2.2用配方法求解一元二次方程 同步训练题 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.2用配方法求解一元二次方程 同步训练题 一．选择题 1．一元二次方程2x2＝8的解为（　　） A．x1＝x2＝﹣2 B．x1＝x2＝2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2 2．用配方法解一元二次方程x2﹣2x＝9，配方后可变形为（　　） A．（x﹣1）2＝10 B．（x+1）2＝10 C．（x﹣1）2＝﹣8 D．（x+1）2＝﹣8 3．已知一元二次方程x2+6x+1＝0配方后可变形为（x+3）2＝k，则k的值为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 4．若将一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0化成（x+m）2+n＝0的形式，则2m﹣n的值为（　　） A．﹣15 B．﹣17 C．5 D．17 5．设M＝4a2﹣4a+3，N＝3a2﹣1，其中a为实数，则M与N的大小关系是（　　） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＝N 6．一元二次方程（x+7）2＝81可转化为两个一元一次方程，其中一个是x+7＝9，则另一个是（　　） A．x﹣7＝﹣9 B．x﹣7＝9 C．x+7＝9 D．x+7＝﹣9 7．若关于x的方程（x﹣2）2＝﹣b是由x2+ax﹣b＝0配方后得到的，则a、b的值分别为（　　） A．4，2 B．﹣4，﹣4 C．﹣4，﹣2 D．﹣4，2 8．对于二次三项式x2+ax+b（a，b为常数），以下结论： ①当b＝4，且x2+ax+b＝（x+m）2，则m＝±2； ②当x2+ax+b＝（x﹣2）（x+n）时，则2a+b＝﹣4； ③当x2+ax+b的值恒为正数时，则a2＜4b； ④当b＝12，且x2+ax+b＝（x+p）（x+q），其中p、q为整数，则a的值有6种可能． 其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 二．填空题 9．方程（x﹣1）2＝20242的根是 　 　 ． 10．一元二次方程x2﹣1＝0的两根分别为x1和x2，用x1+x2的值为 　 　 ． 11．若x、y满足m＝x2﹣6xy+10y2﹣4x+6y+79的，则m的最小值 　 　 ． 12．将方程x2﹣6x﹣10＝0化成（x﹣m）2＝n（m，n为常数）的形式，则m＝　 　 ． 13．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程（x﹣5）2＝9的一个根，则这个三角形的周长为 　 　 ． 14．代数式m2+2m+3的最小值为　 　 ；代数式的最大值为　 　 ． 15．已知A＝x2+6y+1，B＝﹣y2+2x﹣9，且x≠1，y≠﹣3，则A，B的大小关系为：A　 　 B．（填“＞”“＝”或“＜”） 16．对于结论“周长一定的长方形，当长和宽相等时面积最大”，某同学通过如图所示的图形割补，用特例进行了说明：将图1中周长为8的长方形裁成长方形A（边长为2和x）和长方形B，并拼成图2．由图1与图2的面积相等可得：x（4﹣x）＝22﹣（2﹣x）2，所以，当x＝2时，长方形面积取得最大值为4．据此方法，可得代数式的最大值为 　 　 ． 三．解答题 17．解方程： （1）（x+5）2＝25； （2）x2﹣6x+2＝0． 18．已知A＝3x2+2x+1，B＝x2+2x﹣1，C＝2x+2． （1）试说明：无论x取何值，A﹣B一定大于0； （2）若A+mB+nC的值与x无关，求m，n的值． 19．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知a2+6ab+10b2+2b+1＝0，求a﹣b的值； （2）已知等腰△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周长； （3）已知x+y＝2，xy﹣z2﹣4z＝5，求xyz的值． 20．先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式x2+6x+10的最小值． 解：x2+6x+10＝x2+6x+9+1＝（x+3）2+1， ∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2+1≥1， ∴x2+6x+10的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： （1）求代数式y2+10y+27的最小值． （2）判断代数式8﹣m2+4m有最大值还是有最小值，并求出该最值． （3）已知a，b为任意值，试比较4a2+b2+11与12a﹣2b的大小关系，并说明理由． 21．（1）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一，例如，求x2+4x+5的最小值： 解：原式＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1 （x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1， 当x＝﹣2时，x2+4x+5取得最小值是1， 请你仿照以上方法求出x2+6x﹣4的最小值； （2）非负性的含义是指大于或等于零．在现初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性与平方的非负性，几个非负算式的和等于0，只能是这几个式子的值均为0． 请根据非负算式的性质解答下题： 已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣6a+b2﹣8b+|3﹣c|＝﹣25，求△ABC的周长． 22．配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为10＝32+12．再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y）是整数），所以M也是“完全数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“完全数”　 　 ；并判断40是否为“完全数”　 　 ； （2）若二次三项式x2﹣4x+8（x是整数）是“完全数”，可配方成（x﹣m）2+n2（m，n为常数），则mn的值为 　 　 ； 探究问题： （1）已知“完全数”x2+y2﹣4x+2y+5（x，y是整数）的值为0，则x+y的值为 　 　 ； （2）已知S＝x2+4y2+2x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完全数”，试求出符合条件的k值． 拓展结论：已知实数x，y满足﹣x2+3x+y﹣2＝0，求x+y的最小值是 　 　 ． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A C A D C A 二．填空题 9．x1＝2025，x2＝﹣2023． 10．0． 11．66． 12．3． 13．18． 14．2；3． 15．＞． 16．32． 三．解答题 17．解：（1）（x+5）2＝25， ∴x+5＝±5， ∴x1＝0，x2＝﹣10． （2）x2﹣6x+2＝0， x2﹣6x＝﹣2， x2﹣6x+9＝﹣2+9，即（x﹣3）2＝7， ∴x﹣3， ∴x1＝3，x2＝3． 18．解：（1）∵A＝3x2+2x+1，B＝x2+2x﹣1， ∴A﹣B＝3x2+2x+1﹣（x2+2x﹣1） ＝3x2+2x+1﹣x2﹣2x+1 ＝2x2+2＞0， ∴无论x取何值，A﹣B一定大于0； （2）由条件可得：原式＝3x2+2x+1+m（x2+2x﹣1）+n（2x+2） ＝3x2+2x+1+mx2+2mx﹣m+2nx+2n ＝（3+m）x2+（2+2m+2n）x+1﹣m+2n， 由条件可知3+m＝0且2+2m+2n＝0， ∴m＝﹣3且n＝2． 19．解：（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1＝0， ∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1＝0， ∴（a+3b）2+（b+1）2＝0， ∴a+3b＝0，b+1＝0， 解得b＝﹣1，a＝3， 则a﹣b＝4； （2）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0， ∴2a2﹣4a+2+b2﹣6b+9＝0， ∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2＝0， 则a﹣1＝0，b﹣3＝0， 解得，a＝1，b＝3， 由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3， ∴△ABC的周长为1+3+3＝7； （3）∵x+y＝2， ∴y＝2﹣x， 则x（2﹣x）﹣z2﹣4z＝5， ∴x2﹣2x+1+z2+4z+4＝0， ∴（x﹣1）2+（z+2）2＝0， 则x﹣1＝0，z+2＝0， 解得x＝1，y＝1，z＝﹣2， ∴xyz＝﹣2． 20．解：（1）y2+10y+27 ＝y2+10y+25+2 ＝（y+5）2+2， ∵（y+5）2≥0， ∴（y+5）2+2≥2， ∴y2+10y+27的最小值是2； （2）8﹣m2+4m ＝﹣（m2﹣4m）+8 ＝﹣（m2﹣4m+4）+4+8 ＝﹣（m﹣2）2+12， ∵﹣（m﹣2）2≤0， ∴﹣（m﹣2）2+12≤12， ∴8﹣m2+4m有最大值，最大值为12； （3）4a2+b2+11＞12a﹣2b，理由如下： 4a2+b2+11﹣（12a﹣2b） ＝4a2+b2+11﹣12a+2b ＝（4a2﹣12a+9）+（b2+2b+1）+1 ＝（2a﹣3）2+（b+1）2+1， ∵（2a﹣3）2≥0，（b+1）2≥0， ∴（2a﹣3）2+（b+1）2+1≥1＞0， ∴4a2+b2+11＞12a﹣2b． 21．解：（1）原式＝（x+3）2﹣9﹣4＝（x+3）2﹣13， ∵（x+3）2≥0， ∴（x+3）2﹣13≥﹣13， ∴当x＝﹣3时，x2+6x﹣4取得最小值是﹣13； （2）由题意可得：（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）+|3﹣c|＝0， ∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+|3﹣c|＝0， ∵（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0，|3﹣c|≥0， ∴（a﹣3）2＝（b﹣4）2＝|3﹣c|＝0 ∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，3﹣c＝0， ∴a＝3，b＝4，c＝3 ∴△ABC的周长为a+b+c＝10． 22．解：解决问题： （1）4是“完全数”，理由：因为＝22+02； 40是“完全数”，理由：因为40＝62+22； 故答案为：4（答案不唯一），是； （2）∵x2﹣4x+8＝（x﹣m）2+n2（m，n为常数）， ∴x2﹣4x+4+4＝（x﹣2）2+4， ∴m＝2，n＝±2， ∴mn＝±4， 故答案为：±4； 探究问题： （1）∵x2+y2﹣4x+2y+5＝（x﹣2）2+（y+1）2＝0， ∴x＝2，y＝﹣1， ∴x+y＝2﹣1＝1． 故答案为：1； （2）S＝x2+4y2+2x﹣12y+k＝（x+1）2+（2y﹣3）2+k﹣10， 由题意得：k﹣10＝0， ∴k＝10； 拓展结论：﹣x2+3x+y﹣2＝0， ∴y＝x2﹣3x+2， ∴x+y ＝x+x2﹣3x+2 ＝（x﹣1）2+1≥1； ∴当x＝1时，x+y的最小值为1． 故答案为：1． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/19 16:42:43；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $