精品解析：上海市奉贤区2023-2024学年高三下学期第三次质量检测数学试题

2023学年奉贤区高三年级第二学期第三次学科质检 数学学科试卷 （时间120分钟，满分150分） 学生注意： 1．本试卷包括试题纸和答题纸两部分． 2．在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3．可使用符合规定的计算器答题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知全集为，集合，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据补集的定义即可得解. 【详解】因为集合， 所以或. 故答案为：或. 2. 不等式的解集为_____________． 【答案】##. 【解析】 【分析】由分式不等式的解法直接求解即可. 【详解】由得：，解得：，不等式的解集为. 故答案为：. 3. 椭圆的离心率为___________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据椭圆方程可得，进而结合离心率的定义求解即可. 【详解】由椭圆，则， 即，所以离心率为. 故答案为： 4. 已知函数则=________. 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数的解析式，代入已知值，可得答案. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 5. 已知、为常数，函数为奇函数，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意结合奇函数的定义运算求解. 【详解】由题意，函数为奇函数， 则，故， 可得，则，解得， 所以. 故答案为：3. 6. 的二项展开式中，项的系数为________. 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式通项公式，由的指数为2求得项数，从而得到系数． 【详解】由题意得二项式的展开式的通项公式为， 令，得，所以项的系数为． 故答案为：． 7. 在一个不透明的盒中装着标有数字1，2，3，4的大小与质地都相同的小球各2个，现从该盒中一次取出2个球，设事件为“取出2个球的数字之和大于5”，事件为“取出的2个球中最小数字是2”，则____________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出事件、事件的基本事件数，再由条件概率公式计算可得. 【详解】事件（数字之和大于5）的基本事件数（数字组合）， 共有种； 而事件（最小数字是2且和大于5，即）的基本事件数有种， 由条件概率公式. 故答案为： 8. 若一个圆锥的高为，侧面积为，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式，扇形的弧长公式求解即可, 【详解】设底面半径为，母线长为l 由，得， 又，由勾股定理， 所以，解得， 底面圆周长，扇形中心角， 故答案为： 9. 设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意分析出区间至少包含一个完整的周期，才能保证能取到时的所有函数值，再利用周期的公式求出的取值范围，结合充分条件的定义即可得到结果. 【详解】因为函数，要使， 则周期，即， 因为，所以一个充分条件是， 故答案为： 10. 已知个小球的编号为、、、，从中有放回地摸取小球三次，并依次记录其编号，若这三个编号成等差数列，则共有______种不同的摸取方法. 【答案】 【解析】 【分析】设这三个编号分别为、、，对三个编号是否相同进行分类讨论，利用分类加法计数原理可得结果. 【详解】若三个编号成等差数列，若三个编号相同，共有种， 若三个编号彼此都不相同，设这三个编号为、、，则， 则、同为奇数或同为偶数，则可由来确定， 奇数编号的小球共个，偶数编号的小球共个， 若、同为奇数，则、的选择方法种数为种； 若、同为偶数，则、的选择方法种数为种. 当三个编号彼此不同时，不同的摸法种数为种. 综上所述，不同的摸法种数为种. 故答案为：. 11. 1798年，人口学家马尔萨斯假设：单位时间内的人口增长量与人口数成正比，进而建立马尔萨斯人口增长模型.19世纪中叶的生物学家们发现，由于人类生存条件的限制，存在人口最大瞬时增长率，当达到时，人口增长率会随着的增长而下降，因此需要改进马尔萨斯的假设．他们假设：①是随着时间连续变化的函数；②存在最大人口数，人口数达到时，；③仅与和有关；④，那么在这些条件下建立的人口增长模型___________．（用含有、、的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，当时，得到，求得，结合，代入化简得到，即可得到答案. 【详解】根据假设，可得， 当时，，代入可得，解得， 由单位时间内的人口增长量与成正比，可得， 将，代入可得， 所以假设下建立的人口增长模型. 故答案为：. 12. 记为有限集合中的元素个数.设，能被整除}，若对于任意实数和任意正整数，恒有，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，集合中的元素只需满足能被整除即可，设，则需取以为间隔的等间隔分布的实数，可知区间中最多只能找到三个值，即求的最大值，利用导数求出函数的最大值为，则任意一段长度不超过的区间里最多只能找到三个值，由此可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】由于， 所以，被除余数为， 因此，集合中的元素只需满足能被整除即可， 设，从而可得, 即需取以为间隔的等间隔分布的实数， 不论实数和正整数如何选取，区间中最多只能找到三个值， 考虑到任意性，考虑区间长度最长的情况，即求的最大值， 设，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 所以，， 因此，问题的要求是在任意一段长度不超过的区间里最多只能找到三个值， 而的取值是以为间隔的，故临界情况是：长度为的区间刚好对应个间隔， 因此，只需，解得. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. “”是“一元二次不等式的解集为R”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由题根据一元二次不等式的解集为R， 可得， 所以“”是“一元二次不等式的解集为R”的必要不充分条件. 故选：B. 14. “”的一个必要非充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合指数、对数函数的单调性，对选项A、B和C逐一分析判断，即可求解；对于D，利用不等式的性，即可求解. 【详解】对于选项A，由，得到，即，所以可得，故选项A错误， 对于选项B，由，得到，所以可得，故选项B错误， 对于选项C，由，得到，即，所以推不出， 但可以得出，故选项C正确， 对于选项D，由，得到， 又，当且仅当时取等号，显然不满足题意， 则，即， 又当，有，所以是的充要条件，故选项D错误， 故选：C. 15. 设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定直线与圆的位置关系，表示出直线的斜率，数形结合，根据直线斜率与双曲线渐近线斜率的关系，得到的关系，求出离心率的取值范围，即可进行判断. 【详解】如图： 因为，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，方程为：. 因为点到直线：的距离为：， 所以直线与圆相切. 又过点，且，直线与双曲线的右支在第一象限内交于点， 所以直线的斜率为：. 又一、三象限双曲线的渐近线的斜率为：. 又. 即. 故选：D 16. 在空间中，点、均为定点，且．设集合，则以下说法正确的是（ ）． ①若在上的数量投影为，则线段在运动过程中所形成的几何体体积为； ②对于任意的以及任意的正实数，设，若，则． A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】由，求得，得到，得出是以为球心，半径为的球体内部及其表面上的点构成的集合，①根据题意得到，设是轴上的单位向量，点的坐标为，求得，得到线段在运动中所形成的几何体为圆锥，结合圆锥的体积公式，可判定①是真命题；由集合是球体内部及其表面，得到集合是凸集，结合球体中的任意两点的连线段上的点均在球体内，以及凸集的性质，可判定②正确. 【详解】由， 因为且，可得， 即，即，所以是以为球心，半径为的球体内部及其表面上点构成的集合， ①若在上的数量投影为，则， 以为原点为轴正方向，则是轴上的单位向量，设点的坐标为， 则满足，且， 将代入可得，解得， 所以线段在运动中所形成的几何体为圆锥，其中底面半径为，高为， 则圆锥的体积为，所以①是真命题； 由集合是以为球心，半径为的球体内部及其表面上点构成的集合， 对于任意的，以及任意的正实数，且， 即，且，且 若， 因为球体中的任意两点的连线段上的点均在球体内， 根据是凸集，结合凸集的性质，可得，即， 所以，所以②正确. 故选：A. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤． 17. 已知向量、，记． （1）求函数的最小正周期； （2）若函数（其中常数）为奇函数，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标公式结合二倍角的余弦公式求出函数解析式，再根据余弦函数的周期性即可得解； （2）根据三角函数的奇偶性求解即可. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期； 【小问2详解】 ， 因为函数为奇函数， 所以，解得， 又因为，所以. 18. 如图，在四面体中，是边长为的正三角形，且. （1）证明：； （2）若是的中点，且二面角的大小为，求与平面所成角的大小. 【答案】（1）取中点，连接， 由已知条件是边长为的正三角形，得. 平面，所以平面 ， 又平面 ，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）先取中点，连．利用等腰三角形三线合一得．再根据线面垂直判定定理证平面 ，最后由线面垂直性质得. （2）已知二面角为，即面面垂直.由面面垂直性质定理得平面，所以是线面角，求出角大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 二面角的大小为，即平面平面. 由平面平面，且由（1）知，平面， 所以平面，从而即为与平面所成角 在中，，从而， 在中，， 因为平面，且平面，所以， 所以在中，，且， 易求得，即与平面所成角的大小为. 19. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 （1）根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； （2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析.记抽取的3件中合格的件数为X，求 X的分布列和期望； （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y， 求使事件“”的概率最大时k的取值.参考公式及数据： 其中. 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）无关联 （2） 1 2 3 （3）875 【解析】 【分析】（1）计算的值，将其与对应的小概率值比较即得； （2）先算出抽取的8件产品中的合格品与不合格品的数目，再从中抽取3件，根据合格品件数的可能值运用超几何分布概率计算出概率，列出分布列计算数学期望即得； （3）分析得出，利用二项分布概率公式得出再利用作商法分析得时，事件“”的概率最大. 【小问1详解】 零假设为：假设依据的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联； 则， 故依据的独立性检验，没有充分证据说明零假设不成立， 因此可认为成立，即认为参数调试与产品质量无关联； 【小问2详解】 依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中， 合格产品有件，不合格产品有2件， 而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数的可能值有1，2，3． 则，，， 故的分布为： 1 2 3 则； 【小问3详解】 依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为， 故，则， 由， 故由可解得， 因，故当时，； 故由可解得， 即当时，； 故当事件“”的概率最大时，． 20. 设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标； （3）若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明. 【答案】（1） （2）或 （3） 设， 因为向量在直线上的投影为向量，故， 故直线的斜率为，故直线的方程为，故， 而， 故， 联立， ，， 故， 设，设， 由双勾函数的性质可得在为增函数， 故，故， . 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和的长度求出基本量后可得椭圆的标准方程； （2）求出直线与椭圆的交点后可得关于横坐标的方程，从而可求其坐标. （3）利用两角和的正切结合韦达定理可证. 【小问1详解】 ， 直线l过所以右焦点，即， 所以，椭圆方程为. 【小问2详解】 当，直线，， 解得， ， 设，到直线距离， 由面积，得或， 即或 . 【小问3详解】 略 21. 对于定义在上的函数和，，设. （1）若，，求； （2）若，，，求实数的取值范围； （3）已知对任意，均有，记，求证：“对任意，函数零点个数均有限”的充要条件是“在上是严格增函数”. 【答案】（1）； （2）； （3） （充分性）若是严格增函数， 则的最小值为，而， 故对任意，都有，即与是相同函数． 故是严格增函数，所以严格增函数，故对任意的零点个数有限． （必要性）对任意，都有，故的值域为， 即在上的最小值为． 先证是严格增函数． 对任意，函数和的最小值分别为和， 则由最小值的定义，，故函数是增函数． 假设存在，使得，则对任意，均有， 从而方程的解有无限多个，与条件＂对任意，函数零点个数均有限＂矛盾． 故假设不成立，从而是严格增函数． 再证对任意，函数的最小值为． 假设存在使得，取，则的最小值为． 由于严格增，知．而，故，矛盾． 所以假设不成立，对任意，函数的最小值为． 另证：再证对任意，函数的最小值为． ．假设，则由在上的最小值为， 存在使得，故在上的最小值为． 取，则在上的最小值为， 故．但由为严格增函数，知，矛盾． 所以假设不成立，所以． 即对任意，函数的最小值为． 而对任意的值域为，故． 于是与是相同函数，所以是严格增函数． 【解析】 【分析】（1），分析出其在上的值域即可； （2）利用导数求得当时取得极小值，再分和讨论即可； （3）充分性利用函数单调性即可证明，必要性先证明是严格增函数．再利用反证法证明即可. 【小问1详解】 记， 函数上的值域为，即． 【小问2详解】 设在上的最小值． . 当时，严格增；当时，严格减； 当时，严格增．当时取得极小值． 当时，舍去． 当时，． 综上，． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年奉贤区高三年级第二学期第三次学科质检 数学学科试卷 （时间120分钟，满分150分） 学生注意： 1．本试卷包括试题纸和答题纸两部分． 2．在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3．可使用符合规定的计算器答题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知全集为，集合，则______． 2. 不等式的解集为_____________． 3. 椭圆的离心率为___________． 4. 已知函数则=________. 5. 已知、为常数，函数为奇函数，则___________． 6. 的二项展开式中，项的系数为________. 7. 在一个不透明的盒中装着标有数字1，2，3，4的大小与质地都相同的小球各2个，现从该盒中一次取出2个球，设事件为“取出2个球的数字之和大于5”，事件为“取出的2个球中最小数字是2”，则____________. 8. 若一个圆锥的高为，侧面积为，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为____________. 9. 设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是____________. 10. 已知个小球的编号为、、、，从中有放回地摸取小球三次，并依次记录其编号，若这三个编号成等差数列，则共有______种不同的摸取方法. 11. 1798年，人口学家马尔萨斯假设：单位时间内的人口增长量与人口数成正比，进而建立马尔萨斯人口增长模型.19世纪中叶的生物学家们发现，由于人类生存条件的限制，存在人口最大瞬时增长率，当达到时，人口增长率会随着的增长而下降，因此需要改进马尔萨斯的假设．他们假设：①是随着时间连续变化的函数；②存在最大人口数，人口数达到时，；③仅与和有关；④，那么在这些条件下建立的人口增长模型___________．（用含有、、的式子表示） 12. 记为有限集合中的元素个数.设，能被整除}，若对于任意实数和任意正整数，恒有，则实数的取值范围是______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. “”是“一元二次不等式的解集为R”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. “”的一个必要非充分条件是（ ） A. B. C. D. 15. 设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（ ） A. B. C. D. 16. 在空间中，点、均为定点，且．设集合，则以下说法正确的是（ ）． ①若在上的数量投影为，则线段在运动过程中所形成的几何体体积为； ②对于任意的以及任意的正实数，设，若，则． A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤． 17. 已知向量、，记． （1）求函数的最小正周期； （2）若函数（其中常数）为奇函数，求的值． 18. 如图，在四面体中，是边长为的正三角形，且. （1）证明：； （2）若是的中点，且二面角的大小为，求与平面所成角的大小. 19. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 （1）根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； （2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析.记抽取的3件中合格的件数为X，求 X的分布列和期望； （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y， 求使事件“”的概率最大时k的取值.参考公式及数据： 其中. 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20. 设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标； （3）若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明. 21. 对于定义在上的函数和，，设. （1）若，，求； （2）若，，，求实数的取值范围； （3）已知对任意，均有，记，求证：“对任意，函数零点个数均有限”的充要条件是“在上是严格增函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $