第五章 一元一次方程 综合练习题（1）2025-2026学年北师大版数学七年级上册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第五章 一元一次方程 章综合复习题（1） 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、 选择题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ） 1.下列各式中，属于方程的是（    ） A. B. C. D. 2.已知方程是关于的一元一次方程，则的值是（    ） A. B. C. D. 3.若是关于的方程的解，则的值是（    ） A. B. C. D. 4.小刚同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是请问这个被涂黑的常数是（    ） A. B. C. D. 5.下列运用等式性质进行的变形，不正确的是（    ） A.如果，那么 B.如果，那么 C.如果，那么 D.如果，那么 6.当时，嘉淇计算多项式的值为，当时，的值为，则的值为（   ） A. B. C. D. 7.如果与的值互为相反数，那么的值是（   ） A. B. C. D. 8.解方程需下列四步，其中发生错误的一步是（    ） A.去分母，得 B.去括号，得 C.移项，得 D.合并，得 9.在解决问题“小喜在、两地间进行骑车训练，去时每小时行千米，用了小时；返回时用了小时，每小时行多少千米？”时有四种方案，其中错误的方案是（    ） 方案一：                            方案二： 方案三：设每小时行千米．        方案四：设每小时行千米． A.方案一 B.方案二 C.方案三 D.方案四 10.一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（    ） A. B. C.或 D.或 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4分 ，共计20分 ） 11.若，则      ． 12.已知是方程的解，那么的值为_____________． 13.已知是关于的方程的解，则代数式_______________． 14.若，则_____________． 15.某鲜牛奶加工厂的生产车间原有人，包装车间原有人，因为某个业务的需要，从生产车间抽调人到包装车间，要使包装车间的人数比生产车间的人数的倍还多人才能够顺利完成任务，依题意列出的方程是________________________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，每题 9 分 ，共计90分 ） 16.解方程 （1）． （2）． 17.只列方程，不解方程 （1）某班有男生人，比女生的倍少人，这个班女生有多少人？ （2）小明买苹果和梨共千克，用去元，其中苹果每千克元，梨每千克元，问苹果买了多少千克？ 18.小周学习《．等式的基本性质》后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小周同学的具体过程如图所示： 将等式变形 得（第①步） （第②步） （1）哪一步等式变形产生错误？ （2）请你分析产生错误的原因． 19.是最大的负整数，且，则关于的一元一次方程的解是多少？ 20.若规定，当时，试求的值． 21.已知关于的一元一次方程，其中为整数 （1）求的值 （2）若该方程与方程同解，求的值 （3）若该方程有整数解，求的值 22.我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： 已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； 已知关于的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求，的值． 23.嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． （1）嘉淇猜想“■”遮挡的常数是，请你算一算的值； （2）老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 24.有甲、乙两家复印社收费标准如下： 不超过页 超过页不超过页 超过页 甲复印社 元/页 超过页的部分每页打七五折 乙复印社 元/页 超过页的部分每页打七折 （1）当复印不超过页时，请直接写出到哪家复印更合算_____________； （2）当复印超过页不超过页时，复印多少页，两家复印社的收费相同？ （3）数学老师要复印超过页的资料，请你帮他选择哪一家复印社更合算． 25.已知有理数，，在数轴上所对应的点分别是、、三点，原点为，点在数轴上以每秒个单位长度的速度运动，同时点和点在数轴上分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度运动，设运动时间为秒．且、、满足： ①．②多项式是关于的二次三项式． （1）直接写出，，的值； （2）点为数轴上点右侧一点，且点对应的数为，化简； （3）若点与点同时相向而行，在运动到某时刻，满足，试求运动时间的值； （4）若点向左运动，同时点和点在数轴也向左运动，运动的过程中，当时，那么的值会发生变化吗？若不变，求出这个不变化的值，若变化，请说明理由． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第五章 一元一次方程 章综合复习题（1） 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、 选择题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ） 1.下列各式中，属于方程的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查的是方程的定义，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案． 【解答】．，不含“＝”，不是方程； ．，含不等号，不是方程； ．是方程； ．，不含未知数，不是方程； 故选：． 2.已知方程是关于的一元一次方程，则的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：且， ， 故选：． 3.若是关于的方程的解，则的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查方程的解，解题的关键是理解题意，根据方程的解的定义把代入方程可得关于的方程，解方程即可解决问题． 【解答】解：把代入方程，得： ， 解得：， 故选：． 4.小刚同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是请问这个被涂黑的常数是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了方程的解，将代入求解即可． 【解答】 解：将代入， 得：， 解得：， 故选：． 5.下列运用等式性质进行的变形，不正确的是（    ） A.如果，那么 B.如果，那么 C.如果，那么 D.如果，那么 【答案】C 【解析】根据等式的性质判断即可． 【解答】解：．等式两边都减去，所的结果仍是等式，故该选项不符合题意； ．等式两边都加，所的结果仍是等式，故该选项不符合题意； ．有可能等于，不能两边都除以，故该选项符合题意； ．， 等式两边乘，所的结果仍是等式，故该选项不符合题意； 故选：． 6.当时，嘉淇计算多项式的值为，当时，的值为，则的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了解一元一次方程 利用给定的和多项式值，代入解方程即可． 【解答】解： 当 时，， ，即 ， 当 时，， ， 代入 ，得 ， ， 故选：． 7.如果与的值互为相反数，那么的值是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去括号、移项、合并、将未知数系数化为，求出解． 根据互为相反数两数之和为列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【解答】解：根据题意得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 故选：． 8.解方程需下列四步，其中发生错误的一步是（    ） A.去分母，得 B.去括号，得 C.移项，得 D.合并，得 【答案】C 【解析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 掌握解一元一次方程的步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，注意移项时，需变号，即可判断求解． 【解答】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并，得， 移项，得步骤错误， 故选：． 9.在解决问题“小喜在、两地间进行骑车训练，去时每小时行千米，用了小时；返回时用了小时，每小时行多少千米？”时有四种方案，其中错误的方案是（    ） 方案一：                            方案二： 方案三：设每小时行千米．        方案四：设每小时行千米． A.方案一 B.方案二 C.方案三 D.方案四 【答案】D 【解析】本题考查行程问题中速度、时间和路程的关系．由于、两地间路程不变，去时和返回的路程相等．根据路程速度时间，可求返回速度．方案四错误地认为时间比等于速度比，而实际上速度与时间成反比． 【解答】解：路程相等， 去时路程返回路程． 即，其中为返回速度． 解得 千米/小时． 方案一：，正确； 方案二：，正确； 方案三：设每小时行 千米，有，正确； 方案四：设每小时行千米，有 ，但实际应为 ，故错误． 错误方案是方案四， 故选：． 10.一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（    ） A. B. C.或 D.或 【答案】D 【解析】设出点所表示的数，根据点、所表示的数，表示出的距离，在根据，表示出，由折叠得，，列方程即可求解． 【解答】解：设点所表示的数为，， ，点所表示的数为， 表示的数为或， ，或， 根据折叠得，， 或， 解得：或， 故选：． 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4分 ，共计20分 ） 11.若，则    1  ． 【答案】 【解析】由，可得，再代入求解即可得出答案． 【解答】 解：， ， 故答案为：． 12.已知是方程的解，那么的值为______________． 【答案】 【解析】将，代入方程，再解关于的方程即可； 【解答】解：由题意得， ，， 故答案为：-1 13.已知是关于的方程的解，则代数式_________________． 【答案】 【解析】根据一元一次方程的解的定义可知的值，然后代入求值即可． 【解答】解：把代入，得 解得 所以 故答案为：-6 14.若，则______________． 【答案】 【解析】根据非负数的性质求得，，再代入求值即可． 【解答】 解：， ，， ，， ， 故答案为：． 15.某鲜牛奶加工厂的生产车间原有人，包装车间原有人，因为某个业务的需要，从生产车间抽调人到包装车间，要使包装车间的人数比生产车间的人数的倍还多人才能够顺利完成任务，依题意列出的方程是_________________________． 【答案】 【解析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意，得到抽调后，生产车间的人数为，包装车间的人数为，再根据包装车间的人数比生产车间的人数的倍还多人，列出方程即可． 【解答】解：从生产车间抽调人到包装车间，则：抽调后，生产车间的人数为，包装车间的人数为，由题意，得： ； 故答案为：． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，每题 9 分 ，共计90分 ） 16.解方程 （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可； （2）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 17.只列方程，不解方程 （1）某班有男生人，比女生的倍少人，这个班女生有多少人？ （2）小明买苹果和梨共千克，用去元，其中苹果每千克元，梨每千克元，问苹果买了多少千克？ 【答案】（1） （2） 【解析】（1）设这个班女生有人，根据有男生人，比女生的倍少人列出方程即可； （2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克，再根据苹果和梨的价格、以及用去元列出方程即可得． 【解答】（1）解：设这个班女生有人， 由题意列方程为． （2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克， 由题意列方程为． 18.小周学习《．等式的基本性质》后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小周同学的具体过程如图所示： 将等式变形 得（第①步） （第②步） （1）哪一步等式变形产生错误？ （2）请你分析产生错误的原因． 【答案】（1）第二步等式变形错误 （2）等式两边同时除以一个可能等于零的 【解析】（1）根据等式的性质可知错误发生在第二步； （2）根据等式的基本性质即可解答． 【解答】解：（1）第二步等式变形产生错误． （2）第二步产生错误的原因是：等式两边同时除以一个可能等于零的，等式不成立． 19.是最大的负整数，且，则关于的一元一次方程的解是多少？ 【答案】 【解析】本题考查了解一元一次方程，根据题意得，进而可得，再将，代入即可求解，熟练掌握一元一次方程的解法及整数的定义是解题的关键． 【解答】解：因为是最大的负整数，所以． 因为，所以． 当，时，原方程为：， 解得：， 故方程的解是． 20.若规定，当时，试求的值． 【答案】 【解析】本题考查了解一元一次方程，能根据新定义得出方程是解此题的关键． 根据新定义得出，进一步计算即可求解． 【解答】解：由题意得： 21.已知关于的一元一次方程，其中为整数 （1）求的值 （2）若该方程与方程同解，求的值 （3）若该方程有整数解，求的值 【答案】（1）；（2） （3）或或或 【解析】（1）一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为且两边都为整式的等式，据此即可获得答案； （2）首先解方程可得，然后将代入方程并求解，即可获得答案； （3）根据题意，当时，，易知当取、时才能使该方程有整数解为整数，然后求解即可． 【解答】（1）解：根据题意，方程为关于的一元一次方程， ，， 解得，， 的值为； （2）解方程，可得， 依题意得，方程的解为， 将代入方程， 可得， 解得， 的值为； （3）解：关于的一元一次方程有整数解， 当时，， 当取、时才能使该方程有整数解为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，或或或． 22.我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： 已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； 已知关于的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求，的值． 【答案】；， 【解析】根据和解方程的定义即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 根据和解方程的定义即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值． 【解答】解：方程是和解方程， ， 解得：． 关于的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是， ，且， 解得，． 23.嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． （1）嘉淇猜想“■”遮挡的常数是，请你算一算的值； （2）老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 【答案】（1） （2）遮挡的常数是 【解析】（1）根据题意得出方程，然后解方程即可； （2）先解方程得出，设遮挡的常数为，然后把代入方程得，求出的值即可． 解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般方法，准确计算． 【解答】（1）解：由题意得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． （2）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 设遮挡的常数为， 把代入方程得， 解得． 故遮挡的常数是． 24.有甲、乙两家复印社收费标准如下： 不超过页 超过页不超过页 超过页 甲复印社 元/页 超过页的部分每页打七五折 乙复印社 元/页 超过页的部分每页打七折 （1）当复印不超过页时，请直接写出到哪家复印更合算______乙________； （2）当复印超过页不超过页时，复印多少页，两家复印社的收费相同？ （3）数学老师要复印超过页的资料，请你帮他选择哪一家复印社更合算． 【答案】乙；（2）页；（3）当超过页小于页时，选择甲合算；当等于页时，两家一样合算；当超过页时，选择乙合算． 【解析】（1）根据题意，直接进行判断即可； （2）根据题意，设复印页，两家复印社的收费相同，然后列出方程，解方程即可； （3）先求出费用相同时的页数，然后进行讨论，即可得到答案． 【解答】解：（1）复印不超过页时，乙复印社的价格便宜， 选择乙复印社； 故答案为：乙； （2）设复印页，两家复印社的收费相同 根据题意得， 解得：． 答：当超过页不超过页时，复印页，两家复印社的收费相同． （3）设当要复印超过页的资料时，复印页，收费相同，根据题意得， 解得： 答：当超过页小于页时，选择甲合算；当等于页时，两家一样合算；当超过页时，选择乙合算． 25.已知有理数，，在数轴上所对应的点分别是、、三点，原点为，点在数轴上以每秒个单位长度的速度运动，同时点和点在数轴上分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度运动，设运动时间为秒．且、、满足： ①．②多项式是关于的二次三项式． （1）直接写出，，的值； （2）点为数轴上点右侧一点，且点对应的数为，化简； （3）若点与点同时相向而行，在运动到某时刻，满足，试求运动时间的值； （4）若点向左运动，同时点和点在数轴也向左运动，运动的过程中，当时，那么的值会发生变化吗？若不变，求出这个不变化的值，若变化，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或 （4）的值不变，为定值 【解析】（1）根据非负数的性质可求出、的值，根据多项式次数和项的定义即可求出的值； （2）根据题意可得，据此化简绝对值即可； （3）先表示出，根据建立方程求解即可； （4）分别表示出点，点，点表示的数，再根据数轴上两点距离公式表示出即可得到结论． 【解答】（1）解：，， ， ， ， 是关于的二次三项式， ， ； （2）解：点为数轴上点右侧一点，点表示的数为， ， ； （3）解：由得 ，运动前点表示的数为，点表示的数为， 点与点同时相向而行， 点表示的数为，点表示的数为， ， ， 或， 解得或； （4）解：设运动时间为，则点表示的数为点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，， ， 的值不变，为定值. 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $