精品解析：江苏省南通市通州区2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

2026届南通高三上学期期中 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知曲线在处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 8 6. 已知圆锥的高为，其内切球的体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，已知，平面，，点是棱上的动点，点是平面内的动点，，点为中点，则点到平面距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某次校园音乐大赛，8位评委分别给某选手打出的分数如下表： 评委 1 2 3 4 5 6 7 8 分数 8.5 8.2 8.8 8.6 8.6 8.4 8.3 8.6 统计8位评委的分数为原始数据，去掉一个最高分，去掉一个最低分后统计6位评委的分数为有效数据，则（ ） A. 原始数据的分位数为8.6 B. 原始数据的均分等于有效数据的均分 C. 若原始数据的方差为，剔除一个8.5分后得到新数据的方差为，则 D. 原始数据中剔除某个分数后的极差不大于原始数据的极差 10. 已知正方体的棱长为分别是的中点，为线段上的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 的最小值为 C. 存在点，使得 D. 二面角的正切值的取值范围是 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过分别作的准线的垂线，垂足分别为，记的面积分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 的最小值为9 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为第二象限角，若，则__________. 13. 若的展开式中，的系数为-50，则__________. 14. 平面直角坐标系中，圆，直线.若圆上存在3个点到直线的距离为，则__________；若直线上存在两点，圆上存在两点，使得四边形为正方形，则的最小值是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某工厂生产线上有2个不合格零件和5个合格零件，需逐一检测分类.每次随机抽取一个零件检测，检测后不再放回，当检测出2个不合格零件或检测出5个合格零件时停止检测. （1）求在第一次检测出合格零件的条件下第二次检测出不合格零件的概率； （2）设表示停止检测时抽取出不合格零件的个数，求的分布列和数学期望. 16. 已知函数是奇函数，是偶函数，且. （1）求的值； （2）设函数，证明：曲线是轴对称图形. 17. 如图1，矩形中，分别是的中点，分别是线段上的点，且，如图2，将四边形沿翻折，使得平面平面. （1）求证：平面； （2）当直线与所成角的余弦值为时，求线段的长度； （3）当线段最短时，求二面角的正弦值. 18. 已知椭圆的右顶点，上顶点，过点的直线交椭圆于两点. （1）若直线与垂直，求； （2）过点作轴的垂线，分别交和于点，求证：是的中点. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，设函数. （i）求证：； （ii）若恒成立，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届南通高三上学期期中 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的单调性解对数不等式，再根据集合交集的定义进行求解即可. 【详解】， 所以， 故选：D 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用复数的除法及乘法运算，再结合复数的模长公式计算求解. 【详解】因为复数满足，所以， 则. 故选：A. 3. “”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用焦点在轴上的双曲线的定义建立不等式组，求解参数范围，再结合必要不充分条件的定义求解即可. 【详解】若方程表示焦点在轴上的双曲线， 则,，解得, 得到“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的必要不充分条件； 故选：B 4. 已知曲线在处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可得曲线在处的切线斜率，再结合直线垂直运算求解. 【详解】因为，则，可得， 即曲线在处的切线斜率， 且直线的斜率， 由题意得，解得. 故选：A. 5. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数运算法则可得，继而利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】由题意得，，且，. 因为，所以， 所以，则,当且仅当时，等号成立， 故的最小值为， 故选：C 6. 已知圆锥的高为，其内切球的体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆锥的内切球以及圆锥侧面积的计算，解题的关键在于根据内切球的体积求出半径，再利用圆锥的轴截面和几何关系求出圆锥的底面半径和母线长，最后根据圆锥侧面积公式计算结果. 【详解】因为内切球的体积为，所以内切球的半径， 设圆锥的轴截面图如图所示,底面圆心为，球心为,球与圆锥侧面切点为, 圆锥高为，半径为 ,母线长为， 所以，； 因为 与相似，所以 ，即，得到， 在 中有 ,即得到，， 所以圆锥的侧面积为； 故选：B 7. 已知是定义在上的奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数是奇函数化简，再应用单调性列式结合一元二次不等式计算求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 且时，，则， 所以，且可化为， 根据解析式及二次函数的性质知，在上单调递增，且在上是连续的奇函数， 所以在上单调递增，则，所以， 所以解集为：. 故选：B. 8. 在三棱锥中，已知，平面，，点是棱上的动点，点是平面内的动点，，点为中点，则点到平面距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接和，证得，求得，得到点的轨迹是以点为球心，半径为的球面，设点到平面的距离为，结合，列出方程，求得的值，得到到平面的最短距离为，即可求解. 【详解】如图所示，连接和， 因为平面，且平面，所以， 在直角，点为的中点，且，所以， 所以点的轨迹是以点为球心，半径为的球面， 设点到平面的距离为， 因为，平面，且， 由，可得， 即，解得， 所以到平面的最短距离为. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某次校园音乐大赛，8位评委分别给某选手打出的分数如下表： 评委 1 2 3 4 5 6 7 8 分数 8.5 8.2 8.8 8.6 8.6 8.4 8.3 8.6 统计8位评委的分数为原始数据，去掉一个最高分，去掉一个最低分后统计6位评委的分数为有效数据，则（ ） A. 原始数据的分位数为8.6 B. 原始数据的均分等于有效数据的均分 C. 若原始数据的方差为，剔除一个8.5分后得到新数据的方差为，则 D. 原始数据中剔除某个分数后的极差不大于原始数据的极差 【答案】BD 【解析】 【分析】将原始数据从小到大进行排序，结合百分位数，平均数，方差，极差的定义求解即可. 【详解】原始分数从小到大排序：，去掉的最低分为：，最高分为：； 对于A，数据共有个，所以，则原始数据的分位数为，故A错误； 对于B，原始数据平均分为， 有效数据平均分为，所以原始数据的均分等于有效数据的均分，故B正确； 对于C，原始数据的方差为， 剔除一个8.5分后得到新数据的平均数为，则方差为， 所以与不相等，故C不正确； 对于D，原始数据的极差为：， 若剔除的数据不是或，则极差不变， 若剔除的数据是或，则极差会变小，故D正确； 故选：BD 10. 已知正方体的棱长为分别是的中点，为线段上的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 的最小值为 C. 存在点，使得 D. 二面角的正切值的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用即可判断；对于B，将平面展平到与平面共面时，即可求出的最小值；对于C,建立空间直角坐标系，利用向量的数量积即可判断；对于D,利用向量法求出平面夹角的余弦，利用函数单调性得出余弦最小值，此时夹角最大，求正切值即可判断. 【详解】对于A，因为点到平面的距离为定值，分别是的中点， 所以为定值，则为定值， 由于，所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，将平面展平到与平面共面时，连接， 可得， 由于，所以的最小值为，故B正确； 对于C，如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，    则，，. 设，，则点坐标为. ，， 若，则，即，解得， 又，故不存在这样的点，使得，C错误； 对于D，设二面角的平面角为，由图可得， 取平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量，则， 令，则，即 则， 因为当时，为增函数， 故当时，，即夹角最大时，余弦值为， 此时，， 故当时，，即夹角最小时，余弦值为， 此时，， 二面角的正切值的取值范围是,故D正确. 故选：ABD 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过分别作的准线的垂线，垂足分别为，记的面积分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 的最小值为9 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用抛物线的定义即可求解；对于B，将直线与抛物线联立方程，利用二次方程根与系数的关系即可判断； 对于C，利用基本不等式求解即可；对于D，结合抛物线定理，利用三角形面积公式可求得的值，从而判定是否成立. 【详解】对于A，由题可得：，所以，故A正确 对于B，显然直线的斜率不为，不妨设为， 由 得. 则. 则，即有定值，，故B不正确； 对于C，由题可得，，，且 所以，当且仅当时取等号， 则的最小值为9，故C正确 对于D， 根据条件有． 由抛物线的定义得， 于是，，. ， 则有．故D正确； 故选:ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为第二象限角，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由诱导公式和同角平方关系即可求解. 【详解】，得， 所以， 又由条件可知：， 所以， 故答案为： 13. 若的展开式中，的系数为-50，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据二项式定理求解即可. 【详解】根据二项式定理， 所以项的系数为，解得. 故答案为：3. 14. 平面直角坐标系中，圆，直线.若圆上存在3个点到直线的距离为，则__________；若直线上存在两点，圆上存在两点，使得四边形为正方形，则的最小值是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后根据圆与直线的关系求出圆的半径即可；先设出直线的方程，然后求出平行直线间的距离即为正方形的边长，然后求出弦长，进而得到等式，令判别式大于等于0，即可求得半径的最小值. 【详解】圆到直线的距离为， 因为圆上存在3个点到直线的距离为， 所以半径为； 设正方形边长为，则所在直线方程为， 则该直线与直线的距离为， 为圆与直线的交点，则弦长， 可得，整理得， 该方程有实数解，则判别式，解得， 故的最小值为. 故答案为：；. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某工厂生产线上有2个不合格零件和5个合格零件，需逐一检测分类.每次随机抽取一个零件检测，检测后不再放回，当检测出2个不合格零件或检测出5个合格零件时停止检测. （1）求在第一次检测出合格零件的条件下第二次检测出不合格零件的概率； （2）设表示停止检测时抽取出不合格零件的个数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 数学期望为【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式进行求解即可； （2）根据古典概型运算公式，结合分布列和数学期望公式进行求解即可. 【小问1详解】 设“第1次检测出合格零件”为事件，“第2次检测出不合格零件”为事件， 则， 故在第1次检测出合格零件的条件下第2次是不合格零件的概率为. 【小问2详解】 由题意可能的取值为. 表示前5次检测出的均为合格零件，则. 表示停止检测时前5次中恰有1个不合格且第6次为合格，则. . 则的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望. 16. 已知函数是奇函数，是偶函数，且. （1）求的值； （2）设函数，证明：曲线是轴对称图形. 【答案】（1）1 （2） 首先，则 其次设，则 因为 即. 因此，曲线是对称轴为的轴对称图形. 【解析】 【分析】（1）由函数的奇偶性构造方程组，求得.即可求解； （2）由和分别关于对称，即可求证； 【小问1详解】 由，得① 因为函数是奇函数，是偶函数， 则② 联立①②，解得. . 【小问2详解】 略 17. 如图1，矩形中，分别是的中点，分别是线段上的点，且，如图2，将四边形沿翻折，使得平面平面. （1）求证：平面； （2）当直线与所成角的余弦值为时，求线段的长度； （3）当线段最短时，求二面角的正弦值. 【答案】（1） 在矩形中，分别是的中点， 所以和是全等的正方形， 所以. 又因为平面平面， 平面平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又因为平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明即可证得线面垂直； （2）建立空间直角坐标系后写出，再设出点，则，写出，再运用向量夹角公式列出方程，即可求得，继而求得； （3）利用这个二次函数，求出取得最小值时的，则两点确定，再求出两个平面的法向量，利用向量夹角公式求出二面角的余弦值，再转换为正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. 设，则， 所以，而， 设直线与所成角为， 则， 解得或（舍去）.所以， 所以线段的长度为. 【小问3详解】 因为， 所以当时，线段最短， 此时. 设是平面的一个法向量， 则，即， 取平面的一个法向量为. 设是平面的一个法向量， 则即， 取平面的一个法向量为. 设二面角的平面角为， 则， 所以. 18. 已知椭圆的右顶点，上顶点，过点的直线交椭圆于两点. （1）若直线与垂直，求； （2）过点作轴的垂线，分别交和于点，求证：是的中点. 【答案】（1） （2） 设直线，， 联立方程，消去得， 则. 因为直线分别交和于，则. 且直线，可得. 方法一：要证是的中点，只需证明：， 只需证明. 因为 ， 且 ， 所以，得证； 方法二：因为在椭圆上， 则，整理可得， 显然，可得 ①-②得③ 因为共线，且斜率必存在， 则，即 可得④ 将④代入③得，即， 即， 可得 ， 所以是的中点. 【解析】 【分析】（1）根据题意求椭圆方程和直线的方程，联立方程结合弦长公式运算求解； （2）方法一：原题意等价于，结合韦达定理运算分析证明；方法二：点代入方程整理可得，结合三点共线可得，进而分析证明. 【小问1详解】 因为椭圆的右顶点，上顶点，则， 所以椭圆的方程为， 设， 直线的斜率， 因为直线过点且与垂直，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 联立方程组，消得， 则，， 所以 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，设函数. （i）求证：； （ii）若恒成立，求实数的值. 【答案】（1） 当时，在单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） （i）首先证明：，当且仅当时等号成立. 记， 当时，，当，， 则在上单调递减，在上单调递增； 所以， 即，当且仅当时等号成立. 由， 所以有，当且仅当时等号成立， 所以有， 当且仅当时等号成立. 若，函数. 当时，； 当时，； 综上，. （ii）1 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导，根据导函数的正负性，结合的正负性分类讨论进行求解即可； （2）首先证明：.（i）运用已证明不等式，结合放缩法进行求解即可；（ii）构造新函数，利用导数的性质，结合函数零点存在原理进行分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 函数，定义域为. 因为， 当时，恒成立，则在单调递增； 当时，， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 （i）略 （ii）记， 即要求恒成立. 当时， 当且仅当时等号成立. 当时， . 记， ， 所以在单调递减. 当时，取， ， ， 由函数零点存在定理，存在唯一的，使得， 当时，，此时在单调递减， 则，不符合题意. 当时，取， ， ， 由函数零点存在定理，存在唯一的，使得， 当时，，此时在单调递增， 则，不符合题意. 综上，实数的值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $