精品解析：山东省临沂市河东区2025-2026学年高二上学期期中数学试题

2024级普通高中学科素养水平监测试卷 数学 2025.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与圆位置关系的坐标判断方法，逐项验证即可得结论. 【详解】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是. 故选：C. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称的性质直接得到结果. 【详解】依题意，点关于平面的对称点坐标为， 故选： 3. 已知直线的方向向量为，若直线，则直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】设出直线的方向向量，利用直线垂直，得到坐标关系，利用公式计算即可. 【详解】设的方向向量为， 因为直线的方向向量为，且直线， 则， 所以， 则直线的斜率为，故倾斜角为45°， 故选： 4. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程定义求解即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 5. 直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】把点代入求得化直线方程为，求各轴上的截距，运算求解即可. 【详解】因为直线经过点， 则可得， 直线方程为， 因为直线在两坐标轴上的截距互为相反数，可知， 令，得；令，得； 则，化为，解得或， 故的所有可能取值之和为. 故选： 6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，且，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法运算法则，以，，为基底表示出即可. 【详解】如图： ， 又， 所以 ， 故选： 7. 实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件得，代入消元后可求. 【详解】因为， 所以， 则， 所以当时，取最小值 故选： 8. 如图所示，为棱长为1的正方体内部（含边界）一点，则的最值之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，用坐标表示，可求出最大值和最小值. 【详解】如图所示建立空间直角坐标系， 设， 则， 则， 当时取到最小值0，当时取到最大值． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的有（ ） A. 已知，，则 B. 若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C. 已知向量，，若，则为钝角 D. 点为平面外一点，为平面内一点，若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于根据空间向量坐标运算求模即可；对于根据向量共面判定定理判定；对于，令，则，此时从而判定；对于根据四点共面的向量判定定理求解. 【详解】对于,因为，， 则， 所以， 故正确； 对于若三个向量共面， 则存在实数， 使得， 解得， 则， 所以三个向量共面， 不可以构成空间向量的基底，故错误； 对于,因为，， 当时，，， 则，此时,不为钝角， 则错误； 对于因为是平面内一点， 根据四点共面的向量判定定理知： ，解得， 故正确， 故选： 10. 如图，长方体中，，，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是（ ） A. 直线与平行 B. 四面体的体积为定值 C. 平面与平面的夹角为 D. 直线和所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】连接，则为的中点，为的中点，即可判断A；证明平面，再根据棱锥的体积公式即可判断B；以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可判断CD. 【详解】对于A选项，连接， 因为是侧面的中心，是底面的中心， 则为的中点，为的中点， 所以在中，为的中位线，即，A正确； 对于B选项，因为，在平面外，平面， 所以平面， 又点在线段上运动，所以点到平面的距离为定值， 又为定值，所以四面体体积为定值，B正确； 对于C选项，如图以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令，得，则， 平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为 所以，C错误； 对于D选项，，, 则，D正确. 故选：ABD. 11. 已知椭圆：的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆上存在点，使得 C. 直线的方程为 D. 周长为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于，根据椭圆性质求得椭圆方程，计算离心率即可；对于，利用以为直径的圆与椭圆的位置关系进行判断；对于，利用点差法求直线的斜率，继而求得方程；对于，根据焦点三角形的性质直接求周长. 【详解】因为椭圆：的焦点分别为，， 可得焦点在轴，且， 即，所以， 则椭圆的方程为， 则其离心率 故错误； 对于,由椭圆方程可知， 以为直径的圆与椭圆有四个交点， 所以椭圆上存在点，使得， 则正确； 对于，设， 因为的中点为， 则， 又在椭圆上， 则， 两式相减可得： 即 所以直线的斜率为， 又直线过点， 则直线为， 即，故错误； 对于直线过点， 则的周长为， 故正确， 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则__________． 【答案】15 【解析】 【分析】由可得：，利用空间向量共线的充要条件列方程组计算即得. 【详解】因，依题意，必有， 即存在唯一的实数，使， 即：，则， 解得：，故. 故答案为：15. 13. 若直线沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位后，回到原来的位置，则直线的斜率为________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线的平移变换可得平移后的直线方程，比较系数可得． 【详解】易知直线的斜率存在，设方程为，① 所以直线沿轴向右平移3个单位后得到的方程为， 再沿轴向上平移2个单位后得到的方程为，② 因为回到原来的位置，所以方程①②应为同一个， 比较系数可得，解得 故答案为：． 14. 设为钝角，若直线与曲线：只有一个公共点，则的离心率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据曲线方程判断出曲线为双曲线，利用交点个数得直线与双曲线的一条渐近线平行，代入离心率公式计算即可. 【详解】因为为钝角，则， 所以曲线表示焦点在轴上的双曲线， 即 则故焦点坐标为， 又直线过，而点在双曲线内部， 则当直线与双曲线只有一个公共点时，该直线必与一条渐近线平行， 则，则的离心率为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：，圆：. （1）求证：直线恒过定点； （2）若直线与圆相切，求实数的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）或. 【解析】 分析】（1）变形直线方程，列出方程组，解出即可； （2）利用圆心到直线的距离等于半径建立方程，解出即可. 【小问1详解】 直线的方程可化为， 由，得， 所以，直线恒过定点. 【小问2详解】 圆的方程可化为， 则圆的圆心为，半径为1， 因为直线与圆相切，所以， 解得，或 16. 在棱长为1的正方体中，为的中点，分别以，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求向量在向量上的投影向量的坐标； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求得相关向量的坐标，利用向量在向量上的投影向量公式计算； （2）利用空间向量点到平面的距离公式计算. 【小问1详解】 在棱长为1的正方体中， 可知，，， 所以，， 所以，向量在向量上的投影向量为 ， 所以，向量在向量上的投影向量的坐标为: . 【小问2详解】 设平面的法向量为， 则，则， 即， 取，，， 则平面的一个法向量为， 又， 所以，， 所以，点到平面的距离为: . 17. 已知圆：，圆：，动圆与圆、圆都相外切，记动圆圆心的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的概念，以及圆与圆的位置关系，求出线段之间的关系，进而写出动点轨迹方程. （2）根据直线和双曲线的位置关系，以及韦达定理，根据向量关系，求出坐标间的关系,列出方程，求出结果. 【小问1详解】 设动圆的半径为， 圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径， 又因为动圆与圆、圆都相外切，所以，，， 所以，即动圆圆心的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线的右支， 又，所以，，， 所以，的方程为. 【小问2详解】 由题意知，直线的斜率存在且不为0，设过点的直线的方程为， 联立，消去得， 可知. 设，，则，， 由题意知点，均在双曲线的右支上，由，得， 可得，解得， ，解得， 可得，解得，即， 所以，直线的方程为，即或. 18. 在三棱锥中，平面，. （1）证明：； （2）若是中点，过的平面与平行，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理得到平面，继而可证； （2）建立空间直坐标系，求得相关向量的坐标，根据空间向量线面角公式计算. 【小问1详解】 因为平面， 且平面， 所以，，， 又， 所以与全等， 所以，， 即， 又，平面， 所以，平面， 又平面， 所以，. 【小问2详解】 设平面，连接， 因为，平面， 平面平面，所以， 由于是中点，故为的中点， 由（1）知， 又， 在中，有， 如图，过点作，易知， 以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，则， 即， 取，，， 则平面一个法向量， 设与平面所成角为，则 ， 所以与平面所成角的正弦值为. 19. 已知椭圆：的短轴长为2，点在上. （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的右焦点为，点为外一点，直线交于，两点， （i）已知为原点，若，求直线的方程； （ii）已知点，记直线，，的斜率分别为，，，若，求的面积. 【答案】（1） （2）（i）或；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的短轴长于椭圆上一点求解椭圆方程即可； （2）（i）设直线的方程为，联立直线与椭圆得交点坐标关系，从而由得，转化为，结合坐标关系求解即可得直线的方程；（ii）设，由（i）得的坐标表达式，结合得，从而得的值，再由面积公式求解的面积即可. 【小问1详解】 椭圆的短轴长为，则， 又点在上，所以， 解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）由（1）可得椭圆右焦点，显然当直线的斜率为0时不合题意， 则设直线的方程为， 联立，消去得， 设点，，则，， 因为，所以，化简得， 所以，即， 即，解得， 则直线的方程为：或. （ii）由题意知直线，，的斜率均存在，设， 由（i）得， ， 所以，， 因为，所以，所以， 又，解得， 所以点在定直线：上，且直线平行直线， 点到直线的距离， 所以， 因此的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级普通高中学科素养水平监测试卷 数学 2025.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆方程为，则下列点中在圆内的是（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线的方向向量为，若直线，则直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 150° 4. 双曲线的渐近线方程是（ ） A B. C. D. 5. 直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，且，若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 如图所示，为棱长为1正方体内部（含边界）一点，则的最值之和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的有（ ） A. 已知，，则 B. 若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C. 已知向量，，若，则为钝角 D. 点为平面外一点，为平面内一点，若，则 10. 如图，长方体中，，，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是（ ） A. 直线与平行 B. 四面体的体积为定值 C. 平面与平面的夹角为 D. 直线和所成角的余弦值为 11. 已知椭圆：的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆上存在点，使得 C. 直线方程为 D. 的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则__________． 13. 若直线沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位后，回到原来的位置，则直线的斜率为________. 14. 设为钝角，若直线与曲线：只有一个公共点，则的离心率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：，圆：. （1）求证：直线恒过定点； （2）若直线与圆相切，求实数的值. 16. 在棱长为1的正方体中，为的中点，分别以，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求向量在向量上的投影向量的坐标； （2）求点到平面的距离. 17. 已知圆：，圆：，动圆与圆、圆都相外切，记动圆圆心的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于，两点，且，求直线的方程. 18. 在三棱锥中，平面，. （1）证明：； （2）若是中点，过的平面与平行，求与平面所成角的正弦值. 19. 已知椭圆：的短轴长为2，点在上. （1）求椭圆方程； （2）椭圆的右焦点为，点为外一点，直线交于，两点， （i）已知为原点，若，求直线的方程； （ii）已知点，记直线，，的斜率分别为，，，若，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $