专题01 全等三角形（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材青岛版

该初中数学全等三角形专题知识清单全面梳理了全等三角形核心内容，涵盖全等形与全等三角形定义、性质、判定定理及尺规作图等知识范畴，搭建了从基础概念到判定应用再到模型构建的递进式学习架构。 清单通过“知识清单+题型分类+易错警示”三维呈现知识体系，如将“SSS/SAS/ASA/AAS/HL判定定理”系统整合，标注“SSA不能判定全等”等易错点培养推理意识。设计10大题型含K字模型、手拉手模型等，配备例题变式及难度标注，助力学生自主突破重难点，教师可精准设计教学提升课堂实效。

专题01 全等三角形（5知识&10题型&2易错&1方法清单） 【清单01】全等形 定义：能够完全重合的两个平面图形叫做全等形. 性质：（1） 。（2） 。 【清单02】全等三角形及其表示方法 定义： 的两个三角形叫做全等三角形. 相关概念：当两个全等三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。 注意：书写三角形全等时，要注意把对应顶点的字母写在对应的位置上。 （若，则AB和DE，AC和DF，BC和EF分别是对应边；和，和，和分别是对应角） 【清单03】全等三角形性质 1）全等三角形的 相等， 相等。 2）全等三角形对应边上的 、 以及 的平分线相等。 3）全等三角形的周长相等，面积相等。 【清单04】全等三角形判定 判定定理： 1） 的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）； 2） 的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）； 3） 的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"； 4） 的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）； 5） 的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 注意： （1）“SSA”“AAA'’不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有一组边对应相等； 非直角三角形中，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。 （2）“HL”与“SSA” 一般的两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”条件时，它们并不全等，但当其中的“A”是直角时，这两个直角三角形就是全等的，这就是判定两个直角三角形全等特有的“HL'’定理。 【清单05】尺规作图 尺规作图的定义：在几何里，用无刻度的直尺和圆规作图，就是尺规作图。最基本、最常用的尺规作图通常称作基本作图。 基本作图 1.　作一条线段与已知线段相等 已知：线段（如图所示）。 求作：一条线段长度等于。 作法：①任何一条射线；②在射线上截取（以为圆心，以的长为半径画弧，交于点），则即为所求作的线段。 2.　作一个角等于已知角 已知：（如图所示）。 求作：，使 作法：（1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点 （2）作射线，以点为圆心，以长为半径面弧，交于点； 3.运用基本作图作三角形 注意：作法中不需要重述基本作图的过程。 1）已知两边一角 已知线段a，c和∠α，如何利用直尺和圆规作△ABC，使∠B=∠α,BC=a,AB=c? ① 作∠B=∠α; ②在∠B 的一边上截取BC=a，在另一边上截取BA=c; 连接AC. △ABC就是所求作的三角形。 2）已知两角一边 已知∠α，∠β，线段a 。用尺规作△ABC，使BC=a, ∠B=∠α,∠C=∠β 作法: ① 作线段BC=a; ②在BC的同侧作∠CBD=∠α，∠BCE=∠β，射线BD与CE的交点为A。△ABC就是所求作的三角形。 3） 已知直角三角形的斜边和一条直角边 已知直角三角形的斜边和一条直角边，求作这个直角三角形。 已知:线段m，n(m>n) 。 求作:Rt△ABC，使∠C=90°，AB=m，AC=n。 作法 ： ①作直线CE⊥CD; ②在CE上截取CA=n; ③以点A 为圆心，以m为半径作弧，交CD于点B;④连接AB。 △ABC就是所求作的直角三角形。 4.过直线外一点作这条直线的平行线 已知:直线l和直线外一点P。 求作:直线l的平行线，使它经过点P。 作法: ①过点P作直线MN，交直线l于点N; ②作∠MPQ=∠PNK，其中K为l上不与N重合的任意一点，点Q与 K位于MN同侧; ③作直线PQ。 直线PQ就是所求作的平行线。 5.过直线外一点作这条直线的垂线 已知:直线l和l外一点P 。 求作:直线l的垂线，使它经过点P。 作法: ①以点P为圆心，在直线l的另一侧取一点K，以PK为半径作弧，交直线l于点M，N; ②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点Q; ③作直线PQ。 直线PQ就是所求作的垂线。 【题型一】全等三角形的概念 【例1】．下列说法正确的是（   ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】B 【难度】0.85 【来源】广东省东莞市东莞市石龙第二中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题 【知识点】三角形的分类、全等三角形的概念、全等三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的定义，全等三角形的判定与性质，根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，全等三角形的周长和面积分别相等，再结合等边三角形的定义，进行分析，即可作答． 【详解】解：A、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，故原说法是错误的； B、全等三角形的周长和面积分别相等，故原说法是正确的； C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，故原说法是错误的； D、所有的等边三角形不一定是全等三角形，故原说法是错误的； 故选：B． 【变式1-1】下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（　　　） Ａ．①②③④　　　 Ｂ．①③④　　 　Ｃ．①②④　　 　Ｄ．②③④ 【答案】A 【解析】本题考查的是全等三角形的性质 根据全等三角形的性质即可判断， ①全等图形的形状相同、大小相等，正确； ②全等三角形的对应边相等，正确； ③全等三角形的对应角相等，正确； ④全等三角形的周长、面积分别相等，正确； 故选A。 【变式1-2】如图所示，在两个全等三角形中，点A和点E是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边和对应角． 【答案】见解析 【解析】解：对应顶点是点C和点C、点B和点D，对应边是和和和，对应角是和和和． 【变式1-3】如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【解析】解：由得： ①与是对应边，故①不符合题意； ②与是对应边，故②符合题意； ③与是对应角，故③符合题意； ④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意； 故正确的有②③， 故选：B． 【题型二】 全等三角形的性质 【例2】．如图，，与是对应边，和是对应角，则与相等的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】高效同步练习12.2.1 全等三角形的判定条件【追梦之旅�大先生】2025-2026学年新教材八年级上册数学活页同步练习（华东师大版2024） 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，与是对应边，和是对应角， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【变式2-1】如图，，且D，C，E三点共线，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】2023-2024学年八年级上学期期中复习数学试题（3） 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查等边对等角、三角形全等的性质，根据性质得到是解题的关键． 由，得到，进而得到，即可求解． 【详解】，， 又， ， ． 故选：A． 【变式2-2】如图，若△ABC≌△DEF，则∠A等于（ ） A.25° B.45° C.70° D.110° 【答案】D 【解析】∵△ABC≌△DEF，DF和AC，FE和CB是对应边， ∴∠F=∠C， 又∵∠B=25°，∠F=45°； ∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-25°-45°=110°； 故选D． 【变式2-3】．如图，已知，若，则的度数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】江苏省南通市如皋市外国语初中教育集团 2025--2026学年人教版八年级上学期第一次月考数学模拟试卷 【知识点】对顶角相等、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等的性质，找出对应角是解题的关键．根据全等三角形对应角相等可得，然后根据周角等于求出，再根据三角形的内角和定理求出，从而得解． 【详解】解：如下图， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【题型三】 三角形全等的证明 【例3】小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第 块去，这利用了三角形全等中的原理． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的应用．根据全等三角形的判定方法解答． 【详解】解：由图可知，带第2块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃． 故答案为：2． 【变式3-1】如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF． 【答案】证明见解析. 【详解】 ∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF， ∴BF=CE， 在△ABF和△DCE中 ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠GEF=∠GFE， ∴EG=FG． 【变式3-2】如图，，，，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】黑龙江省佳木斯市桦川县桦川县第二中学、第四中学联合2025-2026学年八年级上学期9月月考数学试题 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）是解题的关键．通过角的关系推导，结合已知边相等，利用全等三角形判定定理（）判断三角形全等，进而分析各选项结论． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即， 又∵ ，， ∴ （），故A项正确，不符合题意； ∴ ，，，故B、C项正确，不符合题意；D选项错误，符合题意． 故选：D． 【变式3-3】．如图，完成下面推理过程． 如图所示，点在外部，点在边上，交于，若，求证：． 证明：∵和中，．（             ） ∵（已知）， 又（ ） ∴． 又∵， ∴ （ ） 即 ． 在和中， ∴（ ） ∴（ ） 【答案】见解析 【难度】0.65 【来源】山西省大同市第一中学集团校南校2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形的内角和定理，对顶角相等，等式的性质，全等三角形的判定方法，全等三角形的性质，进行作答即可，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【详解】证明：∵和中，．（三角形的内角和为） ∵（已知）， 又（对顶角相等） ∴． 又∵， ∴（等式的性质） 即． 在和中， ∴（AAS ） ∴（全等三角形的对应边相等） 【题型四】添加条件使三角形全等 【例4】．如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】专题01 三角形17题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵，， A、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； B、添加，则，利用能判定，故该选项不符合题意； C、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； D、添加，利用不能判定，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式4-1】．在和中，，，要用“”证明，则补充的这个条件是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】四川省资阳市安岳中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据“”，已知一个“”和“”，找出与“”相邻的另一个“”即可． 【详解】解：已知，， 要用“”证明， 则补充的这个条件是， 故选：B． 【变式4-2】．如图，，，现要直接用“”定理来证明，请添加一个条件 ． 【答案】 【难度】0.85 【来源】江苏省宿迁经济技术开发区第一实验学校2025-2026学年上学期八年级第一次月考数学试卷 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：添加， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】如图，已知，要利用“”判定，则需添加的条件是 ． 【答案】 【难度】0.85 【来源】高效同步练习12.2.3 角边角【追梦之旅�大先生】2025-2026学年新教材八年级上册数学活页同步练习 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查三角形全等的判定．根据的条件补充即可． 【详解】解：在中，， 要利用“”判定它们全等， 则只需补充条件， 故答案为：． 【题型五】全等三角形的应用 【例5 】甲乙两名同学为了测量一池塘A、B的距离，分别设计出下列两种方案： 甲同学的方案 乙同学的方案 如图1，在平地取一个可直接到达、的点，连接、，并分别延长到点，延长到点，使，，测出的长即为的距离．    如图2，过点作，由点观测，在的延长线上取一点，使，测出的长即为的距离．    请你从以上两种方案中任选一种，说明理由． 【答案】见解析 【难度】0.85 【来源】湖北省襄阳市第二十一中学2024--2025学年八年级上学期十一月月考数学 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． 甲同学：利用全等三角形的判定定理证得，再由全等三角形的对应边相等即可证得结论； 乙同学：利用全等三角形的判定定理证得，再由全等三角形的对应边相等即可证得结论． 【详解】解：选择甲同学的方案，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴； 选择乙同学的方案，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式5-1】小明制作了一个跷跷板模型，如图是其几何示意图，支点是跷跷板的中点（三点位于同一水平线上），已知点到水平地面的距离是，当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向下降了，此时点到达点，则点到地面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】山西省大同市多校2025-2026学年上学期10月月考八年级数学�试卷 【知识点】全等三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由题意得：，推出即可求解； 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得：， ∴； ∵当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向下降了， ∴中，边上的高为， ∴中，边上的高为， 即：当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向上升了， ∵， ∴点到达点，则点到地面的距离为， 故选：D 【变式5-2】．古人对全等三角形的认识源于测量，据史料记载，古希腊学者泰勒斯应该是第一个应用全等三角形的人．下面是人们测量池塘两端距离的一种方法：如图． A、B两点分别位于池塘的两端，以为边作 在 的另一条边上截取，最后测出的长度就等于池塘两端A，B的距离．这种方法是利用了三角形全等中的 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】 2025-2026学年人教版八年级数学上册期中测试卷（一） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据证明，得到，即可解答． 【详解】解：在和中 ∴， ∴． 故选：D． 【变式5-3】．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】 浙江省绍兴市诸暨市崇真初级中学2025-2026学年上学期9月月考八年级数学试题 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，可证明与全等，根据全等三角形性质可求出和的长，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】解：， ， ， ∴， ， 又， ， ，， ． 故选：A． 【变式5-4】如图，小亮和小强住在同一个小区的不同单元楼，他们想要测量小亮家所在单元楼的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小强在自己家阳台C处观察E处得到的角度为，小亮站在F处观察楼顶端A的角度为，两人发现与互余，已知米，米，米，试求单元楼的高度． 【答案】单元楼的高度为39.6米 【难度】0.65 【来源】河北省廊坊市固安县2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，过点F作于点G，先证明四边形是长方形，再证明，再结合全等三角形的性质可得答案. 【详解】解：如图，过点F作于点G， ∴， ∴四边形是长方形，（米），（米）， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：单元楼的高度为39.6米． 【题型六】全等三角形的性质与判定综合问题 【例6】．如图，网格中有4个大小相同的小正方形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】甘肃省庆阳市2025-2026学年上学期八年级期中质量检测数学试题 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题主要考查了全等三角形判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质． 首先证明，根据全等三角形的性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得，再根据等量代换可得与的和为． 【详解】解：∵在和中， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式6-1】．已知：，，，，求的度数． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、三角形内角和定理的应用 【分析】由题意可得，可得，利用三角形得内角和，可以求得，从而求得答案． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴, ∵， ， ∴. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证是解题的关键． 【变式6-2】．如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且． (1)与全等吗？请说明你的理由； (2)若，，的面积为3，请直接写出的面积． 【答案】(1)，见解析 (2)6 【难度】0.65 【来源】江苏省南京市2025-2026学年 苏科版八年上数学期中模拟练习试卷 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据中线的性质可得，根据平行线的性质可得，根据全等三角形的判定即可证明； （2）过点作交于点，根据全等三角形的性质可得的面积为3，根据三角形的面积公式求得，即可求解． 本题考查了中线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：过点作交于点，如图： ∵的面积为3， ∴的面积为3， ∴， ∴； ∵， ∴的面积为． 【变式6-3】和按如图方式摆放，，，． (1)试判断与的数量关系，并说明理由． (2)已知，当三点共线时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【难度】0.65 【来源】山西省大同市多校2025-2026学年上学期10月月考八年级数学�试卷 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先得到，然后通过“”证明，再由全等三角形的性质即可求解； （）由（）知，则，从而可得，通过角度和差可得，最后由三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（）知， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴． 【题型七】尺规作三角形问题 【例7】用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是 （写出全等的简写）． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】尺规作一个角等于已知角、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．根据尺规作图可得，再根据定理即可得． 【详解】解：由尺规作图可知，， 在和中， ， ∴， 即这两个三角形全等的依据是， 故答案为：． 【变式7-1】如图所示，已知，和线段a．只用直尺和圆规，求作，使，，． （不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【难度】0.85 【来源】广东省揭阳市榕城区揭阳真理中学 2024-2025学年七年级下学期第二次综合模拟复习数学试卷 【知识点】作线段(尺规作图)、尺规作一个角等于已知角、尺规作图——作三角形 【分析】本题主要考查了尺规作三角形，熟练掌握作一个角等于已知角的方法，是解题的关键．先作，再作，然后以点B为角的顶点，为角的一条边，作，与交于点C，则即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【变式7-2】如图，在中，，，点在边上，按照下列步骤作图：①以点为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，与②中所作的弧相交于点，作射线交于点则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【来源】天津市部分区2025-2026学年上学期期中练习八年级数学试题 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、尺规作一个角等于已知角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，作一个角等于已知角，平行线的判定和性质，由作图可知，所以，得，然后通过三角形内角和定理求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，， ∴， ∴， ∵，，, ∴， ∴， 故选：． 【变式7-3】．如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形． 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？ 【问题探究】如图1，，请你用圆规在的另一边找到点，使；这样的点有______个，说明符合条件的三角形有______种；此时（即“边边角”对应相等）两个三角形______全等．（填“一定”或“不一定”） 【探索思考】如图2，已知，若，则下列判断不正确的是（   ） A．一定是钝角三角形    B． C．        D．的面积与的面积相等 【答案】【问题探究】2 ，2  ，不一定；【探索思考】C 【难度】0.65 【来源】高效同步练习12.2.2 边角边【追梦之旅�大先生】2025-2026学年新教材八年级上册数学活页同步练习（华东师大版2024） 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、尺规作图——作三角形、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 问题探究：根据要求画出图形即可得结论；由所作图形，利用全等三角形的性质判断即可得到答案； 探索思考：利用全等三角形的性质进行判断，即可得到答案． 【详解】问题探究：解：如图所示：   点及即为所求； 由所作图形可知，这样的点有2个，说明符合条件的三角形有2种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形不一定全等， 故答案为：2，2，不一定； 探索思考：，是钝角三角形， 一定是钝角三角形，，的面积与的面积相等， 和不一定相等， 故选：C． 【题型八】全等三角形中的辅助线 【例8】．已知：如图，，．求证：，． 解：连接 ∵， 　　 　　 在△和△中， （ 　　 　　 　　 　　 【答案】，两直线平行，内错角相等，，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，内错角相等，两直线平行． 【难度】0.85 【来源】天津市河东区香山道中学2025-2026学年上学期第一次月考八年级数学试卷 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题重点考查平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识．由，根据“两直线平行，内错角相等”证明，而，，可根据“”证明，根据“全等三角形的对应边相等、对应角相等”得，，即可根据“内错角相等，两直线平行”证明，于是得到问题的答案． 【详解】证明：∵， （两直线平行，内错角相等）， 在△和△中， ， ， （全等三角形的对应边相等）， （全等三角形的对应角相等）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，内错角相等，两直线平行． 【变式8-1】．如图，中，，平分，交于点D，过点B作，交的延长线于点E，连接，若的面积为25，的面积为11，则的面积为 ． 【答案】28 【难度】0.65 【来源】江苏省苏州四市2025--2026学年上学期八年级阳光测评期中数学试卷 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三角形中线求面积 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，延长和交于点F，证明，推出，由此得到，，进而可得结论． 【详解】解：如图，延长和交于点F， ∵平分 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，， 即，， 故答案为：28． 【变式8-2】如图，在中，平分， 于点 D，连接．若，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【难度】0.65 【来源】期中检测卷 2025-2026学年人教版八年级数学上册 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中线，延长交于点，证明，得到，进而得到，设，则，根据三角形的面积关系进行求解即可． 【详解】解：延长交于点， ∵平分， 于点 D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式8-3】．如图，已知的面积为12，平分，且于，则的面积是（　　）    A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【难度】0.65 【来源】黑龙江省佳木斯市同江市 联考2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．延长交于E，根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出． 【详解】解：延长交于点E，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 【变式8-4】．如图，在中，，D是线段上一点，连接，过点A作，且，连接交于点F，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】江苏省无锡市宜兴市外国语学校2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试题 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点E作于点G，则，证明，可得，，可证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点G，则， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【题型九】全等三角形中的动点问题 【例8】．如图，在长方形中，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D匀速运动，连接，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则a的值为（　　） A．2或 B．2或 C．或 D．2或 【答案】A 【难度】0.85 【来源】内蒙古自治区通辽市开鲁县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形性质，分当时，当时，两种情况分析，然后根据全等三角形的性质即可求解，解题的关键是注意分类讨论，利用对应边相等列方程求解． 【详解】解：设t秒后，与全等， 根据题意得：，， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：， 综上所述，a的值为2或． 故选：A 【变式7-1】如图，，于点A，于点B，且，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（    ）分钟后，与全等． A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【难度】0.65 【来源】贵州省黔南布依族苗族自治州长顺县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法，运用分类讨论的思想.设运动x分钟后与全等，则，，则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果. 【详解】解：∵于点A，于点B， ∴， 设运动x分钟后与全等 则，，则， 分两种情况： ①若，则， ∴，，， ∴， ②若，则， 解得，， 此时与不全等. 综上所述：运动4分钟后与全等. 故选：C. 【变式7-2】如图，已知中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】4或6/6或4 【难度】0.65 【来源】2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册期中模拟试卷（四） 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，求出的长，要使与全等，必须或，得出方程或，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过x秒后，使与全等， ∵厘米，点D为的中点， ∴厘米，∠ABC=∠ACB， ∴要使与全等，必须或， 即或， 解得：或， 当时，； 当时，； 即点Q的运动速度是4或6， 故答案为：4或6 【变式7-2】．如图，且均为钝角．点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，存在与全等，则t的值是 ． 【答案】1或 【难度】0.65 【来源】湖北省武汉市江武外校联体2023-2024学年八年级上学期期中数学试题 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用． 由题意知，，，由与全等，分，两种情况，列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵与全等， ∴分，两种情况求解； 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上所述，t的值是1或， 故答案为：1或． 【变式7-3】如图，在中，，，，为边上的高，E在直线上． （1）若，则 ； （2）若点E从点B出发，在直线上以每秒的速度向一个⽅向移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 秒时，． 【答案】 40 5 【难度】0.65 【来源】天津市宁河区桥北街实验学校2025-2026学年八年级上学期阶段监测一数学试题 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、同(等)角的余(补)角相等的应用、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了同角的余角相等，对顶角，全等三角形的判定和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）利用同角的余角相等，得到，再结合对顶角相等求解即可； （2）证明出，得到，从而得出，即可求解． 【详解】解：（1）， ， 为边上的高， ， ， ， ， ， ， 故答案为：40； （2）， ， 由（1）可知，， 若，则， ， ， 点E从点B出发，在直线上以每秒的速度向一个⽅向移动， 秒， 即当点E运动5秒时，， 故答案为：5． 【题型十】全等中数学模型 【例10】(K字模型 ） 在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点． (1)如图，当，在直线的同一侧时， 求证：； 求证：； (2)如图，当，在直线的异侧时，直接用等式表示，，之间的量关系：___________． 【答案】(1)证明见解析；证明见解析； (2)． 【难度】0.65 【来源】北京市延庆区2025--2026学年八年级上学期期中数学试卷 【知识点】垂线的定义理解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、直角三角形的两个锐角互余、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直定义，直角三角形的性质，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，得，然后通过同角的余角相等得，然后通过“”证明即可； 由，得，，然后通过线段和差即可求证； （）由，，得，然后通过同角的余角相等得，然后通过“”证明，再由全等三角形性质，线段和差即可求证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴，， ∴； （2）解：，理由， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【变式10---1】(一线三等角模型 ）直线m上有3个点D，A，E，在直线上方有，且． (1)如图1，当时，猜想，，之间的数量关系并证明； (2)如图2，当时，问题（1）中的结论还成立吗？若成立，给出证明过程；若不成立，说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)成立，证明见解析 【难度】0.65 【来源】浙江省杭州市西湖区保俶塔教育集团2025-2026学年八年级上学期9月月考数学试卷 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到． 【详解】（1）解： ；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论还成立；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式10---2】(手拉手模型 ）如图，在和中，，为锐角，，，连接、，与交于点，与交于点． (1)与有怎样的数量关系和位置关系？说明理由． (2)固定不动，将绕着点B顺时针方向旋转，在变化的过程中的长度变化的范围是______． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【难度】0.65 【来源】山东省日照市东港区新营中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题 【知识点】三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形三边关系的应用： （1）证明即可； （2）根据的三边关系即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 即， 在和中，， ， ， ， ， ； （2）解：∵（当且仅当共线时取等号）， 即． 故答案为：． 【变式10---3】(半角模型 ）．（1）如图1，四边形中，，，E、F分别在、上，且，探究并直接写出、、之间的数量关系； （2）如图2，四边形中，，，E、F分别在、上，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图3，四边形中，，，若E在的延长线上，F在的延长线上，仍满足，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）；（2）结论仍然成立．理由见解析；（3） 【难度】0.65 【来源】湖北省武汉光谷为明实验学校2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）延长到点，使，连接，先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后证出，根据全等三角形的性质可得，根据等量代换即可得； （2）延长到点，使，连接，先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后证出，根据全等三角形的性质可得，根据等量代换即可得； （3）在射线上取一点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据和等量代换即可得． 【详解】解：如图1，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． （2）结论仍然成立．理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． （3）如图3，在射线上取一点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【题型一】混淆判定方法中的直接条件和间接条件 方法点拨：某些间接条件需要转化成全等判定方法中的条件才可用。如例1中的∠BAE=∠DAC，【变式1-1】中的AB∥DE，【变式1-2】中的∠1=∠2，【变式1-3】中的BF=EC都需要转化后才可用。 【例1】已知如图，∠BAE=∠DAC，AE=AC，AB=AD．求证：∠E=∠C． 【答案】见解析 【解析】 试题分析：先证出∠BAC=∠DAE，根据SAS证明△ABC≌△ADE，根据全等三角形的性质即可得到结论． 证明：∵∠BAE=∠DAC， ∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC， 即∠BAC=∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴∠E=∠C． 考点：全等三角形的判定与性质． 【变式1-1】如图，点C，D在线段BF上，AB∥DE，AB=DF，∠A=∠F，求证：BC=DE． 【答案】见解析 【解析】 试题分析：先由平行线得出∠B=∠EDF，再由ASA证明△ABC≌△FDE，得出对应边相等即可． 证明：∵AB∥DE ∴∠B=∠EDF； 在△ABC和△FDE中， ， ∴△ABC≌△FDE（ASA）， ∴BC=DE． 考点：全等三角形的判定与性质． 【变式1-2】如图，∠1=∠2，AB=AD，AC=AE．请将下面说明∠C=∠E的过程和理由补充完整． 证明：∵∠1=∠2（ ）， ∴∠1+∠BAE=∠2+ ∴∠1+∠DAC=∠2+ ， 即∠BAC= ， 在△ABC和△ADE中 ∴ （ ） ∴∠C=∠E（ ） 【答案】已知，∠BAE，∠DAC，∠DAE，∠BAC=∠DAE，△ABC≌△ADE（SAS）． 【解析】 试题分析：根据已知条件和角的和差得到∠BAC=∠DAE，推出△ABC≌△ADE（SAS）根据全等三角形的性质即可得到结论． 证明：∵∠1=∠2（ 已知 ）， ∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE， ∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC， 即∠BAC=∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS） ∴∠C=∠E（全等三角形对应角相等）． 故答案为：已知，∠BAE，∠DAC，∠DAE，∠BAC=∠DAE，△ABC≌△ADE（SAS）． 考点：全等三角形的判定与性质． 【变式1-3】如图，已知点B、F、C、E在一条直线上，BF=EC，AB∥ED，AB=DE．求证：∠A=∠D． 【答案】见解析 【解析】 试题分析：由BF=EC，可得BC=EF，由已知AB∥ED，可得∠B=∠E，易证△ABC≌△DEF，即可得出∠A=∠D． 证明：∵BF=EC， ∴BF+FC=EC+FC， ∴BC=EF， ∵AB∥ED， ∴∠B=∠E， ∵AB=DE， 在△ABC与△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠A=∠D． 考点：全等三角形的判定与性质． 【题型二】 错误的使用“ASS”判定三角形全等。 注意：“ASS”和SAS的区别：“ASS”不能证明三角形全等，而SAS可以证明三角形全等。 例题2 如图，． 请补充一个条件，使． 【正确答案】补充条件：时，结论成立，理由见解析．（不唯一，正确即可） 【解析】解：补充条件：（答案不唯一，正确即可）， 理由如下：在和中， ， ． 【错误答案】补充条件：BE=CD时，结论成立,根据SSA. 【变式2-1】 如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为 ． 【答案】9 【解析】解：由题意知：， ∵是、的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 【变式2-2】如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 【答案】 【解析】解：由作图方法可得，，， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】如图，D在上，E在上，且，要说明． （1）若以“”为依据，还须添加的一个条件是 ； （2）若以“”为依据，还须添加的一个条件为 ． 【答案】 【详解】解：（1）条件是， 理由是：在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）条件是， 理由是：在和中， ， ∴， 故答案为：． 【题型一】中点问题——倍长中线法 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。 三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 图一 图二 图三 【例1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC． 方法1：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE 在△BDE和△CDA中 ∴△BDE≌△CDA（SAS） ∴AC=BE，∠E=∠2[来源:学科网ZXXK] ∵AD平分∠BAC ∴∠1=∠2[来源:Z。xx。k.Com] ∴∠1=∠E ∴AB=BE ∴AB=AC 方法2： 如图，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E ∵BE∥AC ∴∠E=∠2 在△BDE和△CDA中 ∴△BDE≌△CDA（AAS） ∴BE=AC ∵AD平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB=BE ∴AB=AC 【变式1--1】如图1，已知中，是边上的中线． 求证：． 证明：如图2，延长至，使， ∵是边上的中线∴ 在和中 ∴∴ 在中， ∴． 【变式1---2】如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线． （1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE． （2）求证：△ACD≌△EBD． （3）求证：AB+AC >2AD． （4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围． 解：（1）如图， （2）证明：如图， ∵AD为BC边上的中线 ∴BD=CD 在△BDE和△CDA中 ∴△BDE≌△CDA（SAS） （3）证明：如图， ∵△BDE≌△CDA ∴BE=AC ∵DE=AD ∴AE=2 AD 在△ABE中，AB+BE>AE ∴AB+AC>2AD （4）在△ABE中， ABBE<AE<AB+BE 由（3）得 AE=2AD，BE=AC ∵AC=3，AB=5 ∴53<AE<5+3 ∴2<2AD<8 ∴1<AD<4 [来源:学&科&网Z&X&X&K 【变式1--3】如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE． 证明：如图，延长CD到F，使DF=CD，连接BF ∴CF=2CD ∵CD是△ABC的中线 ∴BD=AD 在△BDF和△ADC中 ∴△BDF≌△ADC（SAS） ∴BF=AC，∠1=∠F ∵CB是△AEC的中线 ∴BE=AB ∵AC=AB ∴BE=BF ∵∠1=∠F ∴BF∥AC ∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC=AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE=∠CBF 在△CBE和△CBF中 ∴△CBE≌△CBF（SAS） ∴CE=CF，∠2=∠3 ∴CE=2CD CB平分∠DCE 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 全等三角形（5知识&10题型&2易错&1方法清单） 【清单01】全等形 定义：能够完全重合的两个平面图形叫做全等形. 性质：（1）形状相同。（2）大小相等。 【清单02】全等三角形及其表示方法 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 相关概念：当两个全等三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。 注意：书写三角形全等时，要注意把对应顶点的字母写在对应的位置上。 （若，则AB和DE，AC和DF，BC和EF分别是对应边；和，和，和分别是对应角） 【清单03】全等三角形性质 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。 2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。 3）全等三角形的周长相等，面积相等。 【清单04】全等三角形判定 判定定理： 1）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）； 2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）； 3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"； 4）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）； 5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 注意： （1）“SSA”“AAA'’不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有一组边对应相等； 非直角三角形中，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。 （2）“HL”与“SSA” 一般的两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”条件时，它们并不全等，但当其中的“A”是直角时，这两个直角三角形就是全等的，这就是判定两个直角三角形全等特有的“HL'’定理。 【清单05】尺规作图 尺规作图的定义：在几何里，用无刻度的直尺和圆规作图，就是尺规作图。最基本、最常用的尺规作图通常称作基本作图。 基本作图 1.　作一条线段与已知线段相等 已知：线段（如图所示）。 求作：一条线段长度等于。 作法：①任何一条射线；②在射线上截取（以为圆心，以的长为半径画弧，交于点），则即为所求作的线段。 2.　作一个角等于已知角 已知：（如图所示）。 求作：，使 作法：（1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点 （2）作射线，以点为圆心，以长为半径面弧，交于点； 3.运用基本作图作三角形 注意：作法中不需要重述基本作图的过程。 1）已知两边一角 已知线段a，c和∠α，如何利用直尺和圆规作△ABC，使∠B=∠α,BC=a,AB=c? ① 作∠B=∠α; ②在∠B 的一边上截取BC=a，在另一边上截取BA=c; 连接AC. △ABC就是所求作的三角形。 2）已知两角一边 已知∠α，∠β，线段a 。用尺规作△ABC，使BC=a, ∠B=∠α,∠C=∠β 作法: ① 作线段BC=a; ②在BC的同侧作∠CBD=∠α，∠BCE=∠β，射线BD与CE的交点为A。△ABC就是所求作的三角形。 3） 已知直角三角形的斜边和一条直角边 已知直角三角形的斜边和一条直角边，求作这个直角三角形。 已知:线段m，n(m>n) 。 求作:Rt△ABC，使∠C=90°，AB=m，AC=n。 作法 ： ①作直线CE⊥CD; ②在CE上截取CA=n; ③以点A 为圆心，以m为半径作弧，交CD于点B;④连接AB。 △ABC就是所求作的直角三角形。 4.过直线外一点作这条直线的平行线 已知:直线l和直线外一点P。 求作:直线l的平行线，使它经过点P。 作法: ①过点P作直线MN，交直线l于点N; ②作∠MPQ=∠PNK，其中K为l上不与N重合的任意一点，点Q与 K位于MN同侧; ③作直线PQ。 直线PQ就是所求作的平行线。 5.过直线外一点作这条直线的垂线 已知:直线l和l外一点P 。 求作:直线l的垂线，使它经过点P。 作法: ①以点P为圆心，在直线l的另一侧取一点K，以PK为半径作弧，交直线l于点M，N; ②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点Q; ③作直线PQ。 直线PQ就是所求作的垂线。 【题型一】全等三角形的概念 【例1】．下列说法正确的是（   ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】B 【难度】0.85 【来源】广东省东莞市东莞市石龙第二中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题 【知识点】三角形的分类、全等三角形的概念、全等三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的定义，全等三角形的判定与性质，根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，全等三角形的周长和面积分别相等，再结合等边三角形的定义，进行分析，即可作答． 【详解】解：A、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，故原说法是错误的； B、全等三角形的周长和面积分别相等，故原说法是正确的； C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，故原说法是错误的； D、所有的等边三角形不一定是全等三角形，故原说法是错误的； 故选：B． 【变式1-1】下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（　　　） Ａ．①②③④　　　 Ｂ．①③④　　 　Ｃ．①②④　　 　Ｄ．②③④ 【答案】A 【解析】本题考查的是全等三角形的性质 根据全等三角形的性质即可判断， ①全等图形的形状相同、大小相等，正确； ②全等三角形的对应边相等，正确； ③全等三角形的对应角相等，正确； ④全等三角形的周长、面积分别相等，正确； 故选A。 【变式1-2】如图所示，在两个全等三角形中，点A和点E是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边和对应角． 【答案】见解析 【解析】解：对应顶点是点C和点C、点B和点D，对应边是和和和，对应角是和和和． 【变式1-3】如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【解析】解：由得： ①与是对应边，故①不符合题意； ②与是对应边，故②符合题意； ③与是对应角，故③符合题意； ④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意； 故正确的有②③， 故选：B． 【题型二】 全等三角形的性质 【例2】．如图，，与是对应边，和是对应角，则与相等的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】高效同步练习12.2.1 全等三角形的判定条件【追梦之旅�大先生】2025-2026学年新教材八年级上册数学活页同步练习（华东师大版2024） 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，与是对应边，和是对应角， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【变式2-1】如图，，且D，C，E三点共线，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】2023-2024学年八年级上学期期中复习数学试题（3） 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查等边对等角、三角形全等的性质，根据性质得到是解题的关键． 由，得到，进而得到，即可求解． 【详解】，， 又， ， ． 故选：A． 【变式2-2】如图，若△ABC≌△DEF，则∠A等于（ ） A.25° B.45° C.70° D.110° 【答案】D 【解析】∵△ABC≌△DEF，DF和AC，FE和CB是对应边， ∴∠F=∠C， 又∵∠B=25°，∠F=45°； ∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-25°-45°=110°； 故选D． 【变式2-3】．如图，已知，若，则的度数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】江苏省南通市如皋市外国语初中教育集团 2025--2026学年人教版八年级上学期第一次月考数学模拟试卷 【知识点】对顶角相等、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等的性质，找出对应角是解题的关键．根据全等三角形对应角相等可得，然后根据周角等于求出，再根据三角形的内角和定理求出，从而得解． 【详解】解：如下图， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【题型三】 三角形全等的证明 【例3】小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第 块去，这利用了三角形全等中的原理． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的应用．根据全等三角形的判定方法解答． 【详解】解：由图可知，带第2块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃． 故答案为：2． 【变式3-1】如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF． 【答案】证明见解析. 【详解】 ∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF， ∴BF=CE， 在△ABF和△DCE中 ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠GEF=∠GFE， ∴EG=FG． 【变式3-2】如图，，，，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】黑龙江省佳木斯市桦川县桦川县第二中学、第四中学联合2025-2026学年八年级上学期9月月考数学试题 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）是解题的关键．通过角的关系推导，结合已知边相等，利用全等三角形判定定理（）判断三角形全等，进而分析各选项结论． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即， 又∵ ，， ∴ （），故A项正确，不符合题意； ∴ ，，，故B、C项正确，不符合题意；D选项错误，符合题意． 故选：D． 【变式3-3】．如图，完成下面推理过程． 如图所示，点在外部，点在边上，交于，若，求证：． 证明：∵和中，．（             ） ∵（已知）， 又（ ） ∴． 又∵， ∴ （ ） 即 ． 在和中， ∴（ ） ∴（ ） 【答案】见解析 【难度】0.65 【来源】山西省大同市第一中学集团校南校2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形的内角和定理，对顶角相等，等式的性质，全等三角形的判定方法，全等三角形的性质，进行作答即可，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【详解】证明：∵和中，．（三角形的内角和为） ∵（已知）， 又（对顶角相等） ∴． 又∵， ∴（等式的性质） 即． 在和中， ∴（AAS ） ∴（全等三角形的对应边相等） 【题型四】添加条件使三角形全等 【例4】．如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】专题01 三角形17题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵，， A、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； B、添加，则，利用能判定，故该选项不符合题意； C、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； D、添加，利用不能判定，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式4-1】．在和中，，，要用“”证明，则补充的这个条件是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】四川省资阳市安岳中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据“”，已知一个“”和“”，找出与“”相邻的另一个“”即可． 【详解】解：已知，， 要用“”证明， 则补充的这个条件是， 故选：B． 【变式4-2】．如图，，，现要直接用“”定理来证明，请添加一个条件 ． 【答案】 【难度】0.85 【来源】江苏省宿迁经济技术开发区第一实验学校2025-2026学年上学期八年级第一次月考数学试卷 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：添加， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】如图，已知，要利用“”判定，则需添加的条件是 ． 【答案】 【难度】0.85 【来源】高效同步练习12.2.3 角边角【追梦之旅�大先生】2025-2026学年新教材八年级上册数学活页同步练习 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查三角形全等的判定．根据的条件补充即可． 【详解】解：在中，， 要利用“”判定它们全等， 则只需补充条件， 故答案为：． 【题型五】全等三角形的应用 【例5 】甲乙两名同学为了测量一池塘A、B的距离，分别设计出下列两种方案： 甲同学的方案 乙同学的方案 如图1，在平地取一个可直接到达、的点，连接、，并分别延长到点，延长到点，使，，测出的长即为的距离．    如图2，过点作，由点观测，在的延长线上取一点，使，测出的长即为的距离．    请你从以上两种方案中任选一种，说明理由． 【答案】见解析 【难度】0.85 【来源】湖北省襄阳市第二十一中学2024--2025学年八年级上学期十一月月考数学 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． 甲同学：利用全等三角形的判定定理证得，再由全等三角形的对应边相等即可证得结论； 乙同学：利用全等三角形的判定定理证得，再由全等三角形的对应边相等即可证得结论． 【详解】解：选择甲同学的方案，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴； 选择乙同学的方案，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式5-1】小明制作了一个跷跷板模型，如图是其几何示意图，支点是跷跷板的中点（三点位于同一水平线上），已知点到水平地面的距离是，当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向下降了，此时点到达点，则点到地面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】山西省大同市多校2025-2026学年上学期10月月考八年级数学�试卷 【知识点】全等三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由题意得：，推出即可求解； 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得：， ∴； ∵当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向下降了， ∴中，边上的高为， ∴中，边上的高为， 即：当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向上升了， ∵， ∴点到达点，则点到地面的距离为， 故选：D 【变式5-2】．古人对全等三角形的认识源于测量，据史料记载，古希腊学者泰勒斯应该是第一个应用全等三角形的人．下面是人们测量池塘两端距离的一种方法：如图． A、B两点分别位于池塘的两端，以为边作 在 的另一条边上截取，最后测出的长度就等于池塘两端A，B的距离．这种方法是利用了三角形全等中的 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】 2025-2026学年人教版八年级数学上册期中测试卷（一） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据证明，得到，即可解答． 【详解】解：在和中 ∴， ∴． 故选：D． 【变式5-3】．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】 浙江省绍兴市诸暨市崇真初级中学2025-2026学年上学期9月月考八年级数学试题 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，可证明与全等，根据全等三角形性质可求出和的长，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】解：， ， ， ∴， ， 又， ， ，， ． 故选：A． 【变式5-4】如图，小亮和小强住在同一个小区的不同单元楼，他们想要测量小亮家所在单元楼的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小强在自己家阳台C处观察E处得到的角度为，小亮站在F处观察楼顶端A的角度为，两人发现与互余，已知米，米，米，试求单元楼的高度． 【答案】单元楼的高度为39.6米 【难度】0.65 【来源】河北省廊坊市固安县2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，过点F作于点G，先证明四边形是长方形，再证明，再结合全等三角形的性质可得答案. 【详解】解：如图，过点F作于点G， ∴， ∴四边形是长方形，（米），（米）， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：单元楼的高度为39.6米． 【题型六】全等三角形的性质与判定综合问题 【例6】．如图，网格中有4个大小相同的小正方形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】甘肃省庆阳市2025-2026学年上学期八年级期中质量检测数学试题 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题主要考查了全等三角形判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质． 首先证明，根据全等三角形的性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得，再根据等量代换可得与的和为． 【详解】解：∵在和中， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式6-1】．已知：，，，，求的度数． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、三角形内角和定理的应用 【分析】由题意可得，可得，利用三角形得内角和，可以求得，从而求得答案． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴, ∵， ， ∴. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证是解题的关键． 【变式6-2】．如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且． (1)与全等吗？请说明你的理由； (2)若，，的面积为3，请直接写出的面积． 【答案】(1)，见解析 (2)6 【难度】0.65 【来源】江苏省南京市2025-2026学年 苏科版八年上数学期中模拟练习试卷 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据中线的性质可得，根据平行线的性质可得，根据全等三角形的判定即可证明； （2）过点作交于点，根据全等三角形的性质可得的面积为3，根据三角形的面积公式求得，即可求解． 本题考查了中线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：过点作交于点，如图： ∵的面积为3， ∴的面积为3， ∴， ∴； ∵， ∴的面积为． 【变式6-3】和按如图方式摆放，，，． (1)试判断与的数量关系，并说明理由． (2)已知，当三点共线时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【难度】0.65 【来源】山西省大同市多校2025-2026学年上学期10月月考八年级数学�试卷 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先得到，然后通过“”证明，再由全等三角形的性质即可求解； （）由（）知，则，从而可得，通过角度和差可得，最后由三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（）知， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴． 【题型七】尺规作三角形问题 【例7】用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是 （写出全等的简写）． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】尺规作一个角等于已知角、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．根据尺规作图可得，再根据定理即可得． 【详解】解：由尺规作图可知，， 在和中， ， ∴， 即这两个三角形全等的依据是， 故答案为：． 【变式7-1】如图所示，已知，和线段a．只用直尺和圆规，求作，使，，． （不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【难度】0.85 【来源】广东省揭阳市榕城区揭阳真理中学 2024-2025学年七年级下学期第二次综合模拟复习数学试卷 【知识点】作线段(尺规作图)、尺规作一个角等于已知角、尺规作图——作三角形 【分析】本题主要考查了尺规作三角形，熟练掌握作一个角等于已知角的方法，是解题的关键．先作，再作，然后以点B为角的顶点，为角的一条边，作，与交于点C，则即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【变式7-2】如图，在中，，，点在边上，按照下列步骤作图：①以点为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，与②中所作的弧相交于点，作射线交于点则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【来源】天津市部分区2025-2026学年上学期期中练习八年级数学试题 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、尺规作一个角等于已知角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，作一个角等于已知角，平行线的判定和性质，由作图可知，所以，得，然后通过三角形内角和定理求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，， ∴， ∴， ∵，，, ∴， ∴， 故选：． 【变式7-3】．如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形． 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？ 【问题探究】如图1，，请你用圆规在的另一边找到点，使；这样的点有______个，说明符合条件的三角形有______种；此时（即“边边角”对应相等）两个三角形______全等．（填“一定”或“不一定”） 【探索思考】如图2，已知，若，则下列判断不正确的是（   ） A．一定是钝角三角形    B． C．        D．的面积与的面积相等 【答案】【问题探究】2 ，2  ，不一定；【探索思考】C 【难度】0.65 【来源】高效同步练习12.2.2 边角边【追梦之旅�大先生】2025-2026学年新教材八年级上册数学活页同步练习（华东师大版2024） 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、尺规作图——作三角形、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 问题探究：根据要求画出图形即可得结论；由所作图形，利用全等三角形的性质判断即可得到答案； 探索思考：利用全等三角形的性质进行判断，即可得到答案． 【详解】问题探究：解：如图所示：   点及即为所求； 由所作图形可知，这样的点有2个，说明符合条件的三角形有2种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形不一定全等， 故答案为：2，2，不一定； 探索思考：，是钝角三角形， 一定是钝角三角形，，的面积与的面积相等， 和不一定相等， 故选：C． 【题型八】全等三角形中的辅助线 【例8】．已知：如图，，．求证：，． 解：连接 ∵， 　　 　　 在△和△中， （ 　　 　　 　　 　　 【答案】，两直线平行，内错角相等，，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，内错角相等，两直线平行． 【难度】0.85 【来源】天津市河东区香山道中学2025-2026学年上学期第一次月考八年级数学试卷 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题重点考查平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识．由，根据“两直线平行，内错角相等”证明，而，，可根据“”证明，根据“全等三角形的对应边相等、对应角相等”得，，即可根据“内错角相等，两直线平行”证明，于是得到问题的答案． 【详解】证明：∵， （两直线平行，内错角相等）， 在△和△中， ， ， （全等三角形的对应边相等）， （全等三角形的对应角相等）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，内错角相等，两直线平行． 【变式8-1】．如图，中，，平分，交于点D，过点B作，交的延长线于点E，连接，若的面积为25，的面积为11，则的面积为 ． 【答案】28 【难度】0.65 【来源】江苏省苏州四市2025--2026学年上学期八年级阳光测评期中数学试卷 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三角形中线求面积 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，延长和交于点F，证明，推出，由此得到，，进而可得结论． 【详解】解：如图，延长和交于点F， ∵平分 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，， 即，， 故答案为：28． 【变式8-2】如图，在中，平分， 于点 D，连接．若，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【难度】0.65 【来源】期中检测卷 2025-2026学年人教版八年级数学上册 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中线，延长交于点，证明，得到，进而得到，设，则，根据三角形的面积关系进行求解即可． 【详解】解：延长交于点， ∵平分， 于点 D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式8-3】．如图，已知的面积为12，平分，且于，则的面积是（　　）    A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【难度】0.65 【来源】黑龙江省佳木斯市同江市 联考2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．延长交于E，根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出． 【详解】解：延长交于点E，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 【变式8-4】．如图，在中，，D是线段上一点，连接，过点A作，且，连接交于点F，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】江苏省无锡市宜兴市外国语学校2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试题 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点E作于点G，则，证明，可得，，可证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点G，则， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【题型九】全等三角形中的动点问题 【例8】．如图，在长方形中，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D匀速运动，连接，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则a的值为（　　） A．2或 B．2或 C．或 D．2或 【答案】A 【难度】0.85 【来源】内蒙古自治区通辽市开鲁县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形性质，分当时，当时，两种情况分析，然后根据全等三角形的性质即可求解，解题的关键是注意分类讨论，利用对应边相等列方程求解． 【详解】解：设t秒后，与全等， 根据题意得：，， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：， 综上所述，a的值为2或． 故选：A 【变式7-1】如图，，于点A，于点B，且，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（    ）分钟后，与全等． A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【难度】0.65 【来源】贵州省黔南布依族苗族自治州长顺县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法，运用分类讨论的思想.设运动x分钟后与全等，则，，则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果. 【详解】解：∵于点A，于点B， ∴， 设运动x分钟后与全等 则，，则， 分两种情况： ①若，则， ∴，，， ∴， ②若，则， 解得，， 此时与不全等. 综上所述：运动4分钟后与全等. 故选：C. 【变式7-2】如图，已知中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】4或6/6或4 【难度】0.65 【来源】2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册期中模拟试卷（四） 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，求出的长，要使与全等，必须或，得出方程或，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过x秒后，使与全等， ∵厘米，点D为的中点， ∴厘米，∠ABC=∠ACB， ∴要使与全等，必须或， 即或， 解得：或， 当时，； 当时，； 即点Q的运动速度是4或6， 故答案为：4或6 【变式7-2】．如图，且均为钝角．点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，存在与全等，则t的值是 ． 【答案】1或 【难度】0.65 【来源】湖北省武汉市江武外校联体2023-2024学年八年级上学期期中数学试题 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用． 由题意知，，，由与全等，分，两种情况，列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵与全等， ∴分，两种情况求解； 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上所述，t的值是1或， 故答案为：1或． 【变式7-3】如图，在中，，，，为边上的高，E在直线上． （1）若，则 ； （2）若点E从点B出发，在直线上以每秒的速度向一个⽅向移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 秒时，． 【答案】 40 5 【难度】0.65 【来源】天津市宁河区桥北街实验学校2025-2026学年八年级上学期阶段监测一数学试题 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、同(等)角的余(补)角相等的应用、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了同角的余角相等，对顶角，全等三角形的判定和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）利用同角的余角相等，得到，再结合对顶角相等求解即可； （2）证明出，得到，从而得出，即可求解． 【详解】解：（1）， ， 为边上的高， ， ， ， ， ， ， 故答案为：40； （2）， ， 由（1）可知，， 若，则， ， ， 点E从点B出发，在直线上以每秒的速度向一个⽅向移动， 秒， 即当点E运动5秒时，， 故答案为：5． 【题型十】全等中数学模型 【例10】(K字模型 ） 在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点． (1)如图，当，在直线的同一侧时， 求证：； 求证：； (2)如图，当，在直线的异侧时，直接用等式表示，，之间的量关系：___________． 【答案】(1)证明见解析；证明见解析； (2)． 【难度】0.65 【来源】北京市延庆区2025--2026学年八年级上学期期中数学试卷 【知识点】垂线的定义理解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、直角三角形的两个锐角互余、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直定义，直角三角形的性质，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，得，然后通过同角的余角相等得，然后通过“”证明即可； 由，得，，然后通过线段和差即可求证； （）由，，得，然后通过同角的余角相等得，然后通过“”证明，再由全等三角形性质，线段和差即可求证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴，， ∴； （2）解：，理由， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【变式10---1】(一线三等角模型 ）直线m上有3个点D，A，E，在直线上方有，且． (1)如图1，当时，猜想，，之间的数量关系并证明； (2)如图2，当时，问题（1）中的结论还成立吗？若成立，给出证明过程；若不成立，说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)成立，证明见解析 【难度】0.65 【来源】浙江省杭州市西湖区保俶塔教育集团2025-2026学年八年级上学期9月月考数学试卷 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到． 【详解】（1）解： ；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论还成立；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式10---2】(手拉手模型 ）如图，在和中，，为锐角，，，连接、，与交于点，与交于点． (1)与有怎样的数量关系和位置关系？说明理由． (2)固定不动，将绕着点B顺时针方向旋转，在变化的过程中的长度变化的范围是______． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【难度】0.65 【来源】山东省日照市东港区新营中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题 【知识点】三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形三边关系的应用： （1）证明即可； （2）根据的三边关系即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 即， 在和中，， ， ， ， ， ； （2）解：∵（当且仅当共线时取等号）， 即． 故答案为：． 【变式10---3】(半角模型 ）．（1）如图1，四边形中，，，E、F分别在、上，且，探究并直接写出、、之间的数量关系； （2）如图2，四边形中，，，E、F分别在、上，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图3，四边形中，，，若E在的延长线上，F在的延长线上，仍满足，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）；（2）结论仍然成立．理由见解析；（3） 【难度】0.65 【来源】湖北省武汉光谷为明实验学校2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）延长到点，使，连接，先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后证出，根据全等三角形的性质可得，根据等量代换即可得； （2）延长到点，使，连接，先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后证出，根据全等三角形的性质可得，根据等量代换即可得； （3）在射线上取一点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据和等量代换即可得． 【详解】解：如图1，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． （2）结论仍然成立．理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． （3）如图3，在射线上取一点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【题型一】混淆判定方法中的直接条件和间接条件 方法点拨：某些间接条件需要转化成全等判定方法中的条件才可用。如例1中的∠BAE=∠DAC，【变式1-1】中的AB∥DE，【变式1-2】中的∠1=∠2，【变式1-3】中的BF=EC都需要转化后才可用。 【例1】已知如图，∠BAE=∠DAC，AE=AC，AB=AD．求证：∠E=∠C． 【答案】见解析 【解析】 试题分析：先证出∠BAC=∠DAE，根据SAS证明△ABC≌△ADE，根据全等三角形的性质即可得到结论． 证明：∵∠BAE=∠DAC， ∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC， 即∠BAC=∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴∠E=∠C． 考点：全等三角形的判定与性质． 【变式1-1】如图，点C，D在线段BF上，AB∥DE，AB=DF，∠A=∠F，求证：BC=DE． 【答案】见解析 【解析】 试题分析：先由平行线得出∠B=∠EDF，再由ASA证明△ABC≌△FDE，得出对应边相等即可． 证明：∵AB∥DE ∴∠B=∠EDF； 在△ABC和△FDE中， ， ∴△ABC≌△FDE（ASA）， ∴BC=DE． 考点：全等三角形的判定与性质． 【变式1-2】如图，∠1=∠2，AB=AD，AC=AE．请将下面说明∠C=∠E的过程和理由补充完整． 证明：∵∠1=∠2（ ）， ∴∠1+∠BAE=∠2+ ∴∠1+∠DAC=∠2+ ， 即∠BAC= ， 在△ABC和△ADE中 ∴ （ ） ∴∠C=∠E（ ） 【答案】已知，∠BAE，∠DAC，∠DAE，∠BAC=∠DAE，△ABC≌△ADE（SAS）． 【解析】 试题分析：根据已知条件和角的和差得到∠BAC=∠DAE，推出△ABC≌△ADE（SAS）根据全等三角形的性质即可得到结论． 证明：∵∠1=∠2（ 已知 ）， ∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE， ∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC， 即∠BAC=∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS） ∴∠C=∠E（全等三角形对应角相等）． 故答案为：已知，∠BAE，∠DAC，∠DAE，∠BAC=∠DAE，△ABC≌△ADE（SAS）． 考点：全等三角形的判定与性质． 【变式1-3】如图，已知点B、F、C、E在一条直线上，BF=EC，AB∥ED，AB=DE．求证：∠A=∠D． 【答案】见解析 【解析】 试题分析：由BF=EC，可得BC=EF，由已知AB∥ED，可得∠B=∠E，易证△ABC≌△DEF，即可得出∠A=∠D． 证明：∵BF=EC， ∴BF+FC=EC+FC， ∴BC=EF， ∵AB∥ED， ∴∠B=∠E， ∵AB=DE， 在△ABC与△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠A=∠D． 考点：全等三角形的判定与性质． 【题型二】 错误的使用“ASS”判定三角形全等。 注意：“ASS”和SAS的区别：“ASS”不能证明三角形全等，而SAS可以证明三角形全等。 例题2 如图，． 请补充一个条件，使． 【正确答案】补充条件：时，结论成立，理由见解析．（不唯一，正确即可） 【解析】解：补充条件：（答案不唯一，正确即可）， 理由如下：在和中， ， ． 【错误答案】补充条件：BE=CD时，结论成立,根据SSA. 【变式2-1】 如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为 ． 【答案】9 【解析】解：由题意知：， ∵是、的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 【变式2-2】如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 【答案】 【解析】解：由作图方法可得，，， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】如图，D在上，E在上，且，要说明． （1）若以“”为依据，还须添加的一个条件是 ； （2）若以“”为依据，还须添加的一个条件为 ． 【答案】 【详解】解：（1）条件是， 理由是：在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）条件是， 理由是：在和中， ， ∴， 故答案为：． 【题型一】中点问题——倍长中线法 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。 三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 图一 图二 图三 【例1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC． 方法1：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE 在△BDE和△CDA中 ∴△BDE≌△CDA（SAS） ∴AC=BE，∠E=∠2[来源:学科网ZXXK] ∵AD平分∠BAC ∴∠1=∠2[来源:Z。xx。k.Com] ∴∠1=∠E ∴AB=BE ∴AB=AC 方法2： 如图，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E ∵BE∥AC ∴∠E=∠2 在△BDE和△CDA中 ∴△BDE≌△CDA（AAS） ∴BE=AC ∵AD平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB=BE ∴AB=AC 【变式1--1】如图1，已知中，是边上的中线． 求证：． 证明：如图2，延长至，使， ∵是边上的中线∴ 在和中 ∴∴ 在中， ∴． 【变式1---2】如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线． （1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE． （2）求证：△ACD≌△EBD． （3）求证：AB+AC >2AD． （4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围． 解：（1）如图， （2）证明：如图， ∵AD为BC边上的中线 ∴BD=CD 在△BDE和△CDA中 ∴△BDE≌△CDA（SAS） （3）证明：如图， ∵△BDE≌△CDA ∴BE=AC ∵DE=AD ∴AE=2 AD 在△ABE中，AB+BE>AE ∴AB+AC>2AD （4）在△ABE中， ABBE<AE<AB+BE 由（3）得 AE=2AD，BE=AC ∵AC=3，AB=5 ∴53<AE<5+3 ∴2<2AD<8 ∴1<AD<4 [来源:学&科&网Z&X&X&K 【变式1--3】如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE． 证明：如图，延长CD到F，使DF=CD，连接BF ∴CF=2CD ∵CD是△ABC的中线 ∴BD=AD 在△BDF和△ADC中 ∴△BDF≌△ADC（SAS） ∴BF=AC，∠1=∠F ∵CB是△AEC的中线 ∴BE=AB ∵AC=AB ∴BE=BF ∵∠1=∠F ∴BF∥AC ∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC=AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE=∠CBF 在△CBE和△CBF中 ∴△CBE≌△CBF（SAS） ∴CE=CF，∠2=∠3 ∴CE=2CD CB平分∠DCE 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $