2.2用配方法求解一元二次方程同步训练2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.2 用配方法求解一元二次方程 同步训练 一、单选题 1．一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 2．若将一元二次方程配方得到，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 3．用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 4．把方程化成的形式，则m，n的值是（    ） A．，8 B．3，8 C．3， D．， 5．若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．不论、为何实数，代数式的值（   ） A．总不小于 B．总不小于 C．可为任何实数 D．可能为负数 二、填空题 7．将一元二次方程配方后得到，则a的值为 ． 8．关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为 ． 9．用配方法解一元二次方程转化成的形式，则 ． 10．现定义表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解为 ． 三、解答题 11．用直接开平方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．计算题 (1)； (2)． 13．阅读下列方程的解题过程，并解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， ∴或④ ∴，⑤ (1)上述解题过程有误，开始出现错误的步骤是________（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 14．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ∵， ∴， ∴的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)小红的爸爸要在一边靠墙（墙长）的空地上建一个如图所示的长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．设，当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键． 通过直接开平方法求解一元二次方程即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ，． 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过配方法将一元二次方程转化为的形式，比较系数得出的值． 【详解】解：， ， ， ， 得， 即． 故选：B． 3．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程配方法的应用，准确计算是解题的关键． 通过配方法将方程转化为完全平方形式，比较选项得出正确结果． 【详解】解：， ， ， ； 故选． 4．B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过配方将方程化为完全平方形式，再比较系数得出m和n的值． 【详解】解：∵， 移项得：， 配方得：， 即，与比较， ∴，． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的意义，掌握相关知识是解决问题的关键．方程 的两个根互为相反数，因此两根之和为零，据此求出 a 的值，再代入求根，进而求出 m． 【详解】解：∵方程的两个根互为相反数， ∴ 即 ∴， 则两根分别为和， ∴ ． 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了配方法的概念，由完全平方式的非负性是解决本题的关键． 对代数式分别对对部分配方和对部分配方得到完全平方式，再通过配方法转化为平方和的形式，结合非负性即可确定其取值范围． 【详解】解：原式可分解为： 对部分配方：； 对部分配方：； 代入原式得：， 由于且，故， 因此原式的最小值为， 综上，代数式的值总不小于2． 故选：A． 7． 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键；通过配方法将方程转化为完全平方形式，比较常数项求值即可． 【详解】解：配方后得到，展开左边得，即； 与原始方程比较，得； 故答案为． 8． 【分析】该题考查了一元二次方程的解，将根代入方程，得到关于的方程，解出的值，并确保二次项系数不为0． 【详解】解：因为方程有一个根为0， 所以代入，得：， 即， 解得：或． 又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数，即． 因此． 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，确定参数和的值后计算其和． 【详解】解： ， ，， ， 故答案为：． 10．或 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，理解取整的定义是解题的关键． 先根据，可得，分情况进行讨论：（1）时；（2）时；（3）；（4）时；（5）同理可知4 时，方程无解；即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， ， （1）时，，解得：； （2）时，，解得：或（舍）； （3）时，，解得：（舍）或（舍）； （4）时，，解得：（舍）； （5）同理可知时，方程无解； 综上所述：方程的解为或， 故答案为：或． 11．(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程. （1）利用利用直接开平方法求解即可； （2）利用利用直接开平方法求解即可； （3）利用利用直接开平方法求解即可； （4）利用利用直接开平方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， ，； （3）解：， ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ， ，． 12．(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法和直接开平方法是解题的关键． （1）通过配方法将方程转化为完全平方式来求解； （2）利用直接开平方法即可求解． 【详解】（1）解：整理得， 配方得，即， 开方得， ∴， ∴，； （2）解：， 开方得， ∴或， ∴，． 13．(1)③ (2)见详解 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元二次方程的基本步骤，进行判定即可． （2）用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在等号的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加． （2）解：， 移项得， 两边同除以2得， 配方得， 即， 或， ，． 14．(1) (2)当时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及的值即可； 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴的最小值是． （2）解：设，则， 由题意，得花园的面积是， ， ， 的最大值是50，此时，，符合题意， 则当时，花园的面积最大，最大面积是． 学科网（北京）股份有限公司 $