重难点16 求数列通项公式的十一种方法（11大题型+80难题攻关）——2026届高三数学一轮复习（上海专用）

该高中数学讲义聚焦高考数列通项公式求解核心考点，涵盖公式法、累加法等十一种方法，按题型构建“方法点拨-例题解析-跟踪训练”三层知识体系。通过考点梳理明确递推关系类型，方法指导提炼解题模板，真题训练强化应用能力，助力学生系统突破数列通项求解难点。 资料以分层教学和类型化突破为特色，如累加法中针对一次、指数等函数类型设计不同累加策略，构造法通过待定系数法转化等比数列模型，培养学生数学思维与符号表达能力。设置基础巩固与能力提升题组，配合即时反馈机制，帮助学生高效掌握解题通法，为教师精准把控复习节奏提供实用教学工具。

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 重难点16 求数列通项公式的十一种方法 题型一、 公式法 【名师点拨】消Sn型、利用替换、已知等式中左侧含有：，作差法（类似） 【例1】记为数列的前n项和．若，，则数列的通项公式为______． 【例2】（2021·江苏·高三课时练习）已知数列的前n项和为，且满足，，则的通项公式为_________． 【例3】已知数列满足，，则数列的通项公式为___________. 【跟踪训练】 1.（2022·上海市）数列满足，，则数列的通项公式为______． 2.已知正项数列满足，前项和满足求数列的通项公式； 3.已知数列满足求的通项公式； 题型二、累加法 【名师点拨】形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和; ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和. 【例4】数列满足，且，则数列的通项公式为（       ） A． B． C． D． 【例5】已知数列满足，则数列的通项公式为______ 【例6】已知数列满足，且,求数列的通项公式； 【例7】已知数列中，，，则数列的一个通项公式为 。 【例8】在数列中，已知，，. (1)若，求数列的通项公式； (2)记，若在数列中，，求实数的取值范围. 【跟踪训练】 1．数列满足，，则=____。 2．在数列{an}中，若a1＝﹣2，an+1＝an+n•2n，则an＝ 。 3．在数列{an}中,a1=3, ,则通项公式an = ______. 4．在数列中，，，则等于（       ） A． B． C． D． 题型三、累乘法 【名师点拨】形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种题型求解。 【例9】已知数列满足，(，)，则数列的通项（       ） A． B． C． D． 【例10】数列中，，当时，，则数列的通项公式为______． 【例11】设是首项为1的正项数列且，求数列的通项公式 . 【例12】在数列中，，，若，且对任意，恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知数列满足，，则数列的通项公式为（       ） A． B． C． D． 2．设数列是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式______. 题型四、构造法 【名师点拨】(一) 型如 使用条件：型如（其中为常数，且） 解题模板：第一步 假设将递推公式改写为an＋1＋t＝p(an＋t 第二步 由待定系数法，解得； 第三步 写出数列的通项公式； 第四步 写出数列通项公式. 【例13】已知数列满足，. (1)写出该数列的前项； (2)求数列的通项公式； 【例14】已知数列满足an＝an－1＋2，a1＝1，求数列的通项公式． 【例15】设数列的前项和为，，．求数列的通项公式； 【跟踪训练】 1．已知数列的前项和．求的通项公式； (二) 形如 【名师点拨】（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式。 【例16】已知列满足，且，． （1）设，证明：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式； 【例17】已知数列满足，.求数列的通项公式. 【跟踪训练】 1．已知数列满足，且，则数列的通项公式______． 2．已知数列中，，求数列的通项公式； 题型五、倒数法 【名师点拨】(一) 形如 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. (二) 形如形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符合专题四类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式。） 【例18】已知数列满足，，，则an= 【例19】已知数列满足，，则的前n项和为___. 【跟踪训练】 1．已知数列的通项公式为，求数列的通项公式. 2．已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（       ） A． B． C． D． 题型六、同除法 【名师点拨】形如，的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式 【例20】已知是数列的前n项和，，，恒成立， 则k最小为______． 【例21】已知数列中，，．求数列的通项公式； 【例22】记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (3)求证：对任意的，. 【跟踪训练】 1.已知在数列中，a1＝，且当n≥2时，有an－1－an－4anan－1＝0，则an＝____________. 2.若数列{an}的首项a1＝，且an＝(an＋1)an＋1，则＝________. 题型七、对数法 【名师点拨】形如的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解． 【例23】已知数列满足，若，则的最大值为　　． 【跟踪训练】 1．已知数列满足，则________ 2．已知数列的首项为9，且，若，则数列的前项和　　． 题型八：“和”型求通项 【名师点拨】满足，称为“和”数列，常见如下几种： （1）“和”常数型（2）“和”等差型（3）“和”二次型（4）“和”换元型 【例24】若数列满足为常数），则称数列为等比和数列，称为公比和，已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则　　． 【例25】已知为数列的前项和，，，则（       ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2024 【例26】已知数列的前项和为，若，且，，则的值为 A．－8 B．6 C．－5 D．4 【跟踪训练】 1．数列满足，，且其前项和为.若，则正整数（       ） A．99 B．103 C．107 D．198 2．若数列满足，则　　． 3．已知数列{}满足 (1)求数列{}的通项公式； (2)设，求数列{}的前n项和，并求的最大值. 题型九：因式分解型求通项 【例27】已知正项数列满足：，，． （Ⅰ）判断数列是否是等比数列，并说明理由； （Ⅱ）若，设．，求数列的前项和． 【例28】已知正项数列满足，设． （1）求，； （2）判断数列是否为等差数列，并说明理由； （3）的通项公式，并求其前项和为． 【例29】已知正项数列满足且 （Ⅰ）证明数列为等差数列； （Ⅱ）若记，求数列的前项和． 【例30】已知正项数列的前项和满足：，数列满足，且． （1）求的值及数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求． 【例31】已知数列的各项均为正数，且满足． （1）求，及的通项公式； （2）求数列的前项和． 题型十：双数列问题 【例32】已知数列和满足． (1)证明：是等比数列，是等差数列； (2)求的通项公式以及的前项和． 【例33】（2022·全国·高三专题练习）已知数列和满足，，，.则＝_______. 【跟踪训练】 1．数列,满足,且,. (1)证明:为等比数列; (2)求,的通项. 2．已知数列和满足，，，，则______，______． 3．若数列和满足，，，，则（       ） A． B． C． D． 题型十一：几何中递推关系 【例34】如图所示，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为，记矩形的周长为，则 A．220 B．216 C．212 D．208 【例35】如图，曲线y2＝x（y≥0）上的点P1与x轴的正半轴上的点Qi及原点O构成一系列正三角形，△OP1Q1，△Q1P2Q2，…，△Qn﹣1PnQn…设正三角形Qn﹣1PnQn的边长为an，n∈N*（记Q0为O），Qn（Sn，0）.数列{an}的通项公式an＝_____. 【例36】英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列．如果函数，数列为牛顿数列，设，且，．数列的前项和为，则______． 【例37】有一种被称为汉诺塔的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A，B，C），在A杆自下而上､由大到小按顺序放置若干个有孔金盘（如下图）.游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好.操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A，B，C任一杆上.记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为.则___________. 【例38】已知函数，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，已知.用表示，并求数列的通项公式. 一、单选题 1．等比数列的前n项和，则（       ） A． B．2 C．1 D． 2．已知数列满足，对任意的都有，则（       ） A． B． C． D． 3．已知数列满足，，则（       ） A．30 B．31 C．22 D．23 4．已知是等差数列的前项和，其中，数列满足，且，则数列的通项公式为（       ） A． B． C． D． 5．记为数列的前项积，已知，则= （       ） A． B． C． D． 6．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为，其前n项和为，给出以下结论：①；②182是数列中的项；③；④当n为偶数时，．其中正确的序号是（       ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 7．已知数列满足，则数列第2022项为（       ） A． B． C． D． 8．设数列满足，记数列的前n项的和为，则（       ） A． B．存在，使 C． D．数列不具有单调性 二、多选题 9．若数列的前n项和为，且，则（       ） A． B． C．数列是等比数列 D． 10．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（       ） A． B． C． D． 11．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则（       ） A．an＝－ B．an＝ C．数列为等差数列 D．－5050 12．已知无穷数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，，则下列结论正确的为（       ） A．和均为数列中的项 B．数列为等差数列 C．仅有有限个整数使得成立 D．记数列的前项和为，则恒成立 三、填空题 13．已知数列的前n项和，则______． 14．已知数列的前n项和，数列满足，，，则的通项公式为______． 15．若等差数列的前项和分别为，且满足，则________ 16．已知数列满足且，其前项和为，则满足不等式的最小整数为______． 四、解答题 17．已知数列满足，且，是的前n项和． （1）求； （2）若为数列的前n项和，求证：． 18．已知正项数列的前项和满足：． （1）求数列的通项公式； （2）令，求证：数列的前项和． 19．已知数列的相邻两项和恰是方程的两个根，且． （1）求的值； （2）记为数列的前n项和，求． 20．设数列满足，． （1）求证：为等比数列，并求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 21．已知等差数列的前项和为，且，；数列满足． （1）求数列和的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 22．已知数列的前n项和满足．数列满足，． （1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 重难点16 求数列通项公式的十一种方法 题型一、 公式法 【名师点拨】消Sn型、利用替换、已知等式中左侧含有：，作差法（类似） 【例1】记为数列的前n项和．若，，则数列的通项公式为______． 【答案】 【分析】将已知关系式化为，然后再写出第项的关系式，两式作差何解可得，进而可以求解． 【详解】解：因为，则① 所以② ②①可得，所以， 即，所以， 所以，故答案为：． 【例2】（2021·江苏·高三课时练习）已知数列的前n项和为，且满足，，则的通项公式为_________． 【答案】 【分析】由，可得，即可得到是以4为首项，4为公差的等差数列，即可求出，再根据计算可得； 【详解】解：数列的前n项和为，且满足，整理得：， 故（常数），所以数列是以4为首项，4为公差的等差数列； 所以，整理得，当时， 故，显然不符合， 所以．故答案为：． 【例3】已知数列满足，，则数列的通项公式为___________. 【答案】 【解析】当时，. 当时，，① .② ①②，得. 因为不满足上式，所以.故答案为： 【跟踪训练】 1.（2022·上海市）数列满足，，则数列的通项公式为______． 【答案】 【解析】当时，； 当时，，所以，又，所以两式作差得， 所以，即，所以数列是从第二项起公比为的等比数列， 所以.故答案为：. 2.已知正项数列满足，前项和满足求数列的通项公式； 【答案】(1)； 解：∵,∴,∴， ∴是以1为首项，1为公差的等差数数列，∴，即， 当时，，当时，也成立，∴. 3.已知数列满足求的通项公式； 【答案】 解：对任意的，， 当时，则， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，， 满足，因此，对任意的，. 题型一、累加法 【名师点拨】形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和; ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和. 【例4】数列满足，且，则数列的通项公式为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 则， ， ， ， 累加得， 所以. 当n=1时也成立故选：A. 【例5】已知数列满足，则数列的通项公式为______ 【答案】 【解析】由题设，，，，…， 且， 所以，又，则，故，显然也满足. 【例6】已知数列满足，且,求数列的通项公式； 【答案】 【解析】因为，所以， ，…，所以． 又，所以，所以．又，也符合上式，所以． 【例7】已知数列中，，，则数列的一个通项公式为 。 【答案】 【解析】因为则 由递推公式可得: 将等式两边分别相加可得: 所以由对数运算可得: 【例8】在数列中，已知，，. (1)若，求数列的通项公式； (2)记，若在数列中，，求实数的取值范围. 【解析】(1)由题意， ，得：   ，运用累加法： ， ， ， ，n=1时，也成立，∴ ； (2)由（1） ， ， 由题意 ，即 ， 化简得： ， 当 时， ，即     ， 当 时，   ，即 ， 即 ； 综上，，. 【跟踪训练】 1．数列满足，，则=____。 【答案】 【解析】，，则当时，， 。 2．在数列{an}中，若a1＝﹣2，an+1＝an+n•2n，则an＝ 。 【答案】（n﹣2）•2n 【解析】∵an+1＝an+n•2n，∴an+1﹣an＝n•2n，且a1＝﹣2 ∴an﹣a1＝an﹣an﹣1+an﹣1﹣an﹣2+…+a2﹣a1＝（n﹣1）•2n﹣1+…+2•22+1•21，① ∴2（an﹣a1）＝（n﹣1）•2n+（n﹣2）•2n﹣1+…+2•23+1•22，② ①-①得﹣（an﹣a1）＝﹣（n﹣1）•2n+2n﹣1+2n﹣2+…+23+22+2＝﹣（n﹣1）•2n+﹣（n﹣1）•2n﹣2+2n， ∴an﹣a1＝（n﹣1）•2n+2﹣2n，所以an＝（n﹣2）•2n 3．在数列{an}中,a1=3, ,则通项公式an = ______. 【答案】 【分析】变换得到，利用累加法计算得到答案. 【详解】，故. .故答案为：. 4．在数列中，，，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因，则有， 于是得，当时， ， 因此，，显然，满足上式， 所以.故选：C 题型三、累乘法 【名师点拨】形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种题型求解。 【例9】已知数列满足，(，)，则数列的通项（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】数列满足，，整理得，，，， 所有的项相乘得：，整理得：，故选：． 【例10】数列中，，当时，，则数列的通项公式为______． 【答案】 【解析】因为， 所以， ，，， 累乘得：， ， 所以，． 由于，所以，． 显然当时，满足， 所以，．故答案为： 【例11】设是首项为1的正项数列且，求数列的通项公式 . 【答案】或 【解析】依题意， 所以， 当时，，所以. 当时，， 所以，也符合上式. 所以.综上所述，或. 【例12】在数列中，，，若，且对任意，恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解:由，得 ， 所以，当时，，符合上式， 所以． 所以，， 作差得， 所以．由，得， 整理得． 易知函数在上单调递增，所以当时，，所以. 故选：A． 【跟踪训练】 1．已知数列满足，，则数列的通项公式为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 即，则，，，…，， 由累乘法可得，所以， 又，符合上式，所以.故选：D． 2．设数列是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式______. 【答案】 【解析】由，则 又数列为正项数列，即， 所以，即 所以.故答案为： 题型四、构造法 【名师点拨】(一) 型如 使用条件：型如（其中为常数，且） 解题模板：第一步 假设将递推公式改写为an＋1＋t＝p(an＋t 第二步 由待定系数法，解得； 第三步 写出数列的通项公式； 第四步 写出数列通项公式. 【例13】已知数列满足，. (1)写出该数列的前项； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)，，，，,(2) 解：(1)，，，，. (2)由得：，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列，，. 【例14】已知数列满足an＝an－1＋2，a1＝1，求数列的通项公式． 【答案】an＝3－(n∈N*) 【解析】　设an＋λ＝(an－1＋λ)，解得λ＝－3，则an－3＝(an－1－3)，令bn＝an－3， 则数列是以b1＝a1－3＝－2为首项，为公比的等比数列，所以bn＝－，所以an＝3－(n∈N*)． 【例15】设数列的前项和为，，． 求数列的通项公式； 【答案】 解：因为数列的前n项和为，，， 当时，， 两式相减可得， 即，可得，即， 当时，，所以，所以， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，即，所以数列的通项公式. 【跟踪训练】 1．已知数列的前项和．求的通项公式； 【答案】(1)，； 解：．① 当时，，可得． 当时，．② ①－②得，则，而a1-1=1不为零， 故是首项为1，公比为2的等比数列，则．∴数列的通项公式为，． (二) 形如 【名师点拨】（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式。 【例16】已知列满足，且，． （1）设，证明：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式； 【解析】　（1）由题设知：，且， ∴是首项、公差均为1的等差数列，又，则数列为等差数列，得证. （2）由（1）知：. 【例17】已知数列满足，.求数列的通项公式. 【答案】 【解析】　因为，所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 【跟踪训练】 1．已知数列满足，且，则数列的通项公式______． 【答案】 【解析】∵，∴，即． 又，， ∴数列是以3为首项，1为公差的等差数列， ∴， ∴数列的通项公式．故答案为：. 2．已知数列中，，求数列的通项公式； 【答案】． 【解析】由，得：，∴， 即数列是首项为1，公差为2的等差数列， ∴，得． 题型五、倒数法 【名师点拨】(一) 形如 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. (二) 形如形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符合专题四类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式。） 【例18】已知数列满足，，，则an= 【答案】 【解析】因为，所以，所以，又， 数列是以1为首项，4为公差的等差数列．所以，所以. 【例19】已知数列满足，，则的前n项和为___. 【答案】 【解析】数列满足，整理得：，所以， 又，故是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以， 所以，所以的前项和.故答案为： 【跟踪训练】 1．已知数列的通项公式为，求数列的通项公式. 【答案】 【解析】因为，所以，则， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以，所以 2．已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为数列的首项，且各项满足公式，则，，， 以此类推，对任意的，， 由可得，所以，， 所以，数列是等差数列，且首项为，公差为， ，因此，.故选：B. 题型六、同除法 【名师点拨】形如，的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式 【例20】已知是数列的前n项和，，，恒成立， 则k最小为______． 【答案】2 【解析】由，得， 当时，得，，…，， 则， 即，则， 当n=1时符合上式，则， 所以k最小为2．故答案为：. 【例21】已知数列中，，．求数列的通项公式； 【答案】 【解析】因为，所以令，则，解得， 对两边同时除以，得， 又因为，所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以，所以； 【例22】记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (3)求证：对任意的，. 【解析】(1)解：设等差数列的公差为， 因为， 则， 解得或（舍去）， 所以； (2)证明：因为， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以； (3)证明：由（2）得， 故 ， 所以. 【跟踪训练】 1.已知在数列中，a1＝，且当n≥2时，有an－1－an－4anan－1＝0，则an＝____________. 【答案】(n∈N*) 【解析】由已知可知an≠0，∴＝＋，即－＝， 又＝1，∴是以1为首项，为公差的等差数列，＝＋(n－1)×＝， ∴an＝，n∈N*. (2)由题意知an≠0，将等式an－1－an－4anan－1＝0 两边同除以anan－1得－＝4，n≥2， 则数列为等差数列，且首项为＝5，公差d＝4， 故＝＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1，∴an＝(n∈N*)． 2.若数列{an}的首项a1＝，且an＝(an＋1)an＋1，则＝________. 【答案】　 【解析】　an＝(an＋1)an＋1，得an－an＋1＝anan＋1且an≠0， 所以－＝1，即是以2为首项，1为公差的等差数列，＝n＋1， 从而＝ 题型七、对数法 【名师点拨】形如的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解． 【例23】已知数列满足，若，则的最大值为　　． 【解析】解：数列满足， ． ， ，变形为：， ． 数列是等比数列，首项为，公比为． ． 则． ，只考虑为偶数时， 时，． 时，． 因此（4）取得最大值．最大值为． 故答案为：． 【跟踪训练】 1．已知数列满足，则________ 【答案】 【解析】 等价变形，换元设，得 ，两边取对数，得是首项，公比的等比数列，求出可解 . 【详解】 ，， ，设，则，，两边取对数， ， ，所以是首项，公比的等比数列， ， ， 故答案为： 2．已知数列的首项为9，且，若，则数列的前项和　　． 【解析】解：数列的首项为9，且， 所以：， 所以两边取对数得：， 整理得：（常数）， 所以：数列是以为首项，2为公比的等比数列． 所以：， 所以：， 由于，所以：， 故：两边取倒数得到：， 所以数列的前项和． 故答案为： 题型八：“和”型求通项 【名师点拨】满足，称为“和”数列，常见如下几种： （1）“和”常数型（2）“和”等差型（3）“和”二次型（4）“和”换元型 【例24】若数列满足为常数），则称数列为等比和数列，称为公比和，已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则　　． 【解析】解：由，， ，即， ，，，即， ，，，． ， 由此可知． 故答案为：． 【例25】已知为数列的前项和，，，则（       ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2024 【答案】C 【解析】当时， ， 当时，由得， 两式相减可得 ，即， 所以，可得， 所以. 故选：C. 【例26】已知数列的前项和为，若，且，，则的值为 A．－8 B．6 C．－5 D．4 【答案】C 【解析】对于， 当时有，即 ， ， 两式相减得： ， 由可得 即从第二项起是等比数列， 所以， 即， 则，故， 由可得， 故选C. 【跟踪训练】 1．数列满足，，且其前项和为.若，则正整数（       ） A．99 B．103 C．107 D．198 【答案】B 【解析】由得， ∴为等比数列，∴， ∴，， ∴， ①为奇数时，，； ②为偶数时，，， ∵，只能为奇数，∴为偶数时，无解， 综上所述，. 故选：B. 2．若数列满足，则　　． 【解析】解：， 则 ． 故答案为：． 3．已知数列{}满足 (1)求数列{}的通项公式； (2)设，求数列{}的前n项和，并求的最大值. 【解析】(1)解：由得， 又，所以， 由得 从而， 因此数列和数列都是等差数列，它们的公差都等于. 所以 即当n为奇数时，； 即当n为偶数时， 综上，数列{}的通项公式为 (2)解：由（1）可得 所以 当n为奇数时， 当n为偶数时，，且随着n的增大，在减小， 所以当时，取得最大值. 题型九：因式分解型求通项 【例27】已知正项数列满足：，，． （Ⅰ）判断数列是否是等比数列，并说明理由； （Ⅱ）若，设．，求数列的前项和． 【解析】解：（Ⅰ），， 又数列为正项数列， ， ①当时，数列不是等比数列； ②当时，，此时数列是首项为，公比为2的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：， ， ． 【例28】已知正项数列满足，设． （1）求，； （2）判断数列是否为等差数列，并说明理由； （3）的通项公式，并求其前项和为． 【解析】解：（1），，， 可得， 则， 数列为首项为1，公比为2的等比数列， 可得； ， ，； （2）数列为等差数列，理由：， 则数列为首项为0，公差为1的等差数列； （3）， 前项和为． 【例29】已知正项数列满足且 （Ⅰ）证明数列为等差数列； （Ⅱ）若记，求数列的前项和． 【解析】证明：由， 变形得：， 由于为正项数列，， 利用累乘法得：从而得知：数列是以2为首项，以2为公差的等差数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：， 从而． 【例30】已知正项数列的前项和满足：，数列满足，且． （1）求的值及数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求． 【解析】解：（1）， 当时，，， 解得． 又，， ， 当时，， 当时上式也成立， ． （2）数列满足，且． ． ， 当为偶数时，数列的前项和为 ． 当为奇数时，数列的前项和为 ． 当时也成立， ． 【例31】已知数列的各项均为正数，且满足． （1）求，及的通项公式； （2）求数列的前项和． 【解析】解：（1）当时，， ； 当时，， ； 由已知可得，且， ． （2）设， ， 是公比为4的等比数列， ． 题型十：双数列问题 【例32】已知数列和满足． (1)证明：是等比数列，是等差数列； (2)求的通项公式以及的前项和． 【解析】(1)证明：因为， 所以，即， 所以是公比为的等比数列． 将方程左右两边分别相减， 得，化简得， 所以是公差为2的等差数列． (2)由（1）知， ， 上式两边相加并化简，得， 所以． 【例33】（2022·全国·高三专题练习）已知数列和满足，，，.则＝_______. 【答案】 【解析】 求出，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出，进一步推导出数列为等差数列，确定该等差数列的首项和公差，可求得的通项公式，进一步求出和，由此可求得结果. 【详解】 ，，且，，则， 由可得，代入可得， ，且， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则， 在等式两边同时除以可得， 所以，数列为等差数列，且首项为，公差为， 所以，，， 则， 因此，. 故答案为：. 【跟踪训练】 1．数列,满足,且,. (1)证明:为等比数列; (2)求,的通项. 【解析】（1）证明：由，可得：， ，代入， 可得：， 化为：， ， 为等比数列，首项为-14，公比为3. （2）由（1）可得：， 化为：， 数列是等比数列，首项为16，公比为2. ， 可得：， . 2．已知数列和满足，，，，则______，______． 【答案】          【解析】由题设，，则，而， 所以是首项、公比均为2的等比数列，故， ，则， 令，则， 故，而， 所以是常数列，且，则. 故答案为：，. 3．若数列和满足，，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：因为， ， 所以，即， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 又，即， 所以 所以； 故选：C 题型十一：几何中递推关系 【例34】如图所示，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为，记矩形的周长为，则 A．220 B．216 C．212 D．208 【答案】B 【解析】由题意，在函数的图象上，若点坐标为的纵坐标为的横坐标为，所以矩形的一条边长为，另一条边长为，所以矩形的周长为，，故选B. 【例35】如图，曲线y2＝x（y≥0）上的点P1与x轴的正半轴上的点Qi及原点O构成一系列正三角形，△OP1Q1，△Q1P2Q2，…，△Qn﹣1PnQn…设正三角形Qn﹣1PnQn的边长为an，n∈N*（记Q0为O），Qn（Sn，0）.数列{an}的通项公式an＝_____. 【答案】. 【解析】 由是边长为的正三角形，得的坐标，再将其坐标代入中，可求出的值， 又由于每一个三角形都为正三角形，从而可得，再将点的坐标代入中，可得，再由求出，所以数列为等差数列，从而可求得. 【详解】 由条件可得△P1OQ1为正三角形，且边长为， ∴，在曲线上，代入（）中，得， ∵＞0，∴，根据题意得点， 代入曲线（）并整理，得. 当，时，， 即. ∵，∴， 当＝1时，，∴或（舍） ∴，故 ∴数列是首项为，公差为的等差数列，∴an. 故答案为：. 【例36】英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列．如果函数，数列为牛顿数列，设，且，．数列的前项和为，则______． 【答案】 【解析】∵，∴， 又∵， ∴，， ∴， 又 ∴， 又，且， 所以， ∴数列是首项为，公比为的等比数列， ∴的前项和为，则. 故答案为：. 【例37】有一种被称为汉诺塔的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A，B，C），在A杆自下而上､由大到小按顺序放置若干个有孔金盘（如下图）.游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好.操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A，B，C任一杆上.记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为.则___________. 【答案】15 【解析】解：根据题意，假设杆上有个圆环，将个圆环从杆全部套到C杆上，需要最少的次数为， 可这样操作：先将个圆环从杆全部套到B杆上， 至少需要的次数为， 然后将最大的圆环从杆套在C杆上，需要1次， 再将B杆上个圆环从B杆套到C木杆上，至少需要的次数为， 所以， 易知，则， 故答案为：15. 【例38】已知函数，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，已知.用表示，并求数列的通项公式. 【解析】因为，则， 所以在处的切线方程为， 令，得，（易知）， 所以, 所以， 从而， 所以. 一、单选题 1．等比数列的前n项和，则（       ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【解析】，当时，， 因为是等比数列，所以，得，所以A正确． 故选：A． 2．已知数列满足，对任意的都有，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得：， ，，，…，， 各式作和得：， ，． 故选：C． 3．已知数列满足，，则（       ） A．30 B．31 C．22 D．23 【答案】B 【解析】因为数列满足，， 所以，，，， 所以， 所以， 故选：B 4．已知是等差数列的前项和，其中，数列满足，且，则数列的通项公式为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为， 因为， 所以，解得， 所以， 因为， 所以， 所以，，，……，， 所以， 因为， 所以， 故选：B 5．记为数列的前项积，已知，则= （       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】则，代入， 化简得：，则． 故选：C． 6．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为，其前n项和为，给出以下结论：①；②182是数列中的项；③；④当n为偶数时，．其中正确的序号是（       ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【解析】数列的偶数项分别为2，8，18，32，50，， 通过观察可知，同理可得， 所以， 因为，所以①正确，③错误； 由，解得，由，解得， 又因为，所以方程都无正整数解，所以182不是中的项，故②错误． 当n为偶数时，，故④正确． 故选：C． 7．已知数列满足，则数列第2022项为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 所以 累加得 故选：C． 8．设数列满足，记数列的前n项的和为，则（       ） A． B．存在，使 C． D．数列不具有单调性 【答案】C 【解析】由于，则， 又由，则与同号． 又由，则，可得， 所以数列单调递增，故B、D错误； 又因为， 由数列单调递增，且，所以，所以， 累加得，所以，故A错误； 由可得， 因为，所以，故C正确． 故选：C． 二、多选题 9．若数列的前n项和为，且，则（       ） A． B． C．数列是等比数列 D． 【答案】AC 【解析】将代入得，A对； 因为， 则， ，即 所以数列是首项为，公比为的等比数列，C对； ， ，BD错误． 故选：AC 10．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（       ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由题意得， ， 以上n个式子累加可得 ， 又满足上式，所以，故A错误； 则， 得，故B正确； 有，故C正确； 由， 得， 故D正确． 故选：BCD． 11．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则（       ） A．an＝－ B．an＝ C．数列为等差数列 D．－5050 【答案】BCD 【解析】Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1， 则Sn＋1－Sn＝SnSn＋1， 整理得－＝－1（常数）， 所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列．故C正确； 所以＝－1－（n－1）＝－n，故Sn＝－． 所以当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝－，不适合上式， 故an＝故B正确，A错误； 所以， 故D正确． 故选：BCD 12．已知无穷数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，，则下列结论正确的为（       ） A．和均为数列中的项 B．数列为等差数列 C．仅有有限个整数使得成立 D．记数列的前项和为，则恒成立 【答案】BD 【解析】对于A选项，分析可知当为奇数时，为奇数， 当为偶数时，为偶数， 令可得，不合乎题意， 令可得，合乎题意， 所以，不是数列中的项，是数列中的项，A错； 对于B选项，因为， 所以，数列是公差为的等差数列，B对； 对于C选项，若为偶数，由可得，矛盾， 若为奇数，由可得，即，解得， 所有满足条件的奇数都合乎题意， 所以，有无限个整数使得成立，C错； 对于D选项，为偶数，则，且， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，，D对． 故选：BD． 三、填空题 13．已知数列的前n项和，则______． 【答案】． 【解析】当时，， 又时，不符合上式， ∴， 故答案为：． 14．已知数列的前n项和，数列满足，，，则的通项公式为______． 【答案】 【解析】当时，，所以． 当时，，当时，也符合上式，故． 因为，，所以， 即数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，即． 故答案为：． 15．若等差数列的前项和分别为，且满足，则________ 【答案】 【解析】，令，则，， ，故． 故答案为：． 16．已知数列满足且，其前项和为，则满足不等式的最小整数为______． 【答案】 【解析】因为，所以，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则，所以，， 所以， 因此不等式，即，即， 因为，故满足不等式的最小整数为． 故答案为：． 四、解答题 17．已知数列满足，且，是的前n项和． （1）求； （2）若为数列的前n项和，求证：． 【解析】（1）∵，∴，，…． 由上述个等式相加得，∴， ∴，； （2）， ， ∴． 18．已知正项数列的前项和满足：． （1）求数列的通项公式； （2）令，求证：数列的前项和． 【解析】（1）由题意：， 当时，可得， 两式相减得到 又，是首项为，公比为的等比数列 的通项公式为． （2）由题意知， 19．已知数列的相邻两项和恰是方程的两个根，且． （1）求的值； （2）记为数列的前n项和，求． 【解析】（1）因为和是方程的两个根 由韦达定理可知，， 因此． 所以，，，， 由累加法得，又因为，所以 因此． （2）由，可知， 而数列的偶数项为公差为-1的等差数列，因此， 因此， 因此． 20．设数列满足，． （1）求证：为等比数列，并求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【解析】（1）解：因为，， 所以，即 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以 （2）解：由（1）可得， 所以①， 所以②， ①②得 即，所以； 21．已知等差数列的前项和为，且，；数列满足． （1）求数列和的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 【解析】（1）解：设等差数列的公差为，则 解得， 所以 因为， 所以当时，； 当时，， 所以 显然符合． 综上可知． （2）解：由（1）知， 设，则 所以是以8为公比，为首项的等比数列， 所以数列的前项和为 22．已知数列的前n项和满足．数列满足，． （1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）求证：． 【解析】（1）当时，； 当时，， 所以，整理得． 所以，又，故． 所以，即为等比数列．所以 （2）由题意得，所以与同号， 又因为，所以，即，即． 所以数列为递增数列，所以， 即，累加得． 令，，所以， 两式相减得：， 所以，所以，所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $