第六章 平面向量初步（单元测试·提升卷）数学人教B版2019必修第二册

2025-2026学年高一上学期数学单元检测卷 第六章 平面向量初步·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】向量，是两个不共线的向量，， ，存在唯一实数使得，即， ，. 故选：A. 2．如图，正六边形中，（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由六边形是正六边形，可知， 故. 故选:C. 3．在中，点为重心，点在线段上，且满足，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，. 故选：A 4．已知向量，，，若与共线，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】由题意向量，，， 则， 由于与共线，则， 故选：D 5．如图，在中，，过点P的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【详解】， 因为，，所以， 又，，三点共线，所以. 由于，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 故的最小值为. 故选：B 6．在中，点满足，点满足，，分别是，的中点，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ∵，，∴，. ∵，分别是，的中点，∴，. 又，，∴，即. 故选：A. 7．设向量，满足，则以，，为边长的三角形面积最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】根据平行四边形法则可知，是平行四边形的对角线长， 依题意，，则平行四边形为矩形， 所以以，，为边长的三角形为直角三角形，且斜边长为， 两直角边长设为m，n，则， 则三角形面积，当且仅当时等号成立， 则以，，为边长的三角形面积最大值为1． 故选：A. 8．在四面体中，是的重心，．若直线交平面于点，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】因为是的重心，所以， 将代入得， 因为在直线上且在平面上，所以存在实数使得， 且，同时与共线， 设（为实数），则， 因此，，，又因为，即，解得， 故，即. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【详解】对于A：零向量与任意向量都共线, 故其不可以作为它们所在平面内所有向量的基底，故A错误； 对于B：，所以，不共线，所以其可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底，故B正确； 对于C：，所以与不共线的，所以其可以作为它们所在平面内所有向量的基底，故C正确； 对于D：，所以与是共线的，故其不可以作为它们所在平面内所有向量的基底，故D错误. 故选：BC. 10．已知向量满足，且，则的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设为坐标原点， 则由可知三点共线，且在之间， 选项A：，，与不平行，选项A错误； 选项B：，，与平行，且在之间，选项B正确； 选项C：，，与平行，且在之间，选项C正确； 选项D：，，与平行，但不在之间，选项D错误. 故选：BC. 11．如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合，点，过作直线，使得不在上的“▲”的点分布在的两侧. 用和分别表示一侧和另一侧的“▲”的点到的距离之和. 若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的为（   ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示    则记为“▲”的四个点是， 线段的中点分别为， 则， 则由得四边形为平行四边形，设其对角线交于， 则， 即， 由此求得与点重合， 根据平行四边形的中心对称性可知，符合条件的直线一定经过点. 而过点和的直线有且仅有一条；过点和的直线有且仅有一条； 过点和的直线有且仅有一条. 所以符合条件的点是. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．化简 ． 【答案】 【详解】. 故答案为： 13．设M为内一点，且，则与的面积之比为 ． 【答案】/0.25 【详解】在取中点， 则， 可知点为的中点， 可得，即， 所以与的面积之比为. 故答案为：. 14．设是等边三角形，，，直线交于点，，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为三点共线，设， 所以， 又因为，所以，所以，所以， 又因为三点共线，所以，解得， 所以， 所以， 又因为，所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）已知A，B，C是三个不同的点，，，，求证：A，B，C三点共线 （2）化简： （3）已知，，实数x，y满足：，求x，y. 【详解】（1）因为， ， 所以， 3分 又因为有公共起点，因此A，B，C三点共线. 6分 （2）； 8分 （3），即， 10分 则，解得. 13分 16．（15分）如图，在，，，，在边上，延长到，若（为常数） (1)若，求的距离； (2)若，求､的长度； 【详解】（1）因为A，D，E三点共线，所以与共线， 设 2分 又因为， 所以，可得， 由在边上，可得，即， 5分 若，又，可得，，故， 若两点重合时，的距离为0， 7分 若不重合时，为等腰三角形. 又在中，，，，可得，且， ， 10分 故的距离为0或； 11分 （2）若，又， 故， 故， 13分 由，可得相似比为， 所以，. 15分 17．（15分）如图，在等腰梯形中，，，，，与交于点G，记，． (1)用，表示，； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 【详解】（1）； 2分 ； 6分 （2）设，连接， ， ， 9分 则，解得， 11分 设边上的高为，边上的高为， 则， 所以. 15分 18．（17分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，对平面上任意两点，以向量为两边的的面积为，当O，A，B三点共线时，． (1)已知两点，求以向量为两邻边的平行四边形的面积； (2)若向量，证明：； (3)已知，且，求的最大值． 【详解】（1）因为以向量为两边的的面积为， 所以以向量为两邻边的平行四边形的面积为； 4分 （2）由得，． 6分 因此 ． 9分 （3）由（2）知，． 因为，所以． 13分 由不等式得，，当且仅当时取等号． 故的最大值为． 17分 19．（17分）如图1所示，在中，点在线段上，满足，点在线段上，满足，线段与线段交于点. (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，求的最大值； 【详解】（1）因为，则，由，得 ， 故. 2分 （2）由（1）得，因为三点共线，所以存在实数使得，所以，所以， 4分 由，得 ， 又因为，所以，解得，， 综上所述，. 8分 （3）根据题意． 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 11分 因为三点共线， 所以存在实数，使得， 所以， 所以，，化简得， 14分 所以， 当且仅当且， 即，，时等号成立． 故的最大值为. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一上学期数学单元检测卷 第六章 平面向量初步·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．如图，正六边形中，（    ）． A． B． C． D． 3．在中，点为重心，点在线段上，且满足，若，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，，，若与共线，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．如图，在中，，过点P的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．4 6．在中，点满足，点满足，，分别是，的中点，设，，则（   ） A． B． C． D． 7．设向量，满足，则以，，为边长的三角形面积最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．在四面体中，是的重心，．若直线交平面于点，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A．， B．， C．， D．， 10．已知向量满足，且，则的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 11．如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合，点，过作直线，使得不在上的“▲”的点分布在的两侧. 用和分别表示一侧和另一侧的“▲”的点到的距离之和. 若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的为（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．化简 ． 13．设M为内一点，且，则与的面积之比为 ． 14．设是等边三角形，，，直线交于点，，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）已知A，B，C是三个不同的点，，，，求证：A，B，C三点共线 （2）化简： （3）已知，，实数x，y满足：，求x，y. 16．（15分）如图，在，，，，在边上，延长到，若（为常数） (1)若，求的距离；(2)若，求､的长度； 17．（15分）如图，在等腰梯形中，，，，，与交于点G，记，． (1)用，表示，；(2)记的面积为，的面积为，求的值． 18．（17分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，对平面上任意两点，以向量为两边的的面积为，当O，A，B三点共线时，． (1)已知两点，求以向量为两邻边的平行四边形的面积； (2)若向量，证明：； (3)已知，且，求的最大值． 19．（17分）如图1所示，在中，点在线段上，满足，点在线段上，满足，线段与线段交于点. (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，求的最大值； 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第5页（共4页） 试题 第6页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一上学期数学单元检测卷 第六章 平面向量初步·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．如图，正六边形中，（    ）． A． B． C． D． 3．在中，点为重心，点在线段上，且满足，若，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，，，若与共线，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．如图，在中，，过点P的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．4 6．在中，点满足，点满足，，分别是，的中点，设，，则（   ） A． B． C． D． 7．设向量，满足，则以，，为边长的三角形面积最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．在四面体中，是的重心，．若直线交平面于点，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A．， B．， C．， D．， 10．已知向量满足，且，则的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 11．如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合，点，过作直线，使得不在上的“▲”的点分布在的两侧. 用和分别表示一侧和另一侧的“▲”的点到的距离之和. 若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的为（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．化简 ． 13．设M为内一点，且，则与的面积之比为 ． 14．设是等边三角形，，，直线交于点，，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）已知A，B，C是三个不同的点，，，，求证：A，B，C三点共线 （2）化简： （3）已知，，实数x，y满足：，求x，y. 16．（15分）如图，在，，，，在边上，延长到，若（为常数） (1)若，求的距离；(2)若，求､的长度； 17．（15分）如图，在等腰梯形中，，，，，与交于点G，记，． (1)用，表示，；(2)记的面积为，的面积为，求的值． 18．（17分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，对平面上任意两点，以向量为两边的的面积为，当O，A，B三点共线时，． (1)已知两点，求以向量为两邻边的平行四边形的面积； (2)若向量，证明：； (3)已知，且，求的最大值． 19．（17分）如图1所示，在中，点在线段上，满足，点在线段上，满足，线段与线段交于点. (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，求的最大值； 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一上学期数学单元检测卷 第六章 平面向量初步·能力提升（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 A C A D B A A B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 BC BC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12． 13．/0.25 14． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1）因为， ， 所以， 3分 又因为有公共起点，因此A，B，C三点共线. 6分 （2）； 8分 （3），即， 10分 则，解得. 13分 16．【详解】（1）因为A，D，E三点共线，所以与共线， 设 2分 又因为， 所以，可得， 由在边上，可得，即， 5分 若，又，可得，，故， 若两点重合时，的距离为0， 7分 若不重合时，为等腰三角形. 又在中，，，，可得，且， ， 10分 故的距离为0或； 11分 （2）若，又， 故， 故， 13分 由，可得相似比为， 所以，. 15分 17．【详解】（1）； 2分 ； 6分 （2）设，连接， ， ， 9分 则，解得， 11分 设边上的高为，边上的高为， 则， 所以. 15分 18．【详解】（1）因为以向量为两边的的面积为， 所以以向量为两邻边的平行四边形的面积为； 4分 （2）由得，． 6分 因此 ． 9分 （3）由（2）知，． 因为，所以． 13分 由不等式得，，当且仅当时取等号． 故的最大值为． 17分 19．【详解】（1）因为，则，由，得 ， 故. 2分 （2）由（1）得，因为三点共线，所以存在实数使得，所以，所以， 4分 由，得 ， 又因为，所以，解得，， 综上所述，. 8分 （3）根据题意． 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 11分 因为三点共线， 所以存在实数，使得， 所以， 所以，，化简得， 14分 所以， 当且仅当且， 即，，时等号成立． 故的最大值为. 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $