第11课 角 期末总复习讲义 2025-2026学年人教版七年级数学上册

该初中数学讲义以“角”为核心，按“概念-运算-性质-应用”逻辑主线构建知识体系，通过表格对比角的四种表示方法，思维导图梳理余角补角性质及导角模型（单角平分线、双角平分线求和/求差型），清晰呈现方向角、钟面角等重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层例题设计，基础题如度分秒换算（例4）培养运算能力，中档题如方向角应用（例3）发展几何直观，综合题如动态旋转与角平分线分类讨论（例13）渗透推理意识。课后练习匹配题型，教师可精准分层教学，学生自主复习时有方法指导，提升复习效率。

七年级数学期末总复习讲义 第11课 角知识点梳理 知识点01——角的概念 知识点02——角的比较和运算 知识点03——余角和补角 知识点04——角的平分线与导角模型 知识点01 角的概念 1.角的概念 （1）定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. 角也可以看作一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. （2）角的表示方法： 用三个大写字母表示： 如 ∠AＣB（顶点字母必须在中间）; 用一个大写字母表示： 如 ∠Ｃ（当顶点处只有一个角时）; 用一个数字表示： 如 ∠1（在角内部靠近顶点处标上数字）; 用一个希腊字母表示： 如 ∠α（在角内部靠近顶点处标上希腊字母）. （3）平角、周角、直角及特殊角的画法 一条射线OA（始边）绕着它的端点O旋转到终点位置OB（终边）. ①平角： 当OA与OB呈一条直线时，所成的角叫平角； ②周角：当OA与OB重合时，所成的角叫周角； ③直角：当OA与OB所成的角是平角的一半时，所成的角叫直角. 2.角的度量 1周角=360o ,1平角=180o ,1直角=90o， 1°=60′ 1′=60″ 3.方向角 方向角（或称方位角）通常以正北或正南方向为基准，用北偏东、北偏西、南偏东、南偏西等来描述方向. 例如：“北偏东30°”表示以正北方向为起始边，向东旋转30°. 注意： ①表述顺序固定：“北”或“南”在前，“东”或“西”在后. ②偏转角度不超过90°. 4.钟面角 钟面角是指在时钟上，时针与分针之间形成的角度.时钟的表面是一个圆形，完整的一圈为360度. 每小时，时针转动30度(),而分针每分钟转动6度() 例题讲解 题型1:角的概念 例1（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（   ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何图形初步中“角”的相关知识，解题的关键在于准确理解图形中每个角的定义和范围，根据知识点，结合图形，对每个选项进行逐一分析． 【详解】选项A、不可以用表示，当点为顶点的角不止一个时，这种表示会引起歧义，A选项错误，不符合题意； 选项B、从图中可直观看出，射线更靠近射线，因此明显小于，B选项错误，不符合题意； 选项C、根据角的表示法，与都指的是由射线和组成的同一个角，C选项正确，符合题意； 选项D、根据图形，，D选项错误，不符合题意； 故选C． 题型2：用三角板画特殊角 例2（225-26七年级上·全国·课后作业）借助一副三角尺画出的角． 【答案】见解析 【分析】根据三角尺的度数，利用和差关系解答即可作出． 【详解】解：如图所示，45°-30°=15°， 45°+60°=105°， 90°+30°=120°， 90°+45°=135°． 【点睛】本题考查了复杂作图，主要利用了角度的和差关系，根据三角尺的度数求出所求度数的和差关系是解题的关键． 题型3：方位角 例3（25-26八年级上·山西运城·期中）如图是学校、小敏家、小凯家的位置示意图，下列表述正确的是（    ） A．小敏家在学校北偏东的方向，距离处 B．小凯家在学校北偏东的方向，距离处 C．学校在小凯家南偏西的方向，距离处 D．学校在小敏家南偏西的方向，距离处 【分析】本题考查了方向角，在观测物体时，地球南北方向与观测者观测物体视线的夹角叫做方向角．根据方向角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A． 小敏家在学校北偏东的方向，距离处，故该选项不正确，不符合题意； B． 小凯家在学校北偏东的方向，距离处，故该选项不正确，不符合题意； C． 学校在小凯家南偏西的方向，距离处，故该选项不正确，不符合题意； D． 学校在小敏家南偏西的方向，距离处，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 题型4：角的度量 例4（25-26七年级上·河南濮阳·期中）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的换算规则是解题的关键．将进行换算，即可得到答案． 【详解】解：，，， ， 故选：D． 题型5：钟面角 例5（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，时钟的时针从今天上午的8时转动到今天上午10时，时针旋转的旋转角为 °． 【答案】60 【分析】本题主要考查了钟面角，解决本题的关键是得到时针旋转的旋转角的计算方法． 因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，找出时针转动的大格数，用大格数乘即可． 【详解】解：∵时针从上午的8时到10时共旋转了2个格，每相邻两个格之间的夹角是， ∴时针旋转的旋转角． 故答案为：60． 课后练习 1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）下列说法中：（1）角的两边越长，角就越大；（2）与表示同一个角；（3）在角一边的延长线上取一点D；（4）角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．错误的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，其中小于的角共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）已知，，，则相等的两个角是（   ） A． B． C． D．无法确定 4．（25-26七年级上·山东济南·期中）当时钟指针指向3点40分时，分针与时针的夹角是（    ）度． A．120 B．130 C．140 D．150 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各角是锐角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 6．（25-26七年级上·北京·月考）用一个能放大100倍的放大镜看一个的角，这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，某海域有三个小岛A、B、O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）小明早上7：00去上学，上学时时针和分针的夹角（小于平角的角）是 ． 9．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）比较大小： 填“>”“<”或“=” 10．（21-22七年级上·全国·课后作业）借助一副三角尺画出15°角和105°角． 知识点02 角的比较和运算 1.角的大小比较 ①度量法：用量角器量出角的度数，然后比较大小. ②叠合法：将两个角的顶点及一边重合，另一边放在重合边的同侧，观察另一边的位置. 2.角的和与差 图1图2 如图1，∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作 ∠AOC = ∠AOB+∠BOC 如图1，∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作 ∠AOB =∠AOC-∠BOC 3. 角的倍、分 可以通过多次作相等的角实现角的倍数，或通过等分角得到实现角的几分之一. 如图2,若∠AOB=∠BOC=∠COD,则∠AOD=3∠AOB.∠AOB=∠AOC 4.度分秒的四则运算 在进行度分秒的加减法运算时，需要分别将度、分和秒相加减，如果某一位满60需进位.当某一位不够减时，需要从高一位借1(即60).如： 乘除法运算通常也需要注意将度分秒转换为十进制数进行计算. 例题讲解 题型1：角的和差及度分秒的计算 例6（2025七年级上·全国·专题练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的转换及运算，进行角度的加减运算时，同单位相加减，即度与度相加减、分与分相加减、秒与秒相加减． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型2：角的比较和运算 例7（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角板中的角度运算、角的大小比较，正确根据图形进行角的运算与比较是解题的关键． 【详解】解：A、与的大小关系不确定，故此结论不一定成立，不符合题意； B、的值不固定，故此结论不一定成立，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， 即，故此结论一定成立，符合题意； D、∵， ∴， 即，故此结论不成立，不符合题意； 故选：C． 题型3：方位角及角的运算 例8（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，甲从处出发沿北偏东向走向处，乙从处出发沿南偏西方向走到处，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查方向角的计算，角的和差关系．如图，利用进行计算即可． 【详解】解：如图，由题意知，，， ， 故答案为：． 题型4：角的倍分 例9（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握角度间的关系，数形结合．设，结合已知可求，，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：设，则， ， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 题型5：角的倍分与运算 例10（24-25七年级上·江西上饶·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）是的一条三分线，且，即可得，从而求得的度数； （2）已知是的两条三分线，根据三等分线的定义即可得的度数． 本题考查了与角n等分线的有关计算，以及几何图形的角度的计算，通过几何图形得到角度的和差，从而解决问题，同时也考查了根据题目获取信息，用所获取的信息解题的能力． 【详解】（1）解：∵是的一条三分线，且 ∴ （2）解：∵，，是的两条三分线， ∴ ∴． 课后练习 1．（24-25七年级上·甘肃张掖·月考）如图，点为内部一点，连接，关于角的描述错误的是（   ） A．与表示同一个角 B． C．表示 D．小于 2.（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，学校（记作）在蕾蕾家（记作）南偏西的方向上，且与蕾蕾家的距离是，若，且，则超市（记作）在蕾蕾家的（   ） A．南偏东的方向上，相距 B．南偏东的方向上，相距 C．北偏东的方向上，相距 D．北偏东的方向上，相距 3．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图所示，，，则的度数是 ． 4.（2025七年级上·全国·专题练习）计算：① ；② ． 5．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，每个小方格的边长都相等，以为角的一边，画一个角等于． (1)你认为角的另一边是，，，的哪一条？ (2)，，，这些角相等吗？如果不相等，请你按从大到小的顺序将它们排列． 6．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图， 和都是直角． (1)如果， 那么的度数是多少? (2)找出图中相等的角．如果， 它们还会相等吗? 7．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知：如图1，，． (1)求的度数； (2)如图2，若射线在内部，作平分，平分，的度数是多少？ (3)如图3，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当，试求的值． 8．（22-23七年级上·海南省直辖县级单位·期末）（1）为了预防新冠病毒，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）如图所示，点O是直线上一点，，射线是的三等分线，求的度数． 9．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）（分类讨论思想）射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同理，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2， ，若射线是射线的伴随线，则 ； (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，射线与射线同时开始转动，当射线与射线重合时，运动停止（设运动时间为）． ①当t的值为 时， 的度数是 ； ②当t的值为 时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线． 10．（24-25七年级下·北京·期末）如图， 点O在直线 上，， 射线在内部， 且． (1)如图1， 若是的平分线， 求的度数；下面是小张同学的解答过程，请帮小张补充完整答案 解：如图1， ∵是的平分线， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴ ． (2)如图2，小张发现当不是的平分线时，与的数量关系仍然保持不变，请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由． 11．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，点O在直线上，射线在直线的上方，平分，，已知，求的度数． 知识点03 余角和补角 1.余角和补角的定义 互余： 如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称互余.其中一个角是另一个角的余角. 几何语言： ∵ ∠1 + ∠2 = 90°，∴ ∠1 与 ∠2 互余. 互补： 如果 两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，简称互补.其中一个角是另一个角的补角. 几何语言： ∵ ∠α+∠β=180°，∴ ∠α 与 ∠β 互补. 注意： 2. 余角和补角的性质 同角（等角）的余角相等. 同角（等角）的补角相等. 例题讲解 题型1求一个角的余角或补角（用方程思想） 例11（24-25七年级上·四川泸州·期末）一个角的补角是它的4倍，则这个角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了补角的定义，解题关键是熟练掌握补角的定义．设这个角为，再根据题意列出关于x的方程，解方程求出x即可． 【详解】解：设这个角为，则它的补角为， 由题意得：， ， ， ∴这个角的度数是， 故选：C． 题型2余角或补角的性质 例12（25-26七年级上·吉林长春·期末）将两块三角板（）的直角顶点O重合如图放置在桌面上，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（请将正确的结论序号填在横线上） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了与余角、补角有关的角度计算，正确运用角的和差计算是解题的关键． 根据角的和差关系，逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵不一定是的角平分线， ∴不一定等于，故②错误； ∵与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①④． 故答案为：①④． 题型3分类讨论思想的运用 例13（24-25七年级上·吉林·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则_____． (2)如图2，若，，平分，求． (3)如图3，若与互余，也与互余，请在图3中画出符合条件的射线加以计算后，直接写出的度数（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了角的有关计算，涉及了角平分线、余角的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，理解题意，找到角的和差关系进行求解； （1）根据角的和差关系，即可求解； （2）根据角的和差关系以及角平分线的定义，求解即可； （3）分两种情况，当在的上方时和当在的下方时，利用余角以及角的和差关系，求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：； （2）解：，， ， 平分， ， ； （3）解：①当在的上方时，如图， 与互余，也与互余， ，， ， ②当在的下方时，如图， 与互余，也与互余， ，， ， 综上所述，的度数为：或． ， （秒）； ③当是、构成夹角的平分线， ， 绕旋转了， （秒）； 综上所述：的值为秒或秒或秒． 课后练习 1．（25-26七年级上·辽宁·期末）如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河北唐山·期中）下列关于的结论中，正确的有（　　） ①若，则的余角数为； ②若，则的补角度数为； ③若与互余，与互补，则． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 3．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）若的余角是，则的大小是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知与互为余角，与互为补角，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中和互为余角的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·吉林·期末）一个锐角的三分之一与这个角的余角及这个角的补角的和等于平角，则这个角的为多少度？ 7．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，与互为余角，且． (1)求； (2)若，平分，求． 8．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图①，点是直线上一点，在直线上方作射线，使，将一直角三角板（其中）的直角顶点放在点处，使得一条直角边在射线上．另一边在直线的上方，将直角三角板绕着点以/秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，的度数为_______，的度数为_______； (2)当直角三角板旋转到图②的位置时．恰好平分，试猜想此时与之间的数量关系，并说明理由； (3)在旋转过程中．是否存在某个时刻，使得射线、、中的某一条射线是另外两条射线所夹角的平分线？若存在．请求出的值；若不存在，请说明理由． 9．（24-25六年级下·山东泰安·期中）在数学综合实践课上，小明将一副直角三角板的直角顶点重合放在一起，如图1．          (1)，则_____． (2)写出图1中相等的角； (3)若变大，如何变化，说明原因； (4)小明受此启发，认为用一副三角板就可以画一个角等于已知角，请你在图2中利用直角三角尺画一个与相等的角． 10．（24-25七年级下·广东佛山·期末）（1）如图，在长方形中，点在边上，点在边上，沿着将四边形对折，点落在点处，点落在点处若与的差的绝对值为，求的度数． （2）如图，点为长方形的边上一点，点，点分别是射线，射线上一点，连接，，沿着，分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处． ①如图，当点，，三点共线时，与的差的绝对值为，求的度数； ②当点，，三点不共线时，与的差的绝对值为，，且，求的度数． 知识点04 角的平分线和导角模型 1. 角的平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线. ∵ OB是∠AOC的平分线， ∴ ∠AOB = ∠BOC = ∠AOC，或 ∠AOC = 2∠AOB = 2∠BOC. 2. 导角模型 单角平分线 双角平分线求和型 双角平分线求差型 普通型 垂直型 普通型 垂直型 OB平分∠AOC ∠AOB = ∠BOC = ∠AOC OE平分∠AOC， OF平分∠BOC， ∠EOF =∠AOC OE平分∠AOC,OF平分∠BOC，A,O,C三点共线 ∠EOF =∠AOC=90o OE平分∠AOC， OF平分∠BOC， ∠EOF =∠AOC OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∠AOC=90o ∠EOF =∠AOC=45o 联系 两半角的和等于原角和的一半，两半角的差等于原角差的一半 例题讲解 题型1：一条角平分线 例14．已知O为直线上的一点，，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是 ；若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)北偏东；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1），得，，进而得，由此可得出答案；先求出，再根据角平分线定义得，再根据即可得出的度数； （2）设，则，，再根据角平分线定义得，进而得，由此可得出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东， 故答案为：北偏东； ∵，， ∴， ∵射线恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：与之间的数量关系是：， 理由如下： 设， ∵， ∴， ∴，， ∵射线仍然平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型2：两条角平分线 例15内部任意画一条射线，平分，平分．根据图形填空： (1)______； (2)____________； (3)______+____________； (4)若，则______． 【答案】(1) (2)， (3)，， (4) 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，掌握角的和差计算，角平分线的定义是解题的关键． （1）由角的和差计算即可得出答案； （2）根据题意，由角平分线的定义解答即可； （3）由角平分线的定义可得：，，根据进而得出答案； （4）由（3）得出与的关系解答即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：∵平分， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∴ ． 故答案为：； （4）解：由（3）可知，， 若， 则． 故答案为：． 题型3：分类讨论思想的运用 例16如图，钟表上显示的时间是时分． (1)时针与分针的夹角为 ． (2)设时针与分针的交点为，时针为，分针为，过点引一条射线，且平分，平分． ①若在内部，且，则 ． ②若在外部，且，则的度数为多少？ 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了钟表角度的计算和角平分线的定义，首先需要计算时针与分针的夹角，其次根据角平分线的定义，计算不同情况下的度数． （1）根据时针每小时转过的角度计算即可得； （2）①当射线在内部时，由平分可知，，由平分可知，，即可得； ②分为两种情况分析： （i）如图2所示，当射线在的外部，且时，，根据角平分线的定义可得， ，，最后由即可得的度数； （ii）如图3所示，当射线在的外部，且时，，根据角平分线的定义可得， ，，最后由即可得的度数． 【详解】（1）时针每小时转过的角度为， 时针与分针的夹角为． （2）①如图1所示，当射线在内部时 平分，平分， ，， ； ②分两种情况： （i）如图2所示，当射线在的外部，且时， ，， ， 平分， ， 平分， ， ； （ii）如图3所示，当射线在的外部，且时， ，， ， 平分， ， 平分， ， ， 综上所述，的度数为或．      课后练习 1．如图，，，是的平分线，则的度数为 ° 2．如图，已知直线是直线上一点．是的平分线，是的平分线， 3．如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 4．已知，是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，，求的度数； (2)在图①，，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究与的度数之间的关系． 5．综合探究 如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线l上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且，，． (1)如图， ； (2)如图，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由； (3)如图，把三角板绕点旋转，使得落在内部， 当时，则 ； 当时，则 ； 设，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 6．已知，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将绕点O按顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)继续将绕点O按顺时针方向旋转到如图3所示的位置，若，求的度数（用含的代数式表示）． 7．阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图①，，平分．若，请你补全图形，并求的度数． 以下是小明的解答过程： 解：如图②，因为平分，， 所以____________． 因为， 所以______． 小静说：“我觉得这道题有两种情况，小明考虑的是在外部的情况，事实上，还可能在的内部．” 请完成以下问题： (1)请你将小明的解答过程补充完整； (2)根据小静的想法，请你在图③中画出另一种情况对应的图形，并直接写出此时的度数为______． (3)小静所说的：“我觉得这道题有两种情况…”该思考方法所体现出来的数学思想是______（填字母序号）． A．分类思想 B．整体思想 C．数形结合思想 8．综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段 在线段上运动，E，F 分别是 ，的中点． 【知识探究】 （1）若，则 ； （2）当线段在线段上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请 求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和， ①若，则 ． ②试判断的大小是否发生变化？如果不变，请确定的大小，如果变化，请说明理由． 9．如图，已知直线，相交于点，平分，平分，． (1)试说明：； (2)求的度数． 10．数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 老师将三角尺如图1放置，三角板和三角板均可以绕点顺时针旋转且、与直线重合． (1)求的度数． (2)第一小组将三角板绕点旋转到如图2所在位置，此时恰好为直角，第二小组在他们旋转得到图形的基础上又加上两条角平分线，即平分，平分，让第一小组求的度数，请你帮忙解答； (3)第三小组玩嗨了，把三角板和从（2）题中位置处开始绕点顺时针旋转，转速分别为秒和秒，如图3，请问三角板边经过多少秒与三角板边首次重合?在三角板的边与三角板边首次重合前，与的比值是否发生变化?若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学期末总复习讲义 第11课 角 知识点梳理 知识点01——角的概念 知识点02——角的比较和运算 知识点03——余角和补角 知识点04——角的平分线与导角模型 知识点01 角的概念 1.角的概念 （1）定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. 角也可以看作一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. （2）角的表示方法： 用三个大写字母表示： 如 ∠AＣB（顶点字母必须在中间）; 用一个大写字母表示： 如 ∠Ｃ（当顶点处只有一个角时）; 用一个数字表示： 如 ∠1（在角内部靠近顶点处标上数字）; 用一个希腊字母表示： 如 ∠α（在角内部靠近顶点处标上希腊字母）. （3）平角、周角、直角及特殊角的画法 一条射线OA（始边）绕着它的端点O旋转到终点位置OB（终边）. ①平角： 当OA与OB呈一条直线时，所成的角叫平角； ②周角：当OA与OB重合时，所成的角叫周角； ③直角：当OA与OB所成的角是平角的一半时，所成的角叫直角. 2.角的度量 1周角=360o ,1平角=180o ,1直角=90o， 1°=60′ 1′=60″ 3.方向角 方向角（或称方位角）通常以正北或正南方向为基准，用北偏东、北偏西、南偏东、南偏西等来描述方向. 例如：“北偏东30°”表示以正北方向为起始边，向东旋转30°. 注意： ①表述顺序固定：“北”或“南”在前，“东”或“西”在后. ②偏转角度不超过90°. 4.钟面角 钟面角是指在时钟上，时针与分针之间形成的角度.时钟的表面是一个圆形，完整的一圈为360度. 每小时，时针转动30度(),而分针每分钟转动6度() 例题讲解 题型1:角的概念 例1（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（   ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何图形初步中“角”的相关知识，解题的关键在于准确理解图形中每个角的定义和范围，根据知识点，结合图形，对每个选项进行逐一分析． 【详解】选项A、不可以用表示，当点为顶点的角不止一个时，这种表示会引起歧义，A选项错误，不符合题意； 选项B、从图中可直观看出，射线更靠近射线，因此明显小于，B选项错误，不符合题意； 选项C、根据角的表示法，与都指的是由射线和组成的同一个角，C选项正确，符合题意； 选项D、根据图形，，D选项错误，不符合题意； 故选C． 题型2：用三角板画特殊角 例2（225-26七年级上·全国·课后作业）借助一副三角尺画出的角． 【答案】见解析 【分析】根据三角尺的度数，利用和差关系解答即可作出． 【详解】解：如图所示，45°-30°=15°， 45°+60°=105°， 90°+30°=120°， 90°+45°=135°． 【点睛】本题考查了复杂作图，主要利用了角度的和差关系，根据三角尺的度数求出所求度数的和差关系是解题的关键． 题型3：方位角 例3（25-26八年级上·山西运城·期中）如图是学校、小敏家、小凯家的位置示意图，下列表述正确的是（    ） A．小敏家在学校北偏东的方向，距离处 B．小凯家在学校北偏东的方向，距离处 C．学校在小凯家南偏西的方向，距离处 D．学校在小敏家南偏西的方向，距离处 【分析】本题考查了方向角，在观测物体时，地球南北方向与观测者观测物体视线的夹角叫做方向角．根据方向角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A． 小敏家在学校北偏东的方向，距离处，故该选项不正确，不符合题意； B． 小凯家在学校北偏东的方向，距离处，故该选项不正确，不符合题意； C． 学校在小凯家南偏西的方向，距离处，故该选项不正确，不符合题意； D． 学校在小敏家南偏西的方向，距离处，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 题型4：角的度量 例4（25-26七年级上·河南濮阳·期中）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的换算规则是解题的关键．将进行换算，即可得到答案． 【详解】解：，，， ， 故选：D． 题型5：钟面角 例5（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，时钟的时针从今天上午的8时转动到今天上午10时，时针旋转的旋转角为 °． 【答案】60 【分析】本题主要考查了钟面角，解决本题的关键是得到时针旋转的旋转角的计算方法． 因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，找出时针转动的大格数，用大格数乘即可． 【详解】解：∵时针从上午的8时到10时共旋转了2个格，每相邻两个格之间的夹角是， ∴时针旋转的旋转角． 故答案为：60． 课后练习 1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）下列说法中：（1）角的两边越长，角就越大；（2）与表示同一个角；（3）在角一边的延长线上取一点D；（4）角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．错误的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由共一个端点的两条射线组成的图形叫做角，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，角的大小与角的两边张开的程度有关；根据角的概念、表示及大小逐一进行判断即可． 【详解】（1）角的大小与角的两边张开的程度有关，与角的两边长短无关，故说法错误； （2）与表示同一个角，此说法正确； （3）角的两边是两条射线，射线是向一端无限延伸的，故此说法错误； （4）此说法正确； 所以错误的有2个 故选：B． 【点睛】本题考查了角的概念、角的大小、角的表示等知识，掌握这些知识是关键． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，其中小于的角共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了角的识别，熟练掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫做角是解答本题的关键． 的角即为平角，要找小于的角，即是找小于平角的角观察图形，分别找出以O为顶点的角有哪些，就可找出所有的角． 【详解】解：小于的角有， ∴有5个， 故选：C． 3．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）已知，，，则相等的两个角是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】此题考查了角度间的换算，根据角度间的换算即可，解题的关键熟练掌握度、分、秒之间是进制，将高级单位化为低级单位时，乘以，反之，将低级单位转化为高级单位时除以．把化为用度表示的角度即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 4．（25-26七年级上·山东济南·期中）当时钟指针指向3点40分时，分针与时针的夹角是（    ）度． A．120 B．130 C．140 D．150 【答案】B 【分析】本题主要考查了钟面角、绝对值、角的和差等知识点，确定时针和分针在3点40分时的角度位置是解题的关键． 先确定时针和分针在3点40分时的角度位置，求其差值的绝对值，并取小于180度的角即可解答． 【详解】解：∵ 时针每分钟移动度，分针每分钟移动6度， ∴ 在3点40分时，时针角度度，分针角度度． ∴ 两针夹角度． 故选B． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各角是锐角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【答案】D 【分析】本题需要先明确周角、平角、直角的度数，然后分别计算每个选项所对应的角的度数，再根据锐角的定义来判断哪个选项是锐角． 【详解】周角的度数是，平角的度数是，直角的度数是； A、周角的度数为，是直角，不是锐角； B、平角的度数为，是钝角，不是锐角； C、平角的度数为，是直角，不是锐角； D、直角的度数为，大于且小于，是锐角． 故选：D． 【点睛】本题考查了角的分类以及周角、平角、直角的度数，掌握周角、平角、直角的度数，计算出各选项角的度数，再根据锐角定义判断是解题的关键． 6．（25-26七年级上·北京·月考）用一个能放大100倍的放大镜看一个的角，这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的性质，熟练掌握角的性质是解题的关键．根据角的大小与角的两边的长短粗细无关，是定值，度数不变，解答即可． 【详解】解：角的大小与角的两边的长短粗细无关，是定值，度数不变，因此用一个能放大100倍的放大镜看一个的角，这个角的度数仍然是． 故选：A． 7．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，某海域有三个小岛A、B、O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与方向角有关的计算题，明确方向角中角之间的关系，以及角的和差计算是解题的关键． 根据已知条件可直接确定的度数． 【详解】解：表示北偏东方向的一条射线，表示南偏东方向的一条射线， ． 故选：D． 8．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）小明早上7：00去上学，上学时时针和分针的夹角（小于平角的角）是 ． 【答案】/度 【分析】钟表在7点时，分针正好指着数字“12”，时针指在数字“7”，此时时针和分针所形成的较小的角占5个大格，根据钟表每个大格的度数计算即可得． 题目主要考查钟面角度的计算，理解题意，熟练掌握运用钟面角度的特性是解题关键． 【详解】解：钟表7：00分时，分针正好指着数字“12”，时针指在数字“7”，此时时针和分针所形成的较小的角占5个大格； ∵钟面上有12个大格， ∴每个大格的度数为：， ∴， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）比较大小： 填“>”“<”或“=” 【答案】> 【分析】本题主要考查角度制换算和角的大小比较，通过将角度统一单位为度后比较大小. 【详解】∵ = = ， 又∵ ， ∴ ． 10．（21-22七年级上·全国·课后作业）借助一副三角尺画出15°角和105°角． 【答案】画图见解析 【分析】由 再利用三角板画即可. 【详解】解：如图，画出15°角和105°角如下： 【点睛】本题考查的是角的和差运算，掌握“利用三角板画特殊角的方法”是解本题的关键. 知识点02 角的比较和运算 1.角的大小比较 ①度量法：用量角器量出角的度数，然后比较大小. ②叠合法：将两个角的顶点及一边重合，另一边放在重合边的同侧，观察另一边的位置. 2.角的和与差 图1图2 如图1，∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作 ∠AOC = ∠AOB+∠BOC 如图1，∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作 ∠AOB =∠AOC-∠BOC 3. 角的倍、分 可以通过多次作相等的角实现角的倍数，或通过等分角得到实现角的几分之一. 如图2,若∠AOB=∠BOC=∠COD,则∠AOD=3∠AOB.∠AOB=∠AOC 4. 度分秒的四则运算 在进行度分秒的加减法运算时，需要分别将度、分和秒相加减，如果某一位满60需进位.当某一位不够减时，需要从高一位借1(即60).如： 45°30′+15°45′=60°75′=61°15′ 45°20'15”-10°30'45”=34°49'30”(注意借位) 乘除法运算通常也需要注意将度分秒转换为十进制数进行计算. 例题讲解 题型1：角的和差及度分秒的计算 例6（2025七年级上·全国·专题练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的转换及运算，进行角度的加减运算时，同单位相加减，即度与度相加减、分与分相加减、秒与秒相加减． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型2：角的比较和运算 例7（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角板中的角度运算、角的大小比较，正确根据图形进行角的运算与比较是解题的关键． 【详解】解：A、与的大小关系不确定，故此结论不一定成立，不符合题意； B、的值不固定，故此结论不一定成立，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， 即，故此结论一定成立，符合题意； D、∵， ∴， 即，故此结论不成立，不符合题意； 故选：C． 题型3：方位角及角的运算 例8（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，甲从处出发沿北偏东向走向处，乙从处出发沿南偏西方向走到处，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查方向角的计算，角的和差关系．如图，利用进行计算即可． 【详解】解：如图，由题意知，，， ， 故答案为：． 题型4：角的倍分 例9（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握角度间的关系，数形结合．设，结合已知可求，，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：设，则， ， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 题型5：角的倍分与运算 例10（24-25七年级上·江西上饶·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）是的一条三分线，且，即可得，从而求得的度数； （2）已知是的两条三分线，根据三等分线的定义即可得的度数． 本题考查了与角n等分线的有关计算，以及几何图形的角度的计算，通过几何图形得到角度的和差，从而解决问题，同时也考查了根据题目获取信息，用所获取的信息解题的能力． 【详解】（1）解：∵是的一条三分线，且 ∴ （2）解：∵，，是的两条三分线， ∴ ∴． 课后练习 1．（24-25七年级上·甘肃张掖·月考）如图，点为内部一点，连接，关于角的描述错误的是（   ） A．与表示同一个角 B． C．表示 D．小于 【答案】D 【分析】本题考查角的概念，结合图形并根据角的概念即可求出答案．解题的关键是正确理解角的表示方法． 【详解】解：A．与表示同一个角，故此选项不符合题意； B．如图，，故此选项不符合题意； C．表示，故此选项不符合题意； D．如图，，则大于，故此选项符合题意． 故选：D． 6．（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，学校（记作）在蕾蕾家（记作）南偏西的方向上，且与蕾蕾家的距离是，若，且，则超市（记作）在蕾蕾家的（   ） A．南偏东的方向上，相距 B．南偏东的方向上，相距 C．北偏东的方向上，相距 D．北偏东的方向上，相距 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握方向角定义；根据方向角的定义可求，即可得解． 【详解】解：如图： 由题意知， 所以， 所以超市（记作）在蕾蕾家的南偏东的方向上，相距， 故选：． 3．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图所示，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查角的和差计算，根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 4.（2025七年级上·全国·专题练习）计算：① ；② ． 【答案】 【分析】将度与度、分与分分别相加，再处理分满60进1度的情况； 先将度除以除数，再将余下的度转化为分继续除． 本题主要考查了度分秒的换算与运算，熟练掌握度分秒之间的进制（，）是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． ， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，每个小方格的边长都相等，以为角的一边，画一个角等于． (1)你认为角的另一边是，，，的哪一条？ (2)，，，这些角相等吗？如果不相等，请你按从大到小的顺序将它们排列． 【答案】(1)另一边是 (2)这些角不相等， 【分析】本题考查了角的比较和运算，解答本题的关键是掌握角的有关知识． （1）根据正方形的对角线是，进行解答； （2）由图可知角的两边张口越小，角的大小就越小，由此解答． 【详解】（1）解：因为正方形的对角线是， 所以另一边是； （2）由图可知：角的两边张口越小，角的大小就越小， 则，，，这些角不相等， 按从大到小的顺序排列为：． 6．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图， 和都是直角． (1)如果， 那么的度数是多少? (2)找出图中相等的角．如果， 它们还会相等吗? 【答案】(1) (2)；还会相等 【分析】本题考查余角和补角，正确观察并分析图形，熟练掌握余角的定义是解答本题的关键． （1）根据，求出即可； （2）根据，，故． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：图（1）中相等的角：， 如果，它们还会相等， ，，，． 7．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知：如图1，，． (1)求的度数； (2)如图2，若射线在内部，作平分，平分，的度数是多少？ (3)如图3，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当，试求的值． 【答案】(1) (2) (3)5秒或10秒 【分析】本题考查了角的和差计算、角平分线的性质及旋转中的角度动态变化，解题的关键是利用角度关系建立等式，结合绝对值处理旋转中的位置关系．​ （1）通过 与 的差计算；​ （2）利用角平分线性质将 转化为 的一半；​ （3）表示 的旋转角度，列绝对值方程求解 t，验证范围． 【详解】（1）已知，．​ 因为点 B 在 内部，且 按逆时针排列，所以． （2） 平分，故； 平分，故． （3）射线旋转角度：度，射线 旋转角度：度． 初始时，t秒后： ． 令，则或， 解得或． 验证：OP 到达 OC 需 15 秒 （秒），和均在范围内． 8．（22-23七年级上·海南省直辖县级单位·期末）（1）为了预防新冠病毒，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）如图所示，点O是直线上一点，，射线是的三等分线，求的度数． 【答案】（1）购买甲种消毒液40瓶，购买乙种消毒液60瓶；（2） 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，几何图形中的角度计算： （1）设购买甲种消毒液x瓶，则购买乙种消毒液为瓶．根据题目中的等量关系列方程，解方程即可； （2）根据邻补角的定义计算出，根据三等分线的定义得出，则． 【详解】（1）解：设购买甲种消毒液x瓶，则购买乙种消毒液为瓶． 根据题意列方程如下：， 解方程得，则． 答：购买甲种消毒液40瓶，购买乙种消毒液60瓶． （2）解：因为， 所以， 因为射线是的三等分线， 所以， 所以． 9．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）（分类讨论思想）射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同理，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2， ，若射线是射线的伴随线，则 ； (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，射线与射线同时开始转动，当射线与射线重合时，运动停止（设运动时间为）． ①当t的值为 时， 的度数是 ； ②当t的值为 时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想． （1）根据伴随线定义即可求解； （2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可； ②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可． 【详解】（1）解：如图2，，射线是射线的伴随线， 则； （2）解：射线与重合时，， ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则， ； 若在相遇之后，则， ； 所以，综上所述，当或时，的度数是． ②相遇之前： （i）如图1，是的伴随线时， 则， 即， ； （ii）如图2，是的伴随线时， 则， 即， ． 相遇之后： （iii）如图3，是的伴随线时， 则， 即， ； （iv）如图4， 是的伴随线时，则， 即， ， 所以，综上所述，当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 10．（24-25七年级下·北京·期末）如图， 点O在直线 上，， 射线在内部， 且． (1)如图1， 若是的平分线， 求的度数；下面是小张同学的解答过程，请帮小张补充完整答案 解：如图1， ∵是的平分线， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴ ． (2)如图2，小张发现当不是的平分线时，与的数量关系仍然保持不变，请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的倍数关系，角的和差等知识点，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和角的和差． （1）利用角的平分线的定义求出的度数，再利用角的和差求出的度数，最后根据角的倍数关系以及角的和差即可求解； （2）假设，则，利用角的和差表示出相关的角，然后进行比较即可得出数量关系． 【详解】（1）解：如图1， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 故答案为：，，； （2）解：，理由如下： 假设，则，， ∴， 则． 11．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，点O在直线上，射线在直线的上方，平分，，已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，角平分线定义，邻补角性质，掌握角的和差计算，角平分线定义，邻补角性质是解题的关键． 设，根据邻补角性质可得，由角平分线定义可得：，即可得到，求出x的值，进而得出答案． 【详解】解：， 可设，则，， ， ， 又平分， ， ，即， ， 解得：， 知识点03 余角和补角 1.余角和补角的定义 互余： 如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称互余.其中一个角是另一个角的余角. 几何语言： ∵ ∠1 + ∠2 = 90°，∴ ∠1 与 ∠2 互余. 互补： 如果 两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，简称互补.其中一个角是另一个角的补角. 几何语言： ∵ ∠α+∠β=180°，∴ ∠α 与 ∠β 互补. 注意： 2. 余角和补角的性质 同角（等角）的余角相等. 同角（等角）的补角相等. 例题讲解 题型1求一个角的余角或补角（用方程思想） 例11（24-25七年级上·四川泸州·期末）一个角的补角是它的4倍，则这个角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了补角的定义，解题关键是熟练掌握补角的定义．设这个角为，再根据题意列出关于x的方程，解方程求出x即可． 【详解】解：设这个角为，则它的补角为， 由题意得：， ， ， ∴这个角的度数是， 故选：C． 题型2余角或补角的性质 例12（25-26七年级上·吉林长春·期末）将两块三角板（）的直角顶点O重合如图放置在桌面上，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（请将正确的结论序号填在横线上） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了与余角、补角有关的角度计算，正确运用角的和差计算是解题的关键． 根据角的和差关系，逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵不一定是的角平分线， ∴不一定等于，故②错误； ∵与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①④． 故答案为：①④． 题型3分类讨论思想的运用 例13（24-25七年级上·吉林·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则_____． (2)如图2，若，，平分，求． (3)如图3，若与互余，也与互余，请在图3中画出符合条件的射线加以计算后，直接写出的度数（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了角的有关计算，涉及了角平分线、余角的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，理解题意，找到角的和差关系进行求解； （1）根据角的和差关系，即可求解； （2）根据角的和差关系以及角平分线的定义，求解即可； （3）分两种情况，当在的上方时和当在的下方时，利用余角以及角的和差关系，求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：； （2）解：，， ， 平分， ， ； （3）解：①当在的上方时，如图， 与互余，也与互余， ，， ， ②当在的下方时，如图， 与互余，也与互余， ，， ， 综上所述，的度数为：或． ， （秒）； ③当是、构成夹角的平分线， ， 绕旋转了， （秒）； 综上所述：的值为秒或秒或秒． 课后练习 1．（25-26七年级上·辽宁·期末）如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度的和差计算，解题的关键是根据图形得出各个角度之间的和差关系． 根据，求出，进而根据平角的定义得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．（25-26七年级上·河北唐山·期中）下列关于的结论中，正确的有（　　） ①若，则的余角数为； ②若，则的补角度数为； ③若与互余，与互补，则． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查余角和补角的概念及计算．根据余角（和为）和补角（和为）的定义，直接计算或推导即可判断各结论的正确性． 【详解】①若∵，则的余角为，该选项不正确； ②若，则的补角为，正确； ③若与互余， ∴； ∵与互补， ∴； ∴，代入得：， ∴，正确． 故选：B． 3．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）若的余角是，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角的定义，根据互为余角的两个角的和为求解即可． 【详解】解：因为的余角是， 所以， 故选：B． 4．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知与互为余角，与互为补角，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题涉及余角和补角的概念；余角是指两个角的和为，补角是指两个角的和为，先根据与互补求出，再根据与互余求出． 【详解】解：∵与互补， ∴，即， ∵， ∴， ∵与互为余角， ∴， ∴． 故选：C． 5．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中和互为余角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对余角和补角的应用、三角板中角度的计算问题，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．根据图形和余角的定义，只需满足即可． 【详解】解：A、∵， ∴与互余，故本选项符合题意． B、由同角的余角相等可得：与相等，不互余，故本选项不合题意． C、由等角的补角相等可得：与相等，不互余，故本选项不合题意． D、和互补，故本选项不符合题意． 故选：A． 6．（24-25七年级上·吉林·期末）一个锐角的三分之一与这个角的余角及这个角的补角的和等于平角，则这个角的为多少度？ 【答案】 【分析】设这个角为，根据锐角的三分之一与余角和补角的和等于平角建立方程，解答即可． 本题考查了余角，补角，解方程，熟练掌握定义和解方程是解题的关键． 【详解】解：设这个角为，根据题意，得， 解得． 故这个角是． 7．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，与互为余角，且． (1)求； (2)若，平分，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得出，根据，得出，进而即可求解； （2）根据，得出，根据角平分线的定义得出． 【详解】（1）解： ∵与互为余角， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴． 【点睛】本题考查了余角补角相关的计算，角平分线的应用，几何图形中的角度计算，数形结合是解题的关键． 8．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图①，点是直线上一点，在直线上方作射线，使，将一直角三角板（其中）的直角顶点放在点处，使得一条直角边在射线上．另一边在直线的上方，将直角三角板绕着点以/秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，的度数为_______，的度数为_______； (2)当直角三角板旋转到图②的位置时．恰好平分，试猜想此时与之间的数量关系，并说明理由； (3)在旋转过程中．是否存在某个时刻，使得射线、、中的某一条射线是另外两条射线所夹角的平分线？若存在．请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见详解 (3)秒或秒或秒 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差、余角的性质等； （1）由角的和差得，，即可求解； （2）由角的和差及角平分线的定义得，，由余角的性质，即可求解； （3）分类讨论：①当是、构成夹角的平分线，②当是、构成夹角的平分线，③当是、构成夹角的平分线；结合角平分线的定义求出旋转的度数，即可求解； 掌握余角的性质，熟练利用角平分线的定义并结合角的和差进行求解，能根据旋转的位置不同进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； 故答案为：，； （2）解：； 理由如下： ， ， ， 恰好平分， ， ， ； （3）解：存在； 理由如下： ①当是、构成夹角的平分线， ， （秒）； ②当是、构成夹角的平分线， 9．（24-25六年级下·山东泰安·期中）在数学综合实践课上，小明将一副直角三角板的直角顶点重合放在一起，如图1．          (1)，则_____． (2)写出图1中相等的角； (3)若变大，如何变化，说明原因； (4)小明受此启发，认为用一副三角板就可以画一个角等于已知角，请你在图2中利用直角三角尺画一个与相等的角． 【答案】(1) (2)；； (3)变小，见解析 (4)，图形见解析 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，同角的余角相等，熟练掌握角度的和差关系是解题关键． （1）先求出的度数，根据即可求解； （2）根据题意得，再利用，即可求解； （3）根据即可求解； （4）根据同角的余角相等即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ． 故答案为:． （2）解：根据题意，可得：， ， ． 故答案为：；；． （3）解：由（1）得：， 若的度数变大，则的度数变小． （4）解：如图，，理由如下； ， ，， ． 10．（24-25七年级下·广东佛山·期末）（1）如图，在长方形中，点在边上，点在边上，沿着将四边形对折，点落在点处，点落在点处若与的差的绝对值为，求的度数． （2）如图，点为长方形的边上一点，点，点分别是射线，射线上一点，连接，，沿着，分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处． ①如图，当点，，三点共线时，与的差的绝对值为，求的度数； ②当点，，三点不共线时，与的差的绝对值为，，且，求的度数． 【答案】（1）或；（2）①或，②或 【分析】（1）当时，设，根据折叠的性质，得，当时，设，根据折叠的性质，得，根据平角的定义列式计算解答即可． （2）①当时，设，根据折叠的性质，得，根据题意，得，解答即可；当时，设，根据折叠的性质，得，根据题意，得，解答即可； ②当点，，三点不共线时，分，两种情况解答即可． 本题考查了折叠的性质，平角的定义，分类的思想，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）当时，设，根据折叠的性质，得， 根据题意，得， 解得； 当时，设，根据折叠的性质，得， 根据题意，得， 解得； 故的度数为或． （2）解：①当时，设，根据折叠的性质，得， 根据题意，得， 解得； 当时，设，根据折叠的性质，得， 根据题意，得， 解得； 故的度数为或． ②解：当点，，三点不共线时，与的差的绝对值为，， 故，设，根据折叠的性质，得， 根据题意，得， 解得； 故 当时，此时； 当时，根据题意，得， 解得 此时； 故的度数为或． 知识点04 角的平分线和导角模型 1. 角的平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线. ∵ OB是∠AOC的平分线， ∴ ∠AOB = ∠BOC = ∠AOC，或 ∠AOC = 2∠AOB = 2∠BOC. 2. 导角模型 单角平分线 双角平分线求和型 双角平分线求差型 普通型 垂直型 普通型 垂直型 OB平分∠AOC ∠AOB = ∠BOC = ∠AOC OE平分∠AOC， OF平分∠BOC， ∠EOF =∠AOC OE平分∠AOC,OF平分∠BOC，A,O,C三点共线 ∠EOF =∠AOC=90o OE平分∠AOC， OF平分∠BOC， ∠EOF =∠AOC OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∠AOC=90o ∠EOF =∠AOC=45o 联系 两半角的和等于原角和的一半，两半角的差等于原角差的一半 例题讲解 题型1：一条角平分线 例14．已知O为直线上的一点，，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是 ；若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)北偏东；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1），得，，进而得，由此可得出答案；先求出，再根据角平分线定义得，再根据即可得出的度数； （2）设，则，，再根据角平分线定义得，进而得，由此可得出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东， 故答案为：北偏东； ∵，， ∴， ∵射线恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：与之间的数量关系是：， 理由如下： 设， ∵， ∴， ∴，， ∵射线仍然平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型2：两条角平分线 例15内部任意画一条射线，平分，平分．根据图形填空： (1)______； (2)____________； (3)______+____________； (4)若，则______． 【答案】(1) (2)， (3)，， (4) 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，掌握角的和差计算，角平分线的定义是解题的关键． （1）由角的和差计算即可得出答案； （2）根据题意，由角平分线的定义解答即可； （3）由角平分线的定义可得：，，根据进而得出答案； （4）由（3）得出与的关系解答即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：∵平分， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∴ ． 故答案为：； （4）解：由（3）可知，， 若， 则． 故答案为：． 题型3：分类讨论思想的运用 例16如图，钟表上显示的时间是时分． (1)时针与分针的夹角为 ． (2)设时针与分针的交点为，时针为，分针为，过点引一条射线，且平分，平分． ①若在内部，且，则 ． ②若在外部，且，则的度数为多少？ 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了钟表角度的计算和角平分线的定义，首先需要计算时针与分针的夹角，其次根据角平分线的定义，计算不同情况下的度数． （1）根据时针每小时转过的角度计算即可得； （2）①当射线在内部时，由平分可知，，由平分可知，，即可得； ②分为两种情况分析： （i）如图2所示，当射线在的外部，且时，，根据角平分线的定义可得， ，，最后由即可得的度数； （ii）如图3所示，当射线在的外部，且时，，根据角平分线的定义可得， ，，最后由即可得的度数． 【详解】（1）时针每小时转过的角度为， 时针与分针的夹角为． （2）①如图1所示，当射线在内部时 平分，平分， ，， ； ②分两种情况： （i）如图2所示，当射线在的外部，且时， ，， ， 平分， ， 平分， ， ； （ii）如图3所示，当射线在的外部，且时， ，， ， 平分， ， 平分， ， ， 综上所述，的度数为或．      课后练习 1．如图，，，是的平分线，则的度数为 ° 【答案】30 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线定义， 先求出，再根据角平分线定义求出即可． 【详解】解：因为， 所以. 因为是的平分线， 所以． 故答案为：． 2．如图，已知直线是直线上一点．是的平分线，是的平分线， 【答案】 【分析】本题考查角平分线以及角的计算，理解角平分线的定义是解题关键，根据角平分线的定义得出的度数，再求出的度数，利用角平分线的定义求解即可． 【详解】解：由题意得， 又， ， ， 是的平分线， ， 故答案为：． 3．如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由题意知，，由平分，可得，根据，计算求解即可； （2）同（1）计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 4．已知，是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，，求的度数； (2)在图①，，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究与的度数之间的关系． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系及角平分线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，，然后问题可求解； （2）根据（1）可直接进行求解； （3）由题意易得，然后根据角的和差关系可进行求解． 【详解】（1）解：由已知得， 又是直角，平分， ． （2）解：由（1）得， 即． （3）解：． 理由：，平分， ． 则得， 即． 5．综合探究 如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线l上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且，，． (1)如图， ； (2)如图，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由； (3)如图，把三角板绕点旋转，使得落在内部， 当时，则 ； 当时，则 ； 设，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)是的平分线； (3)，，，见解析． 【分析】本题主要考查了角的和与差、角平分线的定义、三角板中角度的计算，解决本题的关键是根据角的位置关系找到角度之间的关系． 根据可知，根据计算即可； 根据平分可知，根据求出的度数，再根据平角的定义求出的度数，根据两个角的度数之间的关系即可判断平分； 根据的度数求出的度数，再根据求解即可； 根据的度数即可求出的度数，再根据即可求出的度数； 根据，，可知． 【详解】（1）解：, ， ， ， 故答案为：； （2）解：是的平分线， 理由如下： 落在的平分线上，， ， ， ， ， ， 平分； （3）解：当时， ， ， ； 当时， ， ； 猜想：， ， 又， 故答案为：，． 6．已知，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将绕点O按顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)继续将绕点O按顺时针方向旋转到如图3所示的位置，若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的有关计算；能熟练用角的和差表示出所求的角是解题的关键． （1）由角的和差得，由角的平分线得，即可求解； （2）由角的和差得，由角的平分线得，即可求解； （3）由角的和差得，由角的平分线得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， 平分， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ； （3）解：，， ， 平分， ， ． 7．阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图①，，平分．若，请你补全图形，并求的度数． 以下是小明的解答过程： 解：如图②，因为平分，， 所以____________． 因为， 所以______． 小静说：“我觉得这道题有两种情况，小明考虑的是在外部的情况，事实上，还可能在的内部．” 请完成以下问题： (1)请你将小明的解答过程补充完整； (2)根据小静的想法，请你在图③中画出另一种情况对应的图形，并直接写出此时的度数为______． (3)小静所说的：“我觉得这道题有两种情况…”该思考方法所体现出来的数学思想是______（填字母序号）． A．分类思想 B．整体思想 C．数形结合思想 【答案】(1)，，， (2)图见解析； (3)A 【分析】（1）如图2，由角平分线的定义先求解，再利用角的和差关系可得答案； （2）如图3，由角平分线的定义先求解，再利用角的和差关系可得答案； （3）根据有两种情况可得该思考方法所体现出来的数学思想是分类思想． 【详解】（1）解：如图2，∵平分，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图3，    ∵平分，， ∴． ∵， ∴． （3）解：∵小静所说的：“我觉得这道题有两种情况…”， ∴该思考方法所体现出来的数学思想是分类思想， 故选：A． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，清晰的分类讨论是解本题的关键． 8．综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段 在线段上运动，E，F 分别是 ，的中点． 【知识探究】 （1）若，则 ； （2）当线段在线段上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请 求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和， ①若，则 ． ②试判断的大小是否发生变化？如果不变，请确定的大小，如果变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的长度不变，，理由见解析；（3）①；②的大小不会变化，． 【分析】（1）根据线段中点分别求解，，从而可得的长度； （2）根据，再根据中点进行推导即可； （3）①根据再结合角平分线进行计算；②由①可以得到结论． 【详解】解：（1）解：∵，，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∴， 故答案为：； （2）的长度不变，，理由如下： ∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∴ ； （3）①∵，分别平分和 ∴，． ∴ ∵ ∴ ， 故答案为：； ②的大小不会变化，理由如下： 由①知， ∴的大小不会变化，且． 【点睛】本题主要考查线段中点的含义，线段的和差，角平分线的定义，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． 9．如图，已知直线，相交于点，平分，平分，． (1)试说明：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，垂直的定义，熟练掌握以上知识点是关键． （1）先证明，，再利用角的和差运算可得结论； （2）由条件可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）由条件可知， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 老师将三角尺如图1放置，三角板和三角板均可以绕点顺时针旋转且、与直线重合． (1)求的度数． (2)第一小组将三角板绕点旋转到如图2所在位置，此时恰好为直角，第二小组在他们旋转得到图形的基础上又加上两条角平分线，即平分，平分，让第一小组求的度数，请你帮忙解答； (3)第三小组玩嗨了，把三角板和从（2）题中位置处开始绕点顺时针旋转，转速分别为秒和秒，如图3，请问三角板边经过多少秒与三角板边首次重合?在三角板的边与三角板边首次重合前，与的比值是否发生变化?若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)经过秒后与首次重合，与的比值不变，比值为． 【分析】（1）利用平角为，结合三角板的角度（，），计算． （2）根据角平分线的定义，分别表示出和，再通过角的差计算． （3）根据旋转速度和初始角度差，列方程求出首次重合时间；再设时间为，分别表示出和，计算比值判断是否变化． 本题主要考查了角的计算、角平分线的定义以及旋转问题，熟练掌握角的和差关系、角平分线的性质以及利用方程解决旋转重合问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴； （2）解：∵平分，平分，， ∴，． 又∵，， ∴，． ∴； （3）解：设经过秒后与首次重合． ∵初始时，转速为秒，转速为秒， ∴， 解得， ∴经过秒后与首次重合． 设运动时间为秒（）， 则， ， ∴，即比值不变． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $