精品解析：湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高三上学期期中考试数学试卷 一、单选题. 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的几何意义可得出复数，利用复数的四则运算化简复数，结合共轭复数的定义可得结果. 【详解】由复数的几何意义可得，则. 因此，的共轭复数为. 故选：A. 2. 我们定义一种新运算“”：对于两个集合A和B，规定，其中和分别表示集合A和B在全集下的补集，已知全集，集合，集合，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出和，再求相关集合的交集和并集，利用定义新运算求解即可. 【详解】由已知可得， 所以， 则. 故选：A. 3. 已知等差数列满足，，数列满足，记数列前项和为，则当取得最小值时，的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先求得数列的通项公式，再根据数列的正负项求解. 【详解】因为，， 所以，公差， 所以， 故在数列中，，，，，均小于0，中其余项均大于0． 又因为，， 所以当取得最小值时，的值为6． 故选：C． 4. 如图，在长方体中，若E，F，G，H分别是棱，，，上的动点，且，则必有（ ） A. B. C. 平面平面EFGH D. 平面平面EFGH 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合图形，分别判断选项中的命题是否正确即可． 【详解】若点与重合，点与点重合， 则与的夹角便是与的夹角，显然与的夹角不是， 所以错误，A错误； 当与重合时，由可得， 当与不重合时， 因为，平面，平面， 所以平面，平面， 平面平面， 所以，又， 所以，B正确； 当平面与平面重合时，平面与平面不垂直，C错误； 当与重合时，平面与平面相交，D错误. 故选；B. 5. 若函数是偶函数，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知及是奇函数可得：是奇函数，利用奇函数定义列方程可得：，整理得解. 【详解】因为是偶函数，是奇函数， 所以是奇函数，所以， 所以，所以， 所以，所以， 故选：C. 点睛】本题主要考查了奇函数定义及分析能力，还考查了计算能力，属于中档题. 6. 已知，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用立方和公式及换元法，结合基本不等式即可求解. 【详解】由，得， 设，则，解得， 因为，，， 所以，解得或， 又因为， 所以，整理得，解得， 当且仅当时，等号成立. 因此，即， 所以的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：利用立方和公式和换元法，根据建立关于的不等式即可. 7. 已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 的最大值大于 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式、三角函数值域、函数的奇偶性、周期性、最值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项， ，所以A选项正确. B选项， ， 由于，， 所以，所以， 当时，，， 而在上单调递增， 所以， 所以时，，B选项正确. C选项，的定义域是，， 所以不是奇函数，C选项错误. D选项，由于，所以， 所以，所以D选项正确. 故选：C 【点睛】判断函数周期性的方法，需要通过函数的解析式，证得，由此求得的周期.判断函数的奇偶性的方法，可利用函数奇偶性的定义，或.对于奇函数来说，如果在处有定义，则必有. 8. 设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质判断大小关系即可. 【详解】由、分布曲线关于轴对称， 则， ∵越大，正态分布曲线越扁平， ∴. 故选：C 二、多选题. 9. 有下列几个命题，其中正确的命题是（ ） A. 奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点 B. 函数与函数表示同一个函数 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 函数的图像可由的图像向右平移1个单位得到 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，用函数说明不正确； 对于B，定义域不同故不是同一函数； 对于C，根据复合函数定义域判断，若的定义域为，则要满足 对于D，根据图象平移左加右减判断. 【详解】对于A，函数为奇函数，但其图象不过坐标原点，故A错误， 对于B，因为函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误， 对于C，因为函数的定义域为，要使函数有意义，则需，即，故函数的定义域为，故C正确. 对于D，将的图象向右平移1个单位得到的图象，故D正确. 故选:CD. 10. 在中，已知，，，是的中点，，分别是，上的动点，且，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系设，，则，设，则，进而由辅助角公式可得. 【详解】 如图，以原点，以分别为建立平面直角坐标系，则， 由题意设，，则， 由题意，设，， 则， 因，其中， 故，又，故， 又因， 故，即 故，故， 故选：BC 11. 下列说法正确的有（    ） A. 已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，记椭圆的离心率为e，则的取值范围是 B. 设P为椭圆上一点，为左右焦点，若，则P点的纵坐标为 C. 已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为 D. 过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，连接，根据椭圆和直线的对称性可得四边形为平行四边形，由余弦定理结合离心率求解判断即可；对于B，利用余弦定理及三角形面积公式可得，再利用等面积法求解判断即可；对于C，结合焦点到渐近线的距离为及离心率为2可得双曲线的方程为，进而结合内心的性质及直角三角形中内切的定义求解判断即可；对于D，由正弦定理可得，进而结合椭圆定义及离心率求解判断即可. 【详解】对于A，设为椭圆的另一焦点，如图，连接， 根据椭圆和直线的对称性，可得四边形为平行四边形， 又因为，所以. 在中，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 即， 又因为，所以， 又因为，故，故A错误； 对于B，由，得，，， 则，，， 由余弦定理得，， 则， 则，即， 所以， 设P点的纵坐标为，则， 则，即，故B正确； 对于C，在中， 其中一条渐近线方程为，即， 由题意，焦点到渐近线的距离为，则，即， 又，解得：， 则，所以双曲线的方程为. 记的内切圆在边，，上的切点分别为， 则，横坐标相等，，， 由，即， 得，即， 记横坐标为，则，于是，得， 同理内心的横坐标也为，故轴. 设直线的倾斜角为，则，（Q为坐标原点）， 在中，， 由于直线与的右支交于两点，且的一条渐近线的斜率为，倾斜角为， 所以，即， 所以的范围是，故C正确； 对于D，在中，由正弦定理可得 所以， 所以该椭圆的离心率 ，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 三、填空题 12. 已知与均为单位向量，它们的夹角为120°，那么__________. 【答案】. 【解析】 【分析】先将所求向量的模平方，然后求算术平方根． 【详解】 【点睛】本题考查了求向量模的方法．遇到本题的关型就是遇模则平方，然后开算术平方． 13. 函数的值域是______. 【答案】 【解析】 【分析】化简得，令，则有，令，则有，利用导数确定函数在的单调性，即可求得的值域，即为的值域. 【详解】解：因为， 设，因为，所以， 则有 ， 设， 则有， 因为， 令，得， 所以当或时，，单调递减； 当时，，单调递增； 又因为，，，， 所以的值域为. 故答案为：. 14. 某水平放置的平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形（如图），已知，，，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合斜二测法可得圆台上、下底面半径及母线长度，再利用圆台侧面积公式求得该圆台的侧面积. 【详解】依题意，四边形为直角梯形，， ，，， 则所得圆台的上下底面圆半径分别为，高为，母线， 所以所求侧面积. 故答案为：. 四、解答题 15. 在中，已知，． （1）求证：； （2）在①；②；③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的值和的面积． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）证明见解析； （2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可得，再根据余弦定理即可证明； （2）若选①，由（1）可得，，,，从而可求,根据三角形面积公式即可求解； 若选②，由（1）可得，，,，根据可求，根据三角形面积公式即可求解； 若选③，根据边的等量关系可得，矛盾. 【小问1详解】 由  ，根据正弦定理可得. 又因为，由余弦定理得：， 可得，即. 【小问2详解】 若选①， 由 ，且， 所以，解得， 所以,. 所以. 若选②， 根据，所以,. 因为，所以，解得. 所以. 若选③， 由（1）可得，，则,与，矛盾， 故不存在. 16. 某用人单位招聘毕业大学生设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试.笔试有两次机会，若第一次笔试通过，则进入面试环节，若没有通过，进行第二次笔试，两次笔试相互独立，若第二次笔试通过则进入面试环节，若仍不通过，则淘汰不予录用.面试只有一次机会，通过后即可录用.已知考生甲通过笔试的概率均为，通过面试的概率为.考生乙通过笔试的概率均为，通过面试的概率为.记“甲被录用”为事件A，“乙被录用”为事件B，事件A，B相互独立.求： （1）； （2）甲乙两人恰有一个人被该用人单位录用的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意事件A包含“第一次笔试通过、面试通过”和“第一次笔试不通过、第二次笔试通过、面试通过”两种可能，从而可求； （2）先求出“乙被录用”的概率，再由恰有一个人被录用分为“甲被录用且乙不被录用”和“乙被录用且甲不被录用”两种情况，进而可求出概率. 【小问1详解】 由于“甲被录用”为事件A，事件A包含“第一次笔试通过、面试通过”和“第一次笔试不通过、第二次笔试通过、面试通过”两种可能， 则. 【小问2详解】 由（1）知，则“甲不被录用”的概率， 由题意“乙被录用”的概率，“乙不被录用”的概率为， 由于甲乙两人恰有一个人被录用的事件为，事件A，B相互独立， 所以. 所以甲乙两人恰有一个人被该用人单位录用的概率为. 17. 如图，在四棱锥中，PA平面ABCD，，，AD=2. （1）求证：平面PCD⊥平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明，，由线面垂直判定定理知平面，再由面面垂直的判定定理得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 取的中点，连接，如图， 因为AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，所以，∥， 所以四边形平行四边形， 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 过点作于，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 在等腰梯形中，AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2， 则， 所以，， 设平面的法向量为，因为 ， 所以，令，则， 设平面的法向量为，因为， 所以，令，则， 所以. 18. 已知双曲线的左，右焦点为，右焦点到左顶点的距离是6，且离心率等于2. （1）求双曲线的标准方程； （2）过作斜率为的直线分别交双曲线的两条渐近线于第二象限的点和第一象限的点，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的顶点与焦点坐标，建立方程，可得答案； （2）利用点斜式方程，设出直线方程，由双曲线方程，写出渐近线方程，联立求得交点，根据中点坐标公式，可得答案. 【小问1详解】 由条件可知；由此解得； ，所以；所求的双曲线方程为. 【小问2详解】 由条件，知，直线的方程是， 双曲线的渐近线方程为， 设，联立方程组，解得； 联立方程组，解得 因为是的中点， 于是，解得，所求的值是. 19. 设函数，且存在两个极值点､，其中. （1）求实数的取值范围； （2）若恒成立，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）存在两个极值点，等价于其导函数有两个相异零点； （2）适当构造函数，并注意与的关系，转化为函数求最大值问题，即可求得的范围. 【小问1详解】 （）， ， 函数存在两个极值点､，且， 关于的方程，即在内有两个不等实根， 令， ，即， ， 实数的取值范围是. 【小问2详解】 函数在上有两个极值点，由（1）可得， 由，得，则，，，， ， ，， ， 令，则且， 令，， ， 再设， 则， ， ，即在上是减函数， （1）， ， 在上是增函数， （1）， ， 恒成立， 恒成立， ， 的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查导函数，函数的单调性，最值，不等式证明，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是将恒成立，转化为恒成立，化简，令，则化为，然后构造函数，利用导数求出其最大值即可，属于较难题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高三上学期期中考试数学试卷 一、单选题. 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数为（ ） A B. C. D. 2. 我们定义一种新运算“”：对于两个集合A和B，规定，其中和分别表示集合A和B在全集下的补集，已知全集，集合，集合，则等于（    ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列满足，，数列满足，记数列前项和为，则当取得最小值时，的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 如图，在长方体中，若E，F，G，H分别是棱，，，上的动点，且，则必有（ ） A. B. C 平面平面EFGH D. 平面平面EFGH 5. 若函数是偶函数，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6. 已知，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 的最大值大于 8. 设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多选题. 9. 有下列几个命题，其中正确的命题是（ ） A. 奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点 B. 函数与函数表示同一个函数 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 函数的图像可由的图像向右平移1个单位得到 10. 在中，已知，，，是的中点，，分别是，上的动点，且，则的可能取值为（ ） A B. C. D. 11. 下列说法正确的有（    ） A. 已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，记椭圆的离心率为e，则的取值范围是 B. 设P为椭圆上一点，为左右焦点，若，则P点的纵坐标为 C. 已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为 D. 过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为 三、填空题 12. 已知与均为单位向量，它们的夹角为120°，那么__________. 13. 函数的值域是______. 14. 某水平放置平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形（如图），已知，，，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为________． 四、解答题 15. 在中，已知，． （1）求证：； （2）在①；②；③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的值和的面积． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 16. 某用人单位招聘毕业大学生设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试.笔试有两次机会，若第一次笔试通过，则进入面试环节，若没有通过，进行第二次笔试，两次笔试相互独立，若第二次笔试通过则进入面试环节，若仍不通过，则淘汰不予录用.面试只有一次机会，通过后即可录用.已知考生甲通过笔试的概率均为，通过面试的概率为.考生乙通过笔试的概率均为，通过面试的概率为.记“甲被录用”为事件A，“乙被录用”为事件B，事件A，B相互独立.求： （1）； （2）甲乙两人恰有一个人被该用人单位录用的概率. 17. 如图，在四棱锥中，PA平面ABCD，，，AD=2. （1）求证：平面PCD⊥平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18. 已知双曲线的左，右焦点为，右焦点到左顶点的距离是6，且离心率等于2. （1）求双曲线的标准方程； （2）过作斜率为的直线分别交双曲线的两条渐近线于第二象限的点和第一象限的点，若，求的值. 19. 设函数，且存在两个极值点､，其中. （1）求实数的取值范围； （2）若恒成立，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $