第六章 平面向量初步（知识清单）数学人教B版2019必修第二册

第六章 平面向量初步 一、向量的概念及表示 1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量. 2.表示: （1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度. （2）向量的表示： ①几何表示:用有向线段表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作. ②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作. 3.两个特殊向量: （1）零向量与非零向量: 长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为，长度不为0的向量称为非零向量. （2）单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量. 二、向量间的关系 1.平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. 2.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量与相等,记作. 三、向量的线性运算 1.向量的加法 三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作 平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和 , 规定：零向量与任意向量的和,都有 运算律：①交换律：；②结合律： 2.相反向量 1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量, 3.性质：①；②若互为相反向量,则； ③的相反向量是 3.向量的减法 1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.运算法则:在平面内取一点O,作,则. 3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量. 4.向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量； ②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”. 4.向量的数乘运算 1.定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下: ①; ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， 2.运算律:设为任意实数,则有①；②； ③ 特别地,有. (3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有. 四、共线向量定理 1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使. 2.三点共线向量表示的两个结论 结论1：如图1，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得. 结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得. 五、平面向量基本定理 1.平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 2.基底:我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作 3.对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． 六、平面向量的坐标表示 （1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量. （2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底. （3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标. （4）坐标表示. （5）特殊向量的坐标: 七、平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示 设向量则有下表 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知,则 平面向量共线的坐标表示 （1）条件: ,其中； （2）结论:当且仅当时,向量共线. 八、向量线性运算的应用 1.用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题. （2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题. 2.用向量解决物理问题的一般步骤 （1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题. （2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型. （3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值. （4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 易错01 混淆向量的概念 忽略零向量方向不确定，仅规定零向量与任意向量共线 例1．以下说法中，正确的是（   ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．零向量的长度为0，没有方向 C．单位向量都是共线向量 D．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 【答案】D 【详解】对于A，如果两个向量的起点，终点不在同一直线上，它们不是共线向量，故A错； 对于B，零向量的长度（大小）为0，方向是任意的，B错， 对于C，单位向量可以垂直，它们不一定是共线向量，C错； 对于D，向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小， 而它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，D正确； 故选：D． 变式1-1．已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（   ） A． B． C． D．不存在这样的向量 【答案】A 【详解】由零向量与任意向量平行，故满足条件； 若，由且，得，这与条件矛盾，故排除； 综上所述，. 故选：A. 变式1-2．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．长度相等的向量叫相等向量 C．零向量的长度是0 D．共线向量一定是在同一条直线上的向量 【答案】C 【详解】A：仅表示与的大小相等，但是方向不确定， 故未必成立，所以A错误； B：长度相等的向量方向不一定相同，故B错误； C：根据零向量的定义可判断C正确； D：共线向量不一定在同一条直线上，也可在相互平行的直线上，故D错误. 故选：C. 变式1-3．如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（ ） A．与不平行 B． C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 【答案】BCD 【详解】对于A，向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误； 对于B，因为，则，所以，故B正确； 对于C，根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等， 故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确； 对于D，与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确. 故选：BCD. 易错02 混淆向量平行与直线平行 向量是可以平移的，平行向量又称共线向量 例2．设为所在平面内一点，．若，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【详解】， 所以，即，即, 即. 故选：D 变式2-1．在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（    ） A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 【答案】B 【详解】∵  ， ∴  ， ∴  ， ∴ 四边形一定是梯形． 故选：B. 变式2-2．在中，在边BC上，延长AD到，使得，若（为常数），则PD的长度是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【详解】设，则, 因为，所以， 即， 因为三点共线，可得，解得， 所以，因为，所以， 所以的长度为. 故选：B. 变式2-3．已知两个非零向量，不共线，若，，，且A，B，C三点共线，则 . 【答案】 【详解】由已知可得， ， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 则，即且，解得. 