陕西省咸阳市武功县普集高级中学2024～2025学年高二上学期期末模拟数学试题（三）

高二数学 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 陕西省咸阳市武功县普集高级中学 2024~2025学年度 高二第一学期期末考试（数学）模拟试题（三） 班级 姓名 一、单项选择题：共 8小题，每小题 5分，共 40分，在给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．已知空间向量  1, 1,0a   ，  1, 1,1b    ，则   a b （ ） A. 3 B. 2 C. 3 D. 5 2．已知直线 1l ： 5 0x ay   ， 2l ： 7 0ax y   ，若 1 2l l∥ ，则实数 a的值为（ ） A. 1或 1 B. 1 C. 1 D. 0或 1 3．与椭圆 2 29 4 36x y  有相同焦点，且短轴长为 2的椭圆的标准方程为（ ） A. 2 2 1 4 3 x y   B. 2 2 1 6 y x  C. 2 2 1 6 x y  D. 2 2 1 8 5 x y   4．已知等差数列 na ， nS 是其前 n项和，若 10 10 10S a  ，则（ ） A. 5 2a  B. 5 2a   C. 5 18S  D. 5 20S   5．等比数列的首项为 1，项数是偶数，所有得奇数项之和为 85，所有的偶数项之和为 170，则这个等比数 列的项数为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．已知 1 2a  ，  1 n n na n a a ，则数列 na 的通项公式是 na （ ） A. n B. 1n  C. 2n D. 1 nn n       7．若过双曲线   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交 y轴于点  0,2c（ c 为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（ ） A． 3 B． 5 C． 52 D． 2 8．已知抛物线 2: 8C x y 的焦点为 F ， 为原点，点 P是抛物线C的准线上的一动点，点A在抛物线C 上，且 | | 4AF  ，则 | | | |PA PO 的最小值为（ ） A. 4 2 B. 2 13 C. 3 13 D. 4 6 高二数学 第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知直线 l： 4 3 2 0x y   ，下列说法正确的是（ ） A. 直线 l经过点  1,2P B. 直线 l与坐标轴围成的三角形面积是 1 6 C. 直线 l与直线8 6 7 0x y   的距离是 1 D. 直线 l与圆    2 21 3 9x y    相切 10．已知双曲线 2 2 1 9 16 x yC  ： 的焦点分别为 1 2F F， ，则下列结论正确的是（ ） A．渐近线方程为3 4 0x y  B．双曲线C与椭圆 2 2 1 25 9 x y   的离心率互为倒数 C．若双曲线C上一点 P满足 1 22PF PF ，则 1 2PF F△ 的周长为 28 D．若从双曲线C的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为 6 11．如图，在棱长为 1的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，则（ ） A． ACBC 1 B．三棱锥 1 1B ACD 体积为 1 3 C．点 1B 到平面 1ACD 的距离为 2 3 3 D． 1AB与平面 1ACD 所成角的正弦值为 6 3 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．等比数列 na 中， 5a ， 21a 是方程 2 11 5 0x x   的两根，则 7 19 13 a a a 的值为 ． 13．圆C的圆心为 (2 1),- ，且圆C与直线3 4 5 0x y   相切，则圆C的方程为 ． 14．设椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的左、右焦点分别为 1F、 2F ，点 M、N在 C上（M位于第一象限）， 且点 M、N关于原点 O对称，若 1 2 290 , 2 | | | |MFN MF NF    ，则 C的离心率为 ． 四、解答题（本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）已知直线 1 : 2 6 0l x y   和 2 : 1 0l x y   的交点为 P． （1）若直线 l经过点 P且与直线 3 4 3: 5 0x yl    平行，求直线 l的方程； 高二数学 第 3 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 （2）若直线m经过点 P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m的方程． 16．（15分）已知圆C：   2 22 4x a y    ，直线 l： 3 0x y   ，l与圆C相交于A，B两点，| | 2 2AB  ． （1）求实数 a的值；（2）当 0a  时，求过点  1,6 并与圆C相切的直线方程． 17．（15分）已知数列 na 为正项等差数列，数列 nb 为递增的正项等比数列， 1 1a  ， 1 1 2 2 4 3 0a b a b a b      . （1）求数列 na ， nb 的通项公式； （2）数列 nc 满足 , , n n n a n c b n     为奇数 为偶数 ，求数列 nc 的前 2n项的和. 高二数学 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 18．（17分）如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC- 中， 1CC 平面 , , 2ABC AC BC AC BC   ， 1 3CC  ， 点 ,D E分别在棱 1AA 和棱 1CC 上，且 1 2,AD CE M  为棱 1 1A B 的中点． （Ⅰ）求证： 1 1C M B D ； （Ⅱ）求二面角 1B B E D  的正弦值； （Ⅲ）求直线 AB与平面 1DB E所成角的正弦值． 19．（17分）已知椭圆 C：   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     的左、右焦点分别为 1F， 2F ，离心率为 1 2 ，点 A在椭 圆 C上， 1 2AF  ， 1 2 60F AF  ，过 2F 与坐标轴不垂直的直线 l与椭圆 C交于 P，Q两点，N为线段 PQ的中点.（1）求椭圆 C的方程；（2）已知点 10, 8 M      ，且MN PQ ，求直线 l的方程. 高二数学 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 陕西省咸阳市武功县普集高级中学 2024~2025学年度 高二第一学期期末考试（数学）模拟试题（三） 班级 姓名 一、单项选择题：共 8小题，每小题 5分，共 40分，在给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．已知空间向量  1, 1,0a   ，  1, 1,1b    ，则   a b （ ） A. 3 B. 2 C. 3 D. 5 【解析】因为  1, 1,0a   ，  1, 1,1b    ， 所以  2, 2,1a b    ，所以  222 2 1 3a b       故选：A【答案】A 2．已知直线 1l ： 5 0x ay   ， 2l ： 7 0ax y   ，若 1 2l l∥ ，则实数 a的值为（ ） A. 1或 1 B. 1 C. 1 D. 0或 1 【解析】直线 1l ： 5 0x ay   ， 2l ： 7 0ax y   ， 1 2l l∥ ， 则 21 1 a  ，解得 1a   ，经经验，当 1a   时，两直线均不重合， 故实数 a的值为1或 1 ．故选：A．【答案】A 3．与椭圆 2 29 4 36x y  有相同焦点，且短轴长为 2的椭圆的标准方程为（ ） A. 2 2 1 4 3 x y   B. 2 2 1 6 y x  C. 2 2 1 6 x y  D. 2 2 1 8 5 x y   【解析】椭圆 2 29 4 36x y  可化为标准方程 2 2 1 4 9 x y   ，可知椭圆 2 2 1 4 9 x y   的焦点在 y轴上，焦点 坐标为  0, 5 ，故可设所求椭圆方程为   2 2 2 2 1 0 y x a b a b     ，则 5c  . 又 2 2b  ，即 1b  ，所以 2 2 2 6a b c   ，故所求椭圆的标准方程为 2 2 1 6 y x  .故选：B.【答案】B 4．已知等差数列 na ， nS 是其前 n项和，若 10 10 10S a  ，则（ ） A. 5 2a  B. 5 2a   C. 5 18S  D. 5 20S   高二数学 第 2 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 【解析】设数列 na 的公差为d ，由题意可得 1 1 10 910 10 2 9 10 a d a d        ，解得 1 8 2 a d     ， 所以 5 1 4 8 4 2 0a a d       ，  5 1 5 45 5 8 10 2 20 2 S a d         ，故选项 D正确，故选：D.【答案】D 5．等比数列的首项为 1，项数是偶数，所有得奇数项之和为 85，所有的偶数项之和为 170，则这个等比数 列的项数为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【解析】设等比数列项数为 2n项,所有奇数项之和为 S奇 ,所有偶数项之和为 S偶， 则 85, 170S S 奇 偶 ,所以 =2 S q S  偶 奇 ，结合等比数列求和公式有：  2 21 2 2 1 1 2= =1 85 1 1 2 n na q S q      奇 ，解得 n=4， 即这个等比数列的项数为 8.【答案】C 6．已知 1 2a  ，  1 n n na n a a ，则数列 na 的通项公式是 na （ ） A. n B. 1n  C. 2n D. 1 nn n       【解析】由  1 n n na n a a ，得   11 n nn a na   ，即 1 1n n a n a n   ， 则 1 1 n n a n a n   ， 1 2 1 2 n n a n a n      ， 2 3 2 3 n n a n a n      ，…， 2 1 2 1 a a  ， 由累乘法可得 1 na n a  ，因为 1 2a  ，所以 2na n ，故选：C．【答案】C 7．若过双曲线   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交 y轴于点  0,2c（ c 为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（ ） A． 3 B． 5 C． 52 D． 2 【解析】双曲线   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的渐近线方程为 by x a   ， 记点  0,2A c ，由题意可知，点  ,0F c 为双曲线   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的右焦点， 易知直线 AF与直线 by x a  垂直，且 2 0 2 0AF ck c      ，所以， 2 1AF b bk a a      ，可得 1 2 b a  ， 因此，该双曲线的离心率为 2 21 51 1 2 2                 c be a a .故选：C.【答案】C 8．已知抛物线 2: 8C x y 的焦点为 F ， 为原点，点 P是抛物线C的准线上的一动点，点A在抛物线C 高二数学 第 3 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 上，且 | | 4AF  ，则 | | | |PA PO 的最小值为（ ） A. 4 2 B. 2 13 C. 3 13 D. 4 6 【解析】抛物线的准线方程为 = 2y  ，∵ | | 4AF  ，∴A到准线的距离为 4，故A点纵坐标为 2， 把 2y  代入抛物线方程可得 4x   ．不妨设A在第一象限，则 (4,2)A ， 点O关于准线 = 2y  的对称点为 4(0, )M  ，连接 AM ， 则 | | | |PO PM ，于是 | | | | | | | | | |PA PO PA PM AM    故 | | | |PA PO 的最小值为 2 2| | 4 6 2 13AM    ． 故选：B．【答案】B 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知直线 l： 4 3 2 0x y   ，下列说法正确的是（ ） A. 直线 l经过点  1,2P B. 直线 l与坐标轴围成的三角形面积是 1 6 C. 直线 l与直线8 6 7 0x y   的距离是 1 D. 直线 l与圆    2 21 3 9x y    相切 【解析】对于 A，当 1, 2x y  时， 4 3 2 4 6 2 0x y      ，所以直线 l经过点  1,2P ，A对； 对于 B，令 20, 3 x y  ；令 10, 2 y x   ，所以直线 l与坐标轴围成的三角形面积是 1 2 1 1 2 3 2 6     ， B对；对于 C，把8 6 7 0x y   化为 74 3 0 2 x y   ，则这两直线平行， 所以直线 l与直线8 6 7 0x y   的距离是  22 72 32 104 3     ，C错； 对于 D，由圆    2 21 3 9x y    可知圆心  1, 3 ，半径 3r  ，又圆心  1, 3 到直线 l的距离为  22 4 9 2 3 4 3 r       ，所以直线 l与圆    2 21 3 9x y    相切，D对.故选：ABD.【答案】ABD 10．已知双曲线 2 2 1 9 16 x yC  ： 的焦点分别为 1 2F F， ，则下列结论正确的是（ ） A．渐近线方程为3 4 0x y  B．双曲线C与椭圆 2 2 1 25 9 x y   的离心率互为倒数 C．若双曲线C上一点 P满足 1 22PF PF ，则 1 2PF F△ 的周长为 28 高二数学 第 4 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 D．若从双曲线C的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为 6 【解析】设双曲线C的实轴长为 2a，虚轴长为 2b，焦距 2c，由题意可知： 2 23, 4, 5a b c a b     ，且 焦点在 x轴上，对于选项 A：双曲线C的渐近线方程为 4 3 y x  ，即 4 3 0x y  ，故 A错误； 对于选项 B：双曲线C的离心率 5 3 ce a   ，设椭圆 2 2 1 25 9 x y   的长轴长为 12a ，短轴长为 12b ，焦距 12c ， 则 2 21 1 1 1 15, 3, 4a b c a b     ，可得椭圆的离心率 1 1 1 4 5 ce a   ， 且 1 4 1 3   e e ，所以双曲线C与椭圆 2 2 1 25 9 x y   的离心率不互为倒数，故 B错误； 对于选项 C：由双曲线的定义可知： 1 2 2 2 22 2 6     PF PF PF PF PF a ， 可得 1 22 12 PF PF ，所以 1 2PF F△ 的周长为 6 12 10 28   ，故 C正确； 对于选项 D：若从双曲线C的左､右支上任取一点，由双曲线的对称性可知这两点的最短距离为 2 6a  ， 故 D正确；故选：CD.【答案】CD 11．如图，在棱长为 1的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，则（ ） A． ACBC 1 B．三棱锥 1 1B ACD 体积为 1 3 C．点 1B 到平面 1ACD 的距离为 2 3 3 D． 1AB与平面 1ACD 所成角的正弦值为 6 3 【解析】以 D为坐标原点，分别以 1, ,DA DC DD 所在直线为 , ,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则            1 1 11,0,0 1,1,0 1,0 1, , 0, , , 0,1,1 1,1, , 0, 10, .A B C B C D 对选项 A，    1 1,0,1 1,1,, 0BC AC     ，    1 1 1 1+0 1 0 1+ =BC AC         ， 所以 1BC 与 AC不垂直.选项 A不正确；对选项 B，设平面 1ACD 的一个法向量为  , ,n x y z  ，    1 1,0,1 , 1,1,0AD AC      .则 1 0 0 n AD x z n AC x y               ，令 1x  ，则 1, 1y z  ，即法向量  1,1,1n   .  1 0,1,1AB   ， 1AB  在法向量 n  上投影的绝对值即为点 1B 到平面 1ACD 的距离， 点 1B 到平面 1ACD 的距离为 1 2 2 2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 3 . 3 n ABh n              高二数学 第 5 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 1 1, ,AC CD AD 是正方体的面对角线， 1ACD 是边长为 2的正三角形， 则 1 1 1 1 1 1 2 3 12 2 sin . 3 3 2 3 3 3B ACD ACD V S h          选项 B正确； 对选项 C，由选项 B的解析过程知，选项 C正确； 对选项 D， 1AB与平面 1ACD 所成角的正弦值等于 1AB  与法向量 n  所成角余弦值的绝对值. 则 11 2 2 2 2 2 2 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 6os , . 31 c ABnB n A AB n                 选项 D正确.故选:BCD【答案】BCD 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．等比数列 na 中， 5a ， 21a 是方程 2 11 5 0x x   的两根，则 7 19 13 a a a 的值为 ． 【解析】由题设知： 5 21 5 215, 11a a a a    ，又 na 为等比数列， ∴ 5 21, 0a a  ，且 2 7 19 13 5 21 5a a a a a   ，而 8 13 5 0a a q  ， ∴ 13 5a   ，故 7 19 13 a a a  5 .故答案为： 5 【答案】 5 13．圆C的圆心为 (2 1),- ，且圆C与直线3 4 5 0x y   相切，则圆C的方程为 ． 【解析】圆C的圆心为 (2, 1) ，与直线 : 3 4 5 0l x y   相切， 圆心到直线的距离等于半径，即    22 3 2 4 1 5 1 3 4 r d           ， 圆C的方程为 2 2( 2) ( 1) 1x y    ．故答案为： 2 2( 2) ( 1) 1x y    ．【答案】 2 2( 2) ( 1) 1x y    14．设椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的左、右焦点分别为 1F、 2F ，点 M、N在 C上（M位于第一象限）， 且点 M、N关于原点 O对称，若 1 2 290 , 2 | | | |MFN MF NF    ，则 C的离心率为 ． 【解析】依题意，作图如下，因为点 ,M N关于原点O对称， 所以O为MN的中点， 且O为 1 2F F 的中点， 1 90NMF   ， 所以四边形 1 2MFNF 为矩形， 由 2 22 MF NF ，设 2 1, 2 ,MF x MF x  由椭圆的定义知， 2 1 2 ,MF MF a  解得： 高二数学 第 6 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 2 1 2 4, , 3 3 a aMF MF  所以   2 2 22 4 2 3 3 a a c            整理得： 2 5 9 e  ，因为0 1e  ， 所以 5 3 e  ，故答案为： 5 3 .【答案】 5 3 四、解答题（本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）已知直线 1 : 2 6 0l x y   和 2 : 1 0l x y   的交点为 P． （1）若直线 l经过点 P且与直线 3 4 3: 5 0x yl    平行，求直线 l的方程； （2）若直线m经过点 P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m的方程． 【解析】（1）联立 1 2,l l 的方程 2 6 0 1 0 x y x y        ，解得 5 4 x y      ，即 ( 5, 4)P   设直线 l的方程为： 4 3 0x y c   ，将 ( 5, 4)P   带入可得 8c  ，所以 l的方程为：4 3 8 0x y   ； （2）法①：易知直线m在两坐标轴上的截距均不为 0，设直线方程为： 1x y a b   ， 则直线与两坐标轴交点为 ( ,0), (0, )A a B b ，由题意得 5 4 1 1 5 2 a b ab         ，解得： 5 2     a b 或 5 2 4 a b       所以直线m的方程为： 1 5 2 x y    或 15 4 2 x y    ，即： 2 5 10 0x y   或8 5 20 0x y   . 法②：设直线m的斜率为 ( 0)k k  ，则m的方程为 4 ( 5)y k x   ， 当 0x  时， 5 4y k  当 0y  时， 4 5x k   ，所以 1 45 4 5 5 2 k k    ，解得： 2 5 k  或 8 5 k  所以 m的方程为 24 ( 5) 5 y x   或 84 ( 5) 5 y x   ，即： 2 5 10 0x y   或8 5 20 0x y   . 16．（15分）已知圆C：   2 22 4x a y    ，直线 l： 3 0x y   ，l与圆C相交于A，B两点，| | 2 2AB  ． （1）求实数 a的值； （2）当 0a  时，求过点  1,6 并与圆C相切的直线方程． 【解析】（1）因为圆的半径 2r  ， | | 2 2AB  ，所以圆心到直线的距离  222 2 2d    ， 所以 2 3 2 1 1 a d      ，所以 1 2a   ，所以 1a  或 3a   . （2）因为 0a  ，所以 ( ) ( )2 2: 1 2 4C x y- + - = ，当直线的斜率不存在时，直线方程为 = 1x  ， 高二数学 第 7 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 圆心到 = 1x  的距离为  1 1 2 r    ，所以 = 1x  与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线方程为  6 1y k x   ，即 6 0kx y k    ， 因为直线与圆相切，所以 2 2 6 2 1 k k k      ，所以 3 4 k   ，所以直线方程为3 4 21 0x y   ， 所以过点  1,6 并与圆C相切的直线方程为 = 1x  或3 4 21 0x y   . 17．（15分）已知数列 na 为正项等差数列，数列 nb 为递增的正项等比数列， 1 1a  ， 1 1 2 2 4 3 0a b a b a b      . （1）求数列 na ， nb 的通项公式； （2）数列 nc 满足 , , n n n a n c b n     为奇数 为偶数 ，求数列 nc 的前 2n项的和. 【解析】（1）设等差数列 na 的公差为 d，等比数列 nb 的公比为 q， 因为 1 1a  ， 1 1 2 2 4 3 0a b a b a b      ， 所以得 2 1 1 3 d q d q      ，解得 1 0 q d    或 2 1 q d    ，因为数列 na 为正项数列， nb 为正项递增数列， 所以解得 2q = ， 1d  ，所以  1 1 1na n n     ， 1 11 2 2n nnb     （2）由（1）得 1 , 2 ,n n n n c n     为奇数 为偶数 ，所以数列 nc 的前 2项和为    2 1 3 2 1 2 4 2n n nT a a a b b b          1 3 2 1(1 3 2 1) 2 2 2 nn             12 1 4(1 2 1) 2 1 4 n n n       2 2 13 2 2 3 nn    . 18．（17分）如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC- 中， 1CC 平面 , , 2ABC AC BC AC BC   ， 1 3CC  ， 点 ,D E分别在棱 1AA 和棱 1CC 上，且 1 2,AD CE M  为棱 1 1A B 的中点． （Ⅰ）求证： 1 1C M B D ； （Ⅱ）求二面角 1B B E D  的正弦值； （Ⅲ）求直线 AB与平面 1DB E所成角的正弦值． 【解析】依题意，以C为原点，分别以CA  、CB  、 1CC  的方向为 x轴、 y轴、 z轴的正方向建立空间直 角坐标系（如图），可得  0,0,0C 、  2,0,0A 、  0,2,0B 、  1 0,0,3C 、  1 2,0,3A 、  1 0, 2,3B 、  2,0,1D 、  0,0, 2E 、  1,1,3M . （Ⅰ）依题意，  1 1,1,0C M   ，  1 2, 2, 2B D     ， 高二数学 第 8 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 从而 1 1 2 2 0 0C M B D       ，所以 1 1C M B D ； （Ⅱ）依题意，  2,0,0CA   是平面 1BB E 的一个法向量，  1 0,2,1EB   ，  2,0, 1ED    ．设  , ,n x y z  为平面 1DB E的法向量， 则 1 0 0 n EB n ED           ，即 2 0 2 0 y z x z      ，不妨设 1x  ，可得  1, 1,2n    ． 2 6cos , 62 6C CA n A C n A n             ， 2 30sin , 1 cos , 6 CA n CA n           ． 所以，二面角 1B B E D  的正弦值为 30 6 ； （Ⅲ）依题意，  2,2,0AB    ．由（Ⅱ）知  1, 1,2n    为平面 1DB E的一个法向量， 于是 4 3cos , 32 2 6 AB nAB n AB n              ．所以，直线 AB与平面 1DB E所成角的正弦值为 3 3 . 19．（17分）已知椭圆 C：   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     的左、右焦点分别为 1F， 2F ，离心率为 1 2 ，点 A在椭 圆 C上， 1 2AF  ， 1 2 60F AF  ，过 2F 与坐标轴不垂直的直线 l与椭圆 C交于 P，Q两点，N为线段 PQ的中点.（1）求椭圆 C的方程；（2）已知点 10, 8 M      ，且MN PQ ，求直线 l的方程. 【解析】（1） 1 2 2 1 22 , 2 2, 2AF AF a AF a FF c      ， 在 1 2AF F△ 中， 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 cosF F AF AF AF AF F AF    ， 即    22 24 2 2 2 2 2 2 2 cos60c a a        ， 1 2 ce a   ， 解得： 2 4 4 0, 2a a a     ， 1, 3c b  ，椭圆 C的方程为： 2 2 1 4 3 x y   ； （2）由题意设 l的方程为：  1y k x   0k  ，    1 1 2 2, , ,P x y Q x y ， 联立方程   2 2 1 4 3 1 x y y k x        ，得 2 2 2 21 2 1 0 4 3 3 3 k k kx x           ， 高二数学 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司   2 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 8 63 , 2 1 3 4 3 4 4 3 k k kx x y y k x x k k k k             ， 2 2 2 4 3, 3 4 3 4 k kN k k       ， 22 2 2 2 1 3 4 24 38 3 4 4 320 3 4 MN k k kkk k k k        ， MN PQ ， 1MNk k    ，即 2 2 4 24 3 1 32 k k k k      ，化简得：   2 3 2 1 0k k k   ， 1 2 3 10, , 2 2 k k k    ，直线 l的方程为3 2 3 0x y   或者 2 1 0x y   ； 综上，椭圆 C的方程为： 2 2 1 4 3 x y   ，直线 l的方程为3 2 3 0x y   或者 2 1 0x y   . 陕西省咸阳市武功县普集高级中学2024~2025学年度 高二第一学期期末考试（数学）模拟试题（三） 班级 姓名 1、 单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知空间向量，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】因为，， 所以，所以故选：A【答案】A 2．已知直线：，：，若，则实数的值为（ ） A. 或 B. C. D. 或 【解析】直线：，：，， 则，解得，经经验，当时，两直线均不重合， 故实数的值为或．故选：A．【答案】A 3．与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【解析】椭圆可化为标准方程，可知椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，故可设所求椭圆方程，则. 又，即，所以，故所求椭圆的标准方程为.故选：B.【答案】B 4．已知等差数列，是其前项和，若，则（　 　） A. B. C. D. 【解析】设数列的公差为，由题意可得 ，解得， 所以， ，故选项D正确，故选：D.【答案】D 5．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【解析】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为， 则,所以，结合等比数列求和公式有：，解得n=4， 即这个等比数列的项数为8.【答案】C 6．已知，，则数列的通项公式是（　 　） A. n B. C. 2n D. 【解析】由，得，即， 则，，，…，， 由累乘法可得，因为，所以，故选：C．【答案】C 7．若过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交轴于点（为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（     ） A． B． C． D． 【解析】双曲线的渐近线方程为， 记点，由题意可知，点为双曲线的右焦点， 易知直线与直线垂直，且，所以，，可得， 因此，该双曲线的离心率为.故选：C.【答案】C 8．已知抛物线的焦点为，为原点，点是抛物线的准线上的一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（　 　） A. B. C. D. 【解析】抛物线的准线方程为，∵，∴到准线的距离为4，故点纵坐标为2， 把代入抛物线方程可得．不妨设在第一象限，则， 点关于准线的对称点为，连接， 则，于是 故的最小值为． 故选：B．【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线：，下列说法正确的是（ ） A. 直线经过点 B. 直线与坐标轴围成的三角形面积是 C. 直线与直线的距离是1 D. 直线与圆相切 【解析】对于A，当时，，所以直线经过点，A对； 对于B，令；令，所以直线与坐标轴围成三角形面积是，B对；对于C，把化为，则这两直线平行， 所以直线与直线的距离是，C错； 对于D，由圆可知圆心，半径，又圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，D对.故选：ABD.【答案】ABD 10．已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（     ） A．渐近线方程为 B．双曲线与椭圆的离心率互为倒数 C．若双曲线上一点满足，则的周长为28 D．若从双曲线的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为6 【解析】设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距，由题意可知：，且焦点在x轴上，对于选项A：双曲线的渐近线方程为，即，故A错误； 对于选项B：双曲线的离心率，设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距， 则，可得椭圆的离心率， 且，所以双曲线与椭圆的离心率不互为倒数，故B错误； 对于选项C：由双曲线的定义可知：， 可得，所以的周长为，故C正确； 对于选项D：若从双曲线的左､右支上任取一点，由双曲线的对称性可知这两点的最短距离为， 故D正确；故选：CD.【答案】CD 11．如图，在棱长为1的正方体中，则（     ） A． B．三棱锥体积为 C．点到平面的距离为 D．与平面所成角的正弦值为 【解析】以为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立如图所示空间直角坐标系，则 对选项A，，， 所以与不垂直.选项A不正确；对选项B，设平面的一个法向量为 ，.则 ，令，则，即法向量. ，在法向量上投影的绝对值即为点到平面的距离， 点到平面的距离为 是正方体的面对角线，是边长为的正三角形， 则选项B正确； 对选项C，由选项B的解析过程知，选项C正确； 对选项D，与平面所成角的正弦值等于与法向量所成角余弦值的绝对值. 则 选项D正确.故选:BCD【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．等比数列中，，是方程的两根，则的值为 ． 【解析】由题设知：，又为等比数列， ∴，且，而， ∴，故.故答案：【答案】 13．圆的圆心为，且圆与直线相切，则圆的方程为 ． 【解析】圆的圆心为，与直线相切， 圆心到直线的距离等于半径，即， 圆的方程为．故答案为：．【答案】 14．设椭圆的左、右焦点分别为、，点M、N在C上（M位于第一象限），且点M、N关于原点O对称，若，则C的离心率为 ． 【解析】依题意，作图如下，因为点关于原点对称， 所以为的中点， 且为的中点，， 所以四边形为矩形， 由，设由椭圆的定义知，解得：所以整理得：，因为， 所以，故答案为：.【答案】 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）已知直线和的交点为． （1）若直线经过点且与直线平行，求直线的方程； （2）若直线经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程． 【解析】（1）联立的方程，解得，即 设直线的方程为：，将带入可得，所以的方程为：； （2）法①：易知直线在两坐标轴上的截距均不为，设直线方程为：， 则直线与两坐标轴交点为，由题意得，解得：或 所以直线的方程为：或，即：或. 法②：设直线的斜率为，则的方程为， 当时，当时，，所以，解得：或 所以m的方程为或，即：或. 16．（15分）已知圆：，直线：，与圆相交于，两点，． （1）求实数的值； （2）当时，求过点并与圆相切的直线方程． 【解析】（1）因为圆的半径，，所以圆心到直线的距离， 所以，所以，所以或. （2）因为，所以，当直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到的距离为，所以与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 因为直线与圆相切，所以，所以，所以直线方程为， 所以过点并与圆相切的直线方程为或. 17．（15分）已知数列为正项等差数列，数列为递增的正项等比数列，，. （1）求数列，的通项公式； （2）数列满足，求数列的前2n项的和. 【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 因为，， 所以得，解得或，因为数列为正项数列，为正项递增数列， 所以解得，，所以， （2）由（1）得，所以数列的前2项和为 . 18．（17分）如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得、、、、 、、、、. （Ⅰ）依题意，，， 从而，所以； （Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量， ，．设为平面的法向量， 则，即，不妨设，可得． ，． 所以，二面角的正弦值为； （Ⅲ）依题意，．由（Ⅱ）知为平面的一个法向量， 于是．所以，直线与平面所成角的正弦值为. 19．（17分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，点A在椭圆C上，，，过与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点.（1）求椭圆C的方程；（2）已知点，且，求直线l的方程. 【解析】（1） ， 在 中， ， 即 ， ， 解得： ， ，椭圆C的方程为： ； （2）由题意设l的方程为： ， ， 联立方程 ，得 ， ， ， ， ， ，即 ，化简得： ， ，直线l的方程为 或者 ； 综上，椭圆C的方程为：，直线l的方程为 或者 . 高二数学 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 陕西省咸阳市武功县普集高级中学2024~2025学年度 高二第一学期期末考试（数学）模拟试题（三） 班级 姓名 1、 单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知空间向量，，则（ ） A. B. C. D. 2．已知直线：，：，若，则实数的值为（ ） A. 或 B. C. D. 或 3．与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4．已知等差数列，是其前项和，若，则（　 　） A. B. C. D. 5．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．已知，，则数列的通项公式是（　 　） A. n B. C. 2n D. 7．若过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交轴于点（为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（     ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的焦点为，为原点，点是抛物线的准线上的一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（　 　） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线：，下列说法正确的是（ ） A. 直线经过点 B. 直线与坐标轴围成的三角形面积是 C. 直线与直线的距离是1 D. 直线与圆相切 10．已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（     ） A．渐近线方程为 B．双曲线与椭圆的离心率互为倒数 C．若双曲线上一点满足，则的周长为28 D．若从双曲线的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为6 11．如图，在棱长为1的正方体中，则（     ） A． B．三棱锥体积为 C．点到平面的距离为 D．与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．等比数列中，，是方程的两根，则的值为 ． 13．圆的圆心为，且圆与直线相切，则圆的方程为 ． 14．设椭圆的左、右焦点分别为、，点M、N在C上（M位于第一象限），且点M、N关于原点O对称，若，则C的离心率为 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）已知直线和的交点为． （1）若直线经过点且与直线平行，求直线的方程； （2）若直线经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程． 16．（15分）已知圆：，直线：，与圆相交于，两点，． （1）求实数的值；（2）当时，求过点并与圆相切的直线方程． 17．（15分）已知数列为正项等差数列，数列为递增的正项等比数列，，. （1）求数列，的通项公式； （2）数列满足，求数列的前2n项的和. 18．（17分）如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 19．（17分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，点A在椭圆C上，，，过与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点.（1）求椭圆C的方程；（2）已知点，且，求直线l的方程. 高二数学 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$