5.4.1 反函数的概念（教学课件）数学沪教版2020必修第一册

该高中数学课件聚焦“反函数的概念”，通过华氏度与摄氏度转换的生活实例导入，结合对应关系表和公式，从函数定义自然延伸至反函数，构建函数知识体系的学习支架。 亮点在于以问题链驱动探究，如对比y=x²与y=x³分析反函数存在条件，结合温度转换培养数学建模与抽象能力。典例涵盖一次、二次（区间）、分式函数求解，步骤清晰，小结整合逻辑推理与数学思维，助力学生主动建构知识，也为教师提供结构完整的备课资源，提升教学效率。

5.4.1反函数的概念 第5章函数的概念、性质与应用 沪教版(2020)必修第一册·高一 章节导读 学 习 目 标 1 2 理解反函数的定义，掌握求反函数的方法. 了解反函数与原函数的关系. 情景引入 华氏度与摄氏度的转换 摄氏度/ 0 20 35 100 115 华氏度 32 68 95 212 239 情景引入 华氏度与摄氏度的转换 摄氏度/ 0 20 35 100 115 华氏度 32 68 95 212 239 在进行两种温度度量制摄氏度(℃)和华氏度()相互转化时会发现，有时选用相同的数据如表,但所建立的函数关系和作出的图像不同，如图所示. 这是为什么呢?原来这两个函数所选取的自变量和函数值恰好相反.看似完全不同的两个函数关系式和图像都正确反映了两种温度度量制之间的转换关系，前者将摄氏度转换为华氏度，而后者恰好相反. 情景引入 函数y=1.8x+32中，x是自变量，y是x的函数. 从y=1.8x+32这个关系式中解出x,得到 函数的定义 设D是一个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对集合D中的任意给定的x，都有唯一的实数y与之对应，就称这个对应关系f为集合D上 的一个函数，记作y=f(x)，x∈D.称y是x的函数. 对集合D中的任意给 定的x，都有唯一的实数y与之对应 情景引入 函数y=1.8x+32中，x是自变量，y是x的函数. 从y=1.8x+32这个关系式中解出x,得到 的反函数. 习惯上，函数的自变量用x来表示，在图像上作为横坐标， 而函数值用y来表示，在图像上作为纵坐标. 因此y=1.8x+32的反函数通常写成. 新知探究 1.反函数 定义 对于函数y=f(x)，x∈D,记其值域为f(D).如果对f(D)中的任意给定的一个值y,在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足y=f(x),那么得到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数(inverse function),记作x=f-1(y),y∈f(D).由于习惯上，自变量常用x表示，而函数值常用y表示，因此把该函数改写为 y=f-1(x),x∈f(D). 问题1 在反函数的定义中，有哪些关键词或句？如何理解？ 新知探究 (1) y=x²; (2) y=. 问题2 下列各函数是否存在反函数，并说明理由 （1）函数y=x²的值域为[0,+∞).在区间[0,+∞)中， 存在y=1，满足 y=x²的x的值为±1. 因此，函数 y=x²不存在反函数. （2）函数 y=的值域为R.对于R中任意给定的一个值y， 因为y3=x ,所以，满足y=的x值只有一个. 因此，函数y=存在反函数. 新知探究 2.函数存在反函数的充要条件 问题3 一个函数存在反函数的充要条件是什么？ 函数的定义 设D是一个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对集合D中的任意给定的x，都有唯一的实数y与之对应，就称这个对应关系f为集合D上 的一个函数，记作y=f(x)，x∈D.称y是x的函数. 定义 对于函数y=f(x)，x∈D,记其值域为f(D).如果对f(D)中的任意给定的一个值y,在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足y=f(x),那么得到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数(inverse function),记作x=f-1(y),y∈f(D).由于习惯上，自变量常用x表示，而函数值常用y表示，因此把该函数改写为 y=f-1(x),x∈f(D). 新知探究 2.函数存在反函数的充要条件 问题3 一个函数存在反函数的充要条件是什么？ 性质 一个定义域为D的函数y=f(x)存在反函数，当且仅当对于其值域f(D)中的每一个值y0，在定义域D中仅存在一个x0，满足f(x0)=y0. 新知探究 例如，函数y=x²不存在反函数, 函数y=x²，x∈[0,+∞)存在反函数. 新知探究 问题4 “若一个函数在其定义域上是严格增函数或严格减函数，则该函数一定存在反函数.”上述说法是否止确？为什么？ 正确． 在定义域上的严格增函数或严格减函数均存在反函数. 新知探究 问题5 “若一个函数存在反函数,则该函数在其定义域上一定是严格增函数或严格减函数.”上述说法是否止确？为什么？ 不正确． 例如，函数y=是存在反函数的，但它在区间(-∞,+∞)上既不是严格增函数，也不是严格减函数. 新知探究 如果函数y=f(x)，x∈D有反函数y=f-1(x)，x∈f(D), 那么函数y=f-1(x)，x∈f(D)的反函数就是y=f(x)，x∈D. 也就是说，y=f(x)及y=f-1(x)是互为反函数的. 3.互为反函数 y=f(x) y=f-1(x) 定义域 D f(D) 值域 f(D) D 思考：函数与其反函数是否可能是相同的函数？ 典例分析 例1 若函数f(x)=log₃x,并设y=f-1(x)是其反函数，求f-1(2),f-1(a). 解 设f-1(2)=t,根据反函数的定义，可得f(t)=2,即log₃t=2, 因此t=9,即f-1(2)=9. 类似地，设f-1(a)=b,可得f(b)=log₃b=a,因此f-1(a)=3a. 一般来说，当a>0,a≠1时，解关于x的方程y=logax,得x=a.因此，当a>0,a≠1时，y=ax与y=logax互为反函数. 典例分析 例2求下列函数的反函数： (1)y=4x+2; (2)y=x²+1,x∈[1,3]; (3)y=. 解(1)该函数的值域为R. 解关于x的方程y=4x+2,得 因此相应的反函数为 (2)该函数的值域为[2,10]. 在x∈[1,3],y∈[2,10]的前提下，解关于x的方程y=x²+1, 得.因此相应的反函数为,x∈[2,10]. (3)由y=, 该函数的值域为. 在的前提下，解关于x的方程y=,得4xy+2y=3x+1,故x= 因此，相应的反函数为y= 典例分析 例2求下列函数的反函数： (1)y=4x+2; (2)y=x²+1,x∈[1,3]; (3)y=. 解(1)该函数的值域为R. 解关于x的方程y=4x+2,得 因此相应的反函数为 定义 对于函数y=f(x)，x∈D,记其值域为f(D).如果对f(D)中的任意给定的一个值y,在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足y=f(x),那么得到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数(inverse function),记作x=f-1(y),y∈f(D).由于习惯上，自变量常用x表示，而函数值常用y表示，因此把该函数改写为 y=f-1(x),x∈f(D). 求一个函数y=f(x)，x∈D的反函数的步骤： ①求出反函数的定义域（即原来函数的值域）； ②解方程y=f(x)，求出x关于y的函数表达式； ③交换x与y（写为y=f-1(x),x∈f(D)）. 求函数的反函数 题型一 题型探究 求函数的反函数 题型一 题型探究 求函数的反函数 题型一 题型探究 求函数的反函数 题型一 题型探究 求函数的反函数 题型一 题型探究 函数的定义域，求值 题型二 题型探究 函数的定义域，求值 题型二 题型探究 反函数存在的条件 题型三 题型探究 反函数存在的条件 题型三 题型探究 课堂小结 逻辑推理 数学抽象 数学建模 反函数的概念 数学抽象 一个函数存在反函数的充要条件 求一个函数反函数的步骤 反函数的定义 感谢聆听! $