故答案为： 易错03 向量减法几何意义颠倒 表示从向量的终点指向的终点的向量. 例3．在基底下，向量，则在下列图中，能正确表示的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】由图象可知，A选项，； B选项，； C选项，； D选项，． 故选：D. 变式3-1．如图，已知，，，，，试用，，，，表示以下向量： (1)； (2)； (3)－； (4)＋； (5)－. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. 变式3-2．已知，，平面上的任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为 ． 【答案】2 【详解】如图所示： 因为AB是的中位线，所以，因为， 所以． 故答案为：2. 变式3-3．如图所示，O为△ABC内一点，，，，求作：.    【答案】作图见解析 【分析】 【详解】方法一　以为邻边作，连接，，    则，. 方法二　作    连接，则， 易错04 已知共线求参数需注意看清有没有限制方向 若两向量方向相同，则两向量之间的倍数大于0，若相反，则小于0 例4．已知平面向量，，且与方向相反，则x的值为（   ）． A．2 B． C． D．0 【答案】B 【详解】由向量，共线，得，解得， 当时，，与方向相同，不符合题意； 当时，，与方向相反，符合题意， 所以x的值为. 故选：B 变式4-1．设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则k=（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由题意知，即，解得， 故选：B. 变式4-2．已知向量，，若，则 ，若存在实数 m，使得方向相反，则t的取值范围为 . 【答案】 3 【详解】因为向量，，若，则且，解得； 存在实数m，使得，方向相反， 即存在实数，使得，，可得且， 解得， 由得：，所以t的取值范围为 故答案为：①3；②. 变式4-3．已知，是两个不共线的向量，向量与方向相同，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】由，不共线，易知向量为非零向量， 由向量与方向相同， 可知存在实数，使得，即. 由，不共线，必有， 否则，不妨设，则. 由两个向量共线的充要条件知，，共线，与已知矛盾. 由，解得或， 当时，两向量分别为，，方向相反，与题意不符. 当时，，，方向相同，符合题意. 因此，当向量与方向相同时， 故选：B 易错05 向量坐标计算错误 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 例5．设点，，若点P在直线AB上，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】∵，，∴． ∵点P在直线AB上，且，∴或， 故或，故点P的坐标为或. 故选：D． 变式5-1．已知点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】为，所以， 则． 故选：A 变式5-2．已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点的坐标为， 因为，. 因为是平行四边形，所以， 即，解得，所以点的坐标为. 故选：A 变式5-3．已知平面直角坐标系内的两个向量，若平面内的任意一个向量都可以唯一分解成，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】根据平面向量基本定理可知，不共线， 故，解得. 即的取值范围是. 故答案为：. 1．四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【详解】因为，则，即， 可知两边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 但没有足够条件判断是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确. 故选：D. 2．在平行四边形中，对角线，给出以下结论： ①；    ②； ③；        ④ 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题意，，故①正确；，故②正确； ,故③正确；，故④错误. 所以正确结论的个数是3. 故选：C. 3．在中，，P是BN上一点．设，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，则， 因为B，P，N三点共线，所以，所以. 故选：B 4．已知平行四边形，为实数，，则“点P在平行四边形内（不含边界）”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，点P在平行四边形内（不含边界）可得， ， 反之，当时，如时，则点在平行四边形外部， 所以点P在平行四边形内（不含边界）是的充分不必要条件， 故选：A. 5．（多选）关于向量，，下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】对于A，当时，必成立，A正确； 对于B，若，则反向，，B正确； 对于C，当时，，，此时未必共线，C错误. 对于D，只能说明长度的大小关系，但还有方向，无法比较大小，D错误； 故选：AB 6．（多选）已知向量，不共线，若，，且，，三点共线，则关于实数，的值可以是（    ） A．2， B．， C．2， D．， 【答案】AB 【详解】因为，，三点共线，则存在实数，使得， 即，即，所以， 又因为向量，不共线，所以，解得， 所以实数，的值互为倒数即可求解． 故选：AB． 7．（多选）在中，为边上一点且满足，若为边上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为12 D．的最小值为4 【答案】BD 【详解】因为，所以， 又， 因为、、三点共线，所以， 又，为正实数，所以， 当且仅当，即，时取等号，故A错误，B正确； ， 当且仅当，即，时取等号，故C错误，D正确. 故选：BD 8．（多选）已知在等腰梯形ABCD中，，，点P，Q分别是AB，BC所在直线上的动点，且，，连接PQ并延长与DC的延长线交于点M，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若ADMP为平行四边形，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】因为，所以，，，A错误； 因为，所以，，，B正确； 过作，在等腰梯形ABCD中，，所以， 当四边形ADMP为平行四边形时，，即， 所以，即，又，所以，C正确； 当时，C是DM的中点，则， 因为点P，Q，M共线，所以，故，D错误． 故选：BC. 9．已知，若，则 ． 【答案】/1.5 【详解】， ， 又，，解得． 故答案为：． 10．如图所示，在中，是边上的中线，为上一点，且，经过的直线分别交直线于不同的两点．若，，则 ． 【答案】4 【详解】法一：（特殊位置法）当过点的直线与平行时，由，得是的中点， 则就是的一条中位线，由，得，所以. 法二：依题意，， 由三点共线，得，所以. 故答案为：4 11．如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）解：由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以. （2）证明：因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量初步 一、向量的概念及表示 1.定义:既有________又有________的量叫做向量. 2.表示: （1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、________、长度. （2）向量的表示： ①几何表示:用有向线段表示,记作向量________.有向线段的长度表示向量的________,有向线段的方向表示向量的________.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作________. ②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作. 3.两个特殊向量: （1）零向量与非零向量: 长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为________，长度不为0的向量称为非零向量. （2）单位向量:长度等于________个单位长度的向量,叫做单位向量. 二、向量间的关系 1.平行向量（共线向量）:方向________或________的非零向量叫做平行向量,向量平行,记作________.规定:零向量与任意向量________,即对于任意向量,都有. 2.相等向量:长度相等且方向________的向量叫做相等向量;向量与相等,记作. 三、向量的线性运算 1.向量的加法 三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作 平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为________的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和 , 规定：零向量与任意向量的和,都有 运算律：①________律：；②________律： 2.相反向量 1.定义:与向量长度相等、方向________的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量, 3.性质：①；②若互为相反向量,则； ③的相反向量是________ 3.向量的减法 1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.运算法则:在平面内取一点O,作,则. 3.几何意义表示从向量的终点________的终点的向量. 4.向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量； ②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”. 4.向量的数乘运算 1.定义:规定实数与向量的________是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下: ①; ②当时，的方向与的方向________；当时，的方向与的方向________；当时， 2.运算律:设为任意实数,则有①；②； ③ 特别地,有. (3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有. 四、共线向量定理 1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在________一个实数,使. 2.三点共线向量表示的两个结论 结论1：如图1，点共线的充要条件是存在________实数，使得. 结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在________实数使得. 五、平面向量基本定理 1.平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，________一对实数，使. 2.基底:我们把________的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作 3.对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． 六、平面向量的坐标表示 （1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相________的向量. （2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底. （3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标. （4）坐标表示. （5）特殊向量的坐标: 七、平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示 设向量则有下表 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 ________ 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知,则________ 平面向量共线的坐标表示 （1）条件: ,其中； （2）结论:当且仅当________时,向量共线. 八、向量线性运算的应用 1.用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题. （2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题. 2.用向量解决物理问题的一般步骤 （1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题. （2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型. （3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值. （4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 易错01 混淆向量的概念 忽略零向量方向不确定，仅规定零向量与任意向量共线 例1．以下说法中，正确的是（   ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．零向量的长度为0，没有方向 C．单位向量都是共线向量 D．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 变式1-1．已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（   ） A． B． C． D．不存在这样的向量 变式1-2．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．长度相等的向量叫相等向量 C．零向量的长度是0 D．共线向量一定是在同一条直线上的向量 变式1-3．如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（ ） A．与不平行 B． C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 易错02 混淆向量平行与直线平行 向量是可以平移的，平行向量又称共线向量 例2．设为所在平面内一点，．若，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 变式2-1．在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（    ） A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 变式2-2．在中，在边BC上，延长AD到，使得，若（为常数），则PD的长度是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 变式2-3．已知两个非零向量，不共线，若，，，且A，B，C三点共线，则 . 易错03 向量减法几何意义颠倒 表示从向量的终点指向的终点的向量. 例3．在基底下，向量，则在下列图中，能正确表示的是（    ） A．   B．   C．   D．   变式3-1．如图，已知，，，，，试用，，，，表示以下向量： (1)； (2)； (3)－； (4)＋； (5)－. 变式3-2．已知，，平面上的任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为 ． 变式3-3．如图所示，O为△ABC内一点，，，，求作：.    易错04 已知共线求参数需注意看清有没有限制方向 若两向量方向相同，则两向量之间的倍数大于0，若相反，则小于0 例4．已知平面向量，，且与方向相反，则x的值为（   ）． A．2 B． C． D．0 变式4-1．设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则k=（    ） A． B． C．2 D． 变式4-2．已知向量，，若，则 ，若存在实数 m，使得方向相反，则t的取值范围为 . 变式4-3．已知，是两个不共线的向量，向量与方向相同，则（   ） A． B． C． D．1 易错05 向量坐标计算错误 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 例5．设点，，若点P在直线AB上，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 变式5-1．已知点，则（   ） A． B． C． D． 变式5-2．已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式5-3．已知平面直角坐标系内的两个向量，若平面内的任意一个向量都可以唯一分解成，则的取值范围是 . 1．四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 2．在平行四边形中，对角线，给出以下结论： ①；    ②； ③；        ④ 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．在中，，P是BN上一点．设，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知平行四边形，为实数，，则“点P在平行四边形内（不含边界）”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（多选）关于向量，，下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 6．（多选）已知向量，不共线，若，，且，，三点共线，则关于实数，的值可以是（    ） A．2， B．， C．2， D．， 7．（多选）在中，为边上一点且满足，若为边上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为12 D．的最小值为4 8．（多选）已知在等腰梯形ABCD中，，，点P，Q分别是AB，BC所在直线上的动点，且，，连接PQ并延长与DC的延长线交于点M，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若ADMP为平行四边形，则 D．若，则 9．已知，若，则 ． 10．如图所示，在中，是边上的中线，为上一点，且，经过的直线分别交直线于不同的两点．若，，则 ． 11．如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $