精品解析：湖北省武汉市江岸区等2地2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

部分学校2025~2026学年度第一学期期中质量检测 高二年级数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，共线，则（ ） A. B. 6 C. D. 8 3. 已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则事件与的关系是（ ） A. 与互斥但不对立 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 与既互斥又相互独立 5. 若，两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 在直三棱柱中，，，，点是的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为（ ） A. . B. C. . D. 8. 在三棱锥中，为的重心，，，.若交平面于点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中的概率均为0.7，乙每次命中的概率均为0.8，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则下列结论正确的是（ ） A. 两人都命中的概率为0.56 B. 恰好有一人命中的概率为0.36 C. 两人都没有命中的概率为0.6 D. 至少有一人命中的概率为0.94 10. 设直线，，圆，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 必与圆相交 D. 若与圆交于，，则弦长的最小值为4 11. 棱长为1的正方体的表面有点，且满足，，，则（ ） A. 当时，的最小值为 B. 当时，有且仅有一点满足 C. 当时，有且仅有一点到直线的距离是它到平面的距离的两倍 D. 当时，点的轨迹长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线过点，且在轴、轴上的截距互为相反数，则直线的方程为________. 13. 一个不透明的箱子里装有除号码外完全相同的五张卡片，每张卡片上分别写有一个数字号码1，2，3，4，5.现一次从中随机抽取两张卡片，观察这两张卡片上的数字号码之和是奇数的概率为________. 14. 已知点，，圆.在圆上求一点，使得的值最小，则点的坐标是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 国庆长假市民旅游观光非常活跃.为提高服务质量，A市文旅部门对属地W景区的游客进行满意度调研，通过微信小程序共随机收集到300名游客的反馈数据如下表： 不满意 一般 满意 男性 15 20 女性 5 20 （1）请据此表数据，估计游客对景区的满意率； （2）若，求满意的顾客中女性顾客不少于男性顾客的概率. 16. 如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. （1）求的值； （2）求的面积 17. 已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切. （1）求圆的标准方程； （2）设为直线上的点，满足：过点引圆的切线，切点分别为和，，试求所有满足条件的点的坐标. 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，. ，.过直线BC的平面交棱PA于点E，交棱PD于点F.记 （1）求证：； （2）当时，求平面PAB与平面夹角的余弦值； （3）记点A，P到平面的距离分别为，，求使的值最小时的值. 19. 设，，在中学教材我们已经学习过，数学上称之为欧几里得距离，记为. 此外还有两种测量距离的方式： 定义曼哈顿距离； 定义余弦距离，其中（O为坐标原点）. 余弦距离，亦可由二维平面推广至三维空间. 据此，解决下面的问题： （1）若，，求A，B之间的余弦距离； （2）若动点P在直线上，动点Q在圆上，求的最小值； （3）若，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 部分学校2025~2026学年度第一学期期中质量检测 高二年级数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程可得斜率，进而可得倾斜角. 【详解】由直线，得， 所以直线的斜率为，得，所以倾斜角. 故选：B. 2. 已知向量，，若，共线，则（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据空间向量共线的条件可得. 【详解】由，共线，，，所以， 解得，得. 故选：C. 3. 已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用古典概型概率计算公式分别计算出相应事件的概率即可作出判断. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：D. 4. 已知，，，则事件与的关系是（ ） A. 与互斥但不对立 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 与既互斥又相互独立 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率的并集公式和独立事件的定义求解.根据且可以判断事件与互斥但不对立；根据且可以判断事件与对立；根据判断事件与独立. 【详解】，，， ， ，， ，故与互斥但不对立，选项A正确，选项B不正确； ，，故与不独立，选项C和D错误. 故选：A. 5. 若，两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用点到直线的距离求解. 【详解】，，直线， 到直线的距离为， 到直线的距离为， ，两点到直线的距离相等， ，， 或，或. 故选：C. 6. 在直三棱柱中，，，，点是的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明三线两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点坐标得到向量坐标，由向量的数量积求得线线角的余弦值. 【详解】在直三棱柱中，平面， ∵平面，平面， ∴，，且 ∴如图建立空间直角坐标系， ∴，，，则， 则，， 设直线与所成角为， 则. 故选：C. 7. 已知圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为（ ） A. . B. C. . D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知圆与圆的位置关系为相交，再根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】由题，圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆有且仅有两条公切线， 所以圆与圆的位置关系为相交， 所以，即 所以，即，解得或 所以实数的取值范围为 故选：B 8. 在三棱锥中，为的重心，，，.若交平面于点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量共面的条件，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为的重心，所以 ， 又，，，， 所以， 因为点在平面内， 所以，得，且. 所以 当且仅当时等号成立. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中的概率均为0.7，乙每次命中的概率均为0.8，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则下列结论正确的是（ ） A. 两人都命中的概率为0.56 B. 恰好有一人命中的概率为0.36 C. 两人都没有命中的概率为0.6 D. 至少有一人命中的概率为0.94 【答案】AD 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式，互斥事件和对立事件的概率求解. 【详解】设甲每次命中为事件，，设乙每次命中事件，， 选项A，两人都命中为事件，甲和乙是否命中互不影响，，故选项A正确； 选项B，恰好有一人命中为， ，故选项B不正确； 选项C，两人都没有命中为事件，，故选项C不正确； 选项D，至少有一人命中的否定为两人都没有命中，两人都没有命中为事件， ，至少有一人命中的概率为，故选项D正确. 故选：AD. 10. 设直线，，圆，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 必与圆相交 D. 若与圆交于，，则弦长的最小值为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】对AB用两条直线平行垂直的条件判断可得，对CD可通过直线过定点及弦长公式可得. 【详解】对于A：由且的斜率为，得，化简，解得，故A错误； 对于B：由，得，解得，所以B正确； 对于C：，即，令， 解得，所以直线过定点，且， 所以定点M在圆内，所以直线必与圆相交，所以C正确； 对于D：由上可知直线过定点，且定点M在圆内， 所以当时，圆心距； 当不垂直时，圆心距，所以， 所以弦长，所以D正确. 故选：BCD. 11. 棱长为1的正方体的表面有点，且满足，，，则（ ） A. 当时，的最小值为 B. 当时，有且仅有一点满足 C. 当时，有且仅有一点到直线的距离是它到平面的距离的两倍 D. 当时，点的轨迹长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建系标点，对于A：先判断P点的轨迹，再将问题平面化即可求解；对于B：利用空间向量证明线线垂直；对于C：根据空间的距离公式运算求解即可；对于D：分析可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，即可得轨迹长. 【详解】如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 可得，，， 则，即， 对于选项A：当时，可知为线段上的点， 将平面和平面沿展开为同一个平面如图， 连接，则的最小值即为，故A正确； 对于选项B：当时，则，可得，， 可得，则， 即满足条件的P点有无数个，故B错误； 对于选项C：当时，即，则， 可得，，， 则在上的投影为， 则点P到直线的距离； 平面ABCD的一个法向量为，， 则点P到平面ABCD的距离为； 当点到直线的距离是它到平面的距离的两倍， 则，整理可得， 且，解得，， 所以仅存在一个点P满足条件，故C正确； 对于选项D：当时，则， 且，可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹长为，故D正确； 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线过点，且在轴、轴上的截距互为相反数，则直线的方程为________. 【答案】或 【解析】 【分析】分截距为0和不为0两种情况讨论求解.在截距不为0的情况下，利用直线的截距式求解. 【详解】当轴、轴上的截距为0时，直线过，又过，则， 的方程为，即； 当轴、轴上的截距不为0时，直线在轴、轴上的截距互为相反数， 设直线的方程为，又过，， ，设直线的方程为，即. 综上可知，直线的方程为或. 故答案为：或. 13. 一个不透明的箱子里装有除号码外完全相同的五张卡片，每张卡片上分别写有一个数字号码1，2，3，4，5.现一次从中随机抽取两张卡片，观察这两张卡片上的数字号码之和是奇数的概率为________. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】运用列举法写出所有情况，再计算符合条件的比例即可. 【详解】一次抽取两张卡片，可能抽出：， 其中两张数字的数字之和是奇数的情况有“”共6种情况， 故概率. 故答案为：（或） 14. 已知点，，圆.在圆上求一点，使得的值最小，则点的坐标是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据阿氏圆的知识，设，，，进而待定系数得，所以,进而将问题转化为求的最小值问题即可求解. 【详解】根据题意，设，，， 所以， 整理后得：， 又因为点的轨迹为圆，即圆， 所以，解得，所以. 所以 当且仅当三点共线时取得最小值，即点为图中点时，取得最小值. 此时，直线的方程为：，即， 所以，联立方程得或 即直线与圆的交点坐标为或 由题知，故舍去， 所以点的坐标为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 国庆长假市民旅游观光非常活跃.为提高服务质量，A市文旅部门对属地W景区的游客进行满意度调研，通过微信小程序共随机收集到300名游客的反馈数据如下表： 不满意 一般 满意 男性 15 20 女性 5 20 （1）请据此表数据，估计游客对景区的满意率； （2）若，求满意的顾客中女性顾客不少于男性顾客的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算满意的总人数，再利用频率公式计算满意率. （2）先确定的取值范围及对应的基本事件总数，再确定满足 “女性顾客不少于男性顾客” 的基本事件数，最后利用古典概型公式计算概率. 【小问1详解】 根据题意，，， 所以游客对景区的满意率. 【小问2详解】 因为，，， 所以满意的顾客中，男性和女性的人数对所有可能为：，，，，，，共个数对， 其中的有：，共个数对， 所以满意的顾客中，女性顾客不少于男性顾客的概率. 16. 如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. （1）求的值； （2）求的面积 【答案】（1）2 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量法求解； （2）利用空间向量法求解. 【小问1详解】 设，，.则. ，，. 平行六面体中： ， 又已知， ， . 【小问2详解】 ， ， . ， ； ， 的面积为. 17. 已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切. （1）求圆的标准方程； （2）设为直线上的点，满足：过点引圆的切线，切点分别为和，，试求所有满足条件的点的坐标. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，由圆心在直线得到，由圆经过点，得到，根据圆与直线相切，得到圆心到直线的距离等于半径，联立方程组计算得解； （2）由，根据对称性得到，则在Rt中，可解得，从而得到点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其轨迹方程为，又在直线上，联列方程组解得点的坐标. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 因为圆心在直线上，所以，① 因为圆经过点，所以，② 因为圆与直线相切，所以，③ 联立①②③解得，，， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 因为，由对称性可知，故， 在Rt中，，，解得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其轨迹方程为， 又因为在直线上， 联列方程组，解得或， 所以点的坐标为或. 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，. ，.过直线BC的平面交棱PA于点E，交棱PD于点F.记 （1）求证：； （2）当时，求平面PAB与平面夹角的余弦值； （3）记点A，P到平面的距离分别为，，求使的值最小时的值. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3），最小值. 【解析】 【分析】（1）由，得到平面，由平面，平面平面，得到，通过平行的传递性得到证明； （2）如图，作于，利用勾股定理求出，利用勾股定理的逆定理得到，利用线面垂直的判定定理得到平面，从而得到，建立直角坐标系，利用坐标求出的坐标，求平面和平面的法向量.利用夹角公式得解； （3）求出的坐标，求平面的法向量，求出， 和，计算，利用基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 ，平面，平面，平面， 平面，平面平面，， ，； 【小问2详解】 如图，作于，Rt中，， ，， 在中，， ，即， ，，平面，平面， 平面， 平面， ，于是DA，DG，DP两两垂直.故可建立直角坐标系（如图）. ，，，，. ，， ， ，， 设是平面的一个法向量，是平面的一个法向量. 则有和 即和， 和， 取，， 于是.夹角余弦值为； 【小问3详解】 ，，，，. ， ，，， ， ，设是平面的一个法向量， ，，， 取， ，， 于是 ， 设，，，. 则 ，（，即取“”） . 故当时，取到最小值. 19. 设，，在中学教材我们已经学习过，数学上称之为欧几里得距离，记为. 此外还有两种测量距离的方式： 定义曼哈顿距离； 定义余弦距离，其中（O为坐标原点）. 余弦距离，亦可由二维平面推广至三维空间. 据此，解决下面的问题： （1）若，，求A，B之间的余弦距离； （2）若动点P在直线上，动点Q在圆上，求的最小值； （3）若，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出，，利用定义求解； （2）设，，根据定义求出，利用进行放缩，利用辅助角求解； （3）求出，，根据定义求出，令，整理得到，则问题转化为半圆与有公共点时的取值范围. 【小问1详解】 由已知，， ； 【小问2详解】 设，， 则， ， 又取，时， ， 的最小值为； 【小问3详解】 由已知有 ，， ， 令，则有， 问题等价于半圆与直线有公共点， 即半圆与有公共点时的取值范围. 由半圆方程得：，圆心，半径为3. 如图，当直线过点时，， 当直线与半圆相切时，由得：，. 分析知，取. 故半圆与有公共点时，， 于是，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $