第七单元　导数的综合应用【一周一测基础知识专项训练】-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第七单元　导数的综合应用 【一周一测基础知识专项训练】 单项选择题 1.[2025重庆市九校联盟高二期中]某物体运动时,位移s(m)与时间t(s)之间的关系式为s=f(t),且=2,则该物体在2 s末的瞬时速度为(　　) A.1 m/s B.2 m/s C.4 m/s D.无法确定 2.[2025北京师大附中高二期中]已知定义在R上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列说法中正确的是(　　)  A.-1是f(x)的极值点 B.f(x)在区间(-∞,-3)上单调递增 C.-3是f(x)在区间[-4,1]上的最小值点 D.曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率小于0 3.[2025孝感一中、孝感高中等校高二联考改编]已知函数f(x)=ax3+bx在x=1处取得极大值6,则a-b=(　　) A.-8 B.-12 C.8 D.12 4.[2024银川一中模拟]“曲线y=ex恒在直线y=x+b的上方”的一个充分不必要条件是(　　) A.b<1 B.1<b<e C.-e<b<0 D.b>e 5.[2025常州高级中学、南京二十九中等校期中联考]设函数f(x)=sin x+ex-e-x-x+3,则满足f(x)+f(3-2x)<6的x的取值范围是(　　) A.(0,3) B.(-3,0) C.(-∞,3) D.(3,+∞) 6.[2025莲塘一中高二期中]过点(1,0)可以作三条直线与曲线f(x)=xex-t相切,则实数t的取值范围是(　　) A.(-,0) B.(-,e) C.(-,e) D.(-,0) 多项选择题 7.[2024西南大学附中高二期中]已知函数f(x)=x3+3x2-2,则(　　) A.f(x)有一个极值点 B.f(x)有三个零点 C.点(-1,0)是f(x)图象的对称中心 D.f(x)在区间(a,a+4)上有最大值时,a的取值范围为(-6,-3] 8.[2025广东省江门市高二期中]已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=1,其导函数f'(x)满足<0,设函数g(x)=,则下 列结论正确的是(　　) A.函数g(x)在(1,+∞)上单调递增 B.1是函数g(x)的极大值点 C.函数f(x)至多有两个零点 D.当x≤0时,不等式f(x)≤e2x恒成立 9.【综合运用】[吉林一中调研]设定义在R上的可导函数f(x)与g(x)的导函数分别为f'(x)和g'(x),若f(x)=g(2x-1)+2x,f(x+1)与g(x)均为偶函数,则(　　) A.g'(1)=1 B.g'(2 027)=-2 027 C.f'(2)=4 D. f'()=198 填空题 10.[2025天津市南开中学高二月考]已知函数f(x)=(2-x)ex-ax在(0,2)上单调递减,则a的取值范围是　　　　.  11.【模块综合】[2025六安一中检测]已知圆锥SO'的顶点和底面的圆周都在球O的球面上,圆锥SO'的底面半径为r,高为h,则当该圆锥的体积取得最大值时,=　　　　.  12.[2025长春二中开学考试改编]已知函数f(x)=x2+x与g(x)=2ln x+m在区间[,e]上的图象有两个公共点,则实数m的取值范围为　　　　.  解答题 13.(15分)[2025福建省名校联盟模拟]已知函数f(x)=x-xln x-a,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=bx+2. (1)求a和b的值; (2)求f(x)的单调区间与最大值. 14.(15分)[2025上海卷]已知f(x)=x2-(m+2)x+mln x,m∈R. (1)若f(1)=0,求不等式f(x)≤x2-1的解集; (2)若函数y=f(x)满足在(0,+∞)上存在极大值,求m的取值范围. 15.(15分)[2025本溪高中验收考试]已知函数f(x)=x2-ln x,g(x)=ex-1-x2-ax(a>0). (1)求f(x)的最小值; (2)设函数F(x)=f(x)+g(x).证明: (i)函数F(x)有唯一极值点; (ii)若函数F(x)有唯一零点x0,则1<x0<2. 16.(17分)【探索新定义】[2025吉林省长春市模拟]设y=f(x)是定义在区间D上的连续函数,若存在区间[a,b]⊆D,x0∈(a,b),使得y=f(x)在[a,x0)上单调递减,在(x0,b]上单调递增,则称y=f(x)为“含谷函数”,x0为“谷点”,[a,b]称为y=f(x)的一个“含谷区间”. (1)判断下列函数是否为含谷函数,若是,请指出谷点;若不是,请说明理由. (i)y=2|x|,(ii)y=x+cos x. (2)已知实数m>0,y=x2-2x-mln(x-1)是含谷函数,且[2,4]是它的一个含谷区间,求m的取值范围. (3)设p,q∈R,h(x)=-x4+px3+qx2+(4-3p-2q)x,函数y=h(x)是含谷函数,[a,b]是它的一个含谷区间,记b-a的最大值为L(p,q).若h(1)≤h(2),且h(1)≤0,求L(p,q)的最小值. 参考答案 1.A　由题意可得==+=2f'(2)=2,所以f'(2)=1,所以该物体在2 s末的瞬时速度为1 m/s. 2.C　A(✕)B(✕)C(√)由f'(x)的图象可知,当x<-3时,f'(x)<0,当x≥-3时,f'(x)≥0,故f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,+∞)上单调递增,故-3是函数f(x)的极小值点,也是[-4,1]上的最小值点. D(✕)由题图可知,f'(0)>0,因此曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率大于0. 3.B　因为f(x)=ax3+bx,所以f'(x)=3ax2+b,所以f'(1)=3a+b=0,f(1)=a+b=6,解得a=-3,b=9(注意检验是否满足题意),当a=-3,b=9时,f'(x)=-9x2+9=-9(x-1)(x+1),当x>1或x<-1时,f'(x)<0,当-1<x<1时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)上单调递增,因此1是f(x)的极大值点,故a=-3,b=9满足题意,所以a-b=-12. 4.C　将图象恒在直线上方的问题转化为不等式恒成立问题,由曲线y=ex恒在直线y=x+b的上方,可得ex>x+b,设f(x)=ex-x-b,则f(x)>0恒成立,因为f'(x)=ex-1,所以f'(x)在R上单调递增,且当x=0时,f'(x)=0,故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=0时,f(x)取得极小值也是最小值f(0)=e0-0-b=1-b,令1-b>0,得b<1. A(✕)“曲线y=ex恒在直线y=x+b的上方”的充要条件是b<1. B(✕)“1<b<e”是“b<1”的既不充分也不必要条件. C(√)由-e<b<0可推出b<1,但反之不成立. D(✕)“b>e”是“b<1”的既不充分也不必要条件. 5.D　构造函数g(x)=f(x)-3,确定函数单调性及奇偶性,利用函数性质解不等式即可得答案.f(x)=sin x+ex-e-x-x+3,设g(x)=f(x)-3=sin x+ex-e-x-x,则g(-x)=-g(x),∴g(x)为R上的奇函数,g'(x)=cos x+ex+e-x-1,∵ex+e-x≥2,当且仅当x=0时取等号,∴g'(x)≥cos x+2-1=1+cos x≥0,∴g(x)在R上单调递增,又f(x)+f(3-2x)<6,∴[f(x)-3]+[f(3-2x)-3]<0,∴g(x)+g(3-2x)<0,∴g(x)<-g(3-2x),又g(x)为R上的奇函数,∴g(x)<g(2x-3),又g(x)在R上单调递增,∴x<2x-3,即x>3,故x的取值范围是(3,+∞). 6.A　求过一点的切线方程+函数单调性、极值与最值的综合应用 思路导引　设过点(1,0)的直线与曲线f(x)相切于点(m,mem-t),根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程,从而将问题化为方程t=-em(m2-m-1)有3个解,进而转化为直线y=t与y=-em(m2-m-1)的图象有3个交点,设g(m)=-em(m2-m-1),从而利用导数研究函数g(m)的单调性及极值,即可求解. 因为f(x)=xex-t,所以f'(x)=ex(x+1),设过点(1,0)的直线与曲线f(x)=xex-t相切于点(m,mem-t),则切线方程为y-(mem-t)=em(m+1)(x-m),又其过点(1,0),所以0-(mem-t)=em(m+1)(1-m),根据题意可得该关于m的方程有3个解,即方程t=-em(m2-m-1)有3个解,所以直线y=t与y=-em(m2-m-1)的图象有3个交点.设g(m)=-em(m2-m-1),则g'(m)=-em(m+2)(m-1),所以当m∈(-∞,- 2)时,g'(m)<0,g(m)单调递减;当m∈(-2,1)时,g'(m)>0,g(m)单调递增;当m∈(1,+∞)时,g'(m)<0,g(m)单调递减.所以g(m)的极小值为g(-2)=-,g(m)的极大值为g(1)=e,且m<-2时,g(m)<0,m→+∞时,g(m)→-∞,所以要使y=t与y=-em(m2-m-1)的图象有3个交点,则需-<t<0. 7.BCD　A(✕)令f'(x)=3x2+6x=0,解得x1=-2,x2=0,当x∈(-∞,-2)∪(0,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(-2,0)时,f'(x)<0,函数f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)有两个极值点-2,0. B(√)由A知f(x)极大值=f(-2)=2,f(x)极小值=f(0)=-2,即函数f(x)=x3+3x2-2的极大值大于0,极小值小于0,所以f(x)有三个零点. C(√)因为f(x)+f(-2-x)=x3+3x2-2+(-2-x)3+3(-2-x)2-2=0,所以点(-1,0)是f(x)图象的对称中心(若f(x)+f(2a-x)=2b,则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称). D(√)f(-2)=2=f(1),结合函数图象(如图)可知,若f(x)在(a,a+4)上有最大值,则解得-6<a≤-3. 8.BCD　根据g(x)=<0,判断g'(x)的正负,得到g(x)的单调性,最后逐项判断即可. A(✕)B(√)因为g(x)=,所以g'(x)=,又因为<0,所以当x>1时,f'(x)-2f(x)<0,g'(x)<0,则g(x)在(1,+∞)上单调递减;当x<1时,f'(x)-2f(x)>0,g'(x)>0,则g(x)在(-∞,1)上单调递增.所以当x=1时,g(x)取得极大值g(1)=. C(√)因为g(0)==1,g(x)在(-∞,1)上单调递增,所以g(1)>0,故g(x)最多有两个零点,f(x)=g(x)·e2x至多有两个零点. D(√)当x≤0时,g(x)≤g(0)==1,即g(x)=≤1,所以不等式f(x)≤e2x恒成立. 9.BD　A(✕)∵f(x)=g(2x-1)+2x,∴f'(x)=2g'(2x-1)+2.∵f(x+1)与g(x)均为偶函数,∴f(x)=f(2-x),g(x)=g(-x),∴f'(x)+f'(2-x)=0,g'(x)+g'(-x)=0　①,∴f'(1)=0,g'(0)=0,∴f'(1)=2g'(1)+2=0,g'(1)=-1. B(√)∵f'(x)=2g'(2x-1)+2　②,∴f'(2-x)=2g'(3-2x)+2,将①代入得-f'(x)=-2g'(2x-3)+2,即f'(x)=2g'(2x-3)-2　③,由②③得g'(2x-3)-g'(2x-1)=2,∵g'(1)=-1,∴g'(2 027)=-1+1 013×(-2)=-2 027. C(✕)f'(2)=2g'(3)+2=2×(-3)+2=-4. D(√)∵f'(x)+f'(1-x)=2g'(2x-1)+2+2g'(1-2x)+2=4,∴f'()=[f'()+f'()]+[f'()+f'()]+…+[f'()+f'()]+f'()=2×99=198. 10.[1,+∞)　利用导数将原问题转化为导函数小于等于0恒成立问题,结合分离参数法求解参数范围即可.因为f(x)=(2-x)ex-ax,所以f'(x)=(1-x)ex-a,因为函数f(x)在(0,2)上单调递减,所以当x∈(0,2)时,f'(x)≤0恒成立,则a≥(1-x)ex在(0,2)上恒成立.令g(x)=(1-x)ex,则当x∈(0,2)时,g'(x)=-xex<0,g(x)在(0,2)上单调递减,则a≥g(0)=1,故a∈[1,+∞). 11.　根据给定条件,利用球的截面圆性质及圆锥的体积公式列出函数关系,再利用导数求解.设球O的半径为R,则球心O到圆锥底面圆心O'的距离d=OO'=|R-h|,0<h<2R,由d2+r2=R2,得r2=2Rh-h2,圆锥的体积V=πr2h=(2Rh2-h3),求导得V'=(4Rh-3h2)=πh(-h),当0<h<时,V'>0,当<h<2R时,V'<0,因此函数V=(2Rh2-h3)在(0,)上单调递增,在(,2R)上单调递减,故当h=时,圆锥的体积V取得最大值,此时==-1=,所以=. 12.(+2]　问题转化为,e]上的性质即可. 令h(x)=x2+x-2ln x,则h'(x)=x+1-=,令h'(x)=0,得x=1,当x∈[,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(1,e]时,h'(x)>0,h(x)单调递增.h(1)=+1=,h()=++2,h(e)=e2+e-2,则h()<h(e).因为f(x)与g(x)在区间[,e]上的图象有两个公共点,所以直线y=m与y=h(x)的图象在区间[,e]上有两个公共点,所以m∈(,++2]. 13.【解析】(1)f'(x)=1-(ln x+1)=-ln x, 所以f'(1)=b=0,(3分) 所以切线方程为y=2, 又f(1)=1-a,所以1-a=2,则a=-1.(6分) (2)由(1)知,f(x)=x-xln x+1,f(x)的定义域为(0,+∞). f'(x)=-ln x,当0<x<1时,f'(x)>0,当x>1时,f'(x)<0, 所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞),(13分) 所以f(x)的最大值为f(1)=2.(15分) 14.【解析】(1)由题设条件可得,f(1)=1-(m+2)=0,解得m=-1,所以f(x)=x2-x-ln x.(2分) 由f(x)≤x2-1,可得ln x+x-1≥0, 令g(x)=ln x+x-1,则g'(x)=+1>0在(0,+∞)上恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,(4分) 易知g(1)=0,所以g(x)≥0即g(x)≥g(1),可得x≥1. 综上,不等式f(x)≤x2-1的解集为[1,+∞).(6分) (2)f '(x)=2x-(m+2)+==.(7分) ①当>1,即m>2时,由f'(x)>0得x∈(0,1)∪(,+∞);由f '(x)<0得x∈(1,).故f(x)在(0,1),(,+∞)上单调递增,在(1,)上单调递减,此时f(x)在x=1处取得极大值.(9分) ②当0<<1,即0<m<2时,由f'(x)>0得x∈(0,)∪(1,+∞);由f'(x)<0得x∈(,1).故f(x)在(0,),(1,+∞)上单调递增,在(,1)上单调递减,此时f(x)在x=处取得极大值.(11分) ③当=1,即m=2时,f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时函数f(x)在(0,+∞)上无极大值.(12分) ④当≤0,即m≤0时,由f'(x)<0得x∈(0,1);由f'(x)>0得x∈(1,+∞).故f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,此时f(x)在x=1处取得极小值,无极大值.(14分) 综上可知,m的取值范围为(0,2)∪(2,+∞).(15分) 15.【解析】(1)由函数f(x)=x2-ln x,可得f'(x)=x-==(x>0). 当0<x<1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x>1时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.(3分) 所以函数f(x)的最小值为f(1)=.(4分) (2)(i)因为F(x)=ex-1-ln x-ax, 所以F'(x)=ex-1--a(x>0).(6分) 又a>0,所以F'(1+a)=ea--a>a+1--a=1->( 设h(x)=ex-x-1,则h'(x)=ex-1,当x>0时,h'(x)>0,所以h(x)单调递增,当x<0时,h'(x)<0,所以h(x)单调递减,所以h(x)≥h(0)=0,所以ex-x-1≥0,即ex≥x+1,当且仅当x=0时等号成立,记住此结论可以加快解题速度),又F'(1)=-a<0, 所以存在t0∈(1,1+a),使得F'(t0)=0,即--a=0. 又F'(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以当x∈(0,t0)时,F'(x)<0,F(x)单调递减; 当x∈(t0,+∞)时,F'(x)>0,F(x)单调递增. 所以函数F(x)有唯一极值点.(10分) (ii)由(i)得F(x)min=F(t0),因为函数F(x)有唯一零点x0,所以F(x0)=0, 又x→0时,F(x)→+∞,x→+∞时,F(x)→+∞, 所以x0=t0,即=+a,所以F(x0)=+a-ln x0-ax0=0. 设φ(x)=+a-ln x-ax,所以φ'(x)=---a<0, 所以φ(x)在(0,+∞)上单调递减, 因为φ(1)=1>0,φ(2)=-ln 2-a<0,所以1<x0<2.(15分) 16.【解析】(1)(i)对于y=2|x|=当x∈(-∞,0)时,y=2|x|单调递减,当x∈(0,+∞)时,y=2|x|单调递增,所以y=2|x|是含谷函数,且谷点为(所谓含谷区间,就是函数在这个区间上先减后增,而所谓谷点,可以视为函数的极小值点.这样一翻译,“新定义”就转变为了熟悉的“旧知识”).(2分) (ii)对于y=x+cos x,y'=1-sin x≥0恒成立,y=x+cos x单调递增,不是含谷函数.(4分)  (2)由题意可知函数y=x2-2x-mln(x-1)在区间[2,4]上先减后增,且存在谷点.(5分) 令g(x)=x2-2x-mln(x-1),则g'(x)=2x-2-, 令t(x)=g'(x)=2x-2-,则t'(x)=2+>0, 所以g'(x)在区间[2,4]上单调递增,(7分) 所以(函数y=x2-2x-mln(x-1)在区间[2,4]上存在谷点,在导函数连续且单调递增的情况下,只需区间两端的导数值异号即可),解得2<m<18,故m的取值范围是(2,18).(9分) (3)因为h(x)=-x4+px3+qx2+(4-3p-2q)x,所以h'(x)=-4x3+3px2+2qx+(4-3p-2q)=4(1-x)[x2+(1-)x+(1--)],(10分) 若x2+(1-)x+(1--)≥0恒成立,则函数y=h(x)在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减,不是含谷函数,不满足题意. (11分) 因此关于x的方程x2+(1-)x+(1--)=0有两个相异实根,即Δ>0, 设两根分别为α,β且α<β,则α+β=-1+,αβ=1--. 因为h(1)≤0=h(0),所以函数y=h(x)在区间(-∞,1]上不单调递增, 但是当x小于1,α,β中的最小值时,h'(x)>0,y=h(x)单调递增, 所以y=h(x)在区间(-∞,1]上的单调性至少改变一次,即α<1. 同理,因为h(1)≤h(2),所以β>1.(13分) 因此y=h(x)在区间(-∞,α)和(1,β)上单调递增,在区间(α,1)和(β,+∞)上单调递减,从而函数y=h(x)的含谷区间[a,b]必满足[a,b]⊆[α,β]. 所以L(p,q)=β-α==,　 而h(1)=-1+p+q+4-3p-2q=3-2p-q,h(2)=-16+8p+4q+8-6p-4q=-8+2p, 由h(1)≤h(2)得3-2p-q≤-8+2p,由h(1)≤0得3-2p-q≤0, 所以q≥11-4p且q≥3-2p,易知p≤4时,11-4p≥3-2p,p>4时,11-4p<3-2p, 所以当p≤4时,q≥11-4p,当p>4时,q≥3-2p.(15分) 当p≤4时,L(p,q)≥≥,当p>4时,L(p,q)≥>, 因此L(p,q)的最小值为,此时p=4,q=-5.(17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $