第29讲等差、等比数列的基本公式及性质应用 讲义——2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕等差、等比数列专题，覆盖基本量运算、证明、单调性、性质应用及综合运用等核心考点，按9类题型系统架构知识网络，通过解题策略梳理、方法指导（如构造比值法）、真题模拟训练等环节，帮助学生构建从基础到综合的解题体系，体现复习的系统性与针对性。 讲义突出数学思维与推理能力培养，创新采用函数思想分析数列单调性，如将等差数列通项公式与一次函数关联，引导学生直观理解增减性。设置分层练习（基础题到综合题），配合解题策略实例（如等比数列证明用定义法），确保高效突破考点。助力学生提升运算与推理能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

2026届艺术生高考数学一轮复习资料 第29讲等差、等比数列的基本公式及性质应用 题型一 等差数列基本量的运算 解｜题｜策｜略 等差数列基本量的运算 。等差通项公式：， (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)． (2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d. 1.（2025-2026·安徽安庆·模拟）在等差数列中，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质计算即可. 【详解】设等差数列的公差为d，因为，所以，又， 所以公差． 故选：C 2.（2025-2026·广东·模拟）设为等差数列，若，则公差（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由等差数列的基本量法列方程组求解． 【详解】由题意得解得， 故选：D. 3.（2025-2026高三·深圳模拟）已知等差数列的前项和为，，则 （    ） A．54 B．71 C．80 D．81 【答案】D 【分析】设等差数列的公差为，根据题意求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以. 故选：D. 题型二 等差数列的证明 解｜题｜策｜略 等差数列的判定与证明 知识储备：1，定义法：(n≥1，n∈N*)是不是一个与n无关的常数． ①当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差； 2，等差中项法： 3，通项公式法：(n≥1，n∈N*) 1.（25-26高三上·教材改编）在数列中，，，则的值为__________. 答案52。解析：由题意，数列满足，即，又由，所以数列首项为2，公差为的等差数列，所以． 2.（25-26高三上·期中）在数列中，，，，求 答案：14，解析：为等差数列，， 3.（25-26高三上.期中）数列的通项公式是． （1）求证：是等差数列，并求出其公差； （2）判断、是否是数列中的项，如果是，是第几项？ 解：（1），则，，所以，数列是等差数列，且公差为； （2）令，即，解得； 令，即，解得.所以，是该数列的第项，不是该数列中的项. 题型三：等差数列的单调性 解｜题｜策｜略 等差数列的通向公式与函数的关系 ()可看做是关于的一次型函数，设． 当时单调递增，当时单调递减 1.（2025高二下·全国·课后作业）等差数列中，，若从第项开始为负数，则公差的取值范围是__________． 答案：解析∵等差数列从第项开始为负数，即，∴，解得． 2.（多选题）设d为正项等差数列的公差，若，，则（ ） A． B． C． D． 答案：ABC。 解析：由题知，只需，，A正确；，B正确； ，C正确； ，所以，D错误. 3.（2025高二下·全国·课后作业）已知等差数列，首项.从第10项起开始大于1，那么公差d的取值范围是 __________. 答案：。解析：在等差数列中，因为从第10项起开始大于1， 所以有. 题型四 等差数列的性质 解｜题｜策｜略 1.等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且 （1）当时,则有，特别地，当时，则有. 2.设数列，都是等差数列，所以数列，是等差数列 1.（2025高二下·全国·课后作业）对于数列，以下选项正确的有（    ） A．若均是等差数列，则也是等差数列 B．若均是等比数列，则也是等比数列 C．若均是等差数列，则也是等差数列 D．若均是等比数列，则也是等比数列 【答案】AD 【知识点】判断等差数列、由定义判定等比数列 【分析】利用等差、等比数列的定义判断各项的正误即可. 【详解】若的公差分别为， 为定值，即为等差数列， 不一定为定值，即不是等差数列，A对，C错， 若的公比分别为，， ，不一定为定值，即不是等比数列， 为定值，即为等比数列，B错，D对. 故选：AD 2.（2025高二下·全国·课后作业）已知等差数列中，，则（    ） A．30 B．15 C．5 D．10 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质计算. 【详解】∵数列为等差数列，，所以 ∴. 故选：B 3.（2025·安徽·模拟预测）已知数列与均是公差不为0的等差数列，且数列也是等差数列，若，则（    ） A．24 B．21 C．18 D．15 【答案】A 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用 【分析】写出数列与的通项公式，对数列利用等差中项的性质列方程求出数列的公差，从而代入的通项公式求出. 【详解】设的公差为，的公差为， ，解得，所以， ， 因为数列也是等差数列， 所以，即， 解得（舍去）或， 所以，. 故选：A 题型五 等比数列基本量的运算 解｜题｜策｜略 方法提示：构造比值法和整体带入法（降次消元） 等比数列基本量的运算的解题策略 (1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． (2)解方程组时常常利用“作商”消元法． (3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解． 1（2025高二下·全国·课后作业）在等比数列中，若，，则公比q应为（    ） A． B． C． D．－2 【答案】D 【分析】由等比数列的通项公式直接求解即可. 【详解】因为，解得q＝－2. 故选：D 2．（2025高三下·阶段练习）在等比数列中，，，则等于（    ） A．9 B．72 C．9或70 D．9或 【答案】D 【分析】利用等比数列的性质求出公比，即可求出的值. 【详解】由题意，， 在等比数列中，，， 设公比为， ，即，解得或， ∴， 当时，， 当时，. 故选：D. 3．（2025高二下·湖北·阶段练习）已知递增的等比数列中，前3项的和为7，前3项的积为8，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】首先由前3项的和为7，得出，再由前3项的积为8，根据下标和定理得出，则代入求值，结合为递增的等比数列，得出的值，根据等比数列通项公式即可得出． 【详解】由前3项的和为7，得 前3项的积为8，得，即， 则，代入，得，即，解得或， 因为为递增的等比数列， 所以，则，所以，故选：D． 题型六 等比数列的证明 解｜题｜策｜略 等比数列的判定与证明 等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列． (3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列． 1．（2025高三·全国·专题练习）设数列的前n项和为，且满足（）． (1)证明：数列是等比数列； (2)令，求数列的前n项和. （1）证明：当时，，解得， 由，可得， 两式相减得， 即，所以数列是首项为，公比为的等比数列. (2)解：由（1）可得，所以， 则，则， 两式相减可得 ，所以． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，其中为的前n项和．证明： (1)是等比数列． (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据与的关系，利用相减法结合等比数列的定义即可解决； （2）由（1）得利用放缩法得，求和证明即可. 【详解】（1）∵，∴， 两式相减得：，即． ∴． 当时，，即 又∵，∴是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）得，所以 令， 则． 不等式左边的前2n项和． 又，∴原不等式得证． 3．（2025·河南郑州·三模）已知数列和，，，. (1)求证数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过题中关系，可得，进而可得数列是以为首项，公比为的等比数列. （2）由（1）可得，，则，可利用分组求和与错位相减求和解题. 【详解】（1）由，，得， 整理得，而， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列 （2）由（1）知，∴， ∴， 设，则， 两式相减得， 从而 ∴. 题型七：等比数列的单调性与最值问题 解｜题｜策｜略 等比数列中，，若设,则： （1）当时，，等比数列是非零常数列。它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点. （2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数； ①当且时，等比数列是递增数列； ②当且时，等比数列是递减数列； ③当且时，等比数列是递减数列； ④当且时，等比数列是递增数列。 （3）当时，等比数列是摆动数列。 1.（2025高三·全国·课后作业）（多选题）已知等比数列满足，公比，则（ ） A．数列是等比数列 B．数列是递减数列 C．数列是等差数列 D．数列是等比数列 【答案】ACD。解析：在等比数列中，，公比，则有， 对于A，，，则数列是等比数列，A正确； 对于B，，显然对成立，即数列是递增数列，B不正确； 对于C，，则数列是等差数列，C正确； 对于D，，则数列数列是等比数列，D正确.故选：ACD 2.（2025高三·全国·课后作业）数列{an}的前n项和为Sn，且3an＋Sn＝4(n∈N*)，设bn＝nan，则数列{bn}的项的最大值为(　　) A. B. C. D.2 【答案】B【解析】由条件可知：3an＋Sn＝4，3an－1＋Sn－1＝4(n≥2).相减，得an＝an－1.又3a1＋S1＝4a1＝4，故a1＝1.则an＝，bn＝n. 设{bn}中最大的项为bn，则即 解之得3≤n≤4.∴{bn}的项的最大值为b3＝b4＝. 3.（2025高三·全国·课后作业）已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ） A．10 B．15 C．20 D．25 【解析】由题意可得： ，由可得， 由等比数列的性质可得： 成等比数列， 则： ，综上可得： ， 当且仅当时等号成立.则的最小值为20.本题选择C选项. 题型八：等比数列的性质 解｜题｜策｜略 设等比数列的公比为则：①若，且,则，特别地，当时. ②下标成等差数列且公差为的项,,,…组成的新数列仍为等比数列，公比为. ③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、(,是常数)、、也是等比数列； ④连续项和（不为零）仍是等比数列.即,,，…成等比数列. 1.（2025高三·全国·课后作业）在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________。 答案：216；解析：法一：设这个等比数列为，其公比为， ∵，，∴， ∴。 法二：设这个等比数列为，公比为，则，， 加入的三项分别为，，，由题意，，也成等比数列，∴，故，∴ 2.（2025·江西·检测）在正项等比数列中，与是方程 的两个根，则 . 【答案】5 【分析】 利用韦达定理，可得，再根据对数的运算法则和等比数列性质求解即可. 【详解】因为与是方程 的两个根，所以， 因为为正项等比数列，所以， 所以， 故答案为：5. 3．（2025·广东江门·一模）已知等比数列的首项为，且，则 . 【答案】 【分析】先由等比数列的通项公式得到，进而得到，再根据等比数列的性质得到结果. 【详解】设等比数列的公比为，因为，根据等比数列的通项公式的计算得到：，所以.由等比数列的性质得到：. 故答案为128. 【点睛】这个题目考查了等比数列的通项公式的写法，以及等比数列的性质的应用，题目比较基础. 对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质. 题型九：等差等比数列的综合运用 1.（2025高二下·湖北宜昌·期末）已知是递增的等比数列，且，． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项（其中成等差数列）成等比数列.若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由等比数列单调性可确定，结合等比数列通项公式构造方程求得，进而得到； （2）由等差数列通项公式可求得；假设存在满足题意的，利用等比中项和等差中项的定义可化简求得，可知不存在满足题意的项. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 是递增的等比数列且，； 则，解得：（舍）或； . （2）由题意知：，即； 假设存在项（其中成等差数列）成等比数列，则， 即； 成等差数列，，代入上式得：， ，化简得：，，不合题意； 综上所述：不存在项（其中成等差数列）成等比数列. 2.（2025高三·专题练习）数列的通项的通项，由与中公共项，并按原顺序组成一个新的数列，求的前项和. 【答案】 【分析】设，利用二项式定理求出两数列中公共项，主要看中有哪些项是中的项，由此确定，从而可求得其前项和． 【详解】设，即.，即为奇数，，∴． 【点睛】本题考查等比数列的前项和，解题关键是确定两数列的公共项，一般情况下确定等比数列中哪些项是等差数列中的项比较简便易求． 3（2025·江苏·二模）设为等比数列，为公差不为零的等差数列，且，，. (1)求和的通项公式； (2)记的前项和为，的前项和为，证明：； 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由等差数列、等比数列的基本量法求得通项公式； （2）由等差数列、等比数列的前项和公式求得后，用作差法证明； （2）由（1）知，，所以. 因为， 所以. 课后训练 1.（2025·广东广州·模拟预测）已知是首项为2，公比为2的等比数列，记，其中，记数列的前项和为，则（    ） A．9143 B．9145 C．10009 D．10154 【答案】D 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】由题意得，结合题意可得，当时，，利用等差数列的前项和公式求出这10 项和，当时，，这些项的和为，利用分组求和法及等差数列、等比数列的前项和公式求解，再加上时的10项和即可求解. 【详解】由题意得， ，，， 所以， 当时，， 共10项，这10项的和为, 其余项有项， 当时，， 这些项的和为 ， 所以. 故选：. 2．（2025·广东肇庆·一模）设为正项等比数列的前n项和，若，，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列通项基本量的运算求得，代入等比数列求和公式求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，∵，∴. 由得，∴. 故选：C 3．（2025·湖南·一模）已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（　　） A．2 B． C．4 D．8 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、等比中项的应用、等差中项的应用 【分析】根据条件，利用等差、等比数列的性质得，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】成等差数列，成等比数列， 所以，且，则， 当且仅当时取等号， 故选：A. 4.（多选题）（25-26高三上·安徽合肥·期中）下面关于数列，的相关结论正确的有（   ） A．已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足，则是等差数列且公差为 B．若是一个无穷等比数列取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列 C．等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则前20项的和为 D．记为数列的前项和，为数列的前项积，当时，为等差数列 【答案】BCD 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、判断等差数列、由定义判定等比数列、求等差数列前n项和 【分析】对于A根据等差数列的定义即可判断，对于B根据等比数列的定义即可判断，对于C设数列的公差为，解出，利用等差数列前项和公式即可判断，对于D由得，由于为数列的前项积，得，进而得，即可判断. 【详解】对于A，因为数列，都是等差数列，公差分别为，， 所以，， 又因为， 故， 而，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故A不正确； 对于B，设等比数列的公比为，则，所以， 所以数列为等比数列，故B正确； 对于C，数列的首项，设公差为，则由，，成等比数列可得， 所以，即， 整理可得，因为，所以，所以,故C正确； 对于D，由已知得，且，， 取，由得，由于为数列的前项积， 所以，所以， 所以，由于所以，即，其中 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，故D正确. 故选：BCD. 5.（多选）（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，且，，.若的前项和为，则下列选项可能正确的是（    ） A． B．为最大项 C． D．数列，，的公差为64 【答案】AC 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据前三项成等比数列、后三项成等差数列，设后三项的公差为，根据题意将表示成关于d的方程，解出d，分情况逐项讨论即可． 【详解】设后三项的公差为，因为，则，， 由，得， 由前三项成等比数列，公比，所以， 结合，可得， 解得或， 当时，数列为； 当时，数列为； 对于A，当时，，故A正确； 对于B，两种情况的最大项分别是112和180，均不是，故B错误； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，公差为16或，均不是64，故D错误． 故选：AC． 6.（25-26高三上·上海·月考）已知的内角的对边分别为，若，且依次成等差数列，则的面积为 ． 【答案】6 【知识点】余弦定理解三角形、等差中项的应用、二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用 【分析】根据已知条件结合三角形内角和的性质以及二倍角公式求出，再利用余弦定理结合已知边长关系求出，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】在中，，， ， ， ，，， ， 即，解得或（，舍去）， ， 成等差数列，， ， 由余弦定理得， ，解得， ． 故答案为：6． 7．（25-26高三上·天津·期中）已知各项均为正数的等差数列的公差不等于，，设、、是公比为的等比数列的前三项. (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和为， 【答案】(1)， (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、裂项相消法求和 【分析】（1）应用等比数列列式化简结合等差数列通项公式基本量运算求解； （2）代入计算应用裂项相消计算求解； 【详解】（1）由已知、、成等比数列，则，即， 整理可得，，， 所以，，         ，， （2），              8．（25-26高三上·山东潍坊·期中）已知正项等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】（1）由等差数列的性质结合已知等式求出公差，再由基本量法可得； （2）将数列项按奇偶分组分别由等比和等差数列的求和公式求解可得. 【详解】（1）因为正项等差数列， 所以，， 因为正项等差数列，所以， 所以. （2）因为，即， 奇数项和为， 偶数项和为， 所以数列的前项和. 9．（25-26高三上·重庆·期中）已知等差数列的公差，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，若，求. 【答案】(1)； (2). 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【分析】（1）根据等差数列的性质和通项公式，即可求解，进而可求解通项公式； （2）由（1）得，进而可得，从而求得，列方程即可求解. 【详解】（1）因为数列为等差数列，所以， 又，所以， 又，，解得， 所以由得到； （2）由（1）得，所以， 则， 所以，当时，，数列为首项是，公差为的等差数列， 所以， 当时，，数列为首项是，公差为的等差数列， 所以， 所以， 又，即，解得（舍）或. 10.（25-26高三上·江西·期中）已知数列的首项. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，求满足的的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)11 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、根据数列的单调性求参数、裂项相消法求和 【分析】（1）根据已知递推关系计算，根据等差数列的定义，即可得证； （2）由（1）求得，继而得到，通过裂项相消求，进而得不等式，求解即得. 【详解】（1）由得 ， 又，所以数列是首项为1公差为1的等差数列. （2）由（1）知：，所以. 所以 由已知得，即. 因为，当时，显然，不满足条件； 当时，记，显然在时单调递增， 且，所以. 故的最小值为11. 11．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知公差不为0的等差数列的前n项和为成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)在数列中剔除与数列中的相同项后，按从小到大重新排列得数列，求数列的前20项的和； 【答案】(1) (2)608 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】（1）把条件转化成关于首项与公差的方程，解方程即可； （2）先令，得到剔除项的项数的规律，然后分析可得到是由的前25项和减去剔除的5项和，分别求和即可； 【详解】（1）设首项为 ，公差为 （）。 由题意得：， 化简得：，解方程得：， 故数列的通项公式为：. （2）公共项满足 ，解得 （)， 剔除这些项（即 ）后，剩余项按原顺序排列得到 ， 经分析：的前25项剔除项刚好可得到的前20项. ， ， 剔除项：，，，，， 剔除项和：， . 12．（2025高三·湖北武汉·期末）已知是递增的等比数列，且，． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项（其中成等差数列）成等比数列.若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由等比数列单调性可确定，结合等比数列通项公式构造方程求得，进而得到； （2）由等差数列通项公式可求得；假设存在满足题意的，利用等比中项和等差中项的定义可化简求得，可知不存在满足题意的项. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 是递增的等比数列且，； 则，解得：（舍）或； . （2）由题意知：，即； 假设存在项（其中成等差数列）成等比数列，则， 即； 成等差数列，，代入上式得：， ，化简得：，，不合题意； 综上所述：不存在项（其中成等差数列）成等比数列. 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026届艺术生高考数学一轮复习资料 第29讲等差、等比数列的基本公式及性质应用 题型一 等差数列基本量的运算 解｜题｜策｜略 等差数列基本量的运算 。等差通项公式：， (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)． (2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d. 1.（2025-2026·安徽安庆·模拟）在等差数列中，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 2.（2025-2026·广东·模拟）设为等差数列，若，则公差（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 3.（2025-2026高三·深圳模拟）已知等差数列的前项和为，，则 （    ） A．54 B．71 C．80 D．81 题型二 等差数列的证明 解｜题｜策｜略 等差数列的判定与证明 知识储备：1，定义法：(n≥1，n∈N*)是不是一个与n无关的常数． ①当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差； 2，等差中项法： 3，通项公式法：(n≥1，n∈N*) 1.（25-26高三上·教材改编）在数列中，，，则的值为__________. 2.（25-26高三上·期中）在数列中，，，，求 3.（25-26高三上期中）数列的通项公式是． （1）求证：是等差数列，并求出其公差； （2）判断、是否是数列中的项，如果是，是第几项？ 题型三：等差数列的单调性 解｜题｜策｜略 等差数列的通向公式与函数的关系 ()可看做是关于的一次型函数，设． 当时单调递增，当时单调递减 1.（2025高二下·全国·课后作业）等差数列中，，若从第项开始为负数，则公差的取值范围是__________． 2.（多选题）设d为正项等差数列的公差，若，，则（ ） A． B． C． D． 3.（2025高二下·全国·课后作业）已知等差数列，首项.从第10项起开始大于1，那么公差d的取值范围是 __________. 题型四 等差数列的性质 解｜题｜策｜略 1.等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且 （1）当时,则有，特别地，当时，则有. 2.设数列，都是等差数列，所以数列，是等差数列 1.（2025高二下·全国·课后作业）对于数列，以下选项正确的有（    ） A．若均是等差数列，则也是等差数列 B．若均是等比数列，则也是等比数列 C．若均是等差数列，则也是等差数列 D．若均是等比数列，则也是等比数列 2.（2025高二下·全国·课后作业）已知等差数列中，，则（    ） A．30 B．15 C．5 D．10 3.（2025·安徽·模拟预测）已知数列与均是公差不为0的等差数列，且数列也是等差数列，若，则（    ） A．24 B．21 C．18 D．15 题型五 等比数列基本量的运算 解｜题｜策｜略 方法提示：构造比值法和整体带入法（降次消元） 等比数列基本量的运算的解题策略 (1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． (2)解方程组时常常利用“作商”消元法． (3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解． 1（2025高二下·全国·课后作业）在等比数列中，若，，则公比q应为（    ） A． B． C． D．－2 2．（2025高三下·阶段练习）在等比数列中，，，则等于（    ） A．9 B．72 C．9或70 D．9或 3．（2025高二下·湖北·阶段练习）已知递增的等比数列中，前3项的和为7，前3项的积为8，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型六 等比数列的证明 解｜题｜策｜略 等比数列的判定与证明 等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列． (3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列． 1．（2025高三·全国·专题练习）设数列的前n项和为，且满足（）． (1)证明：数列是等比数列； (2)令，求数列的前n项和. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，其中为的前n项和．证明： (1)是等比数列． (2)． 3．（2025·河南郑州·三模）已知数列和，，，. (1)求证数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 题型七：等比数列的单调性与最值问题 解｜题｜策｜略 等比数列中，，若设,则： （1）当时，，等比数列是非零常数列。它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点. （2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数； ①当且时，等比数列是递增数列； ②当且时，等比数列是递减数列； ③当且时，等比数列是递减数列； ④当且时，等比数列是递增数列。 （3）当时，等比数列是摆动数列。 1.（2025高三·全国·课后作业）（多选题）已知等比数列满足，公比，则（ ） A．数列是等比数列 B．数列是递减数列 C．数列是等差数列 D．数列是等比数列 2.（2025高三·全国·课后作业）数列{an}的前n项和为Sn，且3an＋Sn＝4(n∈N*)，设bn＝nan，则数列{bn}的项的最大值为(　　) A. B. C. D.2 3.（2025高三·全国·课后作业）已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ） A．10 B．15 C．20 D．25 题型八：等比数列的性质 解｜题｜策｜略 设等比数列的公比为则：①若，且,则，特别地，当时. ②下标成等差数列且公差为的项,,,…组成的新数列仍为等比数列，公比为. ③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、(,是常数)、、也是等比数列； 1.（2025高三·全国·课后作业）在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________。 2（2025·江西·检测）在正项等比数列中，与是方程 的两个根，则 . 3．（2025·广东江门·一模）已知等比数列的首项为，且，则 . 题型九：等差等比数列的综合运用 1.（2025高二下·湖北宜昌·期末）已知是递增的等比数列，且，． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项（其中成等差数列）成等比数列.若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 2.（2025高三·专题练习）数列的通项的通项，由与中公共项，并按原顺序组成一个新的数列，求的前项和. 3（2025·江苏·二模）设为等比数列，为公差不为零的等差数列，且，，. (1)求和的通项公式； (2)记的前项和为，的前项和为，证明：； 课后训练 1.（2025·广东广州·模拟预测）已知是首项为2，公比为2的等比数列，记，其中，记数列的前项和为，则（    ） A．9143 B．9145 C．10009 D．10154 2．（2025·广东肇庆·一模）设为正项等比数列的前n项和，若，，则（   ） A． B． C． D．2 3．（2025·湖南·一模）已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（　　） A．2 B． C．4 D．8 4.（多选题）（25-26高三上·安徽合肥·期中）下面关于数列，的相关结论正确的有（   ） A．已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足，则是等差数列且公差为 B．若是一个无穷等比数列取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列 C．等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则前20项的和为 D．记为数列的前项和，为数列的前项积，当时，为等差数列. 5.（多选）（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，且，，.若的前项和为，则下列选项可能正确的是（    ） A． B．为最大项 C． D．数列，，的公差为64 6.（25-26高三上·上海·月考）已知的内角的对边分别为，若，且依次成等差数列，则的面积为 ． 7．（25-26高三上·天津·期中）已知各项均为正数的等差数列的公差不等于，，设、、是公比为的等比数列的前三项. (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和为， 8．（25-26高三上·山东潍坊·期中）已知正项等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 9．（25-26高三上·重庆·期中）已知等差数列的公差，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，若，求. 10.（25-26高三上·江西·期中）已知数列的首项. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，求满足的的最小值. 11．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知公差不为0的等差数列的前n项和为成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)在数列中剔除与数列中的相同项后，按从小到大重新排列得数列，求数列的前20项的和； 12．（2025高三·湖北武汉·期末）已知是递增的等比数列，且，． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项（其中成等差数列）成等比数列.若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $