专题02 直线与方程（4大题型）（期末真题分类汇编 陕西专用）高二数学上学期

丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02」 直线与方程(4大题型) ☆4大高频考点概览 考点01直线的倾斜角与斜率 考点02直线的方程 考点03直线的交点坐标与距离公式 考点04直线综合问题 目目 考点01 1.(24-25高二上·陕西西安新城区·期末)平行直线V3x+y+1=0与2W3x+my-3=0之间的距离是() A.1 B.4 C.3 D. 2.(24-25高二上陕西咸阳期末)直线3y-V3x=0的倾斜角为() A.30° B.150° C.60 D.120° 3.24-25高二上·陕西渭南大荔县·期末)直线y=1-x的倾斜角为() A.君 B. C. D. 4.(24-25高二上陕西汉中普通高中十校联盟期末)直线3x+V3y-V3=0的倾斜角为() A.-309 B.30° C.1509 D.1209 5.(24-25高二上陕西汉中多校期末)若直线y=kx-1与直线y=x平行，则实数k=（) A.2 B.月 C.-2 D. 6.(24-25高二上·陕西渭南富平县·期末)已知直线1的一个方向向量为=(3,1)，则直线1的斜率为（) A.君 B.月 C.2 D.3 7.(24-25高二上·陕西汉中普通高中十校联盟期末)已知l1:x-my-1=0与l2:(m-2)x-3y+1=0是两条不 同的直线，若l1/儿2，则m=() A.-1 B.-1或2 C.0或3 D.-1或3 8.(24-25高二上陕西榆林第一中学期末)已知直线l1:ax+2y+1=0,直线l2:x+(a-1)y+2=0,若l11 l2,则实数a=() A. B. C.-1 D.2 1/8 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025 9.(24-25高二上陕西安康期末)直线xtam4π+y+1=0的倾斜角为(） A. B.0 C. D.日 10.(24-25高二上陕西榆林期末)已知直线l1:mx-3y+2=0与直线l2x-(m+2)y+2=0平行，则实数m 的值为() A.-3 B.1 C.-1 D.-3或1 11.(23-24高二上陕西西安西光中学期末)已知直线l1:ax-2y-2=0与直线l2:x-(a+1)y+2=0平行，则 实数a的所有取值之和为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 12.(23-24高二上·陕西西安莲湖区·期末)直线3x+V3y+5=0的倾斜角为() A.30° B.60 C.120 D,150 13.(23-24高二上陕西榆林)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,点M(0,3),P为C在第一象限内的一点，若 IPM=PFI,则直线PM的斜率为() A.-9 B.-9 C.2 4 D.号 14.(2.23高二下陕西输林期末)已知A,B为双曲线x2-号=1上两点，且线段AB的中点坐标为(-1，-4)，则 直线AB的斜率为 15.(2223高二下陕西汉中期末已知双曲线C:器-茶=1(Q>0,b>0)的离心率为3，则双曲线G的两条南 近线夹角（锐角）的正切值为 16.(22-23高二上·陕西榆林府谷中学·期末)过抛物线x2=-2py(p>0)的焦点F的直线l与抛物线相交于A,B 两点，0是坐标原点，则△ABO的形状是」 目目 考点02 17.(24-25高二上·陕西汉中多校·期末)已知点N(1,1),点M满足MN=1,则点M到直线m(y-1)=x-3的 距离的最大值为() A,1 B.2 C.3 D.4 18,(22-23高二下·陕西西安铁一中学期末)设m∈R,过定点A的动直线x+y=0和过定点B的动直线 mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则PA·IPB的最大值是() A.5 B./10 C.5 D.10 2/8 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 19.(22-23高二下·陕西汉中.期末)当点M(2,-3)到直线(4m-1)x-(m-1)y+2m+1=0的距离取得最大值 时，m=（) A.2 B. C.-2 D.-4 20.(24-25高二上陕西西安新城区·期末)已知直线：kx+1+2k-y=0和圆0：x2+y2=8,则下列说法正确 的是() A.直线恒过点(2，-1) B.直线与圆0恒有两个交点 C.存在实数k,使得直线与直线L1:x-2y+2=0垂直 D.直线被圆O截得的最短弦长为2W3 21.(24-25高二上·陕西渭南大荔县·期末)下列说法正确的是() A.若直线的一个方向向量为(2,3)，则该直线的斜率为k= B.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充分不必要条件 C.不经过原点的直线都可以用方程。+名=1(a≠0，b≠0)表示 D.己知直线过定点P(1,0)且与以A(2,-3),B(-3,-2)为端点的线段有交点，则直线的斜率k的取值范 围是(-∞，-3u,+∞) 22.(2425高二上陕西榆林期末)若直线y=kx+3与曲线x-3=V9-(y+3)恰有两个交点，则实数k的取 值范围是 23.(23-24高二上陕西安康期末)直线(m-2)x-y+2m+1=0恒过定点· 24.(21-22高二上·陕西安康白河高级中学.期末)已知圆C:x2+y2-2y-4=0,直线：mx-y+1-m=0,则 直线与圆C的位置关系是 25.(20-21高二上·陕西延安宝塔区第四中学·期末)已知函数f(x)=3cosx+4sinx,则曲线y=f(x)在点(0,3) 处的切线方程为 26.(21-22高二上·陕西渭南富平县·期末)曲线y=lnx+1在点(1,1)处的切线也为曲线y=e+a的切线，则 实数a= 27.(21-22高二上·陕西商洛·期末)曲线y=-2x2+1在点(1，-1)处的切线方程为 28.(24-25高二上陕西宝鸡金台区·期末)已知直线：x-2y-3=0 (1)若直线L1过点M(2,-1),且l11L,求直线l1的方程； (2)若直线l2/1儿，且直线2与直线之间的距离为V5,求直线2的方程 3/8 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 29,(24-25高二上陕西成阳期末)己知直线l1ax+2y+3a=0和直线l2:x-y-1=0. (1)若直线l1在两坐标轴上的截距相等，求实数α的值； (2)若l1/八2，求直线l1与l2之间的距离， 30.(23-24高二上陕西渭南瑞泉中学期末)(1)求经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点， 并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程； (2)已知圆C的圆心在直线x+y=0上，圆C与直线x-y=0相切，且在直线x-y-3=0上截得的弦长为V6, 求圆C的方程， 31.(23-24高二上陕西汉中汉台区·期末)已知两点A(-1,2),B(1,0) (I)求直线AB的斜率k和倾斜角O; (2)求直线AB在x轴上的截距. 目目 考点03 32.(23-24高二上·陕西韩城期末)已知直线：x+y=0和圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,则直线1与圆C() A.相切 B.相离 C.相交 D.相交且过圆心 3.(23-24高二上陕西西安陕西师大附中期未)已知双曲线c答若=1(a>0,b>0)的离心率为5，左、右 焦点分别为F1,F2,F2关于双曲线C的一条渐近线对称的点为P.若PF1=2,则△PF1F2的面积为() A.1 B.2 c.5 D.4 34.(23-24高二上·陕西西安莲湖区·期末)若直线ax+by-1=0与圆0：x2+y2=1相离，则过点P(a,b)的直 线与椭固后+号=1的交点个数是（) 6 A.0或1 B.0 C.1 D.2 35.(22-23高二上陕西宝鸡教育联盟·期末)两抛物线x2=V2y与y2=-x的焦点间的距离为() A.号 B.9 c月 D.9 36.(23-24高二上陕西宝鸡干阳县中学.期中)已知定点A(3,4),点P为圆x2+y2=4上的动点，点Q为直 线x+y-4=0上的动点当|PQ1取最小值时，设△PAQ的面积为S,则S=() A.4+2 B.42 C.2+2 D.2-2 2 2 2 37.(24-25高二上陕西榆林第一中学·期末)在平面直角坐标系中，曲线C:x2+y2=2x+2y川是一条形状优 美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有() 4/8 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 A.曲线C围成的图形有4条对称轴 B.曲线C围成的图形的周长是8V2m C.曲线C上任意两点间的距离最大值是4v2 D.若T(a,b)是曲线C上任意一点，则4a+3b-18的最小值是11-5V2 38,(24-25高二上陕西渭南大荔县·期末)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、 垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”在非等边△ABC中，AB=AC,点B坐标为 (-2,4),点C坐标为(3，-1)，且其“欧拉线”与圆M:x2+y2=r2(r>0)相切，则r=一 39.(24-25高二上陕西宝鸡渭滨区·期末)已知点M,N在直线：2x-y-2=0上运动，且IMN=2V5,点P 在圆C:(x+4)2+y2=5上，则△PMN的面积的最大值为 40.(23-24高二上·陕西西安莲湖区·期末)若直线与直线x+y-1=0关于直线y=2对称，则直线的一般式 方程为 41.(23-24高二上陕西西安区县联考期末)圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线：4x-3y+17=0的距 离d=一 42.(2021高二上陕西延安宝塔区第四中学期末)已知椭圆后+茶=1(a>b>0)的离心率为2，以原点为 圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=2x+1相切，则a= 43.(20-21高二下·陕西西安新城区·期末)直线x+y+1=0分别与x轴、y轴交于A,B两点，点P在圆(x-1)2 +y2=1上，则△ABP面积的取值范围是 44.(22-23高二上·陕西榆林·期末)已知抛物线C:y2=8x的准线为1，圆E:(x+1)2+(y-4)2=1,点P, Q分别是抛物线C和圆E上的动点，点P到准线1的距离为d,则PQ+d的最小值为 45.(21-22高二上陕西渭南白水县期末)已知P是抛物线y2=4x上一点，且P到焦点F的距离与P到直线 x=4的距离之和为7，则1PF=, 46.(21-22高二上·陕西渭南韩城期末)若圆C的极坐标方程为p2-4pcos0-2psin0+1=0,则圆心C到直线 y=x的距离为 47.(21-22高二下·陕西渭南蒲城县)若过点(2,4)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线x-y-2=0的距离 为 48.(20-21高二下·陕西商洛·期末)圆x2+(y-1)2=1的圆心到直线x+y+1=0的距离为 49.Q718高二上陕西榆林第二中学期末)已知PF,F,分别是双曲线C:器茶=1的左、右焦点，若F,关 于渐近线的对称点恰落在以F,为圆心，OF为半径的圆上，则双曲线C的离心率为· 50.18-19高二上陕西咸阳期末)已知双曲线C:号兰=1(a>0)的右点为F,则点F到双曲线C的渐近线 a23 5/8 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的距离一· 目目 考点04 51.(23-24高二上陕西宝鸡金台区·期末)在平面直角坐标系x0y中，已知圆0：x2+y2=4和圆C:x2+y2 -4x+4y+4=0. (1)若圆O与圆C关于直线1对称，求直线1的方程： (2)若圆0上恰有三个点到直线y=2x+b的距离都等于1，求b的值 52.(23-24高二上·陕西西安莲湖区期末)已知圆C过点A(2,0)和B(0,0),且圆心C在直线：x-y=0上 (1)求圆C的标准方程； (2)经过点(2，-1)的直线1'与l垂直，且'与圆C相交于M,N两点，求MN 53.(20-21高二上陕西西安周至县第二中学期末)已知椭圆C:兰+y2=1,点M(W2cos0,sin0)(Be [0,2π) (1)证明：点M在椭圆C上； (2)求点M到直线x-y-2=0的距离的取值范围： (3)直线过椭圆C的右焦点F,交椭圆C于A、B两点，求线段AB长度的取值范围； 54.(18-19高二上·陕西商洛商丹高新学校·期末)己知动点P到定点M(2,0)的距离比它到y轴的距离大2. (1)求动点P的轨迹方程； (2)求动点P到直线l:8x-2y+3=0距离的最小值. 55.(18-19高二上陕西西安阎良区期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点在坐标原点，焦点为圆M: (x-2)2+y2=4的圆心. (1)求抛物线C的标准方程和准线方程； (2)若直线y=kx+b(k≠0)为抛物线C的切线，证明：圆心M到直线的距离恒大于2. 56.(25-26高二上陕西咸阳实验中学)已知△ABC的三个J顶点的坐标分别为A(2,0),B(-1,0),C(2,6) (I)求BC边上的高所在直线的一般式方程； (2)求LBAC的平分线所在直线的斜截式方程 57.(25-26高二上陕西山阳中学期中)已知A(2,3),B(3,1),C(0,4) (1)求过点A且与直线BC垂直的直线L1的方程； (2)求过点A且与直线BC平行的直线2的方程，并求出l2与直线BC之间的距离 58.(25-26高二上陕西安康期中)已知圆C:(x-1)2+y2=r2(r>0),圆D:(x+2)2+(y-1)2=9. 6/8 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 (I)若C与D相交，求r的取值范围： (②)若C与D存在公共弦，且圆心C到公共弦所在直线的距离为0， 求r的值 10 59.(25-26高二上陕西渭南瑞泉中学)已知圆过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心E在直线x+y-2=0上 (I)求圆E的方程； (2)若直线经过点Q(3,5),且与圆E相交截得的弦长为2V2,求直线的方程 60.(25-26高二上陕西渭南高级中学)直线1的方向向量i=(3,-V3,直线l2过点(V3,1) (1)若直线l1与直线2平行，求出直线2的斜截式方程，并求出直线l2的倾斜角a的值 (2)若直线L1与直线l2垂直，求出直线2的斜截式方程，并写出直线l2在y轴上的截距 61.25-26高二上陕西西安第七十中学月考)(1)已知平面直角坐标系中，4(-2,3)，B(3,-2),C(,m), D(0,-3),若直线AC与直线BD平行，求m的值； (2)已知直线l1的一个方向向量为(b,a),直线l2的一个方向向量为(1-a,2),其中a,b为正数，若l11l2,求 3a+2b的最小值 62.(25-26高二上陕西西安东城第一中学月考)已知直线1经过点P(2,-1),且其一个方向向量为(1,1)： (①)若直线1的倾斜角为4,1在x轴上的截距为3，求L1的斜截式方程，并判断l与是否平行； (2)若直线2的一般式方程为x+y+2=0,求l2在y轴上的截距，并判断l与l2是否垂直： (3)若直线3与1平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，求3的一般式方程， 63.已知△ABC的顶点B(5,1),AB边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0, (I)求直线AB的方程， (2)在下面两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. ①角A的平分线所在的直线方程为x+2y-13=0; ②BC边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0. 求直线AC的方程 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分， 64.(24-25高二上陕西西安碑林区铁一中学·月考)如图，已知圆M的方程为x2+(y-b)2=r2,直线x=my 与圆M交于C(x1,y1),D(x2,y2)(C在上方)，直线x=y与圆M交于E(x3,y3),F(x4,y4)(E在上 方).原点O在圆M内，设CF交x轴于点P,ED交x轴于点Q, 7/8 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 B D ()当b=0,r=5,m=-子n=2时，分别求线段0P和0Q的长度； (2)①求证：4+业=为+4 yiy2 yay4 ②猜想|0P和OQ的大小关系，并证明 65,已知直线1过点(1,2) (1)从下面两个条件中任选一个，求直线1的方程 条件①：直线1的倾斜角比直线3x-3y+1=0的倾斜角大2 条件②：直线1的一个方向向量为a=(1,1) (②若点Mx1M)在直线1上，且e[-21),求的取值范围。 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分 8/8 专题02 直线与方程 （4大题型） 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 直线综合问题 地 城 考点01 1．(24-25高二上·陕西西安新城区·期末)平行直线与之间的距离是（   ） A．1 B．4 C．3 D． 【答案】D 【分析】先根据直线平行求参，再应用平行线间距离公式计算即可. 【详解】因为直线与平行， 所以且不是，所以， 则直线与的距离为. 故选：D. 2．(24-25高二上·陕西咸阳·期末)直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的一般式得出斜率，再结合斜率与倾斜角的关系计算得出倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 设倾斜角为，， 所以，所以. 故选：A. 3．(24-25高二上·陕西渭南大荔县·期末)直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可得解. 【详解】直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：D. 4．(24-25高二上·陕西汉中普通高中十校联盟·期末)直线的倾斜角为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率，再求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率， 令其倾斜角为，则，所以. 故选：D 5．(24-25高二上·陕西汉中多校·期末)若直线与直线平行，则实数（   ） A．2 B． C．-2 D． 【答案】B 【分析】由于两直线平行，可得其斜率相同，从而可求出答案. 【详解】因为直线与直线平行， 所以， 故选：B 6．(24-25高二上·陕西渭南富平县·期末)已知直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据方向向量的含义即可求解. 【详解】由于直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为， 故选：A 7．(24-25高二上·陕西汉中普通高中十校联盟·期末)已知与是两条不同的直线，若，则m= （     ） A． B．或2 C．0或3 D．或3 【答案】D 【分析】根据一般式中两直线平行的条件得到方程，解得的值，再检验即可. 【详解】因为与是两条不同的直线，且， 所以，解得或； 经检验或时均满足. 故选：D 8．(24-25高二上·陕西榆林第一中学·期末)已知直线，直线，若，则实数（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据两直线一般式中垂直满足的关系即可求解. 【详解】由已知，若，则，解得. 故选：B. 9．(24-25高二上·陕西安康·期末)直线的倾斜角为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率并化简，进而求出倾斜角. 【详解】直线的斜率， 所以所求的倾斜角为. 故选：A 10．(24-25高二上·陕西榆林·期末)已知直线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．或1 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用两条直线平行的充要条件列式计算得解. 【详解】当时，，显然不平行； 所以，由直线与直线平行， 得，解得， 所以实数的值为. 故选：A 11．(23-24高二上·陕西西安西光中学·期末)已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（    ） A．-2 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据直线平行求出即可得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或1，经检验均满足题意， 所以实数的所有取值之和为. 故选：B 12．(23-24高二上·陕西西安莲湖区·期末)直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线方程可得斜率，进而可知倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 由题意可得：直线的斜率为， 则，所以倾斜角. 故选：C 13．(23-24高二上·陕西榆林·)已知抛物线：的焦点为，点，为在第一象限内的一点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析可知：点为线段的中垂线与抛物线在第一象限内的交点，进而可求点的坐标和斜率. 【详解】由题意可知：，且， 因为为在第一象限内的一点，且， 可知点为线段的中垂线与抛物线在第一象限内的交点， 可设，则，解得，即， 所以直线的斜率. 故选：A. 14．(22-23高二下·陕西榆林·期末)已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 . 【答案】/2.25 【分析】利用点差法和两点坐标求直线斜率公式化简计算即可. 【详解】设， 则 两式相减得， 由线段的中点坐标为， 即， . 故答案为： 15．(22-23高二下·陕西汉中·期末)已知双曲线：的离心率为，则双曲线的两条渐近线夹角（锐角）的正切值为 . 【答案】 【分析】由双曲线的离心率求出渐近线的斜率，根据直线的夹角公式即可求得答案. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，即，则， 故双曲线两条渐渐近线的斜率为， 设双曲线的两条渐近线的夹角为，则， 故答案为： 16．(22-23高二上·陕西榆林府谷中学·期末)过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点,是坐标原点,则的形状是 ． 【答案】钝角三角形 【分析】先求出焦点坐标,设直线方程及两点坐标,固定在第四象限,在第三象限,联立方程组,韦达定理求出,写出的式子,由抛物线的图像可知,判断的形状只需判断的大小,找到与直线倾斜角之间的关系,进而找到与之间关系,判断其正负,即可判断的形状. 【详解】解:由题知直线过焦点且与抛物线相交于两点, 抛物线开口向下, 故直线斜率存在, 因为, 不妨设,, 记点在第四象限,点在第三象限, 即, 联立:, 可得:, 所以, , 记,, 直线的倾斜角为,直线的倾斜角为, 则有, 则 , 所以为钝角, 即为钝角三角形. 故答案为:钝角三角形 地 城 考点02 17．(24-25高二上·陕西汉中多校·期末)已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先求出点的轨迹方程，然后判断直线恒过定点，再将距离的最大值转化为两点间的距离. 【详解】设，又，得， 即点的轨迹为以圆心，以1为半径的圆， 又过定点，又，所以P在圆外， 所以点到直线的距离的最大值为， 故选：C 18．(22-23高二下·陕西西安铁一中学·期末)设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】先求出两条直线经过的定点，然后根据两条直线的位置关系可判断它们垂直，从而，在利用勾股定理和基本不等式求解. 【详解】 显然过定点，直线可化成，则经过定点， 根据两条直线垂直的一般式方程的条件，， 于是直线和直线垂直，又为两条直线的交点，则， 又，由勾股定理和基本不等式， ，则， 当时，的最大值是. 故选：C 19．(22-23高二下·陕西汉中·期末)当点到直线的距离取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简直线为，得到直线经过定点，结合直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，列出方程，即可求解. 【详解】将直线转化为， 联立方程组，解得，所以直线经过定点， 当直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值， 此时，解得. 故选：C. 20．(24-25高二上·陕西西安新城区·期末)已知直线和圆，则下列说法正确的是（   ） A．直线恒过点 B．直线与圆恒有两个交点 C．存在实数，使得直线与直线垂直 D．直线被圆截得的最短弦长为 【答案】BCD 【分析】A.由判断；B. 由判断；C.由判断；D.由当圆心与定点的连线与直线垂直时，直线被圆截得的弦最短判断. 【详解】A.，即为 ，所以直线恒过点，故错误； B. 因为，所以点在圆的内部，所以直线与圆恒有两个交点，故正确； C.当时，直线与直线垂直，故正确； D. 当圆心与定点的连线与直线垂直时，直线被圆截得的弦最短， 最短弦长为，故正确； 故选：BCD 21．(24-25高二上·陕西渭南大荔县·期末)下列说法正确的是（    ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 C．不经过原点的直线都可以用方程表示 D．已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】BD 【分析】A根据方向向量与斜率的关系判断；B利用直线垂直的判定求参数即可判断；C注意不过原点且垂直于坐标轴的直线；D利用两点式求线段端点处斜率，数形结合确定斜率范围. 【详解】A：由方向向量与斜率的关系知，该直线的斜率为，错； B：直线与直线互相垂直， 有或，故已知条件间关系为充分不必要条件，对； C：对于不过原点且垂直于坐标轴的直线，不能用表示，错； D：由，， 由图知斜率的取值范围是，对. 故选：BD. 22．(24-25高二上·陕西榆林·期末)若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】直线恒过点，曲线表示以为圆心，3为半径的右半圆，根据直线与圆的位置关系求解. 【详解】如图，直线恒过点， 曲线表示出以为圆心，3为半径的右半圆， 设直线与半圆相切于点，则，解得，所以， 因为，，所以， 因为直线与曲线恰有两个交点， 所以，所以. 故答案为： 23．(23-24高二上·陕西安康·期末)直线恒过定点 ． 【答案】 【分析】将直线转化为，令，解方程即可. 【详解】将直线化为， 令，解得， 故直线的恒过点为. 故答案为： 24．(21-22高二上·陕西安康白河高级中学·期末)已知圆C:，直线，则直线与圆C的位置关系是 【答案】相交 【分析】由直线的方程可得直线过定点，进而可得点在圆内部，即可得到位置关系. 【详解】直线的方程可化为，令，可得， 所以直线过定点， 又圆的方程可化为， ， 点在圆内，所以直线与圆相交. 故答案为：相交. 25．(20-21高二上·陕西延安宝塔区第四中学·期末)已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】先求函数的导数，再将代入求出切线斜率，从而求出切线方程. 【详解】由得，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 26．(21-22高二上·陕西渭南富平县·期末)曲线在点处的切线也为曲线的切线，则实数 . 【答案】 【分析】利用导数求得曲线在点处切线的斜率，点斜式得到切线方程，此方程也是曲线的切线方程，设切点坐标，利用导数列方程组求实数a的值. 【详解】由求导得 ， 则曲线在点处的切线斜率为1，切线方程为， 设直线与曲线相切的切点为，由求导得，于是得，解得. 故答案为：-1 27．(21-22高二上·陕西商洛·期末)曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】根据导数的几何意义结合直线的点斜式方程运算求解. 【详解】∵，则， ∴， 即切点为，斜率，则切线方程为，即. 故答案为：. 28．(24-25高二上·陕西宝鸡金台区·期末)已知直线 (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据两直线垂直求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）直线的方程为，利用平行线间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）易知直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以，直线的方程为，即. （2）直线，设直线的方程为， 因为直线与直线之间的距离为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 因此直线的方程为或. 29．(24-25高二上·陕西咸阳·期末)已知直线和直线． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出在轴和轴的截距，利用截距相等构造方程求得结果； （2）由求出，再由两平行线的距离求解即可. 【详解】（1）由题意可知， 直线在轴的截距为，在轴的截距为， 则，解得． （2）若，则，得， 此时直线，即， 又直线， ∴直线与之间的距离． 30．(23-24高二上·陕西渭南瑞泉中学·期末)（1）求经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线方程； （2）已知圆的圆心在直线上，圆与直线相切，且在直线上截得的弦长为，求圆的方程． 【答案】（1） ；（2）． 【分析】（1）先求得两条直线和的交点坐标，再利用直线垂直的等价条件以及直线的点斜式方程，即可求得该直线的方程. （2）设出圆的圆心坐标，由直线与圆相切可得半径，再由垂径定理即可得解. 【详解】（1）由，解得，而直线的斜率为 则垂直于直线的直线的斜率为， 所以所求直线方程为，即. （2）由圆的圆心在直线上，设圆的圆心为， 由圆与直线相切，得圆的半径， 圆心到直线的距离， 由圆在直线上截得的弦长为，得，即，解得， 所以圆的方程为. 31．(23-24高二上·陕西汉中汉台区·期末)已知两点 (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)求直线在轴上的截距． 【答案】(1)， (2)1 【分析】（1）根据题意，由直线的斜率公式计算可得的值，进而分析可得答案； （2）根据题意，由（1）的结论求出直线的方程，据此分析可得答案． 【详解】（1）根据题意，直线的斜率为，倾斜角为， 由两点，得斜率， 则，即． （2）由（1）知，直线的斜率，则其方程为， 即，令，则直线在轴上的截距为1． 地 城 考点03 32．(23-24高二上·陕西韩城·期末)已知直线和圆，则直线l与圆C（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相交且过圆心 【答案】A 【分析】计算圆心到直线的距离，将这个距离和半径比较即可. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，即， 所以直线与圆相切. 故选：A. 33．(23-24高二上·陕西西安陕西师大附中·期末)已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为关于双曲线的一条渐近线对称的点为．若，则的面积为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据离心率求出渐近线方程，从而得到点关于的对称点，并得到，根据求出，进而求出，得到三角形面积. 【详解】由题意得，，渐近线方程为，， ，故渐近线方程为， 连接，则由对称性得， 又，所以， 故，， 由于，故， 设点关于的对称点， 则，解得， 则， 由得，解得， 故，，， 故的面积为. 故选：D 34．(23-24高二上·陕西西安莲湖区·期末)若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由直线与圆相离得，则点在椭圆的内部，由此即可得解. 【详解】由题意直线与圆相离，所以圆心到直线的距离，即， 而，即点在椭圆的内部， 所以过点的直线与椭圆的交点个数是2. 故选：D. 35．(22-23高二上·陕西宝鸡教育联盟·期末)两抛物线与的焦点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两抛物线的焦点坐标，即可得出焦点间的距离. 【详解】由题意， 抛物线与的焦点坐标分别为， ∴两抛物线的焦点间的距离为． 故选：B 36．(23-24高二上·陕西宝鸡千阳县中学·期中)已知定点，点P为圆上的动点，点Q为直线上的动点.当取最小值时，设的面积为S，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆上的点到直线上的点的距离最小时为圆心到直线的距离减去半径，由此确定，两点的位置，然后求出点到直线的距离作为底边上的高，求出三角形面积即可. 【详解】圆的圆心为原点，半径为2，    过原点且与直线垂直的直线方程为， 则点到直线的距离为. 又因为原点到直线的距离为， 所以的最小值为，则， 故选：D 37．(24-25高二上·陕西榆林第一中学·期末)在平面直角坐标系中，曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线围成的图形有4条对称轴 B．曲线围成的图形的周长是 C．曲线上任意两点间的距离最大值是 D．若是曲线上任意一点，则的最小值是 【答案】ACD 【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断各选项即可. 【详解】当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 所以曲线的图象如图所示，    对于A，由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A正确； 对于B，曲线由4个半圆组成，其周长为，故B错误； 对于C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C正确； 对于D，到直线的距离， 点到直线的距离为， 由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是分类讨论去掉绝对值，得到曲线的四段方程，作出图象，数形结合求解. 38．(24-25高二上·陕西渭南大荔县·期末)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在非等边中，，点B坐标为，点C坐标为，且其“欧拉线”与圆M：相切，则 . 【答案】/ 【分析】设点D为中点，求出直线方程，则圆心到该直线距离即为半径.由点到直线距离求解即可得解. 【详解】设点D为中点，则由点B坐标为和点C坐标为得， 因为，则为的边上的高，也是的中线， 所以三角形的重心、垂心都在直线，所以直线为三角形的“欧拉线”. 又，所以直线即. 因为“欧拉线”与圆M：相切， 所以圆心到直线距离为，即. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是理解直线为三角形的“欧拉线”. 39．(24-25高二上·陕西宝鸡渭滨区·期末)已知点M，N在直线上运动，且，点P在圆上，则的面积的最大值为 ． 【答案】15 【分析】设圆心C到直线的距离为d，P到直线l的距离为，当最大时，则，最后由三角形的面积公式即可求解. 【详解】设圆心C到直线的距离为d，P到直线l的距离为， 又圆心坐标为，所以， 又半径为，则当最大时，， 此时的面积也最大，最大值为． 故答案为：15. 40．(23-24高二上·陕西西安莲湖区·期末)若直线与直线关于直线对称，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】在直线上任取一点，则点关于直线对称点在直线上，即可求解. 【详解】设直线上任意一点，则点关于直线对称点， 因为直线与直线关于直线对称，所以在直线上， 即，得到直线的一般式方程为 故答案为： 41．(23-24高二上·陕西西安区县联考·期末)圆的圆心到直线的距离 . 【答案】3 【分析】由标准方程得到圆心，再由点到直线的距离得到结果. 【详解】由已知可得圆的标准方程为，圆心为， 所以圆心到直线的距离， 故答案为：3. 42．(20-21高二上·陕西延安宝塔区第四中学·期末)已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，则 . 【答案】1 【分析】根据点线距离以及椭圆定义求解； 【详解】由题意有，以原点为圆心以椭圆短半轴长为半径的圆的方程为， 直线的一般式为， 根据点到线的距离得： 又椭圆的离心率为， ∴，解得， 故答案为：1. 43．(20-21高二下·陕西西安新城区·期末)直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先由直线方程求得坐标，得到；利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，从而得到点到直线距离的范围，利用三角形面积公式可求得结果. 【详解】由题意得：，     由圆知：圆心，半径 圆心到直线距离 到直线距离，即 . 故答案为： 44．(22-23高二上·陕西榆林·期末)已知抛物线C：的准线为l，圆E：，点P，Q分别是抛物线C和圆E上的动点，点P到准线l的距离为d，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】由抛物线的定义及圆的性质可知，再利用两点之间的距离公式即可求解. 【详解】抛物线C：的准线为，焦点 圆E：，圆心，半径， 由抛物线的定义知，所以， 由圆的性质知，即 所以，当且仅当三点共线时，等号成立. 又，所以 故答案为：4. 45．(21-22高二上·陕西渭南白水县·期末)已知P是抛物线上一点，且P到焦点F的距离与P到直线的距离之和为7，则 . 【答案】6 【分析】条件结合抛物线的定义列方程求出点的横坐标，再求即可. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 设点的坐标为， 因为P是抛物线上一点，所以等于点到准线的距离且，， 由已知P到焦点F的距离与P到直线的距离之和为7， 所以， 因为，所以可整理成，解方程得， 所以点到准线的距离为6，故， 故答案为：6. 46．(21-22高二上·陕西渭南韩城·期末)若圆的极坐标方程为，则圆心到直线的距离为 . 【答案】 【分析】将极坐标方程转化为普通方程得到圆心为，再根据点到直线的距离公式得到答案. 【详解】圆的极坐标方程为，即， ，圆心为，圆心到直线的距离为. 故答案为： 47．(21-22高二下·陕西渭南蒲城县·)若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】设圆心为，半径为写出圆的标准方程，根据点在圆上及已知条件求m值，再应用点线距离公式求圆心到直线距离. 【详解】设圆心为，半径为，则， 由题设，且， 当，，可得或； 当，，方程无解； 所以圆心为或， 当圆心为到的距离为； 当圆心为到的距离为； 所以圆心到直线的距离为. 故答案为： 48．(20-21高二下·陕西商洛·期末)圆的圆心到直线的距离为 . 【答案】 【分析】首先求出圆心坐标，再利用点到线的距离公式计算可得； 【详解】解：圆的圆心坐标为，所以圆心到直线的距离 故答案为： 49．(17-18高二上·陕西榆林第二中学·期末)已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为 ． 【答案】2 【解析】设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于点A，根据对称关系和已知条件可得∠F1MF2为直角，根据勾股定理可得c＝2a，由此可得离心率. 【详解】由题意，得F1(－c,0)，F2(c,0)，一条渐近线方程为y＝x， 则F2到渐近线的距离为， 设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于点A，则|MF2|＝2b，A为F2M的中点． 如图： 又O是F1F2的中点，∴OA∥F1M， ∴∠F1MF2为直角， ∴△MF1F2为直角三角形， ∴由勾股定理，得4c2＝c2＋4b2， ∴3c2＝4(c2－a2)，∴c2＝4a2， ∴c＝2a，∴e＝2. 故答案为：2 【点睛】本题考查了点关于直线对称，考查了双曲线的渐近线方程，考查了双曲线的离心率，考查了点到直线的距离，属于中档题. 50．(18-19高二上·陕西咸阳·期末)已知双曲线C：的右点为F，则点F到双曲线C的渐近线的距离 ． 【答案】 【分析】设，求得双曲线的渐近线方程，结合双曲线的a，b，c的关系，由点到直线的距离公式，计算可得所求值． 【详解】设，即， 双曲线的一条渐近线方程设为， 可得F到渐近线的距离为， 故答案为． 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题． 地 城 考点04 51．(23-24高二上·陕西宝鸡金台区·期末)在平面直角坐标系中，已知圆O：和圆． (1)若圆O与圆C关于直线l对称，求直线l的方程； (2)若圆O上恰有三个点到直线的距离都等于1，求b的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意所求直线方程即公共弦方程，两个圆方程相减即可求解. （2）将原问题转换为圆心到直线的距离等于1，由点到直线的距离公式即可得解. 【详解】（1）由题意圆O：和圆即关于直线l对称． 两式相减得，公共弦方程即直线l的方程为. （2）圆O：的圆心为，半径为， 若圆O上恰有三个点到直线的距离都等于1， 则圆心到直线的距离等于1， 所以，解得. 52．(23-24高二上·陕西西安莲湖区·期末)已知圆过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)经过点的直线与垂直，且与圆相交于两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，，由此即可得解. （2）首先得经过点且与垂直的直线为，由弦长公式即可得解. 【详解】（1）由题意设圆心，又圆过点和， 所以，解得， 所以圆心，半径为， 所以圆的标准方程为. （2）由题意经过点且与垂直的直线为，即， 又圆心到直线的距离为，， 所以. 53．(20-21高二上·陕西西安周至县第二中学·期末)已知椭圆：，点 （） （1）证明：点在椭圆上； （2）求点到直线的距离的取值范围； （3）直线过椭圆的右焦点，交椭圆于、两点，求线段长度的取值范围； 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. 【解析】（1）将点坐标代入椭圆的方程，满足方程则说明点在椭圆上； （2）利用点到直线的距离公式表示出对应距离，同时将距离公式变形为和三角函数有关的形式，根据三角函数的有界性求解出距离最值； （3）分类讨论：直线斜率不存在、直线的斜率存在，利用弦长公式求解出的取值范围. 【详解】（1）证明：因为，所以点在椭圆上； （2）设点到直线的距离为，则，当时，取最小值为； 当时，取最大值为；因此：. （2）右焦点坐标为， ①若直线与轴垂直，则直线的方程为，代入椭圆方程得：，则； ②若直线与轴不垂直，设直线的斜率为，则，设 ， ，联立， 得：，则有：，，则， 设，则，，则， 综上所述：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆上一点到与之相离直线的距离最值的常用方法： （1）参数法：将椭圆上点的坐标设为椭圆方程的参数形式，根据点到直线的距离公式表示出距离，结合三角函数的有界性求解出距离的最值； （2）切线法：设与已知直线平行的直线与椭圆相切，利用相切对应的，求解出切线方程，再根据平行直线间距离公式求解出点到直线的距离的最值. 54．(18-19高二上·陕西商洛商丹高新学校·期末)已知动点到定点的距离比它到轴的距离大2． （1）求动点的轨迹方程； （2）求动点到直线：距离的最小值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）首先设点，根据题的条件，得到动点到定点的距离等于它到直线的距离，利用抛物线的定义求得其方程； （2）结合曲线的方程，设出点的坐标，利用点到直线的距离公式，结合配方法求得最小值. 【详解】（1）设，因为动点到定点的距离比它到轴的距离大2， 所以动点到定点的距离等于它到直线的距离， 因此点的轨迹为开口向右的抛物线，且， 所以方程为； （2）设点， 则点到直线：距离， 当时最小，为. 【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有利用定义求轨迹方程，曲线上的点到直线的距离的最小值问题，属于简单题目. 55．(18-19高二上·陕西西安阎良区·期末)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为圆的圆心． （1）求抛物线的标准方程和准线方程； （2）若直线为抛物线的切线，证明：圆心到直线的距离恒大于． 【答案】（1）抛物线的方程为，准线方程为；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标为，并求出圆的圆心，可得出，求出的值，即可得出抛物线的标准方程和准线方程； （2）将直线的方程与抛物线的方程联立，由得出，然后利用点到直线的距离公式可证明出圆心到直线的距离恒大于. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为， 圆的圆心为，可得，即， 可得抛物线的方程为，准线方程为； （2）联立，可得， 由题意可得，即. 圆心到直线的距离为. 【点睛】本题考查抛物线标准方程和焦点坐标的计算，同时也考查了直线与抛物线相切以及点到直线距离的计算，考查运算求解能力，属于中等题. 56．(25-26高二上·陕西咸阳实验中学·)已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求的平分线所在直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出边上的高所在直线的斜率，可得出边上的高所在直线的点斜式方程，化为一般式方程即可； （2）由图可知，所以的平分线所在直线的斜率为，可得到的平分线所在直线的点斜式方程，化为斜截式方程即可. 【详解】（1）因为点、，则， 所以，边上的高所在直线的斜率为， 又，所以边上的高所在直线的方程为，即， 即边上的高所在直线的一般式方程为. （2）    如图，可得，所以的平分线所在直线的倾斜角为，斜率为， 又，所以的平分线所在直线的方程为，即， 即的平分线所在直线的斜截式方程为. 57．(25-26高二上·陕西山阳中学·期中)已知，，. (1)求过点且与直线垂直的直线的方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程，并求出与直线之间的距离. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先求直线的斜率，由求出直线的斜率，利用点斜式即可求解； （2）由求出的斜率，利用点斜式即可求的方程，利用两平行直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）由题意有：，∵，∴， 所以直线的方程为，即， （2）由（1）知，，∴， 所以直线的方程为即， 的方程为，即， 所以与直线之间的距离. 58．(25-26高二上·陕西安康·期中)已知圆，圆. (1)若与相交，求的取值范围； (2)若与存在公共弦，且圆心到公共弦所在直线的距离为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，先求出两圆的圆心和半径，再利用圆与圆的位置关系，即可求解； （2）先求出两圆的公共弦，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】（1）因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为与相交，则，又， 所以，解得， 所以的取值范围为. （2）由和，作差得到， 所以两圆公共弦方程为， 由题有，整理得到，解得，又， 所以. 59．(25-26高二上·陕西渭南瑞泉中学·)已知圆过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程并与已知直线联立求得圆心，即可求解； （2）按直线的斜率存在与不存在分情况讨论，根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以线段的中点坐标为，直线的斜率， 因此线段的垂直平分线方程是. 联立，解得， 所以圆心的坐标. 圆的半径长 所以圆心为的圆的标准方程是； （2）因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆到直线的距离. ①当直线的斜率不存在时，此时圆心到直线的距离为，不符合题意. ②当直线的斜率存在时，设， 即. 所以，解得或. 直线的方程为或 60．(25-26高二上·陕西渭南高级中学·)直线的方向向量，直线过点 (1)若直线与直线平行，求出直线的斜截式方程，并求出直线的倾斜角的值 (2)若直线与直线垂直，求出直线的斜截式方程，并写出直线在轴上的截距. 【答案】(1)直线的斜截式方程为，倾斜角， (2)所以直线的斜截式方程为，在轴上的截距为. 【分析】（1）由直线的方向向量求直线的斜率，根据平行直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线的点斜式方程，化为斜截式，2由倾斜角与斜率关系求该直线的倾斜角； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线的点斜式方程，化为斜截式，再确定直线在轴上的截距. 【详解】（1）因为直线的方向向量， 所以直线的斜率存在，设直线的斜率为，则， 若直线与直线平行，则直线的斜率存在， 设直线的斜率为，则， 又直线过点， 所以直线的方程为， 化为斜截式可得， 因为直线的斜率，所以，又， 所以， 所以直线的斜截式方程为，倾斜角， （2）若直线与直线垂直， 由（1）可得直线的斜率存在，且，又， 所以， 所以直线的方程为， 化为斜截式可得， 所以直线的斜截式方程为，在轴上的截距为. 61．(25-26高二上·陕西西安第七十中学·月考)（1）已知平面直角坐标系中，，，，，若直线与直线平行，求的值； （2）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，求的最小值. 【答案】（1）；（2）最小值是 【分析】（1）根据两直线平行的斜率关系，列方程求解； （2）由方向向量和斜率关系，结合两直线垂直，推出，然后由基本不等式的妙用求解. 【详解】（1）由题知，，即，解得； （2）为正数，根据方向向量的定义，则的斜率必存在，由可知斜率存在， 于是，由可知， 整理可得，即， 则， 当，即取得等号， 即最小值是. 62．(25-26高二上·陕西西安东城第一中学·月考)已知直线l经过点，且其一个方向向量为． (1)若直线的倾斜角为，在x轴上的截距为3，求的斜截式方程，并判断与是否平行； (2)若直线的一般式方程为，求在y轴上的截距，并判断与是否垂直； (3)若直线与l平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，求的一般式方程， 【答案】(1)，与重合而非平行； (2)在y轴上的截距为， 与互相垂直； (3). 【分析】（1）由直线l的方向向量求得直线l的斜率，代入点斜式即可求得l的方程，根据倾斜角可求直线的斜率，再由点斜式方程可求直线的方程，并化为斜截式方程，比较两直线的斜率与截距可得重合； （2）由一般式方程转化为斜截式方程可得在y轴上的截距，再由两直线斜率之积为判定垂直； （3）由两直线平行可求得的斜率为，设出斜截式方程，分别求出直线与坐标轴的交点，根据面积列出方程待定系数可得. 【详解】（1）因为直线l的一个方向向量为，所以直线l的斜率为， 又直线l经过点，所以直线l的方程为，即， 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又在x轴上的截距为3，所以直线的方程为，化为斜截式方程得， 所以直线与重合； （2）由直线的一般式方程为， 化为斜截式方程为，故在y轴上的截距为； 直线的斜率，由， 所以两直线与互相垂直. （3）由直线与l平行，则斜率，故可设直线的方程为， 令，得；令，得； 由直线与两坐标轴围成的三角形的面积为， 则，所以，解得. 所以直线的方程为， 即的一般式方程为. 63．已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． (1)求直线的方程． (2)在下面两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． ①角的平分线所在的直线方程为； ②边上的中线所在的直线方程为． ______，求直线的方程． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据两直线垂直，斜率之积为，先求出直线的斜率，再利用点斜式方程求出直线的方程. （2）选①的情况：先联立直线与角平分线的方程求出点的坐标，再利用对称点的性质求出点关于角平分线的对称点的坐标，最后根据两点的斜率公式求出直线的斜率，进而得到直线的方程. 选②的情况：先联立直线与边上中线的方程求出点的坐标，然后根据中点坐标公式及中点在边上中线所在直线上，得到点满足的方程，再结合在边上高所在直线上，联立求出点的坐标，最后根据两点的斜率公式求出直线的斜率，从而得到直线的方程. 【详解】（1）因为边上的高所在的直线方程为， 转化为斜截式，其斜率为， 所以直线的斜率为， 又的顶点，所以直线的方程为， 即． （2）若选①：角的平分线所在的直线方程为， 由解得，所以点． 设点 关于的对称点， 则 解得所以点， 又点在直线上，所以， 所以直线的方程为，即． 若选②：边上的中线所在的直线方程为， 由解得所以点． 设点，则的中点在直线上， 所以，即， 所以点在直线上， 因为边上的高所在的直线方程为且边上的高一定过点 所以点在直线上， 由解得即点， 所以， 所以直线的方程为，即． 64．(24-25高二上·陕西西安碑林区铁一中学·月考)如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，（在上方），直线与圆交于，（在上方）．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． (1)当，，，时，分别求线段和的长度； (2)①求证：； ②猜想和的大小关系，并证明． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）联立直线与圆的方程，可求出各点的坐标，利用直线的两点式方程，可得直线和的方程，并求它们与轴的交点坐标，可得和的长度． （2）①联立直线与圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立；②猜测，分别求出点和点的横坐标表达式，结合①中的结论，从而证明成立． 【详解】（1）当，，，时， 圆，直线，由解得或， 故，； 直线，由解得或， 故，． 所以直线，令得，即； 直线，令得，即， 所以． （2）①由原点在圆内，知, 由得，即， 则，是上述方程的两个解，由根与系数的关系得， 同理可得， 所以. ②猜测，证明如下： 设点，， 因为三点共线，所以，解得， 又因为点在直线上，所以，点在直线上，所以， 所以， 同理因为三点共线，可得, 由①可知 ， 所以,即， 所以成立． 65．已知直线l过点． (1)从下面两个条件中任选一个，求直线l的方程． 条件①：直线l的倾斜角比直线的倾斜角大； 条件②：直线l的一个方向向量为． (2)若点在直线l上，且，求的取值范围． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1)所选条件见解析，； (2). 【分析】（1）根据所选条件，由倾斜角与斜率的关系或方向向量求，再应用点斜式写出直线方程； （2）根据的几何意义，数形结合法求其范围即可. 【详解】（1）选①：因为直线的斜率为，所以其倾斜角为， 则l的倾斜角为，可知l的斜率， 所以l的方程为，即． 选②：由直线l的一个方向向量为，可知l的斜率， 所以l的方程为，即； （2）表示与点连线的斜率． 又是直线l在部分上的动点，作图如下： 则，直线AB的斜率不存在， 则，即的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $