重难点10： 解三角形中的范围与最值问题（9大题型+40难题攻关）讲义-2026届高三数学一轮复习（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 重难点10 解三角形中的范围最值问题 三角形中的最值（范围）问题的常见解题方法： 1、利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值（范围）：解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）． 2、利用基本不等式求最值（范围）：主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，还需利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）” ① ②(当且仅当时取“=”号) ，再利用及，求出的取值范围或者利用 3、转化为三角函数求最值（范围）：先利用正弦定理将边转化成角，然后利用或者题干中角的关系，可将所求式子中的角统一成一个角，需要注意题干中对角有没有限制要求，利用角的范围求出范围 利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值 4、转化为其他函数求最值（范围）：要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大． 5、坐标法求最值（范围）：要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值． 考点一 周长（边长）的范围与最值问题 题型01：周长的范围与最值问题 【例1】（2023·上海青浦·统考一模）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 【例2】（2024·四川南充·模拟预测）在中，. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 【例3】已知△ABC中，C＝，角A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值； (2)若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC周长的最大值. 【例4】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求A； (2)若，求周长的取值范围. 【例5】在中，角的对边分别为，. (1)若，求的面积； (2)若，求周长的取值范围. 【例6】已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求； (2)若；求周长的取值范围. 题型02：边长的范围与最值问题 【例7】在中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围． 【例8】（2024·上海宝山·一模）在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 【例9】（2024·上海虹口·一模）设． (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 【例10】在中，内角的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，是边上的一点，且，求线段的最大值. 【例11】在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若是线段上靠近的三等分点，，求的最大值． 题型03：长度和差比的最值范围 【例12】在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知． (1)求A； (2)若，且，求的取值范围． 【例13】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＝。 (1)求A的大小； (2)若a＝6，求b＋c的取值范围。 【例14】在锐角中，角，，所对的边为，，，已知，． (1)求； (2)求的取值范围． 【例15】在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，． (1)求角B的大小． (2)若△ABC为锐角三角形，．求的取值范围． 【例16】在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知． (1)求角B的大小； (2)求的取值范围 【例17】（2023·上海宝山·统考一模）在中，角的对边分别为. (1)若，求角的大小； (2)若边上的高等于，求的最大值. 【例18】在中，内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 考点二 面积的范围与最值问题 题型04：面积的范围与最值问题 【例19】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos2－cos2(B＋C)＝。 （1）求角A （2）若a＝2，求△ABC的面积的最大值 【例20】已知的内角 所对应的边分别为，若. (1)求； (2)求面积的最大值. 【例21】（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）设，其中，已知. (1)求的最小值； (2)已知凸四边形中，，求面积的最大值. 【例22】在中，D的边的中点，． (1)求角C； (2)求面积的取值范围． 【例23】记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 【例24】已知的三个内角的对边分别为，． (1)求a； (2)若，求面积的取值范围． 题型05：面积和差比的范围与最值 【例25】在中，点在线段上，满足，过线段中点的直线与边，分别交于点，设，． (1)用表示； (2)设的面积为，四边形的面积为，求的最小值． 【例27】已知的面积为，且所对的边记为，满足，则的最大值为 . 考点四 与角有关的范围与最值问题 题型06：角度的最值范围 【例28】记的内角的对边分别为．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例29】在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则角的最大值为（ ） A． B． C． D． 题型07：与角度有关式子的范围最值 【例30】已知函数的最小正周期为. (1)求的值与的单调递减区间； (2)在中，若，求的取值范围. 【例31】在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)求的取值范围. 【例32】已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【例33】已知锐角中，角的对边分别为，满足条件，则的取值范围为 ． 题型08：与正切有关的最值问题 【例34】在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例35】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【例36】在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为___________. 【例37】在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 考点四 应用题中的范围与最值问题 题型09：应用题中的范围与最值问题 【例38】（2022·上海市复兴高级中学高三开学考试）如图，矩形是一个历史文物展览厅的俯视图，点在边上，在梯形内展示文物，游客只能在区域内参观，在上点处安装可旋转的监控摄像头，为监控角，其中在线段上(含端点)，经测量知：米，米，，记(弧度)，监控可视区的面积为S． (1)求线段的长度关于的函数关系式，并写出的取值范围；（参考数据 (2)求S与的函数关系式，并求S的最小值． 【例39】（2023·上海·高三专题练习）如图，在扇形AOB中，点C为上一点，D，E分别为线段OA，OB上的点，且CD⊥OA，CE⊥OB，． (1)求∠AOB的大小； (2)若扇形的半径为30，求△CDE面积的最大值． 【例40】“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我．”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块平面四边形的麦田里成为守望者．如图所示，为了分割麦田，他将B，D连接，经测量知，． (1)霍尔顿发现无论多长，都为一个定值，请你证明霍尔顿的结论，并求出这个定值； (2)霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和呈正相关关系，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 重难点10 解三角形中的范围最值问题 三角形中的最值（范围）问题的常见解题方法： 1、利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值（范围）：解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）． 2、利用基本不等式求最值（范围）：主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，还需利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）” ① ②(当且仅当时取“=”号) ，再利用及，求出的取值范围或者利用 3、转化为三角函数求最值（范围）：先利用正弦定理将边转化成角，然后利用或者题干中角的关系，可将所求式子中的角统一成一个角，需要注意题干中对角有没有限制要求，利用角的范围求出范围 利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值 4、转化为其他函数求最值（范围）：要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大． 5、坐标法求最值（范围）：要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值． 考点一 周长（边长）的范围与最值问题 题型01：周长的范围与最值问题 【例1】（2023·上海青浦·统考一模）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理可得的大小； （2）边角互化，可得，结合三角函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，可得， 所以， 又，所以. （2）由（1）得，所以， 则由正弦定理可得， 即，， 所以的周长， 又在中，， 则， 又在中，，所以， 所以当时，周长取最大值为. 【例2】（2024·四川南充·模拟预测）在中，. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 即， 由余弦定理， ，. （2）因为， 即， ，当且仅当时取等号， ，即， 又，所以，当且仅当时取等号， 周长， 即周长的最大值为 【例3】已知△ABC中，C＝，角A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值； (2)若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC周长的最大值. 【答案】(1)7 (2)2＋. 【详解】（1）∵a，b，c依次成等差数列，且公差为2， ∴b－a＝c－b＝2，∴b＝c－2，a＝c－4， ∵C＝，由余弦定理得 cos ＝＝＝－， 整理得c2－9c＋14＝0，解得c＝7或c＝2， 又a＝c－4>0，则c>4，∴c＝7. （2）设B＝θ，外接圆的半径为R，则πR2＝π， 解得R＝1，由正弦定理可得 ＝＝＝2R＝2， ∴＝＝＝2， 可得b＝2sin θ，a＝2sin ，c＝， ∴△ABC的周长＝2sin θ＋2sin ＋ ＝2sin θ＋2sin cos θ－2cos sin θ＋ ＝sin θ＋cos θ＋＝2sin ＋， 又θ∈，∴<θ＋， ∴当θ＋＝，即θ＝时，△ABC的周长取得最大值2＋. 【例4】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求A； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式求出，即可得解； （2）利用余弦定理及基本不等式求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 即，解得， 又，所以 . （2）由余弦定理， 即， 故，当且仅当时取等号， 又，故，即周长的取值范围是. 【例5】在中，角的对边分别为，. (1)若，求的面积； (2)若，求周长的取值范围. 【解析】（1）因为， 由正弦定理，可得， 又由，可得， 所以， 所以， 即， 因为，可得，所以，即， 又因为，所以， 所以的面积为. （2）由（1）可知， 由正弦定理得，所以， 所以 ， 因为， 所以，所以， 所以， 故周长的取值范围为. 【例6】已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求； (2)若；求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角变形已知等式，再结合两角和的正弦，辅助角公式和诱导公式可得； （2）由正弦定理边化角和两角差的正弦得到，再结合锐角范围和三角函数值域可得. 【详解】（1）. 由正弦定理得 在中， 代入上式化简得： 因为，所以，即 为锐角，. （2）由正弦定理得 所以 ， 是锐角三角形，， ， 即， 所以周长的取值范围为. 题型02：边长的范围与最值问题 【例7】在中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围． 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， ， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以，因为， 所以，即， 可得． （2）由正弦定理得， 即，且， 所以． 因为为锐角三角形，，所以， 所以，即． 可得， 即的取值范围为． 【例8】（2024·上海宝山·一模）在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理和面积公式即可求解； （2）结合基本不等式求最值和三角形边的关系即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得，又，从而，         由得，            从而，                               所以的面积. （2）由，            又，当且仅当时取等号，       从而，所以，                        又因为中，，从而，                       所以的范围是. 【例9】（2024·上海虹口·一模）设． (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的最小正周期求出，即可得到的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，即可求出，由数量积的定义求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最小值. 【详解】（1）因为且函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 则， 由，则， 所以当，即时取得最大值. （2）当时，，则， 因为，所以，则，解得； 因为，所以， 由余弦定理， 所以，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 【例10】在中，内角的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，是边上的一点，且，求线段的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 又，所以， 所以，即，， 又， 所以，所以，所以； （2）在中，由正弦定理得， 所以. 因为，所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即线段的最大值为. 【例11】在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若是线段上靠近的三等分点，，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， ∴， ∴．又，． （2）方法1：由（1）得， ∵，则，∴， ∴，     ∴， 令，则，     令，则，     在锐角三角形中，∴，即，     （另解：， ∵，，解得，∴，，即） ∴，∴，当且仅当时取等号，     ∴，∴的最大值为．     方法2：在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， ∵，∴． ∵，∴，， ． ∵，，解得，∴， ∴，∴， ∴的最大值为． 题型03：长度和差比的最值范围 【例12】在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知． (1)求A； (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理得，结合，求出； （2）由正弦定理得到，从而得到，结合，求出，得到的取值范围. 【解析】（1）由，得： 由正弦定理得： 又，所以， 故，即，则； （2）由正弦定理得： 所以 又因为，所以，又，故， 故，则，所以 故的取值范围为． 【例13】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＝。 (1)求A的大小； (2)若a＝6，求b＋c的取值范围。 【解析】　(1)∵＝＝， ∴cosA＝sinA，∴tanA＝。 ∵0<A<π，∴A＝。 (2)∵＝＝＝＝4， ∴b＝4sinB，c＝4sinC， ∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4[sinB＋sin(π－A－B)]＝4 ＝12sin。 ∵<B＋<， ∴6<12sin≤12，即b＋c∈(6,12]。 【例14】在锐角中，角，，所对的边为，，，已知，． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ，即， ， 又， ， ， ， ， ，即， ，解得． （2）解：由正弦定理得，， ，， ， ， ， 则 ， 为锐角三角形， ， ， ， ， 即． 【例15】在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，． (1)求角B的大小． (2)若△ABC为锐角三角形，．求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，， 由正弦定理得， 所以为锐角，所以. （2）由正弦定理得， 所以 ， 由于三角形是锐角三角形， 所以，解得， 所以，所以， 所以， 即的取值范围是. 【例16】在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知． (1)求角B的大小； (2)求的取值范围 【答案】(1)；(2) 【解析】 (1)由， 根据正弦定理，有 即有 则有，又， 所以， (2)由(1)，，则，又为锐角三角形， 所以，且， 所以，于是 则 又 所以，的取值范围是 【例17】（2023·上海宝山·统考一模）在中，角的对边分别为. (1)若，求角的大小； (2)若边上的高等于，求的最大值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合特殊角的三角函数值即可得解； （2）利用三角形面积公式与余弦定理得到，从而将转化为关于角的表达式，进而得解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 又，则，所以， 因为，所以或. （2）由三角形面积公式得，即， 又由余弦定理，得， 从而有， 所以. 当，即时，有最大值， 即的最大值为. 【例18】在中，内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，整理得，由余弦定理得．因为，所以． （2）由正弦定理得． 因为为锐角三角形，所以 解得，所以， 所以， 故的取值范围为． 考点二 面积的范围与最值问题 题型04：面积的范围与最值问题 【例19】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos2－cos2(B＋C)＝。 （1）求角A （2）若a＝2，求△ABC的面积的最大值 【解析】　（1）因为B＋C＝π－A，所以cos2(B＋C)＝cos(2π－2A)＝cos2A＝2cos2A－1，又cos2＝，所以4cos2－cos2(B＋C)＝可化为4cos2A－4cosA＋1＝0，解得cosA＝。 又A为三角形的内角，所以A＝， （2）由余弦定理得4＝b2＋c2－2bccosA≥2bc－bc＝bc，即bc≤4，当且仅当b＝c时取等号，所以S△ABC＝bcsinA≤×4×＝，即△ABC的面积的最大值为。 【例20】已知的内角 所对应的边分别为，若. (1)求； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据条件，得到，再利用余弦定理，即可求解； （2）由（1）结果，利用基本不等式，得到，再利用面积公式，即可求解. 【解答过程】（1），得到， 由余弦定理知，， 因为，所以． （2），得到，当且仅当取等， 所以，（当且仅当取等） 故面积的最大值为． 【例21】（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）设，其中，已知. (1)求的最小值； (2)已知凸四边形中，，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据给定条件，求出，再借助三角恒等变换化简，三角函数性质求解作答. （2）由（1）的函数式，求出及，令，将面积表示为的函数即可求解作答. （1） 依题意，由得：，而，即， 于是得，解得，， 所以当时，的最小值为. （2） 由（1）知，，在凸四边形中，，于是得为锐角， ，， ， 设，则，令凸四边形的面积为， ，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 【例22】在中，D的边的中点，． (1)求角C； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 (1)根据内角和公式和二倍角余弦公式化简求角C；(2)由余弦定理可得的关系，结合基本不等式求的最大值，根据三角形面积公式求面积的取值范围． (1) 因为， 所以 所以，故，又； 所以. (2) 在中，由余弦定理可得 因为，， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，又，当且仅当时等号成立， 所以面积． 【例23】记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）根据是锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理三角恒等变换可得出关于角的三角关系式，利用正弦型函数的基本性质可求出的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得 因为，则，所以， 又因为， 所以，则， 因为，则，即，所以. （2）因为是锐角的内角，又因为，所以，，得， 由正弦定理，得， 所以，， 所以 ， 由，得，所以， 即， 所以面积的取值范围是. 【例24】已知的三个内角的对边分别为，． (1)求a； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得，结合三角形内角和的性质，即可求解； （2）由（1）得到，作为边上的高，设，根据题意，求得，得到的面积为，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，可得，所以， 因为，可得，所以. （2）由（1）知，即， 如图所示，为边上的高，不妨设为锐角， 设， 当为锐角时，则，故， 当为钝角时，则，故， 因为，所以，整理得， 所以的面积为， 因为，可得， 当时，取得最大值，最大值为，且， 所以的面积的取值范围为. 题型05：面积和差比的范围与最值 【例25】在中，点在线段上，满足，过线段中点的直线与边，分别交于点，设，． (1)用表示； (2)设的面积为，四边形的面积为，求的最小值． 【解析】（1）因为，所以，所以，即， 点是线段的中点，所以， 故； （2）因为三点共线，所以存在实数使得，所以，即， 又因为，，所以， 由（1）知，所以，所以，即, 根据基本不等式，，所以，当且仅当即时等号成立，所以， 的面积为， 四边形的面积为， 所以， 故的最小值为. 【例27】已知的面积为，且所对的边记为，满足，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】利用余弦定理结合三角形面积公式计算可得，利用基本不等式得，结合弦切互化计算可得，即可得解. 【详解】根据余弦定理，，即， 则的面积为， 所以，. 又由，可得，当且仅当时等号成立， 所以，，则为锐角， 所以， 所以的最大值为. 故答案为：. 考点四 与角有关的范围与最值问题 题型06：角度的最值范围 【例28】记的内角的对边分别为．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据边的关系求出的范围，然后表示出，求出其范围进而可得的范围，则的取值范围可求. 【解答过程】根据三角形三边关系可得， 即， 由对勾函数单调性可知，其在上单调递减，在单调递增； 即，可得,所以. 故选：B. 【例29】在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则角的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理得，结合三角形面积公式得，由余弦定理结合基本不等式可得，进一步可得，进而求出范围得解. 【详解】因为边上的高为， 所以，即， ，当且仅当取等号， ，即，即， ，则， ，故角的最大值为. 故选：B. 题型07：与角度有关式子的范围最值 【例30】已知函数的最小正周期为. (1)求的值与的单调递减区间； (2)在中，若，求的取值范围. 【答案】(1)，的递减区间为 (2) 【分析】（1）由函数的最小正周期可得的值，进而求出函数的单调递增区间； （2）先求得角的值，由三角形的内角和为及的值可得的关系，再经过化简即可 求出的取值范围范围 . （1）因为的最小正周期为， 所以 所以，， 令， 解得， 所以的递减区间为 （2） 在中，因为，所以，解得， 所以，则， 因为，所以， 所以，则， 所以的取值范围为：. 【例31】在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理角化边，再根据余弦定理可求出，进而求出的大小； （2）依题意可化简，根据的范围求出的取值范围即可. (1) 因为， 所以，即. 因为，所以. 因为，所以. (2) 由（1）知 . 因为，所以， 因为，所以， 所以， 即的取值范围是. 【例32】已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）根据余弦定理,将角化边,即可得到三边关系,进而转化成余弦定理形式求解. （2）用二倍角公式降幂，然后利用辅助角公式合并，根据角的范围求解. (1) 及， ，化简得， ，又，. (2) 由（1）可得 为锐角三角形， 且，， . ，， 故的取值范围为. 【例33】已知锐角中，角的对边分别为，满足条件，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将边化为角，结合两角和与差的正弦公式可求得，利用正弦定理可得，进而可化简所求，再结合条件转化为关于角C的函数，进而求解范围. 【详解】由题可得，由正弦定理得， 因为 所以， 所以，即 而，， 则或，即或（舍去），故， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以的取值范围是， 由正弦定理可得：，则， 所以，所以， 因为，，所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是． 故答案为： 题型08：与正切有关的最值问题 【例34】在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，求得，在中，由余弦定理，求得，再由，得到，得出，结合基本不等式，求得，即可得到答案. 【详解】由，可得，所以， 在中，由余弦定理得， 又由， 则， 所以， 令，可得，则， 因为，当且仅当时，即时，即时，等号成立， 则，所以，所以， 即的最大值为. 故选：B. 【例35】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用正弦定理化边为角，通过三角公式推出，再将转化，借助基本不等式求最小值. 【解答过程】因为，由正弦定理得， 所以.又因为， 所以， 所以，即.所以， ， 显然必为正，否则和都为负，就两个钝角， 所以 ， 当且仅当，即，取等号， 所以的最小值是， 故选：C. 【例36】在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 由余弦定理化简已知式，再由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换得，由锐角三角形求得的范围，待求式切化弦，通分后利用已知条件化为，由正弦函数性质可得范围． 【详解】 因为，由余弦定理得，所以， ， 由正弦定理得，所以， 因为为锐角三角形，所以，，， 由，得，， ， ，所以． 故答案为：． 【例37】在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据余弦定理以及正弦定理化简条件得、关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围． 【详解】 ∵，∴所以 因此 设，∵是锐角三角形，∴，∴ ∴，在上单调递增， ∴， 故选：C 考点四 应用题中的范围与最值问题 【例38】（2022·上海市复兴高级中学高三开学考试）如图，矩形是一个历史文物展览厅的俯视图，点在边上，在梯形内展示文物，游客只能在区域内参观，在上点处安装可旋转的监控摄像头，为监控角，其中在线段上(含端点)，经测量知：米，米，，记(弧度)，监控可视区的面积为S． (1)求线段的长度关于的函数关系式，并写出的取值范围；（参考数据 (2)求S与的函数关系式，并求S的最小值． 【答案】(1)，，； (2)，最小值为. 【分析】（1）利用正弦定理表达出段的长度关于的函数关系式，并结合图形求出的取值范围； （2）在第一问的基础上，利用三角形面积公式表达出S与的函数关系式，并用整体法求解面积的最小值. 【解析】（1）由题意得：，，， 则， 在中，由正弦定理可得：， 即，所以； 因为，， 所以， ， 在中，由正弦定理可知：， 即， 解得：， 当点与点重合时，取得最小值，最小值为0， 当点与点重合时，取得最大值，如图，， 所以， 此时， 所以. （2）由面积公式可得： ， 因为，所以， 则当时，取得最大值，最大值为， 此时取得最小值，最小值为. 【例39】（2023·上海·高三专题练习）如图，在扇形AOB中，点C为上一点，D，E分别为线段OA，OB上的点，且CD⊥OA，CE⊥OB，． (1)求∠AOB的大小； (2)若扇形的半径为30，求△CDE面积的最大值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）在中利用正弦定理进行角化边转化，再结合余弦定理及同角的三角函数关系式得到关于的一元二次方程，进而得到，可知和互补，可求得； （2）连接，设（），利用锐角三角函数可得到和，结合三角形面积公式，利用三角恒等变换化简，由三角函数的图像及其值域即可求解. （1） 在中，由正弦定理得：，又由余弦定理得：，化简得：， 即， 解得：，（舍去），，则， 又，，，所以. （2） 连接，可得，设（），则， 在中，，在中，， 所以的面积 ， 即（）， 因为，所以，则当时，即为中点时， 的面积取得最大值. 【例40】“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我．”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块平面四边形的麦田里成为守望者．如图所示，为了分割麦田，他将B，D连接，经测量知，． (1)霍尔顿发现无论多长，都为一个定值，请你证明霍尔顿的结论，并求出这个定值； (2)霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和呈正相关关系，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值． 【答案】(1)证明见解析，；(2). 【分析】（1）在和中，利用余弦定理即可计算推理作答. （2）由（1）的结论，利用三角形面积定理列出函数关系，结合二次函数最值求解作答. 【解析】（1）在中，由余弦定理得：， 即， 在中，，即， 因此，即， 所以． （2）显然，， 于是得，由（1）知， 因此， 在中，，在中，，则， 由，得，即有， 从而当时，，所以的最大值是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $