精品解析：湖南省永州市宁远县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025年下期期中质量监测 九年级数学（试题卷） 一、单选题（共30分） 1. 下列函数中，是反比例函数的为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的判断，根据反比例函数的概念：一般地，我们把形如的函数叫做反比例函数．据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一次函数，故此选项不合题意； B．，是正比例函数，故此选项不合题意； C．，是反比例函数，故此选项符合题意； D．，是正比例函数，故此选项不合题意； 故选：C． 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义逐项判定即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、，化简得-10x=4，不是一元二次方程，故此选项不符合题； C、，分母含有未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题； D、，当m=-3时，是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题； 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，只含量有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程叫一元二次方程． 3. 已知，则值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是用一个字母表示出a，b，c；先设，a，b，c分别用k表示出来，即可解决问题； 【详解】解：由题可设：， ∴， ∴， 故选：D． 4. 反比例函数y=﹣的图象一定经过点（　　） A. （﹣2，﹣1） B. （﹣，2） C. （2，﹣1） D. （，2） 【答案】C 【解析】 【分析】反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值-2，即xy=-2． 【详解】A.−2×(−1)=2≠−2，故本选项错误； B.，故本选项错误； C.−1×2=−2，故本选项正确； D.，故本选项错误； 故选C. 【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点一定满足函数解析式. 5. 如图，在中，点在上，连接交对角线于点，若，的面积为9，则的面积为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得出，，进而可得出，由可得出，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求的的面积． 【详解】四边形为平行四边形， ∴，， ∴． ， ． ∵，的面积为9， ． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 6. 下列方程中，无实数根的是（ ） A. x2+2x+5=0 B. x2-x-2=0 C. 2x2+x-10=0 D. 2x2-x-1=0 【答案】A 【解析】 【分析】根据根判别式 对各选项进行逐一分析即可．因为题目是无实根，所以 ． 【详解】A、∵ ，∴此方程无实数根，故正确； B、∵，∴此方程有两个不相等的实数根，故错误； C、∵，∴此方程有两个不相等的实数根，故错误； D、∵，∴此方程有两个不相等的实数根，故错误． 故选A 【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的根与的关系是解答此题的关键． 7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断． 【详解】解：， 反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限随的增大而减小， 点，都在反比例函数的图象上，， ． ∵，在反比例函数的图象上， ∴， ∴. 故选：B． 8. 下列图形中，一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 有一组角相等的两个等腰三角形 C. 有一组对应角相等的两个菱形 D. 两边对应成比例且有一组角相等的三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用相似图形的判定与性质进而分别分得出即可． 【详解】A、两个矩形对应边的比值不一定相等，故此选项错误； B、有一组角相等的两个等腰三角形，有可能是两三角形的底角与顶角对应相等，故此选项错误； C、有一组对应角相等的两个菱形，相似，故此选项正确； D、两边对应成比例且两边的夹角相等的三角形相似，故此选项错误． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了相似图形，熟练应用相似图形的判定方法是解题关键． 9. 某商品的原价是324元/件，因为热销，该商品提价两次后，现售价为400元/件，并且两次提价的百分率相同，若设该商品每次提价的百分率为x，则根据题意列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设该商品每次提价的百分率为x，据题意列出一元二次方程即可． 【详解】设该商品每次提价的百分率为x，根据题意得， 故选C 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 10. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，设小孔到的距离为，由得，解之即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设小孔到的距离为， 由题意得，， ∴， ∴， 解得， ∴小孔到的距离为， 故选：． 二、填空题（共24分） 11. 在比例尺为的地图上，相当于实际_________ 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了两条线段的比．设两地的实际距离为，根据比例尺的定义得到，利用比例的性质易求得x的值，注意单位统一． 【详解】解：设两地的实际距离为， ∵比例尺为， ∴， ∴． 故答案为：20． 12. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】可通过移项将方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 13. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的A、B、C三个点都在横线上，若线段，则线段的长是______． 【答案】1.5 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出的长即可．熟练运用“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于， 则， 即， 解得：， 故答案为：1.5． 14. 已知反比例函数，当时，y随x的增大而减小，则a的值可以是_________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．根据当时，y随x的增大而减小列式求解即可． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴， ∴a的值可以是1． 故答案为：1（答案不唯一）． 15. 若非零实数a，满足，，则 的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到a，b为方程的解，利用根与系数的关系求出，的值，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：根据题意得到a，b为方程的解， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，以及根与系数的关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16. 如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作平行四边形 ，其中、在轴上，则 为 _________． 【答案】2-a 【解析】 【分析】根据题意连结OA、OB，AB交y轴于E，由于AB⊥y轴，根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义得到S△OEA与S△OBE，则四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到S平行四边形ABCD=2S△OAB=2-a． 【详解】解：连结OA、OB，AB交y轴于E，如图， ∵AB∥x轴， ∴AB⊥y轴， ∴， ∴， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴S平行四边形ABCD=2S△OAB=2-a． 故答案为：2-a． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，注意掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|． 17. 在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像相交于，两点，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】一次函数经过第一、三象限，反比例函数经过第一、三象限，交点分别在第一、三象限，如图所示，化为相反数，互为相反数，由此即可求解． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图像有交点，如图所示， ∴交点，的关系是，互为相反数，互为相反数， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数，反比例函数的综合，掌握一次函数，反比例函数图像的性质解题的关键． 18. 如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点C是线段的黄金分割点（）则有 已知 厘米， 那么________厘米． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，根据五角星是正五角星得到，再代入式子中计算即可． 【详解】解：∵五角星是正五角星 ∴ ∵ ∴ 解得： 故答案为：2． 三、解答题（共66分） 19. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】观察方程左右两边可知，整理后含有公因式，故用因式分解法求解即可． 【详解】 ∵， ∴，即 故或， 解得：，． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，属于基础的计算题考查，难度不大．解题的关键是观察到公因式，采用因式分解法求解． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，求此反比例函数的表达式． 【答案】反比例函数的表达式为． 【解析】 【分析】本题主要考查利用待定系数法求反比例函数的解析式．将点坐标代入一次函数的表达式中，解出，之后再把点代入反比例函数的解析式中，解出，即可求出反比例函数的表达式． 【详解】解：把点代入，得， 解得， ∴, 把点代入反比例函数，得， ∴反比例函数的表达式为． 21. 如图，已知，，，，，求证：． 【答案】 证明：，，，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】根据两组对应边成比例夹角相等进行证明． 【详解】略 【点睛】此题考查相似三角形的判定定理，熟记相似三角形的判定定理并依据题的特点恰当证明是解题的关键． 22. 新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某市某品牌新能源汽车经销商1至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售150辆，3月份销售216辆． （1）求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率； （2）若该品牌新能源汽车的进价为6.2万元/辆，售价为6.7万元/辆，则该经销商1至3月份共盈利多少万元？ 【答案】（1）该品牌新能源汽车月均增长率为 （2）该经销商1至3月份共盈利273万元 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，有理数运算的实际应用，掌握利用一元二次方程解决增长率问题是解题的关键． （1）设新能源汽车销售量的月均增长率为x，根据3月份销售216辆列方程，再解方程即可得到答案； （2）利用1至3月份的总销量乘以每辆车的盈利，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设新能源汽车销售量的月均增长率为， 根据题意得， 解得：，（不合题意、舍去） 答：该品牌新能源汽车月均增长率为； 【小问2详解】 解：2月份销售新能源汽车（辆）， （万元） 答：该经销商1至3月份共盈利273万元． 23. 小亮运用《数书九章》中测量塔高的方法测量一幢楼房的高度．如图，表示楼房的高，表示一根直杆顶端到地面的高，表示小亮的眼睛到地面的高，在同一平面内，点在同一条直线上．已知，，，，小亮从点远眺楼顶，视线恰好经过直杆的顶端，请帮小亮求出楼房的高． 【答案】楼房的高为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．过作于，根据矩形的性质得到，，，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：过作于，交于E， 则，，， ，， ， ， ， ， ， ， 答：楼房的高为． 24. 已知关于x的方程：有两个不相等的实数根， （1）求实数k的取值范围、 （2）已知方程的一个根为5，求方程的另一个根． 【答案】（1） （2）-1 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式求出，再求出不等式的解集即可； （2）设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为a， ∴， 解得：， ∴方程的另一个根为-1． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练堂握根的判别式及根与系数的关系的相关知识是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A（-2，3），B（m，-2）两点， （1）求，对应的函数表达式； （2）根据函数图像，直接写出关于x的不等式<的解集； （3）过点B作BP//x轴交y轴于点P，在x轴上是否存在点Q，使得△ ABQ的面积等于△ABP的面积的一半，若存在求出Q点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）把A（-2，3），B（m，-2）两点代入求得，m值，便可求得的表达式，把A，B两点坐标代入到一次函数表达式中，可求得一次函数的表达式； （2）根据图像即可求得； （3）先求出直线与x轴交点C的坐标及，要△ ABQ的面积等于△ ABP的面积的一半，只要Q点与点C的距离=即可 【小问1详解】 解：∵ 直线与双曲线相交于A（-2，3），B（m，-2）两点， ∴ ， ∴， ∴ 双曲线的表达式为：，B（3，-2）， 把A（-2，3），B（3，-2）代入得 ， 解得：， ∴直线的表达式为：． 【小问2详解】 解：由图像可知， 直线在A点的右边与y轴的左侧部分或在B点的右边部分，在双曲线下方 ∴ 或． 【小问3详解】 解：如下图，∵ BP//x轴，B（3,-2）， 由，令得 解得：． ∴ C点的横坐标为1， ∴要△ ABQ的面积等于△ ABP的面积的一半，只要= 设 所以或 解得：或 ∴点坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例、一次函数解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，以及直线与双曲线的位置关系，三角形的面积，数形结合是解题关键． 26. 猜想归纳：为了建设经济型节约型社会，“先锋”材料厂把一批三角形废料重新利用，因此工人师傅需要把它们截成不同大小的正方形铁片．(已知：，，) (1)如图①，若截取的内接正方形，请你求出此正方形的边长； (2)如图②，若在内并排截取两个相同的正方形(它们组成的矩形内接于)，请你求此正方形的边长； (3)如图③，若在内并排截取三个相同的正方形(它们组成的矩形内接于)，请你求此正方形的边长； (4)猜想：如图④，假设在内并排截取n个相同的正方形，使它们组成的矩形内接于，则此正方形的边长是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，作，再根据，可知，由平行得到两对同位角相等，进而得到两三角形相似，设出正方形的边长为x，根据相似三角形的性质得到比例式，进而列出关于x的方程，求出方程的解，即可求出正方形的边长； （2）作，交于点M，交于点N，同（1）可知，，根据对应边的比等于相似比，同理可求出正方形的边长； （3）作，交于点M，交于点N，同（1）可知，，根据对应边的比等于相似比，同理可求出正方形的边长； （4）同理可得正方形的边长． 【详解】（1）在图1中作的高交于M．在中， ∵ ∴． 由，得：， ∴． 设正方形的边长为x，则，解得：． 即正方形的边长为． （2）方法同（1），如图2．，则． 设小正方形的边长为x，则，解得：． 即小正方形的边长为． （3）在图3中，作，交于点，交于点． 由，得：， ∴． 设正方形的边长为x，则，解得：． 即正方形的边长为． （4）设每个正方形的边长为x，同理得到： 则=，则， ∴每个小正方形的边长为． 【点睛】本题综合考查了正方形、矩形、相似三角形的性质及勾股定理．要求学生掌握相似三角形的对应高之比等于相似比，注意此题虽有四问，但是方法雷同，只是比例式中代入的式子不同，应根据图形正方形的个数来确定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期期中质量监测 九年级数学（试题卷） 一、单选题（共30分） 1. 下列函数中，是反比例函数的为（　　） A. B. C. D. 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则值为（ ） A. B. 4 C. D. 4. 反比例函数y=﹣的图象一定经过点（　　） A. （﹣2，﹣1） B. （﹣，2） C. （2，﹣1） D. （，2） 5. 如图，在中，点在上，连接交对角线于点，若，的面积为9，则的面积为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 27 6. 下列方程中，无实数根的是（ ） A. x2+2x+5=0 B. x2-x-2=0 C. 2x2+x-10=0 D. 2x2-x-1=0 7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 下列图形中，一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 有一组角相等的两个等腰三角形 C. 有一组对应角相等的两个菱形 D. 两边对应成比例且有一组角相等的三角形 9. 某商品的原价是324元/件，因为热销，该商品提价两次后，现售价为400元/件，并且两次提价的百分率相同，若设该商品每次提价的百分率为x，则根据题意列出的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分） 11. 在比例尺为的地图上，相当于实际_________ 12. 方程的解是______． 13. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的A、B、C三个点都在横线上，若线段，则线段的长是______． 14. 已知反比例函数，当时，y随x的增大而减小，则a的值可以是_________． 15. 若非零实数a，满足，，则 的值为____． 16. 如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作平行四边形 ，其中、在轴上，则 为 _________． 17. 在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像相交于，两点，则的值为_______． 18. 如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点C是线段的黄金分割点（）则有 已知 厘米， 那么________厘米． 三、解答题（共66分） 19. 解方程：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，求此反比例函数的表达式． 21. 如图，已知，，，，，求证：． 22. 新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某市某品牌新能源汽车经销商1至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售150辆，3月份销售216辆． （1）求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率； （2）若该品牌新能源汽车的进价为6.2万元/辆，售价为6.7万元/辆，则该经销商1至3月份共盈利多少万元？ 23. 小亮运用《数书九章》中测量塔高的方法测量一幢楼房的高度．如图，表示楼房的高，表示一根直杆顶端到地面的高，表示小亮的眼睛到地面的高，在同一平面内，点在同一条直线上．已知，，，，小亮从点远眺楼顶，视线恰好经过直杆的顶端，请帮小亮求出楼房的高． 24. 已知关于x的方程：有两个不相等的实数根， （1）求实数k的取值范围、 （2）已知方程的一个根为5，求方程的另一个根． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A（-2，3），B（m，-2）两点， （1）求，对应的函数表达式； （2）根据函数图像，直接写出关于x的不等式<的解集； （3）过点B作BP//x轴交y轴于点P，在x轴上是否存在点Q，使得△ ABQ的面积等于△ABP的面积的一半，若存在求出Q点的坐标． 26. 猜想归纳：为了建设经济型节约型社会，“先锋”材料厂把一批三角形废料重新利用，因此工人师傅需要把它们截成不同大小的正方形铁片．(已知：，，) (1)如图①，若截取的内接正方形，请你求出此正方形的边长； (2)如图②，若在内并排截取两个相同的正方形(它们组成的矩形内接于)，请你求此正方形的边长； (3)如图③，若在内并排截取三个相同的正方形(它们组成的矩形内接于)，请你求此正方形的边长； (4)猜想：如图④，假设在内并排截取n个相同的正方形，使它们组成的矩形内接于，则此正方形的边长是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $