第六章 平面向量初步（复习讲义）数学人教B版2019必修第二册

该高中数学平面向量初步复习讲义通过基础、进阶、拓展三级目标分层构建知识体系，以框架图梳理向量的表示方法、关系辨别、运算及几何意义等核心内容，清晰呈现共线向量、基底分解等重难点的内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计与数学思维培养，如通过“向量共线定理证明三点共线”训练逻辑推理能力，用“坐标法解决几何问题”发展数学语言表达，基础巩固与能力提升练习满足不同学生需求，助力教师精准教学和学生自主复习。

第六章 平面向量初步（复习讲义） 基础目标 ①能复述平面向量的定义、表示方法（几何表示、字母表示）及模、零向量、单位向量等概念； ②能区分平行向量、相等向量等向量间的关系；会运用三角形法则、平行四边形法则进行向量加减运算，③掌握向量数乘运算的定义及运算律； ④能直接套用向量加减、数乘的基本公式解决简单计算问题 进阶目标 ①理解平面向量基本定理的内涵，会确定基底并进行向量分解； ②能复述向量坐标表示的规则，会进行向量加减、数乘的坐标运算； ③理解并应用共线向量定理及其坐标表示，能判定向量共线； ④会推导向量运算的坐标公式，能结合向量间的关系解决稍复杂的运算和判定问题； ⑤掌握相反向量、向量减法的定义及运算方法。 拓展目标 ①理解并应用向量方法解决平面几何问题的基本步骤，能建立向量模型将几何问题转化为向量运算； ②会综合运用平面向量基本定理、坐标运算、共线判定等知识解决几何中的位置关系、长度等问题； ③能运用向量知识分析物理中的相关问题，完成物理问题与向量模型的转化； ④具备数形结合思想，能灵活运用向量的线性运算解决综合性问题 一、向量的两种表示方法： （1）几何表示法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的长度确定向量的终点. （2）字母表示法:为了便于运算,可用字母表示,为了联系平面几何中的图形性质,可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量,如等. 二、共线向量和相等相等的辨别 （1）寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向或反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量. （2）寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是与已知向量方向相同的向量. 三、加法、减法、乘法运算及几何意义 1．向量加法： （1）向量加法的三角形法则的作法：①把用小写字母表示的向量,用两个大写字母表示(其中后面向量的始点与前一个向量的终点重合,即用同一个字母来表示); ②由第一个向量的始点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和 （2）向量加法的平行四边形法则的作法：①把两个已知向量的始点平移到同一点; ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形; ③与已知向量同起点的对角线表示的向量就是这两个已知向量的和 2．向量减法 向量减法的三角形法则作图的方法：平移向量使之共起点，连接两向量的终点，方向指向被减向量 3．向量数乘 （1）当时,与同向;当时, 与反向(). （2）当且时,或当且时, ,注意是,而不是. 四、向量共线 （1）若,且与所在的直线无公共点,则这两条直线平行. （2）若,且与所在的直线有公共点,则这两条直线重合. （3）若，则三点共线 （4）设是平面内的任意一点，点共线的充要条件是存在唯一实数使得. 五、基底及线性运算 （1）两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底； （2）一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来. 用基底表示向量的两种方法：（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止；（2）通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解. 六、用坐标表示向量及坐标的运算 （1）求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标； （2）求一个向量的坐标时,可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标. （3）若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行； （4）若已知有向线段两端点的坐标,则必须先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算； （5）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. （6）利用向量共线的坐标表达式直接求解. 七、用向量解决几何问题和物理问题 1．用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题. （2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题. 2．用向量解决物理问题的一般步骤 （1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题:；（2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型； （3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值；（4）问题的答案:回到问题的初始状态，解释相关的物理现象. 题型一 向量的概念与辨析 1．下列关于平面向量的说法正确的是（   ） A．若，是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则，不是共线向量 D．若，，则 【答案】B 【详解】对于A，若，是共线的单位向量，则或，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，满足，但此时，是共线向量，故C错误； 对于D，设是两个不共线的非零向量，，满足，，但此时不成立，故D错误. 故选：B. 2．已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（   ） A． B． C． D．不存在这样的向量 【答案】A 【详解】由零向量与任意向量平行，故满足条件； 若，由且，得，这与条件矛盾，故排除； 综上所述，. 故选：A. 3．在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与不共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为共线向量是指向量所在直线共线或平行的向量，O为正六边形的中心， 所以与所在直线平行，所以是共线向量，故A错误； 与所在直线平行，所以是共线向量，故B错误； 与所在直线既不共线也不平行，所以不是共线向量，故C正确； 与所在直线共线，所以是共线向量，故D错误. 故选：C. 4．如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（ ） A．与不平行 B． C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 【答案】BCD 【详解】对于A，向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误； 对于B，因为，则，所以，故B正确； 对于C，根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等， 故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确； 对于D，与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确. 故选：BCD. 5．四边形中，“”是“是梯形”的 条件． 【答案】充分不必要 【详解】若，则且，则四边形为梯形，故充分性成立， 若为梯形，则或，若不平行于，则，故必要性不成立. 所以“”是“是梯形”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 题型二 向量的加、减、数乘运算 6．（1） （2） 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）. （2） . 7．已知是所在平面内的一点，为边中点，且,那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为边中点，可得， 又因为，可得. 故选：B. 8．在基底下，向量，则在下列图中，能正确表示的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】由图象可知，A选项，； B选项，； C选项，； D选项，． 故选：D. 9．已知正方形的边长为，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则， 因此，. 故选：B. 10．已知向量，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 可得． 故选：C 11．已知菱形的边长为2，则向量 .    【答案】2 【详解】由图知. 故答案为：2 题型三 向量的线性表示 12．在中，点在边上，.记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，∴ . 故选：C. 13．在所在平面内，点满足，记，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由向量的线性运算可知. 故选：C. 14．已知平行四边形的两条对角线交于点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】平行四边形的两条对角线交于点，作出图形如下：    由图可得：，故A、B不正确； ，故C不正确，D正确. 故选：D. 15．若在三角形中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以点是中点， 所以.    故选：B. 16．如图，在中，，E是CD的中点.设，.则 . 【答案】 【详解】因为，且E是CD的中点， 则， 且，，所以. 故答案为：. 17．在中，点在线段上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则 . 【答案】4 【详解】连接，如图所示. 因为，所以， 所以. 因为，所以. 因为，，三点共线，所以，则. 故答案为：4. 题型四 向量共线定理证明点共线问题 18．设，是两个不共线向量，，，，若A，B，D三点共线，则实数p的值为 ． 【答案】 【详解】由题意，因为三点共线，所以共线， 所以存在实数，使得， 所以，，所以． 故答案为：． 19．若，则共线的三点是 . 【答案】 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以与共线，因为与有公共端点， 所以三点共线. 故答案为： 20．已知向量和不共线，如果，，.求证：A，B，D三点共线. 【答案】证明见解析. 【详解】因为， 所以=，即， 又因为BD与AB有公共点B， 所以A，B，D三点共线. 21．如图，已知的两边、的中点分别为M、N，在延长线上取点P，使，在的延长线上取点Q，使.试用向量方法证明：F、A、Q三点共线.    【答案】证明见解析 【详解】依题意，， ， 因此，而有公共点，所以P、A、Q三点共线. 22．已知、为非零向量，且、、在同一起点上，求证：它们的终点在同一条直线上． 【答案】证明见解析 【详解】设、、起点为，，，， 则证明三点共线即可， 因为，， 所以， 所以，又有公共点， 所以三点共线. 即、、在同一起点上，它们的终点在同一条直线上． 题型五 向量共线定理证明平行问题 23．（多选）设计一款平面游戏，玩家可以控制角色以或的方向运动，角色会沿该方向自发前进．角色活动区域在一块正方形区域内，将角色视为一点，每当角色触碰到正方形区域边缘时便会沿反方向按原路返回，已知角色可以运动到正方形区域内的任一位置，若修改玩家控制角色时的运动方向，则修改后角色依然可以运动到正方形区域内的任一位置的方向有（   ） A．和的方向 B．和的方向 C．和的方向 D．和的方向 【答案】BC 【详解】根据题意，符合条件的两个方向不共线即可， 对于A选项，因为，故和的方向相反，A不满足条件； 对于B选项，设与共线，则存在，使得， 可得，则、共线，矛盾， 故与不共线，B满足条件； 对于C选项，设和共线，则存在，使得， 所以，，则、共线，矛盾， 故和不共线，C满足条件； 对于D选项，因为，所以，和的方向相反，D不满足条件. 故选：BC. 24．如图，在中，分别是边的中点，分别是的中点，求证：向量与共线. 【答案】见解析 【详解】分别是边的中点，是的中位线，，四边形是梯形。又分别是的中点，是梯形的中位线，，向量与共线. 【点睛】本题考查两向量共线的充要条件，意在考查学生对共线定理的理解与掌握，属于基础题. 25．如图，已知中，是的角平分线，和分别在和上，且，和分别是和的中点，求证：．    【答案】证明见解析 【详解】由题设，且是的角平分线，则，， 由，所以， 由和分别是和的中点，则， ，所以， 所以，即． 26．在中，M、N、P分别在DC、CB、AD上，又，，设，. (1)试用，表示向量； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）根据题意可作出下图    ∵，∴，∴， ∴. （2）因为，所以， 所以， 由，所以， 所以， 所以，所以， 所以, 27．四边形ABCD中，，，，试判断四边形ABCD的形状（其中，为不平行的非零向量）． 【答案】四边形ABCD为梯形． 【详解】，， ∴， 所以四边形ABCD为梯形． 题型六 平面向量基本定理的理解 28．设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成， C选项中，，即和为共线向量， 所以它们不能作为基底． 其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底． 故选：C 29．在中，点P是上一点，且P为靠近A点的三等分点，Q是中点，与交点为M，又，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为、、三点共线，点是中点，所以, 又因为是上靠近点三等分点，所以, 且因为，则, 即,消可解得. 故选：. 30．如图，在矩形中，E，F分别为，的中点，G为线段上的一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可设， 则 ， 因为，所以，解得. 故选：A 31．（多选）下列选项中，正确的是（    ） A．基中的向量可以有零向量 B．一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基 C．一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基 D．平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的 【答案】CD 【详解】A．基中的向量是非零向量，错误，不符合题意； B．一个平面内只要有一组不共线的向量就可作为表示该平面内所有向量的基，有无数组，选项错误，不符合题意； C．一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基，正确，符合题意； D．平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的，正确，符合题意； 故选：CD． 32．如图，在中，已知，，是线段与的交点，若，则的值为 .    【答案】 【详解】由A，P，D三点共线，设，由得， 故， 由得， 故，——① 再由B，P，E三点共线，设， 所以，即——② 由①②及向量与不共线，由平面向量基本定理，得，解得. 故得 又，故，， 所以. 故答案为：. 33．设，是不共线的非零向量，且，． (1)证明：可以作为一个基底； (2)若向量，试用基底表示． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）假设，共线，所以存在实数，使得， 即，整理得， 则，共线，这与，是不共线的非零向量矛盾， 所以假设不成立，即与不共线，所以可以作为一个基底； （2）设 ， 因为，是不共线的非零向量， 所以，解得， 所以． 题型七 向量的坐标运算 34．如图，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底，若，则向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，． 故选：A． 35．已知点，且为上靠近的三等分点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，则， , 所以的坐标为． 故选:B. 36．已知点，向量，，若点满足，则点的坐标是 . 【答案】 【详解】设，则， 则，， 又， 则，解得， 即， 故答案为：. 37．在平面直角坐标系中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，，. 设，∴，解得，∴，故选项A正确，选项B错误； 设，∴，解得，∴，故选项C错误，选项D错误. 故选：A. 38．设向量绕点逆时针旋转得向量，且，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 所以， 即，解得， 因此，，． 故选：B． 39．在正六边形中，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】 以为原点建立平面直角坐标系，设正六边形的边长为2， 所以，，，， 所以，，， 因为， 所以，所以， 解得，，所以. 故选：A. 题型八 坐标法解决向量共线问题 40．设向量，，且与的方向相反，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．不存在 【答案】A 【详解】向量，，因为，所以，解得或. 当时，，，与的方向相同，舍去； 当时，，，与的方向相反，符合题意. 故选：A 41．若三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】因为，，三点共线，所以存在唯一实数，使得， 又因为，， 所以，即，解得， 所以的值为. 故选：A 42．已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，， 所以， 若不重合的三点，，共线， 则，解得或， 当时，重合，矛盾， 当时，都不重合，故满足题意， 所以. 故选：A. 43．已知点与，点在直线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】令，由点在直线上，，则， 所以，则，可得， ，则，可得， 所以点的坐标为或. 故选：D 44．若平面向量，，若，则实数 . 【答案】 【详解】，又， ，解得：. 故答案为：. 45．设向量其中为坐标原点，  ，若三点共线，  则的最小值为 . 【答案】 【详解】由， 由三点共线，且， 所以， 则， 当且仅当时取等. 故答案为：6 题型九 向量在几何中的应用 46．在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】如图所示， ，四边形是平行四边形， 分别表示的单位向量， ，平方可得， ，， 四边形是矩形， 又平分，四边形是菱形， 四边形是正方形，且，此四边形的面积等于5， 故选：D．    47．已知为所在平面内一点，，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，位于线段的垂直平分线上， 设线段的中点为， 由得：， ，，如下图所示， ，. 故选：D. 48．的外心满足，，则的面积为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】设的中点为，则可化为 即为， 三点共线且，为等腰三角形， 由垂径定理得，代入数据得, 解之：，. 故选：B. 49．设点在内部，且，则与的面积之比是 ． 【答案】3 【详解】如图： 由， 得， 从而（为的中点，为的中点）， 即， 所以为中位线的三等分点. 故． 即. 故答案为：3 50．已知是内部的一点，且和的面积分别是，若，则 ． 【答案】3 【详解】如图，分别在边上取点，使得． 由，可得，所以， 又因为，所以点在线段上（不包含端点）， 则． 因为三点共线，所以，即， 所以． 因为，所以，所以． 故答案为：3. 51．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.    【答案】证明见解析 【详解】因为点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点， 所以 所以， 又因为与不共线，所以，且， 所以四边形EFGH为平行四边形. 题型十 向量在物理中的应用 52．一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得， 所以. 故选：D 53．如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设，要使船的航程最短，则船的实际航行方向与岸边垂直， 由图可知，所以，故， 所以，又因为，所以， 所以（），故. 故选：D. 54．一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设航船方向与河岸夹角为， 所以，所以， ， 分钟. 故选：C. 55．已知一个物体在三个力的作用下，处于静止状态，则 . 【答案】 【详解】依题意，所以. 故答案为： 56．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时， . 【答案】/ 【详解】若游船正好到达处，即和速度与同向， 则有， 所以， 故答案为： 基础巩固通关测 一、单选题 1．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D 2．已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【详解】对于A，方向相反，但模长未必相等，则未必成立，A错误； 对于B，方向相反，，但模长未必相等，B错误； 对于C，方向相反，但模长未必相等，则未必成立，C错误； 对于D，表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 方向相反，，则，D正确. 故选：D. 3．向量，在正方形网格（每个正方形的边长均为1）中的位置如图所示，若向量共线，则λ等于（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，建立如图所示平面直角坐标系， 则，可得， 因为向量与共线，可得，解得. 故选：C． 4．已知向量不共线，，则 是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】因为向量不共线，可知均非零向量， 由，可知，则，满足充分性； 若，则，即，所以，解得， 满足必要性， 所以是“”的充要条件. 故选：C 5．如图所示，O点在内部，分别是边的中点，且有，则的面积与的面积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 又因为分别是边的中点， 所以，， 所以，即， 所以三点共线，且， 所以到的距离与到的距离之比也为， 又的面积与的面积都以为底， 所以的面积与的面积的比为． 故选：A 6．如图，在△ABC中， 过点P的直线分别交直线AB ，AC于不同的两点M，N，设 其中m，n>0， 则 的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】， 因为，，所以， 又三点共线，所以，即，且， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 7．在中，，，，P为所在平面内的动点，且.则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由P为所在平面内的动点，且，点P的轨迹为以C为圆心，2为半径的圆， 又由，，， 取的中点D，则， 所以. 故选：C. 二、多选题 8．（多选）已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（    ）. A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，当时，与方向相同，故A错误； 对于B，当时，，则与方向相同，故B正确； 对于C，当且，即时， ，故C错误； 对于D，表示的模，为实数，表示一个向量，两者不相等，故D错误. 故选：ACD 9．（多选）已知点，向量，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由题意有或， 当时，得，所以，故A正确； 当时，得，所以，故B正确. 故选：AB. 三、填空题 10．已知向量，若，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以，解得． 故答案为：. 11．已知，点在直线上，且满足，则 ． 【答案】/0.5 【详解】解法1：坐标法 建立平面直角坐标系并标出点的坐标，如图， 由， 代入坐标即得， 得，即，所以． 解法2：向量转化法 ， 由三点共线，得，则， 从而， 即，所以． 12．已知点是的重心，点，分别在，上，且满足，其中.若，则与的面积之比为 . 【答案】/0.25 【详解】因为点是的重心，所以， 因为，所以，即， 设，则， 又因为，所以， 又因为，所以，即， 则， 所以与的面积之比， 故答案为： 四、解答题 13．设A，B，C，D为平面内的四点，. (1)若，求点D坐标； (2)设向量，若与平行，求实数k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以，设，又，所以， 因为，所以，解得，所以点D坐标为； （2），， 所以，， 因为与平行， 所以，解得. 14．如图，已知向量，求作向量． 【答案】答案见解析 【详解】作图如下． 15．如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，. (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为是的中点，是线段上靠近点的三等分点， 所以，， 因为，， 所以， （2）证明：因为， 所以， 由（1）知，， 所以 所以与平行， 又与有公共点，所以，，三点共线. 能力提升进阶练 1．已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，设， 则，， 可得， 因为，所以， 所以，当时，取得最小值； 当时，取得最大值，即. 故选：A. 2．如图，第一象限内的点M和第二象限内的点N分别在直线与上，阴影部分（不含边界）内的点P满足．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】构造平行四边形如下图所示， 则，其中 因为同向，反向，所以， 若点P在x轴上时，， 所以，当点P在阴影部分（不含边界）内时，， 从而，则， 综上，． 故选：C． 3．（多选）已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ABC 【详解】对于A，由题意得，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A知，， 由于M、O、N三点共线，可知，即，故C正确； 对于D，由C知，，且，， 所以， 当且仅当 ，即时取得等号， 所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC    4．如图，在梯形中，，，连接交于点，则 ． 【答案】 【详解】设，因为， 所以， 所以 因为三点共线，设， 所以， 则， 所以，解得：； 所以； 故答案为： 5．在所在平面上的点满足，且，请指出点的位置． 【答案】答案见解析 【详解】 ，，令， ， 令，，则， ， 点共线，即点在直线上， 又， 点在直线上，其中，，如上图所示． 1/3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量初步（复习讲义） 基础目标 ①能复述平面向量的定义、表示方法（几何表示、字母表示）及模、零向量、单位向量等概念； ②能区分平行向量、相等向量等向量间的关系；会运用三角形法则、平行四边形法则进行向量加减运算，③掌握向量数乘运算的定义及运算律； ④能直接套用向量加减、数乘的基本公式解决简单计算问题 进阶目标 ①理解平面向量基本定理的内涵，会确定基底并进行向量分解； ②能复述向量坐标表示的规则，会进行向量加减、数乘的坐标运算； ③理解并应用共线向量定理及其坐标表示，能判定向量共线； ④会推导向量运算的坐标公式，能结合向量间的关系解决稍复杂的运算和判定问题； ⑤掌握相反向量、向量减法的定义及运算方法。 拓展目标 ①理解并应用向量方法解决平面几何问题的基本步骤，能建立向量模型将几何问题转化为向量运算； ②会综合运用平面向量基本定理、坐标运算、共线判定等知识解决几何中的位置关系、长度等问题； ③能运用向量知识分析物理中的相关问题，完成物理问题与向量模型的转化； ④具备数形结合思想，能灵活运用向量的线性运算解决综合性问题 一、向量的两种表示方法： （1）几何表示法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的长度确定向量的终点. （2）字母表示法:为了便于运算,可用字母表示,为了联系平面几何中的图形性质,可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量,如等. 二、共线向量和相等相等的辨别 （1）寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向或反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量. （2）寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是与已知向量方向相同的向量. 三、加法、减法、乘法运算及几何意义 1．向量加法： （1）向量加法的三角形法则的作法：①把用小写字母表示的向量,用两个大写字母表示(其中后面向量的始点与前一个向量的终点重合,即用同一个字母来表示); ②由第一个向量的始点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和 （2）向量加法的平行四边形法则的作法：①把两个已知向量的始点平移到同一点; ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形; ③与已知向量同起点的对角线表示的向量就是这两个已知向量的和 2．向量减法 向量减法的三角形法则作图的方法：平移向量使之共起点，连接两向量的终点，方向指向被减向量 3．向量数乘 （1）当时,与同向;当时, 与反向(). （2）当且时,或当且时, ,注意是,而不是. 四、向量共线 （1）若,且与所在的直线无公共点,则这两条直线平行. （2）若,且与所在的直线有公共点,则这两条直线重合. （3）若，则三点共线 （4）设是平面内的任意一点，点共线的充要条件是存在唯一实数使得. 五、基底及线性运算 （1）两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底； （2）一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来. 用基底表示向量的两种方法：（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止；（2）通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解. 六、用坐标表示向量及坐标的运算 （1）求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标； （2）求一个向量的坐标时,可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标. （3）若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行； （4）若已知有向线段两端点的坐标,则必须先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算； （5）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. （6）利用向量共线的坐标表达式直接求解. 七、用向量解决几何问题和物理问题 1．用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题. （2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题. 2．用向量解决物理问题的一般步骤 （1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题:；（2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型； （3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值；（4）问题的答案:回到问题的初始状态，解释相关的物理现象. 题型一 向量的概念与辨析 1．下列关于平面向量的说法正确的是（   ） A．若，是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则，不是共线向量 D．若，，则 2．已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（   ） A． B． C． D．不存在这样的向量 3．在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与不共线的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（ ） A．与不平行 B． C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 5．四边形中，“”是“是梯形”的 条件． 题型二 向量的加、减、数乘运算 6．（1） （2） 7．已知是所在平面内的一点，为边中点，且,那么（   ） A． B． C． D． 8．在基底下，向量，则在下列图中，能正确表示的是（    ） A．   B．   C．   D．   9．已知正方形的边长为，，，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知向量，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．已知菱形的边长为2，则向量 .    题型三 向量的线性表示 12．在中，点在边上，.记，则（    ） A． B． C． D． 13．在所在平面内，点满足，记，，则（   ） A． B． C． D． 14．已知平行四边形的两条对角线交于点，，则（   ） A． B． C． D． 15．若在三角形中，，，则（    ） A． B． C． D． 16．如图，在中，，E是CD的中点.设，.则 . 17．在中，点在线段上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则 . 题型四 向量共线定理证明点共线问题 18．设，是两个不共线向量，，，，若A，B，D三点共线，则实数p的值为 ． 19．若，则共线的三点是 . 20．已知向量和不共线，如果，，.求证：A，B，D三点共线. 21．如图，已知的两边、的中点分别为M、N，在延长线上取点P，使，在的延长线上取点Q，使.试用向量方法证明：F、A、Q三点共线.    22．已知、为非零向量，且、、在同一起点上，求证：它们的终点在同一条直线上． 题型五 向量共线定理证明平行问题 23．（多选）设计一款平面游戏，玩家可以控制角色以或的方向运动，角色会沿该方向自发前进．角色活动区域在一块正方形区域内，将角色视为一点，每当角色触碰到正方形区域边缘时便会沿反方向按原路返回，已知角色可以运动到正方形区域内的任一位置，若修改玩家控制角色时的运动方向，则修改后角色依然可以运动到正方形区域内的任一位置的方向有（   ） A．和的方向 B．和的方向 C．和的方向 D．和的方向 24．如图，在中，分别是边的中点，分别是的中点，求证：向量与共线. 25．如图，已知中，是的角平分线，和分别在和上，且，和分别是和的中点，求证：．    26．在中，M、N、P分别在DC、CB、AD上，又，，设，. (1)试用，表示向量； (2)求证：. 27．四边形ABCD中，，，，试判断四边形ABCD的形状（其中，为不平行的非零向量）． 题型六 平面向量基本定理的理解 28．设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 29．在中，点P是上一点，且P为靠近A点的三等分点，Q是中点，与交点为M，又，则（   ） A． B． C． D． 30．如图，在矩形中，E，F分别为，的中点，G为线段上的一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 31．（多选）下列选项中，正确的是（    ） A．基中的向量可以有零向量 B．一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基 C．一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基 D．平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的 32．如图，在中，已知，，是线段与的交点，若，则的值为 .    33．设，是不共线的非零向量，且，． (1)证明：可以作为一个基底； (2)若向量，试用基底表示． 题型七 向量的坐标运算 34．如图，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底，若，则向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 35．已知点，且为上靠近的三等分点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 36．已知点，向量，，若点满足，则点的坐标是 . 37．在平面直角坐标系中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 38．设向量绕点逆时针旋转得向量，且，则向量（    ） A． B． C． D． 39．在正六边形中，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 题型八 坐标法解决向量共线问题 40．设向量，，且与的方向相反，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．不存在 41．若三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 42．已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ） A． B． C． D． 43．已知点与，点在直线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 44．若平面向量，，若，则实数 . 45．设向量其中为坐标原点，  ，若三点共线，  则的最小值为 . 题型九 向量在几何中的应用 46．在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 47．已知为所在平面内一点，，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 48．的外心满足，，则的面积为（    ） A． B． C． D．2 49．设点在内部，且，则与的面积之比是 ． 50．已知是内部的一点，且和的面积分别是，若，则 ． 51．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.    题型十 向量在物理中的应用 52．一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（   ） A． B． C． D． 53．如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A． B． C． D． 54．一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（    ）． A． B． C． D． 55．已知一个物体在三个力的作用下，处于静止状态，则 . 56．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时， . 基础巩固通关测 一、单选题 1．（   ） A． B． C． D． 2．已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是（   ） A． B．且 C． D． 3．向量，在正方形网格（每个正方形的边长均为1）中的位置如图所示，若向量共线，则λ等于（　　） A．1 B．2 C． D． 4．已知向量不共线，，则 是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．如图所示，O点在内部，分别是边的中点，且有，则的面积与的面积的比为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中， 过点P的直线分别交直线AB ，AC于不同的两点M，N，设 其中m，n>0， 则 的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．在中，，，，P为所在平面内的动点，且.则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（多选）已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（    ）. A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 9．（多选）已知点，向量，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．已知向量，若，则 ． 11．已知，点在直线上，且满足，则 ． 12．已知点是的重心，点，分别在，上，且满足，其中.若，则与的面积之比为 . 四、解答题 13．设A，B，C，D为平面内的四点，. (1)若，求点D坐标； (2)设向量，若与平行，求实数k的值. 14．如图，已知向量，求作向量． 15．如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，. (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线. 能力提升进阶练 1．已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．如图，第一象限内的点M和第二象限内的点N分别在直线与上，阴影部分（不含边界）内的点P满足．若，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（   ） A． B． C． D．的最小值为 4．如图，在梯形中，，，连接交于点，则 ． 5．在所在平面上的点满足，且，请指出点的位置． 1/3 学科网（北京）股份有限公司 $