第29讲平面向量的数量积与平面向量应用举例讲义-2026届高三数学一轮复习

第29讲　平面向量的数量积与平面向量应用举例 一、知识梳理 1.平面向量的数量积 (1)向量的夹角 ①定义:已知两个非零向量a,b(如图),O是平面上的任意一点,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫作向量a与b的夹角. ②性质:当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向. ③向量垂直:如果a与b的夹角是,我们说a与b垂直,记作a⊥b. (2)数量积的定义 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量　　　　　　叫作向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=　　　　　　.  规定:零向量与任一向量的数量积为　　　,即0·a=0.  (3)投影向量 如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则　　　　就是向量a在向量b上的投影向量,且=|a|cos θ e(e为与b方向相同的单位向量).  2.平面向量数量积的性质 设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量. ①a·e=e·a=　　　　.  ②a⊥b⇔　　　　.  ③当a与b同向时,a·b=　　　　;当a与b反向时,a·b=　　　　.特别地,a·a=a2=　　　　或|a|=　　　　.  ④|a·b|　　　|a||b|.  3.平面向量数量积的运算律 对于向量a,b,c和实数λ,有 ①交换律:　　　　　　　　;  ②数乘结合律:(λa)·b=　　　　　　　=　　　　　(λ∈R);  ③分配律:(a+b)·c=　　　　　　.  4.平面向量数量积的有关结论 已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),<a,b>为a与b的夹角. 向量表示 坐标表示 向量a的模 |a|= |a|=　　  a,b的数量积 a·b=|a||b|cos<a,b> a·b=　　　  a与b垂直 a⊥b⇔a·b=0 a⊥b⇔　　　  a与b的夹角 cos<a,b>= cos<a,b>=　　　　　  二、核心原则‌ （1）‌数量积定义与性质‌ ‌定义‌：对于向量a与b，数量积a·b=|a||b|cos<a,b>（θ为夹角）。 ‌性质‌：交换律；分配律；数乘结合律。 （2）‌投影与模长‌ 向量a在b上的投影， 投影向量。 模长公式。 （3）‌解题思想‌ ‌坐标优先‌：若图形易建系，优先用坐标法简化运算。 ‌几何转化‌：利用数量积的几何意义（如夹角、垂直）结合图形分析。 三、常见题型分类与解题策略‌ ‌题型1：数量积的直接运算‌ ‌策略‌：（1）坐标法： （2）基底法：选择不共线的基底向量分解目标向量。 【例1】（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（     ） A． B． C． D．2 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设，， 则， 故当时，取得最大值，最大值为. 故选：D. ‌题型2：向量夹角问题‌ ‌策略‌：利用夹角公式cos<a,b>=，注意钝角/锐角条件。 【例2】（2025·全国·模拟预测）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】， . . . . . .故选：C. ‌题型3：模长与最值‌ ‌策略‌：（1）公式法。 （2）函数法：坐标化后转化为二次函数或三角函数求最值。 【例3】（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 . 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. ‌题型4：垂直条件的应用‌ ‌策略‌：（1）坐标法。 （2）几何法：利用图形性质（如直径所对圆周角为直角）。 【例4】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【详解】由题意有， 又因为，所以 ， 故选：B. ‌题型5：投影与几何应用‌ ‌策略‌：（1）投影公式：。 （2）几何问题：将向量关系转化为图形中的长度或角度关系。 【例5】（2025·辽宁·模拟预测）已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为， 所以，， ， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：D． ‌题型6：物理与解三角形综合‌ ‌策略‌：（1）物理问题：分解力向量，利用数量积求功。 （2）解三角形：结合余弦定理与向量数量积求边长或角。 【例6】（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【详解】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A. 四、典例欣赏 【例6】[2024·江苏徐州模拟] 已知a,b,e是平面向量,且e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足(b-4e)·(b-2e)=0,则|a-b|的最小值是 ( A ) A.-1 B. C.2 D.2- 【详解】设a=(x,y),b=(m,n),e=(1,0). 由a与e的夹角为,得a·e=|a||e|cos,即x=,整理得y=±x(x>0). 由(b-4e)·(b-2e)=0,得(b-4e)⊥(b-2e),则(m-4,n)·(m-2,n)=0, 整理得m2+n2-6m+8=0,即(m-3)2+n2=1, 所以|a-b|=表示圆(m-3)2+n2=1上的点(m,n)到射线y=±x(x>0)上的点(x,y)的距离,如图, 易知其最小值为圆心(3,0)到射线y=±x(x>0)的距离减去半径1,即-1=-1.故选A. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第29讲　平面向量的数量积与平面向量应用举例 一、知识梳理 1.平面向量的数量积 (1)向量的夹角 ①定义:已知两个非零向量a,b(如图),O是平面上的任意一点,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫作向量a与b的夹角. ②性质:当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向. ③向量垂直:如果a与b的夹角是,我们说a与b垂直,记作a⊥b. (2)数量积的定义 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量　　　　　　叫作向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=　　　　　　.  规定:零向量与任一向量的数量积为　　　,即0·a=0.  (3)投影向量 如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则　　　　就是向量a在向量b上的投影向量,且=|a|cos θ e(e为与b方向相同的单位向量).  2.平面向量数量积的性质 设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量. ①a·e=e·a=　　　　.  ②a⊥b⇔　　　　.  ③当a与b同向时,a·b=　　　　;当a与b反向时,a·b=　　　　.特别地,a·a=a2=　　　　或|a|=　　　　.  ④|a·b|　　　|a||b|.  3.平面向量数量积的运算律 对于向量a,b,c和实数λ,有 ①交换律:　　　　　　　　;  ②数乘结合律:(λa)·b=　　　　　　　=　　　　　(λ∈R);  ③分配律:(a+b)·c=　　　　　　.  4.平面向量数量积的有关结论 已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),<a,b>为a与b的夹角. 向量表示 坐标表示 向量a的模 |a|= |a|=　　  a,b的数量积 a·b=|a||b|cos<a,b> a·b=　　　  a与b垂直 a⊥b⇔a·b=0 a⊥b⇔　　　  a与b的夹角 cos<a,b>= cos<a,b>=　　　　　  二、核心原则‌ （1）‌数量积定义与性质‌ ‌定义‌：对于向量a与b，数量积a·b=|a||b|cos<a,b>（θ为夹角）。 ‌性质‌：交换律；分配律；数乘结合律。 （2）‌投影与模长‌ 向量a在b上的投影， 投影向量。 模长公式。 （3）‌解题思想‌ ‌坐标优先‌：若图形易建系，优先用坐标法简化运算。 ‌几何转化‌：利用数量积的几何意义（如夹角、垂直）结合图形分析。 三、常见题型分类与解题策略‌ ‌题型1：数量积的直接运算‌ ‌策略‌：（1）坐标法： （2）基底法：选择不共线的基底向量分解目标向量。 【例1】（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（     ） A． B． C． D．2 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设，， 则， 故当时，取得最大值，最大值为. 故选：D. ‌题型2：向量夹角问题‌ ‌策略‌：利用夹角公式cos<a,b>=，注意钝角/锐角条件。 【例2】（2025·全国·模拟预测）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】， . . . . . .故选：C. ‌题型3：模长与最值‌ ‌策略‌：（1）公式法。 （2）函数法：坐标化后转化为二次函数或三角函数求最值。 【例3】（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 . 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. ‌题型4：垂直条件的应用‌ ‌策略‌：（1）坐标法。 （2）几何法：利用图形性质（如直径所对圆周角为直角）。 【例4】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【详解】由题意有， 又因为，所以 ， 故选：B. ‌题型5：投影与几何应用‌ ‌策略‌：（1）投影公式：。 （2）几何问题：将向量关系转化为图形中的长度或角度关系。 【例5】（2025·辽宁·模拟预测）已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为， 所以，， ， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：D． ‌题型6：物理与解三角形综合‌ ‌策略‌：（1）物理问题：分解力向量，利用数量积求功。 （2）解三角形：结合余弦定理与向量数量积求边长或角。 【例6】（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【详解】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A. 四、典例欣赏 【例6】[2024·江苏徐州模拟] 已知a,b,e是平面向量,且e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足(b-4e)·(b-2e)=0,则|a-b|的最小值是 ( A ) A.-1 B. C.2 D.2- 【详解】设a=(x,y),b=(m,n),e=(1,0). 由a与e的夹角为,得a·e=|a||e|cos,即x=,整理得y=±x(x>0). 由(b-4e)·(b-2e)=0,得(b-4e)⊥(b-2e),则(m-4,n)·(m-2,n)=0, 整理得m2+n2-6m+8=0,即(m-3)2+n2=1, 所以|a-b|=表示圆(m-3)2+n2=1上的点(m,n)到射线y=±x(x>0)上的点(x,y)的距离,如图, 易知其最小值为圆心(3,0)到射线y=±x(x>0)的距离减去半径1,即-1=-1.故选A. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$