第五章 统计与概率（复习课件）数学人教B版2019必修第二册

该高中数学单元复习课件聚焦统计与概率核心内容，涵盖数据收集、样本估计、事件关系及概率计算等知识，通过单元知识图谱和考点串讲，构建“数据收集-表示-分析-推断”与“事件定义-关系-概率计算”的逻辑网络，串联抽样方法、数据特征、古典概型等关键知识点。 其亮点在于以题型剖析为载体，结合例题解析与针对训练，如分层抽样计算、频率分布直方图应用等，培养数据分析和逻辑推理能力。分层设计的变式训练满足不同学生需求，助力教师实施个性化复习，有效巩固知识，提升复习效率。

单元复习课件 第五章统计与概率 人教B版2019必修第二册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解从数据收集到数据分析的完整统计过程，掌握用样本推断总体的基本思想. 3. 根据实际问题选择合适的抽样方法，以及综合运用平均数与方差（标准差）对数据的集中趋势和离散程度进行准确分析与比较. 2. 掌握三种抽样方法（简单随机、分层随机、系统抽样）的原理与应用，以及刻画数据特征的核心统计量（平均数、中位数、方差、标准差）的计算与意义. 单元学习目标 统计 统计图表 相关概念 总体、个体及样本 普查和抽样 抽样调查 简单随机抽样 分层抽样 扇形、折线、条形统计图 频率分布直方图和折线图 用样本估计总体 用样本估计离散程度 百分位数 单元知识图谱 知识点　总体与样本 所考察问题涉及的对象全体是 ，总体中每个对象都是________，抽取的部分对象组成总体的一个样本，一个样本中包含的个体数目是________容量． 总体 个体 样本 考点一、总体与样本 对总体、个体、样本、样本容量的认识 总体：统计中所考察对象的全体叫做总体． 个体：总体中的每一个考察对象叫做个体． 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做样本． 样本容量：样本的个体的数目叫做样本容量． 考点串讲 知识点　简单随机抽样 1．简单随机抽样的意义 一般地，简单随机抽样就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取个体．简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础．通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法． 2．简单随机抽样的分类 简单随机抽样 抽签法 随机数法 考点二、简单随机抽样 简单随机抽样必须具备的几个特点 ①被抽取样本的总体中的个体数是有限的． ②抽取的样本个体数小于或等于总体中的个体数. ③样本中的每个个体都是逐个不放回抽取的． ④每个个体入样的可能性均为. 考点串讲 知识点　分层抽样 一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样)． 考点三、分层抽样 应用分层抽样的前提条件 ①总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小． ②每层中所抽取的个体差异可按各层个体在总体中所占的比例抽取． ③分层抽样要求对总体的情况有一定的了解，明确分层的界限和数目． 考点串讲 知识点一　最值 一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值．   考点四、数据的数字特征 最值反应的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max表示，最小值用min表示． 考点串讲 知识点二　百分位数 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 可以通过下面的步骤计算一组个数据的第百分位数： 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算. 第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数． 考点四、数据的数字特征 考点串讲 知识点三　众数、中位数、平均数的概念 1．众数：一组数据中， 的数据是众数． 2．中位数：把一组数据按照________排成一列，把处在______的数据(或 )叫做这组数据的中位数． 3．平均数：如果有n个数x1，x2，x3，…，xn，那么这n个数的平均 数为________________________________． 重复出现次数最多 大小顺序 最中间 两个数据的平均数 对众数、中位数、平均数的理解 (1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量． (2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中部分数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题． (3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中． (4)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位． 考点四、数据的数字特征 考点串讲 知识点四　极差、方差与标准差 1．一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差． 2．如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差可用求和符号表示为 . 3．方差的算术平方根称为标准差．   对方差与标准差概念的理解 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小． (2)标准差、方差的取值范围：． 标准差、方差为时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性． (3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差． 考点四、数据的数字特征 考点串讲 知识点　数据的直观表示 1．柱形图：能够反映样本的频率分布规律的直方图． 2．频率分布折线图：将频率分布直方图中各相邻的矩形的________的中点顺次连接起来，就得到频率分布折线图． 3．扇形图可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况． 4．茎叶图的画法步骤 第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分； 第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列； 第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的两侧． 上底边 考点五、数据的直观表示 考点串讲 5．频数(率)分布直方图 绘制频率分布直方图的步骤 最大值与最小值的差 k 不小于k的最小整数 左闭右开 闭 考点五、数据的直观表示 考点串讲 表示频率分布的几种方法的优点与不足   优点 不足 频率分布表 表示数量较确切 分析数据分布的总体态势不方便 频率分布直方图 表示数据分布情况非常直观 原有的具体数据信息被抹掉了 频率分布折线图 能反映数据的变化趋势 不能显示原有数据信息 考点五、数据的直观表示 考点串讲 知识点一　随机现象、必然现象 一定条件下，发生的结果事先不能确定的现象就是随机现象(或偶然现象)，发生的结果事先能够确定的现象就是必然现象(或确定性现象)． 知识点二　样本点和样本空间 1．随机试验 我们把在相同条件下，对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验(简称为试验)． 2．样本点与样本空间 我们把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点，把由所有样本点组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母表示)． 考点六、样本空间与事件 考点串讲 知识点三　随机事件 1．随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为________，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示． 2．必然事件、不可能事件 任何一次随机试验的结果，一定是样本空间Ω中的元素，因此可以认为每次试验中Ω一定发生，从而称Ω为必然事件；又因为空集∅不包含任何样本点，因此可以认为每次试验中∅一定不发生，从而称∅为不可能事件． 随机事件 考点六、样本空间与事件 考点串讲 1.事件的结果是相对于“条件S”而言的，因此要确定一个随机事件的结果，必须明确何为事件发生的条件，何为此条件下产生的结果．例如，在讨论掷骰子所得到的点数时，需要注明一次要掷骰子的枚数，因为掷一枚骰子所得到的点数的范围与掷两枚骰子所得到的点数的范围是不一样的． 2．随机事件的“可能发生也可能不发生”并不是指没有任何规律地随意发生． 考点六、样本空间与事件 考点串讲 知识点　事件的关系与运算 定义 表示法 图示 事件的关系 包含关系 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B________，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) ______(或______) 相等关系 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，则称事件A与事件B相等 A＝B 一定发生 B⊇A A⊆B 考点七、事件关系与运算 考点串讲 事件的关系 事件互斥 若A为____________，则称事件A与事件B互斥 若 ________，则A与B互斥 事件对立 若A为______，A为________，那么称事件A与事件B互为对立事件 若A＝∅，且A＝U，则A与B对立 不可能事件 必然事件 考点七、事件关系与运算 考点串讲 事件的运算 并事件 若某事件发生当且仅当___________________，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) ________(或________) 交事件 若某事件发生当且仅当___________________，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) ________(或________) 事件A发生或事件B发生 A∪B A＋B　 事件A发生且事件B发生 A∩B AB 考点七、事件关系与运算 考点串讲 考点七、事件关系与运算 互斥事件与对立事件的区别与联系 两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况： (1)若事件A发生，则事件B就不发生； (2)若事件B发生，则事件A就不发生； (3)事件A、B都不发生． 两个事件A、B是对立事件，仅有前两种情况．因此，互斥未必对立，但对立一定互斥． 考点串讲 知识点一　古典概型 　 一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型． 考点八、古典概型 1.由古典概型的定义可得古典概型满足基本事件的有限性和等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不用通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可． 2．在古典概型中，每个基本事件发生的可能性都相等，称这些基本事件为等可能基本事件． 考点串讲 知识点二　概率的性质 　假设古典概型对应的样本空间含n个样本点，事件A包含m个样本点，则： (1)由与可知； (2)因为中包含的样本点个数为，所以 ，即； (3)若事件B包含有k个样本点，而且A与B互斥，则容易知道包含个样本点，从而 ． 考点八、古典概型 考点串讲 知识点　频数与频率 一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为.不难看出，此时也有0≤P(A)≤1. 正确理解频率与概率之间的关系 随机事件的频率，是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动的幅度越来越小．我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率． 考点九、频数与概率 考点串讲 概率与频率的区别与联系   频率 概率 区别 频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的 概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小 联系 频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率 考点九、频数与概率 考点串讲 知识点　随机事件的独立性 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．   考点十、随机事件的独立性 事件A与B是相互独立的，那么A与与B，与也是相互独立的． 对于A与，因为A＝AB，而且AB与A互斥，所以 P(A)＝P(AB)＝P(AB)＋P(A)＝P(A)P(B)＋P(A)， 所以P(A)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)(1－P(B))＝P(A)P()． 由事件的独立性定义，A与相互独立． 考点串讲 题型一、简单随机抽样的概念 例1　下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？ (1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本； (2)质量监督部门从180种儿童玩具中选出18种玩具进行质量检验， 在抽样过程中，从中任取一种玩具检验后再放回； (3)某社区组织100名党员研读《二十大报告》，学习二十大精神； (4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地逐个抽出7个号签． 【解析】(1)不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求被抽取样本的总体的个数是有限的． (2)不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求逐个不放回地抽取． (3)不是简单随机抽样，因为这100名党员是挑选出来的，该社区每个人被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能性”的要求． (4)是简单随机抽样，因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样． 题型剖析 题型一、简单随机抽样的概念 简单随机抽样的四个特征 题型剖析 变式1　下列抽样方式是否是简单随机抽样？ (1)在某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上每隔30分钟抽一包产品，检验其质量是否合格； (2)某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛． 解析：由简单随机抽样的特点可知，(1)(2)均不是简单随机抽样． 题型一、简单随机抽样的概念 针对训练 题型二、抽签法的应用 例2　要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试，请选择合适的抽样方法，写出抽样过程． 【解析】　利用抽签法，步骤如下： (1)将30辆汽车编号，号码是1，2，…，30； (2)将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签； (3)将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并搅拌均匀； (4)从袋子中依次抽取3个号签，并记录上面的编号； (5)所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象． 题型剖析 题型二、抽签法的应用 抽签法的优缺点 抽签法的优点：简单易行．当总体的个数不多时，使总体处于“搅拌均匀”的状态比较容易，这时，每个个体都有均等的机会被抽中，从而能够保证样本的代表性．缺点：仅适用于个体数较少的总体．当总体容量非常大时，费时费力又不方便．况且，如果号签搅拌不均匀，可能导致抽样不公平． 题型剖析 变式2　第十三届中国(徐州)国际园林博览会于2021年9月开幕．为做好徐州园博园运营管理工作，2022年春节期间，还需要从30名大学生中随机抽取8人作为志愿者，请写出抽取样本的过程． 解析：抽样过程如下： 第一步，先将30名大学生进行编号，从1到30. 第二步，将编号写在形状、大小相同的号签上． 第三步，将号签放到一个不透明的盒子中搅拌均匀，然后从盒子中逐个抽取8个号签． 第四步，将与号签上的编号对应的大学生抽出，即得样本． 题型二、抽签法的应用 针对训练 例3　某车间工人加工了一批零件共40件．为了了解这批零件的质量情况，要从中抽取10件进行检验，如何采用随机数表法抽取样本，写出抽样步骤． 题型三、随机表的应用 【解析】　抽样步骤是： 第一步，先将40件零件编号，可以编号为00，01，02，…，38，39. 第二步，在随机数表中任选一个数作为开始，例如从教材附表的随机数表中的第8行第9列的数0开始．为便于说明，我们将随机数表中的第6行到第10行分别摘录如下： 66 06 57 47 17　34 07 27 68 50　36 69 73 61 70　65 81 33 98 85　11 19 92 91 70 81 05 01 08 05　45 57 18 24 05　35 30 34 28 14　88 79 90 74 39　23 40 30 97 32 83 26 97 76 02　02 05 16 56 92　68 55 57 48 18　73 05 38 52 47　18 62 38 85 79 63 57 33 21 35　05 32 54 70 48　90 55 85 75 18　28 46 82 87 09　83 40 12 56 24 73 79 64 57 53　03 52 96 47 78　35 80 83 42 82　60 93 52 03 44　35 27 38 84 35 第三步，从选定的数0开始向右读下去，得一个两位数字号码02，将它取出；继续向右读，得到02，由于前面已经取出，将它去掉；继续下去，去掉重复的号码，又得到05，16，18，38，33，21，35，32，28.至此，10个样本号码已经取满，于是，所要抽取的样本号码是02，05，16，18，38，33，21，35，32，28.与这10个号码对应的零件即是抽取的样本个体． 题型剖析 题型三、随机表的应用 在随机数表法抽样的过程中要注意： (1)编号要求位数相同，读数时应结合编号特点进行读取，如：编号为两位，则两位、两位地读取；编号为三位，则三位、三位地读取． (2)第一个数字的抽取是随机的． (3)读数的方向是任意的，且事先定好． 题型剖析 变式3　有一批机器，编号为1，2，3，…，112.请用随机数法抽取10台入样，写出抽样过程． 解析：第一步，将原来的编号调整为001，002，003，…，112. 第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第14行第7个数“0”，向右读． 第三步，从“0”开始，向右读，每次读取三位，凡不在001～112中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到020，086，013，110，089，021，180，098，027，002. 第四步，对应原来编号为20，86，13，110，89，21，80，98，27，2的机器便是要抽取的对象． 题型三、随机表的应用 针对训练 题型四、分层抽样的计算 例4　某市有大型超市200家，中型超市400家，小型超市1 400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市________家． 【解析】　依据题意，可得抽样比为＝，故应抽取中型超市400×＝20(家)． 【答案】　20 题型剖析 题型四、分层抽样的计算 分层抽样中有关抽样比的计算方法 对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式巧解： (1)＝； (2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比． 对于分层抽样中求某层个体数，或某层要抽取的样本个体数，都可以通过上面两个等量关系求解． 题型剖析 变式4　某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________． 解析：设该单位老年职工人数为x，由题意得3x＝430－160，解得x＝90.则样本中的老年职工人数为90×＝18. 答案：18 题型四、分层抽样的计算 针对训练 题型五、分层抽样的应用 例5　某家电视台在因特网上征集某电视节目现场参与的观众，报名的总人数为12 000人，分别来自4个城区，其中东城区2 400人，西城区4 600人，南城区3 800人，北城区1 200人，从中抽取60人参加现场的节目，应当如何抽取？写出抽取过程． 【解析】　采用分层抽样的方式抽取参加现场节目的观众，步骤如下： 第一步，分层．按城区分为四层：东城区、西城区、南城区、北城区． 第二步，确定抽样比．样本容量n＝60，总体容量N＝12 000，故抽样比k＝＝＝. 第三步，按比例确定每层抽取个体数．在东城区抽取2 400×＝12(人)，在西城区抽取4 600×＝23(人)，在南城区抽取3 800×＝19(人)，在北城区抽取1 200×＝6(人)． 第四步，在各层分别用简单随机抽样法抽取样本．将各城区抽取的观众合在一起组成样本． 题型剖析 题型五、分层抽样的应用 分层抽样的应用 (1)如果总体中的个体有差异时，就用分层抽样抽取样本，用分层抽样抽取样本时，要把性质、结构相同的个体，组成一层． (2)每层中所抽取的个体数应按各层个体数在总体中所占的比例抽取，也就是各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即抽样比＝.这样抽取能使所得到的样本结构与总体结构相同，可以提高样本对总体的代表性． 题型剖析 变式5　在100个产品中，有一等品20个，二等品30个，三等品50个，现要抽取一个容量为30的样本，请说明抽样过程．   解析：先将产品按等级分成三层；第一层，一等品20人；第二层，二等品30个；第三层，三等品50个．然后确定每一层抽取的个体数，因为抽样比为＝，所以应在第一层中抽取产品20×＝6(个)，在第二层中抽取产品30×＝9(个)，在第三层中抽取产品50×＝15(个)． 分别给这些产品编号并贴上标签，用抽签法或随机数表法在各层中抽取，得到一等品6个，二等品9个，三等品15个，这样就通过分层抽样得到了一个容量为30的样本．   题型五、分层抽样的应用 针对训练 题型六、百分位数 例6　计算甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 甲组 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8 8 9 10 10 12 13 13 乙组 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 7 10 14 14 14 14 15 【解析】　因为数据个数为20，而且20×25%＝5，20×75%＝15. 因此，甲组数的25%分位数为＝＝2.5； 甲组数的75%分位数为＝＝9.5. 乙组数的25%分位数为＝＝1； 乙组数的75%分位数为＝＝12. 题型剖析 题型六、百分位数 如何求百分位数 求总体百分位数的估计，首先要从小到大排列数据，然后计算出i＝n×p%，当i不是整数要取整，当i是整数，则百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 题型剖析 题型六、百分位数 变式6　某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下： 甲：95，81，75，91，86，89，71，65，76，88，94，110，107. 乙：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，78，106，101. 计算出学生甲、乙的第25，50的百分位数． 解析：把甲、乙两名学生的数学成绩从小到大排序，可得 甲：65，71，75，76，81，86，88，89，91，94，95，107，110. 乙：78，79，83，86，88，93，98，98，99，101，103，106，114. 由13×25%＝3.25，13×50%＝6.5. 可得数据的第25，50百分位数为第4，7项数据， 即学生甲的第25，50的百分位数为76，88. 学生乙的第25，50的百分位数为86，98. 针对训练 题型七、众数、中位数、平均数的应用 例7　某公司的33名员工的月工资(以元为单位)如下： 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 月工资 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 (1)求该公司员工月工资的平均数、中位数、众数；(精确到1元) (2)假设副董事长的月工资从5 000元提升到20 000元，董事长的月工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又分别是多少？(精确到1元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法． 题型剖析 【解析】　(1)平均数是＝≈2 091(元)， 中位数是1 500元，众数是1 500元． (2)新的平均数是′＝≈3 288(元)， 中位数是1 500元，众数是1 500元． (3)在这个问题中，中位数和众数都能反映出这个公司员工的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平． 题型七、众数、中位数、平均数的应用 题型剖析 题型七、众数、中位数、平均数的应用 平均数和中位数的计算方法 (1)平均数计算方法 ①定义法：n个数据a1，a2，…，an的平均数＝. ②利用加权平均数公式： 在n个数据中，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次(f1＋f2＋…＋fk＝n)，则这n个数的平均数为：. ③当数据较大时，用公式简化计算． (2)中位数的求法 ①当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大(或从大到小)的顺序依次排列的中间那个数． ②当数据个数为偶数时，中位数为按从小到大(或从大到小)的顺序依次排列的最中间的两个数的平均数． 题型剖析 变式7　某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)如表，其中甲班学生成绩的平均分是85分，乙班学生成绩的中位数是83分，则x＋y的值为________． 解析：因为甲班学生成绩的平均分是85，所以＝85，解得x＝5，又因为乙班学生成绩的中位数是83，所以y＝3，所以x＋y＝8. 答案：8 题型七、众数、中位数、平均数的应用 针对训练 题型八、标准差、方差的应用 例8　甲、乙两机床同时加工直径为的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为： 甲：99　100　98　100　100　103 乙：99　100　102　99　100　100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 【解析】　(1)(99＋100＋98＋100＋100＋103)=100， (99＋100＋102＋99＋100＋100)=100. [(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝， ＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又， 所以乙机床加工零件的质量更稳定． 题型剖析 变式8　在本例中，若甲机床所加工的6个零件的数据全都加10，那么所得新数据的平均数及方差分别是多少？ 解析：甲的数据为99＋10，100＋10，98＋10，100＋10，100＋10，103＋10，平均数为100＋10＝110， 方差仍为 [(109－110)2＋(110－110)2＋(108－110)2＋(110－110)2＋(110－110)2＋(113－110)2]＝. 题型八、标准差、方差的应用 针对训练 例9　在拜登上任之前的美国历届总统中，就任时年龄最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年龄最大的是特朗普，他于2016年就任，当时70岁．下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2016年的特朗普，共45任)给出了历届美国总统就任时的年龄：57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，47，70. (1)将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图、折线图； (2)用自己的语言描述一下历届美国总统就任时年龄的分布情况． 题型九、频率分布直方图、折线图 题型剖析 【解析】　(1)以4为组距，列频率分布表如下： 分组 频数 频率 [42，46) 2 0.044 4 [46，50) 7 0.155 5 [50，54) 8 0.177 8 [54，58) 16 0.355 6 [58，62) 5 0.111 1 [62，66) 4 0.088 9 [66，70] 3 0.066 7 合计 45 1.000 0 题型九、频率分布直方图、折线图 题型剖析 画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图，如图所示． (2)从频率分布表中可以看出，将近60%的美国总统就任时的年龄在50岁至60岁之间，45岁及45岁以下和65岁以上就任的总统所占的比例相对较小． 题型九、频率分布直方图、折线图 题型剖析 题型九、频率分布直方图、折线图 绘制频率分布直方图应注意的问题 (1)在绘制出频率分布表后，画频率分布直方图的关键就是确定小矩形的高．一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，合理的定高方法是“以一个恰当的单位长度”(没有统一规定)，然后以各组的“”所占的比例来定高． (2)数据要合理分组，组距要选取恰当，一般尽量取整，数据为30～100个时，应分成5～12组，在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和为1. 题型剖析 变式9　有一个容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：[－20，－15)，7；[－15，－10)，11；[－10，－5)，15；[－5，0)，40；[0，5)，49；[5，10)，41；[10，15)，20；[15，20)，17. (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图和频率分布折线图； (3)求样本数据不足0的频率． 题型九、频率分布直方图、折线图 针对训练 解析：(1)频率分布表如下： 分组 频数 频率 [－20，－15) 7 0.035 [－15，－10) 11 0.055 [－10，－5) 15 0.075 [－5，0) 40 0.2 [0，5) 49 0.245 [5，10) 41 0.205 [10，15) 20 0.1 [15，20] 17 0.085 合计 200 1.00 题型九、频率分布直方图、折线图 针对训练 (2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示： (3)样本数据不足0的频率为： 0．035＋0.055＋0.075＋0.2＝0.365. 题型九、频率分布直方图、折线图 针对训练 例10　为了快速了解某学校学生体重(单位：kg)的大致情况，随机抽取了10名学生称重，得到的数据整理成茎叶图如图所示．估计这个学校学生体重的平均数和方差． 【解析】　将样本中的每一个数都减去50，可得－5，－1，－3，－1，－4，－4，1，8，9，10， 这组数的平均数为＝1， 方差为＝30.4. 因此可估计这个学校学生体重平均数为51，方差为30.4. 题型十、茎叶图 题型剖析 题型十、茎叶图 茎叶图中的三个关注点 (1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一． (2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏． (3)给定两组数的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小． 题型剖析 变式10　某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为(　　) A.117　　　　B．118　　　　 C．118.5　　　　D．119.5 答案：B. 解析：22次考试中，所得分数最高的为98，最低的为56，所以极差为98－56＝42，将分数从小到大排列，中间两数为76，76，所以中位数为76，所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为42＋76＝118. 题型十、茎叶图 针对训练 例11　指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件： (1)出租车司机小李驾车通过4个十字路口都将遇到绿灯； (2)若x∈R，则x2＋1≥1； (3)小红书包里只有数学书、语文书、地理书、政治书，她随意拿出一本，是漫画书． 【解析】　(1)中的事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件． (2)中的事件一定会发生，所以是必然事件． (3)小红书包里没有漫画书，所以是不可能事件． 题型十一、事件类型的判断 题型剖析 题型十一、事件类型的判断 如果判定事件类型 要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的．第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生．一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件． 题型剖析 变式11　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件． (1)中国体操运动员将在下次奥运会上获得全能冠军； (2)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和大于12. 解析：由题意知：(1)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件； 由于骰子朝上面的数字最大是6，两次朝上面的数字之和最大是12，不可能大于12，所以(2)中事件不可能发生，是不可能事件． 题型十一、事件类型的判断 针对训练 题型十二、事件的运算 例12　如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效．设事件A＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”． (1)写出表示两个元件工作状态的样本空间； (2)用集合的形式表示事件A，B 以及它们的对立事件； (3)用集合的形式表示事件A和事件，并说明它们的含义及关系． 【解析】　(1)用x1，x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用(x1，x2)表示这个并联电路的状态．以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为Ω＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}． (2)根据题意，可得 A＝{(1，0)，(1，1)}，B＝{(0，1)，(1，1)}， ＝{(0，0)，(0，1)}，＝{(0，0)，(1，0)}． (3)A ＝{(0，1)，(1，0)，(1，1)}，＝{(0，0)}；A表示电路工作正常，表示电路工作不正常；A和互为对立事件． 题型剖析 题型十二、事件的运算 事件间的运算方法 (1)利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算． (2)利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算． 题型剖析 变式12　在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题： (1)请举出符合包含关系、相等关系的事件； (2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件． 题型十二、事件的运算 针对训练 解析：(1)若事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3. 同理可得，事件D2包含事件C4，C5，C6；事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6； 事件G包含事件C1，C3，C5. 易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1. (2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}， 所以D2＝C4∪C5 ∪C6 (或D2＝C4＋C5＋C6)． 同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5. 故事件D2，D3，E，F，G为和事件． 题型十二、事件的运算 针对训练 题型十三、简单古典概型概率的计算 例13　先后掷两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记A：点数之和为7，B：至少出现一个3点，求P(A)，P()，P(B)，P(AB). 【解析】　用数对(x，y)来表示抛掷结果，则样本空间可记为 Ω＝{(i，j)|i，j＝1，2，3，4，5，6}， 而且样本空间可用图直观表示．样本空间中，共包含36个样本点． 不难看出，A＝{(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6)}， A包含6个样本点(即图中虚线框中的点)， 因此P(A)＝＝. 由对立事件概率之间的关系可知P()＝1－P(A)＝1－＝. 类似地，可以看出，图中实线框中的点可以代表事件B，因此B包含11个样本点，从而P(B)＝. 而且，不难知道，AB＝{(4，3)，(3，4)}， 因此P(AB)＝＝. 题型剖析 题型十三、简单古典概型概率的计算 古典概型常见问题 在求解概率问题时，常常遇到这样的情况，即从一堆小球中抽取几个小球，根据小球的颜色求解概率．解决此类问题时，首先要分清抽取的方式，即“有放回”与“无放回”． “有放回”是指抽取物体时，每一次抽取之后，都将被抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的． “无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，被抽取的物体放到一边，并不放回到原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体的总数较前一次被抽取的物体总数少1. 这两种情况下基本事件总数是不同的． 题型剖析 变式13　为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(　　) A．　 B． C． D． 解析：从4种颜色的花中任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有4种，故概率为，选C. 答案：C 题型十三、简单古典概型概率的计算 针对训练 例14　为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料．若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？ 题型十四、概率性质的应用 【解析】　设事件A＝“中奖”，事件A1＝“第一罐中奖”，事件A2＝“第二罐中奖”，那么事件A1A2＝“两罐都中奖”，＝“第一罐中奖，第二罐不中奖”，＝“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且. 因为两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得 可以得到，样本空间包含的样本点个数为n(Ω)＝6×5＝30，且每个样本点都是等可能的．因为n(A1A2)＝2，n()＝8，n(A2)＝8，所以P(A)＝＝＝. 上述解法需要分若干种情况计算概率．注意到事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”，由于＝“两罐都不中奖”，而n()＝4×3＝12，所以P()＝＝.因此P(A)＝1－P()＝1－＝. 题型剖析 题型十四、概率性质的应用 概率性质的应用 1．对于一个较复杂的事件，一般将其分解为几个简单的事件．当这些事件彼此互斥时，即可用概率加法公式． 2．运用事件的概率加法公式解题的步骤： (1)确定题中哪些事件彼此互斥； (2)将待求事件拆分为几个互斥事件之和； (3)先求各互斥事件分别发生的概率，再求和． 题型剖析 变式14　在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下表所示： 等候人数 0 1 2 3 4 大于等于5 概率 0.05 0.14 0.35 0.30 0.10 0.06 求：(1)等候人数不超过2的概率； (2)等候人数大于等于3的概率． 解析：设A，B，C，D，E，F分别表示等候人数为0，1，2，3，4，大于等于5的事件，则易知A，B，C，D，E，F彼此互斥． (1)设M表示事件“等候人数不超过2”，则M＝故P(M)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.05＋0.14＋0.35＝0.54，即等候人数不超过2的概率为0.54. (2)设N表示事件“等候人数大于等于3”，则N＝故P(N)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.30＋0.10＋0.06＝0.46，即等候人数大于等于3的概率为0.46.   题型十四、概率性质的应用 针对训练 例15　(1)在某次赛车中，50名参赛选手的成绩(单位：min)全部介于13到18之间(包括13和18)，将比赛成绩分为五组：第一组[13，14)，第二组[14，15)，…，第五组[17，18].其频率分布直方图如图所示，若成绩在[13，15)内的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为(　　) A．39　　B．35 C．15 D．11 【解析】　(1)由频率分布直方图知成绩在[15，18]内的频率为(0.38＋0.32＋0.08)×1＝0.78，所以成绩在[13，15)内的频率为1－0.78＝0.22，则成绩在[13，15)内的选手有50×0.22＝11(人)，即这50名选手中获奖的人数为11，故选D. 【答案】　(1)D 题型十五、频数分布直方图的应用 题型剖析 (2)某家电公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有1 400万元的年度销售任务．已知这200名销售员去年的销售额都在区间[2，22](单位：百万元)内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2，6)，[6，10)，[10，14)，[14，18)，[18，22]，并绘制出如下的频率分布直方图． ①求a的值，并计算完成年度任务的人数； ②用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取 容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数； ③现从②中完成年度任务的销售员中随机选取 2名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2 名销售员在同一组的概率． 题型十五、频数分布直方图的应用 题型剖析 【解析】(2)①∵(0.02＋0.08＋0.09＋2a)×4＝1，∴a＝0.03， ∴完成年度任务的人数为2×0.03×4×200＝48. ②第1组应抽取的人数为0.02×4×25＝2， 第2组应抽取的人数为0.08×4×25＝8， 第3组应抽取的人数为0.09×4×25＝9， 第4组应抽取的人数为0.03×4×25＝3， 第5组应抽取的人数为0.03×4×25＝3， ③在②中完成年度任务的销售员中，第4组有3人，记这3人分别为A1，A2，A3；第5组有3人，记这3人分别为B1，B2，B3. 从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，B1B2，B1B3，B2B3，共有15个基本事件， 获得此奖励的2名销售员在同一组所包含的基本事件有6个， 故所求概率P＝＝. 题型十五、频数分布直方图的应用 题型剖析 题型十五、频数分布直方图的应用 频率分布直方图的意义 (1)频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各组内频率大小． (2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1. (3)频数/相应的频率＝样本容量． 题型剖析 变式15　某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106].已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是(　　) A．90 B．75 C．60 D．45 解析：产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n，则＝0.300，所以n＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90. 答案：A. 题型十五、频数分布直方图的应用 针对训练 题型十六、相互独立事件同时发生的概率 例16　甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求： (1)2人都射中目标的概率； (2)2人中恰有1人射中目标的概率； (3)2人至少有1人射中目标的概率； (4)2人至多有1人射中目标的概率． 【解析】　设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，与B，A与与为相互独立事件． (1)2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72. (2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件B发生)．根据题意，事件与B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式．所求的概率为 ＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26. 题型剖析 (3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”2种情况，其概率为 (4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况． 故所求概率为 题型十六、相互独立事件同时发生的概率 题型剖析 题型十六、相互独立事件同时发生的概率 相互独立事件问题的注意事项 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A，B相互独立，则与B，A与与也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．   题型剖析 变式16　本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率． 题型十六、相互独立事件同时发生的概率 针对训练 解析：甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－＝.1－＝. (1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况，租车费都为0元的概率为p1＝＝.租车费都为2元的概率为p2＝＝，租车费都为4元的概率为p3＝＝. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p＝p1＋p2＋p3＝. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以可得P(ξ＝4)＝＝，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为. 题型十六、相互独立事件同时发生的概率 针对训练 题型十七、独立性事件的应用 例17　已知甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8. (1)若甲、乙各投篮一次，则都命中的概率为多少？ (2)若甲投篮两次，则恰好投中一次的概率为多少？ 【解析】　(1)记A：甲投中，B：乙投中，因为A与B相互独立，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝0.7×0.8＝0.56， 即都命中的概率为0.56. (2)记Ai：甲第i次投中，其中i＝1，2，则 P(A1)＝P(A2)＝0.7. 恰好投中一次，可能是第一次投中且第二次没投中，也可能是第一次没投中且第二次投中，即， 注意到A1与A2相互独立，且与互斥，因此 )＝ ＝)P(A2)＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2) ＝0.7×(1－0.7)＋0.7×(1－0.7)＝0.42. 题型剖析 题型十七、独立性事件的应用 求较复杂事件概率的一般步骤如下： (1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示； (2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式； (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算； (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 题型剖析 变式17　甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率． 解析：设A1，A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1，B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件．根据独立性假定，得P(A1)＝2×＝，P(A2)＝＝. P(B1)＝2×＝，P(B2)＝＝. 设A＝“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则A＝A1B2且A1B2与A2B1互斥，A1与B2，A2与B1分别相互独立，所以P(A)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＝＝. 因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是. 题型十七、独立性事件的应用 针对训练 例18　新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数．通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51. (1)分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率(新生儿中男婴的比率，精确到0.001)； (2)根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？ 【解析】　(1)2014年男婴出生的频率为≈0.537， 2015年男婴出生的频率为≈0.532. 由此估计，我国2014年男婴出生率约为0.537，2015年男婴出生率约为0.532. (2)由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度．因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论． 题型十八、概率的稳定性 题型剖析 题型十八、概率的稳定性 利用概率的稳定性解题的三个关注点 (1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值． (2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映． (3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件． 题型剖析 变式18　(1)某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明(　　) A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件 B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件 C．合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10 000件产品中没有不合格产品 D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99% 解析：(1)合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，即合格的概率． 答案：D 题型十八、概率的稳定性 针对训练 题型十八、概率的稳定性 (2)有人告诉你，放学后送你回家的概率如下： ①50%；②2%；③90%. 试将以上数据分别与下面的文字描述相配． a.很可能送你回家，但不一定送．____ b.送与不送的可能性一样多．____ c.送你回家的可能性极小．____ 解析：(2)概率为50%，指事件发生的可能性为50%，与b相配；概率为2%，指事件发生的概率较小，与c相配；概率为90%指事件发生的可能性很大，与a相配． ③ ① ② 针对训练 例19　如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B，转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3，4，5，6四个数字．现为甲、乙两人设计游戏规则：自由转动转盘A和B，转盘停止后，指针指上一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜，你认为这个规则公平吗？ 题型十九、概率的公平性 【解析】　列表如下： B A　 3 4 5 6 1 4 5 6 7 2 5 6 7 8 3 6 7 8 9 由表可知，可能的结果有12种，和为6的结果只有3种． 因此，甲获胜的概率为＝，乙获胜的概率为＝， 甲、乙获胜的概率不相等，所以这个游戏规则不公平． 题型剖析 题型十九、概率的公平性 游戏公平性的标准及判断方法 (1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的． (2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较． 题型剖析 变式19　在本例中，若将游戏规则改为：自由转动转盘A和B，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果是偶数，那么甲获胜，否则乙获胜，游戏规则公平吗？ 解析：列表如下： B A　 3 4 5 6 1 3 4 5 6 2 6 8 10 12 3 9 12 15 18 由表格可知，积为偶数的有8个，积为奇数的有4个，所以甲获胜的概率为＝，乙获胜的概率为＝，甲、乙获胜的概率不相等，所以这个游戏规则不公平． 题型十九、概率的公平性 针对训练 例20　人的卷舌与平舌(指是否能左右卷起来)同人的眼皮单双一样，也是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作D，隐性基因记作d；成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是卷舌的(这就是说，“卷舌”的充要条件是“基因对是DD，dD或Dd”)．同前面一样，决定眼皮单双的基因仍记作B(显性基因)和b(隐性基因)． 有一对夫妻，两人决定舌头形态和眼皮单双的基因都是DdBb，不考虑基因突变，求他们的孩子是卷舌且单眼皮的概率．(生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰．)   题型二十、概率的应用 题型剖析 【解析】　根据题意，这对夫妻孩子的决定舌头形态和眼皮单双的基因的所有可能可以用图表示． 不难看出，样本空间中共包含16个样本点，其中表示卷舌且单眼皮的是DDbb，Ddbb，dDbb，因此，所求概率为. 题型二十、概率的应用 题型剖析 题型二十、概率的应用 变式20　某社区为了解该社区退休老人每天的平均户外活动时间，从该社区退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外活动时间(单位：时)，活动时间按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示． (1)求图中a的值； (2)估计该社区退休老人每人每天的平均户外活动时间的中位数； (3)在[1，1.5)，[1.5，2)这两组中采用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好在同一个组的概率． 针对训练 题型二十、概率的应用 解析：(1)由频率分布直方图，可知平均户外活动时间在[0，0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04. 同理，平均户外活动时间在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]内的频率分别为0.08，0.20，0.25，0.07，0.04，0.02， 由1－(0.04＋0.08＋0.20＋0.25＋0.07＋0.04＋0.02)＝0.5a＋0.5a， 解得a＝0.30. 针对训练 ✅ 知识构建：统计和概率 数据收集及表示→样本估计总体→事件关系与计算→概率 ✅ 思想方法： 数据分析、模型构建 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $