a)2=c2,解得b=2a=4( 在Rt△F1NO中,|ON|==a,则b-a=a,b=2a=4),所以双曲线的标准方程为-=1. 14.(1,e]　由题意得,函数φ(x)=[ln(ax)] (ex+1)==(ex+1)-(+a)ln(ax),所以对任意x≥1,φ(x)≥0恒成立,即对任意x≥1,(ex+1)x≥(1+ax)ln(ax)恒成立.设h(x)=(ex+1)x(x>0)( (ex+1)x≥(1+ax)ln(ax),左边为h(x),右边可变形为h(ln(ax))),可得h'(x)=(1+x)ex+1>0,所以h(x)单调递增,由(ex+1)x≥(1+ax)·ln(ax),即h(x)≥h(ln(ax)),得对任意x≥1,x≥ln(ax)=ln a+ln x恒成立,即对任意x≥1,x-ln x≥ln a恒成立.设m(x)=x-ln x(x≥1),则m'(x)=1-=≥0,所以m(x)单调递增,则m(x)≥m(1)=1,所以ln a≤1恒成立,只需0<a≤e,结合a>1可得,实数a的取值范围为(1,e]. 15.【解析】(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 代入点A(4,3),B(5,2),C(1,0)可得解得(3分) 所以圆M的方程为x2+y2-6x-2y+5=0.(5分) (2)由(1)可知,圆M的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=5,圆心为M(3,1),半径r=,(6分) 则圆心M到直线l的距离d==1,(7分) 若直线l的斜率不存在(不要遗漏斜率不存在的情况),则直线l的方程为x=2,此时d=1,符合题意;(9分) 若直线l的斜率存在,设直线l:y+2=k(x-2),即为kx-y-2k-2=0, 则d==1,解得k=, 此时直线l:4x-3y-14=0.(11分) 综上所述,直线l的方程为x=2或4x-3y-14=0.(13分) 16.【解析】(1)当n=1时,S1=,又a1=1,所以1=,解得a2=3,(1分) 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-,因为an≠0,所以an+1-an-1=4(等差数列的递推公式,常作为判断数列是否为等差数列的依据),(3分) 则数列{an}的奇数项和偶数项分别成公差d=4的等差数列, 当n为奇数时,an=a1+d=2n-1; 当n为偶数时,an=a2+d=2n-1. 所以an=2n-1(n∈N*).(7分) (2)bn==,(8分) 所以Tn=+++…+, 所以Tn=+++…++, 两式相减得Tn=++++…+-=+-=--,(13分) 所以Tn=3--=3-.(15分) 17.【解析】(1)如图,取BC的中点为E,连接OE,PE,由O为AD的中点,得OE∥AB,(1分) 而∠ABC=90°,则OE⊥BC, 由PB=PC,得PE⊥BC,而PE∩OE=E,PE,OE⊂平面POE,则BC⊥平面POE,(2分) 又PO⊂平面POE,则BC⊥PO. 由PA=PD,得PO⊥AD,由四边形ABCD为梯形,得两腰AD与BC相交,因此PO⊥平面ABCD,而OC⊂平面ABCD,所以CO⊥PO.(5分) (2)如图,取CD的中点为Q,连接AQ,直角梯形ABCD中,由AB=CD=1,∠CDA=60°, 得AQ⊥CD,AD=2QD=2=CD,因此△ACD为等边三角形,CO⊥AD, 由(1)知PO⊥平面ABCD,则OP⊥OA,OP⊥OC,(6分) 以O为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系. 由DA=PA=PD=2,得OP=OC=,A(0,1,0),B(,,0),C(,0,0),P(0,0,),D(0,-1,0), 由=2,得M(0,-,), 则=(,0,-),=(,-,0),=(,-1,0),=(0,-,),(9分) 设平面PCB的法向量为n1=(a,b,c),则令b=1,得n1=(,1,),(11分) 设平面ACM的法向量为n2=(x,y,z),则令x=1,得n2=(1,,2).(13分) 设平面PCB与平面ACM夹角的大小为θ,则cos θ=|cos <n1,n2>|===, 所以平面PCB与平面ACM夹角的余弦值是.(15分) 18.【解析】(1)依题意可得解得 所以椭圆C的方程为+=1.(3分) (2)(i)第一步:联立直线与椭圆方程,消元 由消去y整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, 则Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(4k2-m2+3)>0,(5分) 第二步:设P(x1,y1),Q(x2,y2),得出x1+x2,x1x2,y1y2 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=, 所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2·+km·+m2=.(7分) 第三步:由直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径,即可求出x1x2+y1y2=0,即可得证 因为直线l与圆x2+y2=相切,所以=,即7m2-12k2-12=0, 所以x1x2+y1y2=+==0, 所以·=0,即⊥, 所以以PQ为直径的圆经过坐标原点.(10分) (ii)如图,因为椭圆的左顶点为A(-2,0), 所以kAP·kAQ=·====-, 所以m2-km-2k2=0,即(m-2k)(m+k)=0, 所以m=2k或m=-k.(13分) 当m=2k时,直线l过点A,不符合题意;(14分) 当m=-k时,直线l的方程为y=kx-k,即y=k(x-1), 令得 则直线l恒过点(1,0),此时Δ=48(3k2+3)>0,符合题意. 故直线l恒过定点,定点坐标为(1,0).(17分) 19.【解析】(1)如何判定函数存在极值点?具体步骤:第一步,写清楚函数表达式;第二步,对函数求导,判定导函数的正负,确定原函数的单调区间;第三步,判定函数是否存在极值点.因为f(x)=ln(1+x)-x+x2-kx3,k ∈(0,), 所以f'(x)=-1+x-3kx2==(x+1-).(1分) 当x>0时,令f'(x)=0,解得x=-1>0, 所以当0<x<-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减. 所以x=-1是f(x)在(0,+∞)上唯一的极值点,是极大值点.(3分) 计算特殊点的函数值,结合零点存在定理证明零点的唯一性.因为f(-1)>f(0)=0,f()=ln(1+)-+-=ln(1+)-<0, 所以∃x0∈(-1,),f(x0)=0, 所以x0是f(x)在(0,+∞)上唯一的零点.(5分) (2)(i)因为g(t)=f(x1+t)-f(x1-t), 所以g'(t)=f'(x1+t)+f'(x1-t)=(x1+t-x1)+(x1-t-x1)=3kt[-]=.(8分) 结合t∈(0,x1)判定导函数的正负,进而得函数的单调性.因为t∈(0,x1),所以t2--2x1<0,(1+x1)2-t2>0, 所以g'(t)=<0,(10分) 即g(t)在区间(0,x1)单调递减.(11分) (ii)如何比较2x1与x2的大小?作为本题第(2)问的第(ii)问,能不能利用第(1)问和第(i)问的结论呢?我们要明确2x1与函数f(x)的极值点有关,x2是函数f(x)的零点,函数g(t)与函数f(x)有关,故要想到利用函数g(t)与函数f(x)的单调性进行判断.由(i)得,g(t)在(0,x1)上单调递减, 利用第(i)问函数g(t)在(0,x1)上的单调性,判定g(x1)与g(0)的大小.所以g(x1)<g(0),(12分) 根据g(x1)=f(2x1)-f(0),g(0)=f(x1)-f(x1)=0,结合f(0)=0得出 f(2x1)<0,再巧妙回扣函数f(x)的零点x2的定义将0转化为f(x2),最后利用函数f(x)的单调性判定2x1与x2的大小. 即f(2x1)-f(0)<f(x1)-f(x1)=0,(13分) 又f(0)=0,所以f(2x1)<0,(14分) 因为x2是f(x)的零点,所以f(x2)=0, 所以f(2x1)<f(x2),(15分) 又x2>x1,2x1>x1,且f(x)在(x1,+∞)上单调递减, 所以2x1>x2.(17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $