专题01 勾股定理（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材北师大版

该初中数学勾股定理专题知识清单系统整合了6大核心知识、10类典型题型、3项易错警示及2种解题方法，构建了从“定理概念”到“证明验证”再到“实际应用”的递进式学习支架，覆盖勾股定理及逆定理、勾股数、定理应用等关键范畴。 清单通过“知识清单+题型分类+易错提醒”三维架构呈现知识体系，如将“勾股定理逆定理应用”细化为“确定最大边—验证平方关系—判定三角形类型”三步流程，标注“未明确斜边需分类讨论”等易错点，培养学生推理意识与应用意识。特别设计“等积法求高”“转化法解最短路径”等方法模块，附典型例题与变式训练，既方便学生自主梳理知识，也为教师教学设计提供精准支持。

专题01 勾股定理（6知识&10题型&3易错&2方法清单） 【清单01】勾股定理 ①文字语言：如图，直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． ②图形语言 ③符号语言: 在△ABC中，若三边长a,b,c满足: ∴△ABC是直角三角形，且c对的角为直角。 注意：①勾股定理的前提是 ，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系． ②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆时，此关系只有当是斜边时才成立．若是斜边，则关系式是 ；若是斜边，则关系式是 ． 【清单02】勾股定理的证明 方法点拨：勾股定理的验证方法采用拼图的方式，基本思想都是利用两种不同的方式表示同一图形的面积， 建立等式，化简之后得到 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以. 方法三：将两个直角三角形拼成直角梯形.如图（3）所示， ，所以. 【清单03】勾股数 满足不定方程的三个 数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是 . 注意：熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 ①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此 三角形必为直角三角形 【清单04】勾股定理逆定理 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是 注意：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证：与是否具有相等关系： 若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形； 若时，△ABC是 ； 若时，△ABC是 【清单05】勾股定理与逆定理区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【清单06】勾股定理应用 主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用． 解决问题步骤： （1）将实际问题抽象出几何图形，建立数学模型; （2）.确定所求线段所在的直角三角形找到就直接用定理， 若找不到就添加辅助线构造直角三角形; （3 根据勾股定理，列方程求解。 【题型一】利用勾股定理求线段长 【例1】（25-26•无锡市梁溪区八上期中）如图，中，，平分交于点．若，，则到的距离是（　　） A．5 B．6 C．6.5 D．8 【变式1-1】（25-26•烟台市八上期中）如图，，过点P作，且，得；再过点作且，得；又过点作且，得，依此法继续作下去，得 ． 【变式1-2】（25-26•常州市八上期中）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”问题大意：如图，在中，里，里，里，则的面积是（   ） A．平方里 B．平方里 C．平方里 D．平方里 【变式1-3】（25-26•济宁市嘉祥县八上期中）如图所示，在中，，，点是线段上的一个动点(不与、重合)，若线段的长为整数，则的长度为 ． 【变式1-4】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，，则的值为 ． 【变式1-5】（25-26八年级上·江西省抚州市期中）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设．可以验证出：．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，求的面积． 【题型二】利用勾股定理求图形面积 【例2】．如图，直线上有三个正方形、、，若正方形、的边长分别为5和7，则正方形的面积为（   ） A．36 B．49 C．74 D．8 【变式2-1】如图，意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，利用两个空洞的面积是相等的验证了勾股定理．已知两个空洞中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠局部的面积分别为和，均重叠局部的面积为，则，，满足的大小关系是（　　）    A． B． C． D．无法确定 【变式2-3】（2025年南京市秦淮区 中考模拟）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“最美弦图”（如图），图由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是 ． 【题型三】勾股树问题 【例3】（25-26•泰兴市八上期中）如图，图中四边形A，B，C，D都是长方形，且每一个长方形的长是宽的2倍，四边形E，F，G都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中正方形G的边长为，则长方形A，B，C，D的面积之和为 ． 【变式3-1】（25-26•重庆市文德中学八上）如图，分别以等腰直角的边，，为直径画半圆，当时，则所得两个月形图案和的面积之和（图中阴影部分）的面积为 【变式3-2】（25-26•成都市锦江区八上期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则 ． 【变式3-3】（25-26•郑州市八上）如图，分别以的三条边向外作三个正方形，连接、，若设，，，则，，之间的关系是 ． 【题型四】网格中判断直角三角形 【例4】如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【变式4-1】在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【变式4-2】已知方格纸中线段、线段和线段，如图所示．下列四位同学的观察结论正确的有（    ） 甲同学：．乙同学：和互余． 丙同学：线段的长为点到直线的距离． 丁同学：直线与直线互相垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-3】（24-25湖北天门市 八下月考 ）在如图的网格中，每个小正方形的边长为a，A、B、C三点均在正方形格点上，若是的高，则的长为 ． 【题型五】勾股定理证明 【例5】我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（　　） A．刘徽 B．祖冲之 C．赵爽 D．秦九韶 【变式5-2】我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式5-3】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边的长度为a，b，斜边的长度为c，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）在中，，，，且点D在直线上，，请直接写出的值． 【题型六】与弦图有关的计算与证明 【例6】【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． (1)求证：，． (2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 【变式6-1】如图，已知四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．试说明：． 【变式6-2】如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 【变式6-3】用如图1所示的4个形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图2所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理． （1）图2中大正方形的边长是 ，里面小正方形的边长为 ； （2）大正方形面积可以表示为 ，也可以表示为 ； （3）对比这两种表示方法，可得出 ，整理得 ． 【题型七】构造直角三角形用勾股定理解决问题（） 【例7】．如图，已知两村分别距公路的距离，且．在公路上建一中转站使最小，则的最小值为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【变式7-1】我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”问题大意：如图，在中，里，里，里，则的面积是（   ） A．平方里 B．平方里 C．平方里 D．平方里 【变式7-2】如图，小华在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，A处距离地面的高度是，小华先向后摆到点C处，然后向前荡起到最高点B处，此时与摆绳起始位置的水平距离BD为．若前后摆动过程中摆绳始终拉直，与夹角为，则小华在C处时距离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，一张等腰直角三角形纸片，其中，斜边，将纸片折叠，使点A恰好落在边的中点D处，折痕为，则的长度为（    ） A． B． C． D．2 【题型八】勾股定理折叠问题（） 【例8】如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图所示，在长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则AE的长为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，有一块直角三角形纸片．而直角边，现将该纸片沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，则为（   ）． A． B． C． D． 【变式8-3】如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（　　）． A． B．4 C．5 D．8 【题型九】勾股定理逆定理应用（） 【例9】已知，，，，，求四边形的面积． 【变式9-1】如图，在四边形中，，，，，．求长和四边形的面积． 【变式9-2】如图，在中，D是边上一点，连接，，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 【变式9-3】如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．通过计算说明该车是否符合安全标准． 【题型十】勾股定理应用十大题型（） 【例10】（梯子滑落高度）如图一个长为的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为．如果梯子的顶端A下滑到，请求出滑动的水平距离． 【变式10-1】（求旗杆高度）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【变式10-2】（求大树折断前的高度）《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为 尺．（1丈尺） 【变式10-3】（水杯中筷子问题 ）将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-4】（ 航海问题 ）一艘轮船以的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以的速度从港口A出发向东南方向航行．离开港口后，两船相距（   ） A． B． C． D． 【变式10-5】（求河宽 ）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【变式10-6】（台阶上地毯长度）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【变式10-7】（判断汽车是否超速）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，若规定小汽车在该城市街路上的行驶速度不得超过，则这辆小汽车超速了吗？ (参考数据转换：) 【变式10-8】（是否受台风影响）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（　　） A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒． 【变式10-9】（选址使到两地距离相等）一条河流的段长，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，在段上有一座桥，把建在何处时可以使到村和村的距离和最小，那么此时桥到村和村的距离和为（    ） A．10 B． C．12 D． 【变式10-10】（求最短路径问题）如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（　　） A． B． C． D． 题型一 没有明确斜边与直角边导致出错 特别提醒:在直角三角形中，已知边长但未明确斜边与直角边时，需要分类讨论. 【例1】已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为 【变式1-1】．直角三角形两边长为3，4，则第三边长为（    ） A．5 B． C．5或 D．不能确定 【变式1-2】已知两条线段的长分别为和，则当第三条线段的长取整数 时，这三条线段能组成一个直角三角形． 【变式1-3】（24-25八年级上·广东河源·期末）若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（   ） A．13 B． C．或13 D．11 题型二 对勾股数的定义理解出错 特别提醒:勾股定理首先需要满足较小的两个数的平方和等于最大数的平方，其次必须是正整数，每组勾股数的相同正整数倍也是勾股数，即同时扩大为原来的k(k为正整数）倍，依然是勾股数. 【例2】（2024·江苏南京·三模）下列各组数中是勾股数的为（    ） A． B． C．7，8，9 D． 【变式2-1】（2024春•庐江县期中）在下列四组数中，属于勾股数的是　　 A．0.3，0.4，0.5 B．9，40，41 C．2，3，4 D．1，， 【变式2-2】有一组勾股数，已知其中的两个数分别是20和15，则第三个数是 ． 【变式2-3】若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是 ． 题型三 忽略勾股定理使用条件 特别提醒:勾股定理只适用于直角三角形，对于非直角三角形不能使用勾股定理。注意:如果没有明确三角形是直角三角形，则不能直接使用勾股定理求解。 【例3】 如图，在中，D是边上一点，连接，，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 【变式3-1】如图，在四边形中，，，，，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【变式3-2】如图，，，，，． （1）求的长度； （2）求阴影部分面积． 【题型一】求直角三角形斜边上的高——等积法 方法点拨：①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边． ②根据直角三角形的面积不变，即，求出h． .【例1】三角形三边长分别为6，8，10，那么它最长边上的高为　　 A．2.4 B．4.8 C．6 D．8 【变式1-1】（23-24八年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，公园有一块三角形空地，过点A修垂直于的小路，过点D修垂直于的小路（小路宽度忽略不计），经测量，米，米，米． (1)求小路的长； (2)求小路的长． 【变式1-2】（23-24八年级下·全国·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为 【变式1-3】 某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，两轮中心的距离，则点C到的距离为（    ） A．48 B．50 C．54 D．56 【题型二】求几何体中最短路径——转化法（立体图形平面图形） 方法点拨：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 。 几何体中最短路径基本模型如下： 【例2】 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（    ）．（杯壁厚度不计） A．20 B．25 C．30 D．40 【变式2-1】如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点M到点N的所有路径中，最短路径的长是（    ） A．5 B． C． D． 【变式2-2】如图所示，在正三棱柱中，已知，，一只蚂蚁从A点出发绕三棱柱侧面两圈到达点，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是（    ）尺 A．15 B．20 C．25 D．30 【变式2-4】如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是4米、0.7米、0.3米，A、B是这个台阶上两个相对的顶点，A点处有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是________米． 【变式2-5】如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿与蜂蜜相对的点A处，若该圆柱底面周长为，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（    ） A． B． C． D． 【变式2-6】如图，正方体盒子的棱长为2，M为的中点，现有一只蚂蚁位于点B处，它想沿正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【变式2-7】如图，长方体的长，宽，高分别为 ，，，蚂蚁在长方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（   ） A．5 B． C． D．7 【变式2-8】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（　　） A． B．25 C． D．35 【变式2-9】如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理（6知识&10题型&3易错&2方法清单） 【清单01】勾股定理 ①文字语言：如图，直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么． 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． ②图形语言 ③符号语言: 在△ABC中，若三边长a,b,c满足: ∴△ABC是直角三角形，且c对的角为直角。 注意：①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系． ②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆时，此关系只有当是斜边时才成立．若是斜边，则关系式是；若是斜边，则关系式是． 【清单02】勾股定理的证明 方法点拨：勾股定理的验证方法采用拼图的方式，基本思想都是利用两种不同的方式表示同一图形的面积， 建立等式，化简之后得到 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以. 方法三：将两个直角三角形拼成直角梯形.如图（3）所示， ，所以. 【清单03】勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 注意：熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 ①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此 三角形必为直角三角形 【清单04】勾股定理逆定理 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证：与是否具有相等关系： 若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形； 若时，△ABC是锐角三角形； 若时，△ABC是钝角三角形． 【清单05】勾股定理与逆定理区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【清单06】勾股定理应用 主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用． 解决问题步骤： （1）将实际问题抽象出几何图形，建立数学模型; （2）.确定所求线段所在的直角三角形找到就直接用定理， 若找不到就添加辅助线构造直角三角形; （3 根据勾股定理，列方程求解。 【题型一】利用勾股定理求线段长 【例1】（25-26•无锡市梁溪区八上期中）如图，中，，平分交于点．若，，则到的距离是（　　） A．5 B．6 C．6.5 D．8 【答案】A 【难度】0.85 【来源】江苏省无锡市梁溪区2025-2026学年上学期八年级数学期中考试卷 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到，勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：过点作， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 即点D到的距离是5. 故选：A． 【变式1-1】（25-26•烟台市八上期中）如图，，过点P作，且，得；再过点作且，得；又过点作且，得，依此法继续作下去，得 ． 【答案】2023 【难度】0.65 【来源】山东省烟台市龙口市2025-2026学年七年级（五四制）上学期期中数学试卷 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理、图形的规律运算，找出算式与图形序号之间的关系是解题关键． 先利用勾股定理分别求出，，，，然后找到规律进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， … ∴， ∴． 故答案为：2023． 【变式1-2】（25-26•常州市八上期中）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”问题大意：如图，在中，里，里，里，则的面积是（   ） A．平方里 B．平方里 C．平方里 D．平方里 【答案】D 【难度】0.85 【来源】江苏省常州市溧阳市2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了三角形面积，勾股定理，解决本题的关键在于利用勾股定理建立方程．过点作于，利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作于， 设里，则里， 在中，， 在中，， ， 解得， 在中，（里）， （平方里）， 故选：D． 【变式1-3】（25-26•济宁市嘉祥县八上期中）如图所示，在中，，，点是线段上的一个动点(不与、重合)，若线段的长为整数，则的长度为 ． 【答案】3或4/4或3 【难度】0.65 【来源】山东省济宁市嘉祥县第二中学2025-2026学年上学期期中学业测评八年级数学押题卷 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、垂线段最短 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，作于，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，得到答案． 【详解】解：作于， ∵，， ∴， 由勾股定理得，， 又， ∴， ∵线段的长为整数， ∴的长度为3或4， 故答案为：3或4． 【变式1-4】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及判定，三角形内角和定理，三角形面积公式等．根据题意延长到点，使，连接，作于点，继而得到，，再利用勾股定理求出，继而求出面积． 【详解】解：延长到点，使，连接，作于点， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-5】（25-26八年级上·江西省抚州市期中）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设．可以验证出：．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，求的面积． 【答案】(1) (2)新路比原路少千米 (3) 【难度】0.65 【来源】江西省抚州市2025-2026学年八年级上学期数学期中测试卷 【知识点】以弦图为背景的计算题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的弦图、勾股定理的应用等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键． （1）根据勾股定理，完全平方公式变形得出即可求解； （2）设千米，则千米，然后运用勾股定理列方程可得，即千米，然后根据线段的和差即可解答； （3）作，垂足为H，设，，然后运用勾股定理列方程求得，即；再运用勾股定理求得，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：依题意，， ， ， ． （2）解：设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得，即千米， （千米）． 答：新路比原路少千米． （3）解：如图：作，垂足为H， 设， ， ，，，， ∴在中，，在中，， ，即，解得：， ， ， ． 【题型二】利用勾股定理求图形面积 【例2】．如图，直线上有三个正方形、、，若正方形、的边长分别为5和7，则正方形的面积为（   ） A．36 B．49 C．74 D．8 【答案】C 【难度】0.85 【来源】山东省东营市文苑学校2024-2025学年上学期七年级数学期中试卷 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先证明，推出，，则，，再证，代入求出即可． 【详解】解：如图， 正方形，的边长分别为5和7， ，， 由正方形的性质得：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， 正方形的面积为， 故选：C． 【变式2-1】如图，意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，利用两个空洞的面积是相等的验证了勾股定理．已知两个空洞中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】第一章 勾股定理 本章考点检测训练 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图形信息． 根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理可得， 由题意，可得， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 【变式2-2】已知直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠局部的面积分别为和，均重叠局部的面积为，则，，满足的大小关系是（　　）    A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【难度】0.4 【来源】江苏省南京市鼓楼区2025-2026学年八年级上学期期中八校联考数学试题 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】此题重点考查勾股定理、正方形的面积公式、根据转化思想解决面积问题等知识与方法，确定三边为a，b，c的直角三角形的斜边为c是解题的关键．根据题意知该直角三角形的斜边为c，则有，表示出并化简，另表示出，将两结果对比则可判断出结果． 【详解】解：∵直角三角形的三边a，b，c满足， ∴该直角三角形的斜边为c， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式2-3】（2025年南京市秦淮区 中考模拟）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“最美弦图”（如图），图由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】2025年江苏省南京市秦淮区 中考模拟数学试卷 【知识点】整式加减的应用、以直角三角形三边为边长的图形面积、全等三角形的性质 【分析】此题主要考查整式的加减，全等三角形的性质，根据已知得出用含，表示出，，，再利用求出答案是解决问题的关键．根据图形的特征设四边形的面积设为，其余八个全等的三角形面积中的一个设为，从而用含，的式子表示出，，，得出答案即可． 【详解】解：设四边形的面积为，其余八个全等的三角形面积中的一个设为， 正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， 得出，，， ， 故， ∴， 即． 故答案为：． 【题型三】勾股树问题 【例3】（25-26•泰兴市八上期中）如图，图中四边形A，B，C，D都是长方形，且每一个长方形的长是宽的2倍，四边形E，F，G都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中正方形G的边长为，则长方形A，B，C，D的面积之和为 ． 【答案】64 【难度】0.85 【来源】江苏省泰兴市黄桥初中教育集团2025-2026学年上学期10月月考八年级数学试卷 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理，注意在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方．根据长方形和正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：A与B的面积的和等于E的面积；C与D的面积的和等于F的面积；而E，F的面积的和等于G的面积． 【详解】解：由图可得，A与B的面积的和等于E的面积；C与D的面积的和等于F的面积；而E，F的面积的和等于G的面积． 即A、B、C、D的面积之和等于G的面积， ∵G的面积是， ∴A、B、C、D的面积之和为． 故答案为：64． 【变式3-1】（25-26•重庆市文德中学八上）如图，分别以等腰直角的边，，为直径画半圆，当时，则所得两个月形图案和的面积之和（图中阴影部分）的面积为 【答案】 【难度】0.65 【来源】重庆文德中学 2025一2026学年八年级上学期 十月定时作业 数学学科 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得到，进而得到半圆面积即可得到答案． 【详解】解：是直角三角形， ， 以等腰的边，，为直径画半圆， 故，，， ， 两个月牙形图案和的面积之和的面积， 等腰，的长为， ， ， ， 即两个月牙形图案和的面积之和为． 故答案为：． 【变式3-2】（25-26•成都市锦江区八上期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】四川省成都市锦江区 嘉祥外国语学校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据，得出，结合题干条件得，再把，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，连接， ∵， ∴， 则， ∵在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26•郑州市八上）如图，分别以的三条边向外作三个正方形，连接、，若设，，，则，，之间的关系是 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】河南省郑州市第七十六中学2025-2026学年上学期八年级数学评估试卷 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理；连接，根据勾股定理可得，再由正方形、三角形面积公式可得，，，根据平行线的面积转化得到， ，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 中，， ， 四边形、四边形、四边形均为正方形， ，， ∴， ， ，， ， ； 故答案为：． 【题型四】网格中判断直角三角形 【例4】如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【难度】0.85 【来源】河南省郑州市高新区第一中学等九校联考2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、在网格中判断直角三角形 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 【变式4-1】在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【来源】海南省海口某校2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】此题考查了勾股定理以及逆定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据勾股定理以及逆定理和网格的特点求解即可． 【详解】如图所示， 当是斜边时，由网格可得，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时， ∵ ∴； ∴第三个顶点可以是F点； 当是直角边，B是直角顶点时， ∵ ∴； ∴第三个顶点可以是G． ∴共有6个满足条件的顶点． 故选：B． 【变式4-2】已知方格纸中线段、线段和线段，如图所示．下列四位同学的观察结论正确的有（    ） 甲同学：．乙同学：和互余． 丙同学：线段的长为点到直线的距离． 丁同学：直线与直线互相垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.65 【来源】山东省济南市历下区实验初级中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【知识点】点到直线的距离、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，连接，根据网格特点，结合勾股定理，勾股定理逆定理，点到直线的距离，以及平行线的性质，进行判断即可． 【详解】解：连接， 由图可知：，故甲同学说法正确； 由勾股定理，得：， ， ∴， ∴不是直角三角形，是直角三角形， ∴和不是互余关系，故乙同学说法错误， ∴， ∴线段的长为点到直线的距离；故丙同学说法正确； ∵， ∴， ∴直线与直线互相垂直；故丁同学说法正确； ∴结论正确的有3个． 故选C． 【变式4-3】（24-25湖北天门市 八下月考 ）在如图的网格中，每个小正方形的边长为a，A、B、C三点均在正方形格点上，若是的高，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.85 【来源】湖北省天门市华斯达学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试卷 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 先根据网格中的边长，利用勾股定理求出，，，再根据勾股定理的逆定理判断的形状，最后根据三角形的面积公式建立等式求解的长． 【详解】解：，，， ，，， ， 是直角三角形， ， 得：， ． 故答案为：． 【题型五】勾股定理证明 【例5】我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】辽宁省大连市甘井子区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则，据此可判断A；小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则，据此可判断B；中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则，据此可判断C；D选项中的图形不能证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故A能证明勾股定理，不符合题意； B、小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则小正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故B能证明勾股定理，不符合题意； C、中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则中间等腰直角三角形的面积为， ∴， ∴， ∴，故C能证明勾股定理，不符合题意； D选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意； 故选：D． 【变式5-1】下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（　　） A．刘徽 B．祖冲之 C．赵爽 D．秦九韶 【答案】C 【难度】0.94 【来源】江苏省常州市2025-2026学年八年级上学期期中质量调研数学试题 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了“弦图”的理解，熟练掌握数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理，是解题的关键．根据赵爽用“弦图”证明了勾股定理，进行解答即可． 【详解】解：数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理． 故选：C． 【变式5-2】我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【难度】0.85 【来源】基础知识抓分练2 勾股定理-【追梦之旅�期末真题篇】2024-2025学年八年级数学下册（人教版 河南专用） 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形面积公式，三角形面积公式以及梯形面积公式，由正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意； 、大正方形的面积为：，也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴原选项不能证明勾股定理，符合题意； 、大正方形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意； 、梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ∴， ∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意； 故选：． 【变式5-3】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边的长度为a，b，斜边的长度为c，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）在中，，，，且点D在直线上，，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3）10或22 【难度】0.65 【来源】广东省清远市清城区飞来湖中学2025--2026学年上学期八年级数学月考试卷 【知识点】勾股定理的证明方法、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识，熟知勾股定理是解题的关键． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）分点D在线段上和点D在线段的延长线上两种情况，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得， ， 解得，即千米， 千米， 答：新路比原路少千米； （3）如图所示，当点D在线段上时， ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 如图所示，当点D在的延长线上时， ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 综上所述，的长为10或22． 【题型六】与弦图有关的计算与证明 【例6】【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． (1)求证：，． (2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【难度】0.85 【来源】广西来宾市2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题 【知识点】勾股定理的证明方法、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，全等三角形的性质与判定，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意，通过证明即可判断得解； （2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解． 【详解】（1）证明∶ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ∴． ∴； （2）证明： 由题意得，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； 【变式6-1】如图，已知四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．试说明：． 【答案】见解析 【难度】0.85 【来源】第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 第2课时 勾股定理的验证及简单应用 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明．根据四个全等的直角三角形面积加上小正方形的面积等于大正方形的面积列式，整理后即可得到结论． 【详解】证明：∵， 整理，得， ∴． 【变式6-2】如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 【答案】C 【解析】解：∵小正方形的面积为49， ∴小正方形的边长为7， 设直角三角形的短直角边长为， ∴直角三角形的长直角边为：， ∵直角三角形两直角边和为17， ∴， 解得， ∴直角三角形两直角边分别为5和12， ∴直角三角形的斜边， 即大正方形的边长为13， 故选：C． 【变式6-3】用如图1所示的4个形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图2所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理． （1）图2中大正方形的边长是 ，里面小正方形的边长为 ； （2）大正方形面积可以表示为 ，也可以表示为 ； （3）对比这两种表示方法，可得出 ，整理得 ． 【答案】 【难度】0.85 【来源】1.1探索勾股定理第2课时（课前练） 【知识点】勾股定理的证明方法、列代数式 【分析】本题考查图形验证勾股定理，数形结合找准面积关系是解决问题的关键． 由图2可得大正方形的边长、小正方形的边长，再结合正方形及三角形面积公式即可用两种方式表示出大正方形面积，列出等式后整理即可得到勾股定理． 【详解】解：如图所示： 图2中大正方形的边长是，里面小正方形的边长为； 大正方形面积可以表示为，也可以表示为； 对比这两种表示方法，可得出， 则， 整理得， 故答案为：，，，，， 【题型七】构造直角三角形用勾股定理解决问题（） 【例7】．如图，已知两村分别距公路的距离，且．在公路上建一中转站使最小，则的最小值为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】C 【难度】0.85 【来源】浙江省宁波市鄞州区十三校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】最短路径问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理以及最短路径问题，作点关于的对称点，连接，作，可推出，得出的最小值为线段的长度；求出，，即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，作，如图所示： 则， ∴的最小值为线段的长度； 由题意得：四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式7-1】我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”问题大意：如图，在中，里，里，里，则的面积是（   ） A．平方里 B．平方里 C．平方里 D．平方里 【答案】D 【难度】0.85 【来源】江苏省常州市溧阳市2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了三角形面积，勾股定理，解决本题的关键在于利用勾股定理建立方程．过点作于，利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作于， 设里，则里， 在中，， 在中，， ， 解得， 在中，（里）， （平方里）， 故选：D． 【变式7-2】如图，小华在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，A处距离地面的高度是，小华先向后摆到点C处，然后向前荡起到最高点B处，此时与摆绳起始位置的水平距离BD为．若前后摆动过程中摆绳始终拉直，与夹角为，则小华在C处时距离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】吉林省长春市朝阳区2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理和全等三角形的应用．通过计算O点离地高度为，水平距离．过C点作的垂线，利用与垂直证明，从而得到，进而求出C点离地高度． 【详解】解：设O点在地面上的垂足为F，过作交于， ， 由题意得：，，， ， ， ． ， ， ， ∴ 点离地高度为． 故选：A． 【变式7-3】如图，一张等腰直角三角形纸片，其中，斜边，将纸片折叠，使点A恰好落在边的中点D处，折痕为，则的长度为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【来源】江苏省无锡市江南中学2025-2026学年上学期八年级数学期中试题 【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了翻折变换以及勾股定理等知识，根据已知得出的长是解题关键． 利用等腰直角三角形的性质得出的长，进而得出的长，再利用勾股定理得出的长． 【详解】解：作于， ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， 根据翻折可得， 设，则， 在中，， 解得：， 故的长度为． 故选：B． 【题型八】勾股定理折叠问题（） 【例8】如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】广东省深圳市龙岗区2025-2026学年八年级数学上学期期中试卷 【知识点】折叠问题、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，关键是线段的转换； 设，利用折叠及勾股定理可得，，由是等腰直角三角形及折叠可得，则可求. 【详解】解：设， 由折叠可知，是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴， 由折叠可知：， ∵矩形中， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， 故选：B． 【变式8-1】如图所示，在长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则AE的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】河南省郑州市第七十九中学2025-2026学年八年级上学期数学第一次月考试卷 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【变式8-2】如图，有一块直角三角形纸片．而直角边，现将该纸片沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，则为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】宁夏银川市兴庆区银川市第九中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质， 先根据勾股定理求出，进而得出，再设，则，根据勾股定理可得方程，求出解即可. 【详解】解：根据勾股定理，得， 即， ∴. 设，根据折叠得， ，则， 在中，， 即， 解得， 所以. 故选：B. 【变式8-3】如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（　　）． A． B．4 C．5 D．8 【答案】C 【难度】0.65 【来源】福建省漳州第一中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 先根据勾股定理得出，然后求出，设，则，根据勾股定理得出，再解方程求得x，进而求得的长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴，解得：， ∴． 故选：C． 【题型九】勾股定理逆定理应用（） 【例9】已知，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】解：如图，连接， ，，， 是直角三角形， ∴，， ∵，，，，即， 是直角三角形，， ∴， ， ， 四边形的面积为． 【变式9-1】如图，在四边形中，，，，，．求长和四边形的面积． 【答案】12，150 【解析】解：∵， ∴是直角三角形， ∵，， ∴． ∴， ∵，， ∴ ∴是直角三角形， ∴四边形的面积为． ∴四边形的面积为150． 【变式9-2】如图，在中，D是边上一点，连接，，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：因为， 所以， 所以是直角三角形，． （2）解：因为，所以． 在中，， 所以， 所以． 【变式9-3】如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】该车不符合安全标准，见解析 【解析】解：该车不符合安全标准； 在中，，，， 由勾股定理得：， 在中，，， ∵， ∴， ∴，即和不垂直， ∴该车不符合安全标准． 【题型十】勾股定理应用十大类型（） 【例10】（梯子滑落高度）如图一个长为的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为．如果梯子的顶端A下滑到，请求出滑动的水平距离． 【答案】滑动的水平距离是 【解析】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴中，， ∴， 即滑动的距离为． 【变式10-1】（求旗杆高度）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为米 (2)他应该往回收线米 【解析】（1）解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； （2）解：由题意得，， ， （米）， （米）， 他应该往回收线米． 【变式10-2】（求大树折断前的高度）《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为 尺．（1丈尺） 【答案】4.55 【解析】解：设折断处离地面的高度为尺， ， 解得， 故答案为：． 【变式10-3】（水杯中筷子问题 ）将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图1，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴； 如图2，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ∴， 此时， ∴h的取值范围是， 故选：B． 【变式10-4】（ 航海问题 ）一艘轮船以的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以的速度从港口A出发向东南方向航行．离开港口后，两船相距（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图所示，设后两船的位置分别为、， 则， ， 即后，两船相距． 故选：C． 【变式10-5】（求河宽 ）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【解析】解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故选：D． 【变式10-6】（台阶上地毯长度）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【解析】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 【变式10-7】（判断汽车是否超速）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，若规定小汽车在该城市街路上的行驶速度不得超过，则这辆小汽车超速了吗？ (参考数据转换：) 【答案】超速了 【分析】求小汽车是否超速，其实就是求的距离，直角三角形中，有斜边的长，有直角边的长，那么的长就很容易求得，根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了． 【详解】解：在中，，； 根据勾股定理可得：， 小汽车的速度为； ； 这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长是解题关键． 【变式10-8】（是否受台风影响）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（　　） A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒． 【答案】B 【分析】过点A作AC⊥ON，利用锐角三角函数的定义求出AC的长与200m相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米， ∵∠QON=30°，OA=240米， ∴AC=120米， 当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米， ∵AB=200米，AC=120米， ∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米， ∵72千米/小时=20米/秒， ∴影响时间应是：320÷20=16秒． 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理、点与圆的位置关系，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，200米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对A处产生噪音的时间，解题关键是根据勾股定理求BD的长.． 【变式10-9】（选址使到两地距离相等）一条河流的段长，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，在段上有一座桥，把建在何处时可以使到村和村的距离和最小，那么此时桥到村和村的距离和为（    ） A．10 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】根据两点之间线段最短的性质结合勾股定理即可得出答案． 【详解】连接AE交BD于C， 则AC+CE距离和最小，且AC+CE=AE， 过A作AH⊥ED交ED的延长线于H， ∵， ∴， ∴此时桥C到A村和E村的距离和为10， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的性质，属于基础题，注意两点之间线段最短这一知识点的灵活运用． 【变式10-10】（求最短路径问题）如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆柱侧面展开，如图所示，作出A点关于的对称点，连接，根据两点之间线段最短，可知即为最短距离，然后根据勾股定理求解． 【详解】解：将圆柱侧面展开，如图所示，作出A点关于的对称点，过点B作于点C， ∵形容器高为，点A处离杯上沿，点B处离杯底， ∴，， ∴， ∵底面周长为， ∴， 根据勾股定理可得：， 故选：C． 【点睛】本题考查平面展开，最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质找出最短路径是解题的关键． 题型一 没有明确斜边与直角边导致出错 特别提醒:在直角三角形中，已知边长但未明确斜边与直角边时，需要分类讨论. 【例1】已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为 【答案】或/或4 【难度】0.85 【来源】辽宁省沈阳市南昌中学2023-2024学年上学期八年级数学10月月考试题 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为3和5， ∴①当5是此直角三角形的斜边时， 设另一直角边为， 则； ②当5是此直角三角形的直角边时， 设斜边为， 则． 综上所述， 故答案为：4或． 【变式1-1】．直角三角形两边长为3，4，则第三边长为（    ） A．5 B． C．5或 D．不能确定 【答案】C 【分析】分两种情况，3，4为直角边时和4为斜边时，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当3，4为直角边时，第三边的长为， 当4为斜边时，第三边的长为， 则第三边的长为或， 故选：C 【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方，注意分类讨论． 【变式1-2】已知两条线段的长分别为和，则当第三条线段的长取整数 时，这三条线段能组成一个直角三角形． 【答案】17 【难度】0.85 【来源】江苏省无锡市2025-2026学年八年级上学期期中数学模拟试卷 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理的应用，由于第三条边为整数，需分情况讨论哪条边为斜边． 【详解】解：设第三条线段长为，且为整数， 当为斜边时，由勾股定理得，即 ， 所以，（取正值）； 当为斜边时，由勾股定理得，即 ，，，不是整数，不符合条件； 当为斜边时，由于，不能为斜边，故不存在． 因此，第三条线段的长为． 故答案为：17． 【变式1-3】（24-25八年级上·广东河源·期末）若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（   ） A．13 B． C．或13 D．11 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．分a为最长边，12为最长边两种情况讨论，根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①a为最长边，，13是正整数，符合题意； ②12为最长边，，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； 故选：A． 题型二 对勾股数的定义理解出错 特别提醒:勾股定理首先需要满足较小的两个数的平方和等于最大数的平方，其次必须是正整数，每组勾股数的相同正整数倍也是勾股数，即同时扩大为原来的k(k为正整数）倍，依然是勾股数. 【例2】（2024·江苏南京·三模）下列各组数中是勾股数的为（    ） A． B． C．7，8，9 D． 【答案】D 【解析】解：A. ∵，，又∵，∴不是勾股数，不符合题意； B.∵ 不是正整数，∴不是勾股数，不符合题意； C. ∵，，又∵，∴7，8，9不是勾股数，不符合题意； D. ∵，∴是勾股数，符合题意． 故选：D． 【变式2-1】（2024春•庐江县期中）在下列四组数中，属于勾股数的是　　 A．0.3，0.4，0.5 B．9，40，41 C．2，3，4 D．1，， 【分析】根据勾股数的定义逐一计算即可得出答案． 【解答】解：、0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数； 、，、40、41是勾股数； 、，，3，4不是勾股数； 、，，均不是整数，，，不是勾股数； 故选：． 【点评】本题考查了勾股数，能熟记勾股数的意义是解此题的关键． 【变式2-2】有一组勾股数，已知其中的两个数分别是20和15，则第三个数是 ． 【答案】25 【解析】解：设第三个数为x， 分两种情况：当x为直角边时， 有， 解得， 不是正整数，需舍去； 当x为斜边时， 有， 解得． 综上所述，第三个数为25． 故答案为：25． 【变式2-3】若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是 ． 【答案】13 【解析】解：设第三个数为， 分两种情况： ①为最大数时，， 解得：（不是整数，舍去）； ②为最大数时，， 解得：（负值已舍去）； 综上所述，第三个勾股数是． 故答案为： ． 题型三 忽略勾股定理使用条件 特别提醒:勾股定理只适用于直角三角形，对于非直角三角形不能使用勾股定理。注意:如果没有明确三角形是直角三角形，则不能直接使用勾股定理求解。 【例3】 如图，在中，D是边上一点，连接，，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：因为， 所以， 所以是直角三角形，． （2）解：因为，所以． 在中，， 所以， 所以． 【变式3-1】如图，在四边形中，，，，，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【分析】（1）根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）， ， ，， ， 的长为5； （2），， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积的面积的面积 ， 四边形的面积为36． 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 【变式3-2】如图，，，，，． （1）求的长度； （2）求阴影部分面积． 【分析】（1）在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据阴影部分面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：（1），，， ， 的长度为； （2），，， ，， ， 是直角三角形， ， 阴影部分面积的面积的面积 ， 阴影部分面积为114． 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． ． 【题型一】求直角三角形斜边上的高——等积法 方法点拨：①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边． ②根据直角三角形的面积不变，即，求出h． .【例1】三角形三边长分别为6，8，10，那么它最长边上的高为　　 A．2.4 B．4.8 C．6 D．8 【分析】先根据勾股定理的逆定理证明此三角形是直角三角形，且10为直角三角形的斜边，然后设此三角形最长边上的高为，再利用面积法进行计算即可解答． 【解答】解：，， ， 此三角形是直角三角形，且10为直角三角形的斜边， 设此三角形最长边上的高为， ， 解得：， 此三角形最长边上的高为4.8， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【变式1-1】（23-24八年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，公园有一块三角形空地，过点A修垂直于的小路，过点D修垂直于的小路（小路宽度忽略不计），经测量，米，米，米． (1)求小路的长； (2)求小路的长． 【答案】(1)小路的长为12米 (2)小路的长为7.2米 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用以及三角形面积，根据勾股定理求出AD、AC的长是解题的关键． （1）由勾股定理求出AD的长即可； （2）由勾股定理求出AC的长，再由三角形面积求出DE的长即可． 【详解】（1）， ， （米）， 答：小路的长为12米； （2）在中，由勾股定理得：（米）， ，， （米）， 答：小路的长为7.2米． 【变式1-2】（23-24八年级下·全国·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为 【答案】2 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】由勾股定求出，，，得到，，，由，推出是直角三角形，由三角形面积公式得到的面积，代入有关数据，即可求出的长． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ，，， ， 是直角三角形， ， 的面积， ， ． 故答案为：2． 【变式1-3】 某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，两轮中心的距离，则点C到的距离为（    ） A．48 B．50 C．54 D．56 【答案】A 【难度】0.65 【来源】内蒙古区包头市青山区九校期中联考2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了点到直线的距离和勾股定理的逆定理，解题的关键是连接，过作于，求出，根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，根据三角形的面积公式得出，再求出即可． 【详解】解：连接，过作于， 是直角三角形， 根据的面积，得， 解得：， 即点到的距离为48， 故选：A 【题型二】求几何体中最短路径——转化法（立体图形平面图形） 方法点拨：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 。 几何体中最短路径基本模型如下： 【例2】 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（    ）．（杯壁厚度不计） A．20 B．25 C．30 D．40 【答案】B 【分析】化曲为直，利用勾股定理解决． 【详解】解：把玻璃杯的侧面展开，如图，把点A向上平移6cm到点C，连接，过点B作于D， 由已知得：，，， 在中，由勾股定理得：， 则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为． 故选：B 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意把圆柱展开，化曲为直是解决问题的关键． 【变式2-1】如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点M到点N的所有路径中，最短路径的长是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可． 【详解】将第一层小正方体的顶面和正面，以及第二层小正方体的顶面和正面展开，如下图， 连接， 则最短路径， 故选A 【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最短是解题的关键． 【变式2-2】如图所示，在正三棱柱中，已知，，一只蚂蚁从A点出发绕三棱柱侧面两圈到达点，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正三棱柱展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】∵，一只蚂蚁从A点出发绕三棱柱侧面两圈到达点， ∴如图所示，将正三棱柱展开2次， ∴， ∵正三棱柱的高 ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了最短路径问题．解决本题的关键是熟练掌握用勾股定理的应用，要注意数形结合思想的应用． 【变式2-3】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是（    ）尺 A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】C 【分析】将圆柱体展开，利用两点之间线段最短和勾股定理进行计算即可． 【详解】解：把圆柱的侧面展开五次，如图： 表示葛藤的最短长度， (尺)，尺， ， 即葛藤的最短长度是25尺； 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理的应用．将立体图形展开成平面图形，确定最短距离，是解题的关键． 【变式2-4】如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是4米、0.7米、0.3米，A、B是这个台阶上两个相对的顶点，A点处有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是________米． 【答案】5 【分析】先将台阶展开，再根据勾股定理求解即可． 【详解】将三级台阶展开，如图所示． 可知（米），（米）， 根据两点之间线段最短，可知为最短路径，根据勾股定理得（米）． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了根据两点之间线段最短求最短路径，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法． 【变式2-5】如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿与蜂蜜相对的点A处，若该圆柱底面周长为，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用侧面展开图的一半，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：是侧面展开图的一半， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处， ∴， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点， 连接，则即为最短距离， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，利用侧面展开图找到最短路线是解题的关键． 【变式2-6】如图，正方体盒子的棱长为2，M为的中点，现有一只蚂蚁位于点B处，它想沿正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先把图中展开，根据两点间线段距离最短，再根据勾股定理求出的长即可； 【解答】解：如图，连接，则线段的长就是蚂蚁需爬行的最短路程， ∵正方体的棱长为2，M是的中点， ∴，，， 由勾股定理得， 故选：C． 【点睛】本题考查两点间线段距离最短及勾股定理，解题的关键是理解最短路线． 【变式2-7】如图，长方体的长，宽，高分别为 ，，，蚂蚁在长方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（   ） A．5 B． C． D．7 【答案】A 【分析】将长方体的侧面展开，分三种情况，利用勾股定理求解再比较大小即可得出最短路程． 【详解】解：根据题意，分三种情况： ①展开前面和右面，如图，则； ②展开前面和上面，如图，则； ③展开左面和上面，如图，则， ∵， ∴从点A爬到点B的最短路程是， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的应用-最短路径问题，解答的关键是利用分类讨论思想，能把长方形的侧面展开成平面图形，利用勾股定理求出对角线的长度． 【变式2-8】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（　　） A． B．25 C． D．35 【答案】B 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：将长方体展开，连接AB， 根据两点之间线段最短， 如图， ， 由勾股定理得：． （2）如图， ， 由勾股定理得，． （3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴； ∵， 故选：B． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用——两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【变式2-9】如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将容器的侧面展开，作A点关于EF的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为最短距离．利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，将容器的侧面展开，作A关于EF的对称点，连接，则即为最短距离， 由题意知cm，cm，cm， 则由勾股定理得：＝＝＝13（cm）． 故选：A． 【点睛】本题考查了立体图形平面展开的最短路径问题．了解“两点之间线段最短”并结合轴对称和勾股定理进行求解是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $