精品解析：湖南省邵阳市邵东市第四中学2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题

2025年下学期邵东四中高三期中考试卷（数学） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，则中的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 如果x，y是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 进价为80元的商品，按90元一个售出时，可卖出400个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，则获得利润最大时售价应为（ ） A. 90元 B. 95元 C. 100元 D. 105元 5. 已知，，则的图象恒过点（ ） A. B. C. D. 6. 若函数，则的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的最小值为2，则实数a=（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 8. 已知函数，则的图象大致为（ ）. A B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，错选得0分．） 9. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（　　） A. 函数极大值为 B 若，则 C. 若方程有两个不等的实根，则 D. 若过点恰有三条与曲线相切的直线，则 11. 已知函数（），若非空集合，且，则下列说法中正确是（ ） A. n的取值与m有关 B. n为定值 C. D. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，且，则的最小值为_________． 13. 函数的定义域为__________ 14. 已知函数，若，则实数的取值范围__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）若函数有且仅有一个零点，求的值； （2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围． 16. 已知函数，且. （1）求实数的值并判断该函数的奇偶性； （2）判断函数在（1，+∞）上的单调性并证明. 17. 已知函数. （1）若，求函数在区间上的最值； （2）讨论函数单调性. 18. 已知函数. （1）求的值域； （2）讨论函数的零点个数. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间及极值； （3）若集合恰有一个元素，直接写出的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期邵东四中高三期中考试卷（数学） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，则中的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先根据集合的元素求出集合的元素，再统计集合中的元素个数． 【详解】， 或，解得或， ，故中共有4个元素． 故选：C． 2. 如果x，y是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】依次分析充分性和必要性即可得解. 【详解】若“”，则两边平方得，即， 所以，充分性不成立； 若“”，则、同号，故“”，必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 若命题“，”是假命题，则实数a取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题是假命题得出全称命题为真，分和，再结合判别式计算求解. 【详解】命题“，”是假命题，则命题“，”是真命题， 当时，符合题意； 当时，由题知，解得； 综上，实数a的取值范围为. 故选：A. 4. 进价为80元的商品，按90元一个售出时，可卖出400个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，则获得利润最大时售价应为（ ） A. 90元 B. 95元 C. 100元 D. 105元 【答案】B 【解析】 【分析】建立函数关系式后由二次函数性质求解最值， 【详解】设售价为元，此时销售量为个， 则利润为， 由二次函数性质得，当时，取得最大值4500， 即当售价为95元时利润最大， 故选：B 5. 已知，，则的图象恒过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的图象恒过点,令,即可求出的图象恒过点. 【详解】解:令，解得：，故恒成立， 即的图象恒过点. 故选：B 【点睛】本题考查对数函数的图象恒过点问题,是基础题. 6. 若函数，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求和时值域,即可求得的值域. 【详解】① 在上单调递增， 当时,的值域为: 即: 的值域为: ② 令 是开口向上的二次函数,对称轴是: 当时, 故值域是: 的值域为: 故选:D. 【点睛】本题考查了分段函数求值域问题.求分段函数值域时,要先求出每段函数的值域,在求其并集. 7. 已知函数的最小值为2，则实数a=（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出函数的定义域，根据函数表达式易知函数单调递增，从而根据最小值可求出参数的值. 【详解】由得，故函数的定义域为 ， 易知函数在上单调递增， 所以， 解得 故选：B. 8. 已知函数，则的图象大致为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊值的函数值符号排除A、C，利用函数的单调性判断B、D. 【详解】因为，所以A错误； 因为，所以C错误； 因为，所以D错误； 排除了ACD，而B选项中的图像又满足上述性质，故B正确. 故选：B 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，错选得0分．） 9. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断. 【详解】对于A项，函数是奇函数，但是在或上单调递减， 在定义域上不具有单调性，故A项错误； 对于B项，函数可化为其图象如图： 故既是奇函数又是减函数，故B项正确； 对于C项，函数既是奇函数又是减函数，正确； 对于D项，是偶函数，故D项错误. 故选：BC. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（　　） A. 函数的极大值为 B. 若，则 C. 若方程有两个不等的实根，则 D. 若过点恰有三条与曲线相切的直线，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导确定函数单调性即可判断ABC，对于D，设切点坐标为，通过斜率得到，化简可得：，问题转化成方程有3个不同的根，进而可求解. 【详解】定义域为，， 由得，由得， 所以在单调递增，在单调递减， 当时，，当时，， 在时，取得极大值；A正确， 当时，，由单调性可知；B正确， 由函数单调性和极值可知：若方程有两个不等的实根，则，C错误； 设切点坐标为，则切线斜率为， 由两点得切线斜率，化简可得：， 若过点恰有三条与曲线相切的直线，则方程有3个不同的根， 令，定义域为，， 由得：或，由得：， 所以在单调递减，在单调递增， 极小值为，极大值，当时，，当时，， 所以方程有3个不同的根，即和的图象有3个交点，则，D正确； 故选：ABD 11. 已知函数（），若非空集合，且，则下列说法中正确的是（ ） A. n的取值与m有关 B. n为定值 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过换元将集合转化为关于的不等式，再利用建立方程和不等式，解得的值和的范围，最后判断各项正误. 【详解】令 则不等式化为， 设的解集为， 即，， 即， 所以， 又，且， 所以，且， 故，且， 则， 解得， 故错误，正确； 故， 因为集合非空， 则有解， 则， 解得或； 因为是方程两个根， 即是方程的两根， 则， 故, 解得， 故， 故错误，错误. 故选： 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，且，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”合理变换是解题的关键，属于基础题. 13. 函数的定义域为__________ 【答案】 【解析】 【分析】使函数表达式有意义即，解不等式组即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为： 【点睛】本题考查的是求函数的定义域，同时考查了一元二次不等式的解法，属于基础题. 14. 已知函数，若，则实数的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，，画出其图象，观察图象即可得解. 【详解】由题意，，如图所示 或 所以实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）若函数有且仅有一个零点，求的值； （2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）讨论不成立，当时令求解即可；（2）根据恒成立确定最高次项系数和，解不等式组即可. 【详解】解：（1）当时，无零点； 当时，有且仅有一个零点，则，即：，解得：或（舍），所以. （2）当，恒成立，所以成立； 当时， ，解得：. 故. 16. 已知函数，且. （1）求实数的值并判断该函数的奇偶性； （2）判断函数在（1，+∞）上的单调性并证明. 【答案】（1），函数为奇函数 （2）在上是增函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据，代入函数解析即可求解； （2）利用函数单调性的定义证明即可. 【小问1详解】 ∵，且， ∴； 所以，定义域为关于原点对称， ∵， ∴函数为奇函数. 【小问2详解】 函数在上是增函数， 证明：任取，设，则 ∵，且， ∴， ∴，即， ∴在上是增函数. 17 已知函数. （1）若，求函数在区间上的最值； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1）最小值为，最大值为 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，由求出的值，再求出函数的单调性，求出区间端点函数值与极值，即可得解； （2）求出函数的定义域与导函数，分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【小问1详解】 因为，所以， 则，解得， 所以，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以函数在区间上的最小值为，最大值为； 【小问2详解】 函数的定义域为且， 若时，当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 若时，则当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 若时，则当或时，当时， 所以在，上单调递减，在上单调递增； 综上可得：当时在上单调递增，在上单调递减； 当时在，上单调递增，在上单调递减； 当时在，上单调递减，在上单调递增. 18. 已知函数. （1）求的值域； （2）讨论函数的零点个数. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的性质进行求解即可； （2）根据（1）的结论，画出函数的图象、函数零点的定义，利用数形结合思想进行求解即可. 【小问1详解】 由， 令，或， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以函数在时，极小值为，极大值为， 而， 所以函数在时，最大值为，最小值为， 所以函数在时，值域为 【小问2详解】 函数， 函数的零点个数转化为直线与函数图象交点个数问题， 结合（1）的结论，在同一直角坐标系内，画出直线与函数图象， 当，或时，直线与函数图象没有交点，因此函数没有零点， 当，或时，直线与函数图象有个交点，因此函数有个零点， 当时，直线与函数图象有个交点，因此函数有个零点， 综上所述：当，或时，函数没有零点， 当，或时，函数有个零点， 当时，函数有个零点. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间及极值； （3）若集合恰有一个元素，直接写出的取值范围. 【答案】（1） （2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 极小值为，极大值为. （3）或 【解析】 【分析】（1）对函数求导，然后求出切点的导数值和函数值，进而即可求出切线方程. （2）根据导数的符号求出函数的单调区间以及极值点和极值. （3）根据（2）的单调性和极值画出函数图象，进而可确定的范围. 【小问1详解】 因为函数，对函数求导得. 所以，因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 令，则或. 当时，因为，所以，此时在上单调递增； 当时，因为，所以或，此时在，上单调递减； 所以在处取得极小值为， 在处取得极大值为. 【小问3详解】 因为集合恰有一个元素，即只有一个根. 也就是说函数与只有一个交点. 由（2）可画出函数的图象如下所示， 因为，时，， 所以根据图象可以得出当或时，集合恰有一个元素. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $