重难点09： 解三角形中的图形类与应用问题（12大题型+40难题攻关） 讲义-2026届高三数学一轮复习（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 重难点09 解三角形中的图形类与应用问题 1．中线模型 (1)中线长定理：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则. (2)向量法：. 2．角平分线模型 角平分线张角定理：如图，为平分线，则 3．倍角模型 ，这样的三角形称为“倍角三角形”． 推论1：； 推论2：. 4．等分点模型 如图，若在边上，且满足，，则延长至，使，连接.易知∥，且，，． 考点一 解三角形的图形类问题 题型01：解三角形中的中线问题 【例1】在中，角的对边分别为，且满足. (1)求角； (2)已知面积为，为7，求边上中线长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理边化角，利用内角和定理变角，即可求角； （2）利用面积公式和余弦定理列出等式，再由向量中线的线性表示，借助向量的运算得到方程求解即可. 【解答过程】（1）因为， 由正弦定理边化角得 利用三角形内角和定理可得 即 因为所以，即 因为，所以. （2）由得① 由得② 由①②得 由， 得. 【例2】在非直角中，，，分别是，，的对边.已知，，求： (1)的值； (2)边上的中线的长. 【解析】(1) . (2)由余弦定理，即：，∴. 法一：设的长为.则在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， ∴， 得，即：. 法二：， ∴， 即：. 【例3】在中，是边上的中线. (1)求的面积； (2)求中线的长. 【解析】（1）在中，由正弦定理得， 所以. 解得. 因为，所以， 所以， 所以. 又， 所以的面积. （2）在中，，因为是中点， 所以，由余弦定理，得 . 所以. 【例4】已知在中，. (1)求边的长； (2)求边上的中线的长. 【解析】(1)由得：，正弦定理得：，即，解得：，由余弦定理得：，解得：或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，满足题意，综上： (2)因为D为BC中点，所以BD=2，在△BCD中，由余弦定理得：，所以. 题型02：解三角形中的角平分线问题 【例5】的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，已知． （1）求角C； （2）若CD是角C的平分线，，，求CD的长． 【解析】（1）由，根据正弦定理可得， 则，所以， 整理得，因为均为三角形内角，所以， 因此，所以； （2）因为CD是角C的平分线，，， 所以在和中，由正弦定理可得，，， 因此，即，所以， 又由余弦定理可得，即，解得，所以， 又，即， 即，所以. 【例6】如图，在中，角所对的边分别为，已知是的角平分线，且． (1)求角的值； (2)若，求长的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据，利用三角形面积公式列出等式，即可求出角； （2）根据余弦定理，利用重要不等式求出的范围，通过换元，借助对勾函数在的单调性，即可求出的最大值. 【解答过程】（1）设， ， ， ， ，， ，，； （2）由余弦定理知， ，， 又，当且仅当时，等号成立． ， 令，则， 令，则， 在上单调递增，， ，此时，即，即. 【例7】已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中. (1)求A； (2)已知直线为的平分线，且与BC交于点M，若求的周长. 【解析】（1）根据题意可得， 由正弦定理得， 又， 故， 又，所以，则， 因为，所以. （2）因为， 所以， 又平分，所以， 所以， 则，即 由余弦定理得，即， 所以，解得（负值舍去）， 故的周长为. 【例8】已知的三个内角的对边分别是，且满足． (1)求角的值； (2)若角的角平分线交于，且，边上的中线交于点，且，求的面积． 【解析】（1）在中，由正弦定理可得，即， 因为，可得， 即， 又由余弦定理可得，可得，即， 因为，所以. （2）因为为角的角平分线，所以， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 又因为，所以， 因为，所以，即， 因为为中线，所以， 即， 即，所以，， 所以的面积为. 题型03：解三角形中的高问题 【例9】在中，． (1)求； (2)若,，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角函数的性质求解角； （2）先根据余弦定理求出边，然后利用三角形面积公式求出边上的高. 【解答过程】（1）在中，因为， 由正弦定理及，得， 因为， 所以， 所以． 所以． （2）因为， 由余弦定理，得， 所以．设边上的高为， 又的面积， 所以， 所以AB边上的高为． 【例10】在中，分别是三个内角的对边，． (1)求的大小； (2)若，且边上的高是边上的高的2倍，求及的面积． 【解析】（1）由正弦定理可得， 因为，所以. 所以 所以 因为，所以，， 所以，所以，即. （2）因为边上的高是边上的高的2倍，， 所以由等面积法知， 所以， 所以， 所以 【例11】在中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)若，，CH为AB边上的高，H为垂足，，其中m，，求的值． 【解析】（1）中，，由正弦定理和同角三角函数的商数关系， 得，由倍角公式得． 又因为为的内角，所以，， 所以． 所以，，则有，得． （2），，如图， 则， 所以， 由题意知，所以， 即． 所以，所以． 题型04：解三角形中的等分点问题 【例12】如图，在中，为边上靠近点的四等分点，，，的面积为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由，求得，在中，利用余弦定理求得，然后由求解. 【解答过程】由题意得， 解得， 在中，， 所以， 所以， 解得. 故选：D. 【例13】已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若的面积为，，点D为边上靠近B的四等分点，求的长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由已知结合余弦定理角化边得，接着由余弦定理即可得解. （2）先由和求出角，接着由正弦定理形式的面积公式求出，再由余弦定理 即可求解. 【解答过程】（1）因为， 所以由余弦定理可得，整理得.     所以由余弦定理可得， 又，所以. （2）因为，， 所以， 即，         又，故，则， 所以，所以.       所以，所以，   所以在中，，，由余弦定理可得 ，即. 题型05：解三角形中的重心问题 【例14】的内角、、所对的边分别为、、，，． (1)求角的大小； (2)为的重心，的延长线交于点，且，求的面积． 【解析】（1）在中，因为， 由正弦定理可得,，，即， 所以，，， 故，即. （2）因为为的重心，的延长线交于点，且， 所以点为中点，且，在中，，，即， 在和中，,化简得， 所以，故， 所以的面积为． 【例15】记的内角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，点为的重心，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据正余弦定理边角互化即可求解;（2）根据重心的性质可得，进而根据余弦定理可得，由面积公式即可求解. 【解答过程】（1）因为，由正弦定理可得， 整理得，由余弦定理可得． 又因为，所以． （2）设的延长线交于点，因为点为的重心，所以点为中点， 又因为，所以． 在中，由和，可得． 在和中，有， 由余弦定理可得 故，所以， 所以的面积为． 【例16】已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是的重心，且． (1)若，求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）延长CG交AB于点D，利用三角形重心性质，结合正弦定理及差角的正弦公式化简即得. （2）利用余弦定理可得，再利用余弦定理及基本不等式求出范围. 【解答过程】（1）延长CG交AB于点D，由G是的重心，得D为线段AB的中点，且， 由，得，则，， 又，则是正三角形，，在中，记， 由正弦定理，即， 则，即， 所以，即. （2）由（1）知，在中，， 在中，， 于是，整理得， 在中，，当且仅当时取等号， 又，所以的取值范围为. 题型06：解三角形中的倍角问题 【例17】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求证：； (2)若为锐角三角形且，求a的取值范围. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【解题思路】（1）由正弦定理得，进一步结合角的范围即可得证； （2）由正弦定理、三角恒等变换得，由锐角三角形得的取值范围即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以， 即， 因为，所以， 又因为，所以， 所以或（舍去）， 所以只能； （2）由题意，所以， 因为为锐角三角形，所以，解得， 从而的取值范围是， 所以的取值范围是. 【例18】（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）已知中，A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)若，，的外接圆半径为，，求的大小； (2)若，，，求边的长. 【答案】(1) (2)或 【解析】 【分析】 （1）结合正弦定理化简已知条件，从而求得的大小. （2）结合正弦定理、余弦定理求得边的长. (1) 依题意， 由正弦定理得， ，， ， 由于，， 所以. (2) 由正弦定理得， ， 由余弦定理得， ，解得或. 【例19】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边长均为正整数，且． (1)若角B为钝角，求△ABC的面积； (2)若，求a． 【答案】(1)； (2)6． 【解析】 【分析】 (1)由余弦定理和基本不等式得到a与c的关系，再根据三角形边长为正整数求a与c； (2)用正弦定理和余弦定理转化角的关系为边的关系，在分类讨论求出边长﹒ (1) 由角B为钝角，则，即； 又∵，即，且a，，因此或符合题意． 故，则， 因此△ABC的面积为． (2) 由，得，由正弦定理，可得； 由余弦定理，得，∵，． 若，则，故， 则，，此时，不符合题意． ∴，由，得， 又，即，则． ∵a，，故当时，有，而，故能构成三角形，故． 题型07：三角形的外接圆和内切圆问题 【例20】在中，，，． (1)求； (2)点在外接圆上，设的面积为，若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据余弦定理求解，即可利用正弦定理求解， （2）根据三角形的面积公式即可求解，即可求解. 【解答过程】（1）由余弦定理知：，解得， 由正弦定理可知，则． （2）因为， 则， 故，则为锐角，又点在外接圆上，所以， 故，则，， 则的周长为． 【例21】已知的内角所对的边分别为． (1)求； (2)为外心，的延长线交于点，且，求的面积． 【解析】（1），在中，由正弦定理得， 又，则，即， ，即， ，， ； （2）由（1）得，设的外接圆的半径为， 在中，由正弦定理得，解得， 则，在中，由余弦定理得， ，，， 在中，由正弦定理得， ，即是等边三角形， 的面积为. 【例22】如图，平面四边形ABCD中，，，．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求四边形ABCD的外接圆半径R； (2)求内切圆半径r的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用余弦定理求出，再利用正弦定理和余弦定理求得，进而得到A，B，C，D四点共圆，利用正弦理即可求解. （2）结合（1）的结论和正弦定理可得：，然后再利用正弦定理和辅助角公式以及正弦函数的图像和性质即可求解. 【详解】（1）在中，， 所以，由正弦定理，，可得， 再由余弦定理，，又，所以.因为， 所以，所以A，B，C，D四点共圆， 则四边形ABCD的外接圆半径就等于外接圆的半径. 又，所以. （2）由（1）可知：，则.， 则. 在中，由正弦定理， ，所以，，则 ， 又，所以，所以，，所以. 考点二 解三角形的应用问题 题型08：测量距离 【例23】（24-25高三上·上海浦东新·期末）某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是 ．（精确到0.001） 【答案】1.172 【分析】以为原点建立坐标系，求出圆半径，并设出点的坐标，借助辅助角公式及正弦函数的性质求出最小值. 【详解】以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，连接， 令圆的半径为，则，解得，设， 因此， 当且仅当时取等号， 所以步行道、长度之和的最小值是. 故答案为： 【例24】（24-25高三上·上海金山·期末）某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为 米．（结果精确到1米） 【答案】 【分析】令，，在中应用余弦定理及基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得答案. 【详解】令，，且， 在中，， 当且仅当米时，取最小值，此时最大. 故答案为： 题型09：高度问题 【例25】（2024·上海静安·一模）如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离 . 【答案】 【分析】根据正切函数的定义得到方程，解出即可. 【详解】分别过点作的垂线，垂足分别为， 则根据正切函数的定义得，， 则，解得. 故答案为：. 【例26】（2025·上海浦东新·二模）如图，某建筑物垂直于地面，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，已知相距100米，，则该建筑物高度约为 米．（保留一位小数） 【答案】66.4 【分析】先在和中，根据仰角分别用建筑物高度表示出和，然后在中利用余弦定理建立关于的方程，最后求解方程得到的值. 【详解】在中，已知从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，即.因为，所以. 在中，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，即.因为，且，所以. 在中，已知米，.根据余弦定理，将，代入可得： ，即 可得. 则. 故答案为：66.4. 题型10：角度问题 【例27】（2025·上海闵行·二模）已知某星球的球心为，半径为，该星球的卫星的运行轨道是以为一个焦点的椭圆，该椭圆的离心率为，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，若当卫星处于某位置时，用卫星上的光学仪器观测该星球，把光学仪器的镜头与星球表面被观测点的连线称为视线，任意两条视线所成的最大夹角称为张角，则卫星运行过程中张角的最小值为 ．（精确到0.1°） 【答案】 【分析】结合题意由椭圆的几何性质和离心率确定椭圆的，再由椭圆的光学性质和反三角函数计算. 【详解】设椭圆轨道的半长轴为，焦距为， 由题意可得，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，在近日点即，又椭圆的离心率为，即， 由以上可得， 又由椭圆的光学性质可得在远日点时张角最小， 设此时张角为，则，即. 故答案为：. 【例28】（2025上海高三开学考试）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由求得的值. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以； 故选：C 【例29】如图所示，某旅游景区的，景点相距，测得观光塔的塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上，在景点处测得塔顶的仰角为45°，现有游客甲从景点沿直线去往景点，则沿途中观察塔顶的最大仰角的正切值为 .（塔顶大小和游客身高忽略不计） 【答案】 【分析】先用正弦定理解三角形得，再利用求取最小值来求仰角正切值的最大值即可. 【详解】 由塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上， 可知，，在中，， 由，结合正弦定理得， 在可得：， 过点作交于，由于平面，平面， 可得：，即， 当取最小值时：， 由正切函数在锐角范围是单调递增，即要求仰角的最大值，即求其正切值的最大值， 所以有最大值. 故答案为：. 题型11：航海问题 【例30】（2025·上海松江·二模）在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东的方向，甲乙两人间的距离为2km，丙在乙北偏西的方向，甲丙两人间的距离为，则乙丙两人间的距离为 km. 【答案】1 【分析】根据题意画出示意图，利用余弦定理求解. 【详解】如图，在中，，. 由余弦定理，可得 ， 即， 解得，即乙丙两人间的距离为1km. 故答案为：1. 【例】在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问：    (1)刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？ (2)缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 【答案】(1)缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向 (2)缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船 【分析】（1）根据题求得，由正弦定理求得，得到，得出为水平线，即可得到答案； （2）设经过时间小时后，缉私船追上走私船，得到，结合正弦定理求得，进而得到答案. 【详解】（1）由题意，可得， 则 ， 在中，由正弦定理，即， 解得，因为，所以，所以为水平线， 所以刚发现走私船时，缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向． （2）设经过时间小时后，缉私船追上走私船， 在中，可得， 由正弦定理得， 因为为锐角，所以， 所以缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船． 题型12：计算面积问题 【例31】（2024·上海奉贤·一模）申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成，其中，劣弧所在的圆为三角形的外接圆，圆心为． 已知，外接圆的半径是2，则该图形的面积为 ．（用含的表达式表示） 【答案】 【分析】连接，求出，可得答案. 【详解】连接，则，， ， ， ， 所以该图形的面积为. 故答案为：. 【例32】（2023·上海杨浦·一模）某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等且所在平面平行，与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面.雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（、分别在、延长线上）. (1)挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）； (2)小组拟自制部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高的最大值. 【答案】(1)①平方米②平方米 (2)0.3米 【分析】（1）分别按照直线段与圆弧计算BC的长，代入面积公式即可得解； （2）根据正弦定理求出，再由三角恒等变换求最大值即可得解. 【详解】（1）①其为直线段且时， 米， 所以在中，，即（米）. 所以（平方米）； ②其为以为圆心的圆弧时，此时圆的半径为（米）， 圆心角，所以圆弧的长， 所以（平方米） （2）由题意，，， 由正弦定理可得：， 即 ，其中， 当，即时，（米）. 即有效遮挡区域高的最大值为米. 【例33】借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池的半径为20米，圆心角为.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台，另一部分是三角形观赏台现计划在弧上选取一点，作平行交于点，以为边在水池中修建一个矩形观赏台，长为5米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台，记. (1)当时，过点作的垂线，交于点， 过点作OA的垂线，交于点， 求， 及矩形观赏台的面积； (2)求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值. 【答案】(1)，，平方米 (2)212.5平方米 【分析】（1）根据题意画出图形，在由已知条件结合图形即可求出， 及矩形观赏台的面积； （2）由题意可知，，利用正弦定理表示出各边，把观赏台面积表示为的函数，，利用三角函数求最值. 【详解】（1）由题意如图所示： 则由题意知， 当时， 则. . ∵，， ∴. 因为. 矩形的面积平方米. 所以矩形观赏台的面积平方米. （2）由题意可知，，，，， 在中，由， 得. 矩形MNPQ的面积：. 观赏台的面积：. 整个观赏台面积. 设，， ∴. . ∴. ∴   当时，整个观赏台观赏台S取得最大值为212.5平方 ∴整个观赏台的面积S的最大值为212.5平方米. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 重难点09 解三角形中的图形类与应用问题 1．中线模型 (1)中线长定理：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则. (2)向量法：. 2．角平分线模型 角平分线张角定理：如图，为平分线，则 3．倍角模型 ，这样的三角形称为“倍角三角形”． 推论1：； 推论2：. 4．等分点模型 如图，若在边上，且满足，，则延长至，使，连接.易知∥，且，，． 考点一 解三角形的图形类问题 题型01：解三角形中的中线问题 【例1】在中，角的对边分别为，且满足. (1)求角； (2)已知面积为，为7，求边上中线长. 【例2】在非直角中，，，分别是，，的对边.已知，，求： (1)的值； (2)边上的中线的长. 【例3】在中，是边上的中线. (1)求的面积； (2)求中线的长. 【例4】已知在中，. (1)求边的长； (2)求边上的中线的长. 题型02：解三角形中的角平分线问题 【例5】的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，已知． （1）求角C； （2）若CD是角C的平分线，，，求CD的长． 【例6】如图，在中，角所对的边分别为，已知是的角平分线，且． (1)求角的值； (2)若，求长的最大值． 【例7】已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中. (1)求A； (2)已知直线为的平分线，且与BC交于点M，若求的周长. 【例8】已知的三个内角的对边分别是，且满足． (1)求角的值； (2)若角的角平分线交于，且，边上的中线交于点，且，求的面积． 题型03：解三角形中的高问题 【例9】在中，． (1)求； (2)若,，求边上的高． 【例10】在中，分别是三个内角的对边，． (1)求的大小； (2)若，且边上的高是边上的高的2倍，求及的面积． 【例11】在中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)若，，CH为AB边上的高，H为垂足，，其中m，，求的值． 题型04：解三角形中的等分点问题 【例12】如图，在中，为边上靠近点的四等分点，，，的面积为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【例13】已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若的面积为，，点D为边上靠近B的四等分点，求的长. 题型05：解三角形中的重心问题 【例14】的内角、、所对的边分别为、、，，． (1)求角的大小； (2)为的重心，的延长线交于点，且，求的面积． 【例15】记的内角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，点为的重心，且，求的面积． 【例16】已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是的重心，且． (1)若，求的值； (2)求的取值范围． 题型06：解三角形中的倍角问题 【例17】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求证：； (2)若为锐角三角形且，求a的取值范围. 【例18】（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）已知中，A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)若，，的外接圆半径为，，求的大小； (2)若，，，求边的长. 【例19】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边长均为正整数，且． (1)若角B为钝角，求△ABC的面积； (2)若，求a． 题型07：三角形的外接圆和内切圆问题 【例20】在中，，，． (1)求； (2)点在外接圆上，设的面积为，若，求的周长． 【例21】已知的内角所对的边分别为． (1)求； (2)为外心，的延长线交于点，且，求的面积． 【例22】如图，平面四边形ABCD中，，，．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求四边形ABCD的外接圆半径R； (2)求内切圆半径r的取值范围． 考点二 解三角形的应用问题 题型08：测量距离 【例23】（24-25高三上·上海浦东新·期末）某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是 ．（精确到0.001） 【例24】（24-25高三上·上海金山·期末）某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为 米．（结果精确到1米） 题型09：高度问题 【例25】（2024·上海静安·一模）如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离 . 【例26】（2025·上海浦东新·二模）如图，某建筑物垂直于地面，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，已知相距100米，，则该建筑物高度约为 米．（保留一位小数） 题型10：角度问题 【例27】（2025·上海闵行·二模）已知某星球的球心为，半径为，该星球的卫星的运行轨道是以为一个焦点的椭圆，该椭圆的离心率为，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，若当卫星处于某位置时，用卫星上的光学仪器观测该星球，把光学仪器的镜头与星球表面被观测点的连线称为视线，任意两条视线所成的最大夹角称为张角，则卫星运行过程中张角的最小值为 ．（精确到0.1°） 【例28】（2025上海高三开学考试）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【例29】如图所示，某旅游景区的，景点相距，测得观光塔的塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上，在景点处测得塔顶的仰角为45°，现有游客甲从景点沿直线去往景点，则沿途中观察塔顶的最大仰角的正切值为 .（塔顶大小和游客身高忽略不计） 题型11：航海问题 【例30】（2025·上海松江·二模）在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东的方向，甲乙两人间的距离为2km，丙在乙北偏西的方向，甲丙两人间的距离为，则乙丙两人间的距离为 km. 【例】在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问：    (1)刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？ (2)缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 题型12：计算面积问题 【例31】（2024·上海奉贤·一模）申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成，其中，劣弧所在的圆为三角形的外接圆，圆心为． 已知，外接圆的半径是2，则该图形的面积为 ．（用含的表达式表示） 【例32】（2023·上海杨浦·一模）某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等且所在平面平行，与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面.雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（、分别在、延长线上）. (1)挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）； (2)小组拟自制部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高的最大值. 【例33】借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池的半径为20米，圆心角为.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台，另一部分是三角形观赏台现计划在弧上选取一点，作平行交于点，以为边在水池中修建一个矩形观赏台，长为5米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台，记. (1)当时，过点作的垂线，交于点， 过点作OA的垂线，交于点， 求， 及矩形观赏台的面积； (2)求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $