第五章 二元一次方程组 综合练习题（1）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第五章 二元一次方程组 章综合复习题（1） 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择） 一、 选择题（本题共计 10 小题 ，共计40分 ） 1.（4分）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】此题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数项的次数都是的整式方程叫做二元一次方程． 根据定义依次判断即可． 【解答】解：、方程中含有分式，不是整式方程，故此选项错误；   、方程中含有个未知数，不符合题意，故此选项错误；   、含有个未知数，整理后含未知数的次数的项的最高次数是，不符合题意，故此选项错误；   、符合二元一次方程定义，故此选项正确． 故选． 2.（4分）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握“方程组中共含有两个未知数，含未知数的项的最高次数是，两个方程都是整式方程，具备这几个条件的方程组是二元一次方程组”是解题的关键．根据二元一次方程组的定义，需满足：①两个未知数；②每个方程均为一次整式方程． 【解答】 解：、含三个未知数，不符合“二元”条件，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意． 、第一个方程为分式方程，非整式方程，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意． 一个方程为二次方程，非一次方程，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意． 、两个方程均为一次整式方程，且仅含两个未知数．第二个方程可视为，符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组，故此选项符合题意． 故选：． 3.（4分）若是关于、的方程的一个解，则的值是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了二元一次方程的解，先把把代入，得，再解出，即可作答． 【解答】解：是关于、的方程的一个解， 把代入， 得， 解得， 故选：． 4.（4分）以为解的二元一次方程组是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分别把代入二元一次方程组，能够使方程组中各个方程左右两边都相等，即为答案． 【解答】解：把代入中，第二个方程不成立，方程组不符合题意； 把代入中，两个方程都成立，方程组符合题意； 把代入中，第二个方程不成立，方程组不符合题意； 把代入中，第二个方程不成立，方程组不符合题意； 故选：． 5.（4分）小亮和小明两人在解方程组时，小亮正确解得，小明因抄错，解得，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了解二元一次方程组和三元一次方程组的解，根据方程解的概念将方程的解代入未抄错的方程中得出关于的方程和得出关于、的方程组是解此题的关键．根据方程组的解的定义得到关于、、的方程组，再进一步运用加减消元法求解，再代入计算即可． 【解答】解：根据题意把代入原方程组，得， 把代入，得， 可组成方程组， 解得， 则． 故选：． 6.（4分）古老的巴比伦泥板书中记载这样一个问题：两块田地中，第一块每沙尔出产西拉谷物，第二块每沙尔出产西拉谷物（沙尔和西拉分别为面积和容积的度量单位）．第一块地的产量比第二块的多西拉；两块地的面积总共为沙尔，问每块地各是多大？设第一块地为沙尔，另一块地为沙尔，则可列方程组为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意列出二元一次方程组即可． 【解答】解：根据题意列方程组得，， 故选：． 7.（4分）以方程组的解为坐标点，在平面直角坐标系中所在的象限是（   ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【解析】解：本题考查解二元一次方程组及判断点的坐标所在象限，通过解方程组得到点的坐标，再根据各象限内点的符号特征确定位置即可． 【解答】 解方程组：， 将①与②相加，消去得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解为：， 点的坐标为， ，， 该点位于第二象限． 故选：． 8.（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两直线的交点坐标即这两条直线组成的方程组的解是解题关键． 将点代入，求出其横坐标，则横坐标为所求方程组中的值，纵坐标为方程组中的值． 【解答】解：在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点， ， ， 则关于、的方程组的解为． 故选：． 9.（4分）若方程组的解满足方程，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法；加减消元法． 将三个方程相加，求出的值，再代入方程中解出的值． 【解答】解：将方程组中的三个方程相加： 将代入方程中： 解得： 故选：． 10.（4分）一次函数与一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点，与两坐标轴分别交于、、、四个点.则下列结论： ①一元一次方程的解为；②；③方程组的解为；④四边形的面积为，正确的是（    ） A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 【答案】D 【解析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数的图象与坐标轴的交点问题，一次函数的图象与性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数与方程(组)的关系逐一分析判断即可． 【解答】解：一次函数与一次函数 在同一坐标系中，两条直线交于点， 一元一次方程的解为，，故正确； 由，解得，故错误； 一次函数为， ， 把代入得，， ， ， 方程组的解为，故正确； 一次函数为， ， 当时，， 当时，由得， ，， 四边形的面积，故正确； 正确的是， 故选：． 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.已知关于，的二元一次方程组的解为，则这个二元一次方程组可以是__（答案不唯一）_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】本题考查以解为条件构造二元一次方程组，理解方程组解的意义是解题的关键； 根据方程组的解就是能使方程组中的每个方程成立的未知数的值，据此即可解答． 【解答】解：由关于，的二元一次方程组的解为，可计算得，，因此，方程组满足条件， 故答案为（答案不唯一）． 12.已知方程是关于，的二元一次方程，则的值为________________． 【答案】 【解析】本题考查了二元一次方程的定义，正确理解二元一次方程的定义是解题的关键．形如且的方程，只含有二个未知数，并且未知数的项的次数是的整式方程，是二元一次方程，据此回答即可． 【解答】解：依题意，得， 解得，， 故答案为： 13.若，则的值为____________． 【答案】 【解析】本题考查非负数的性质，正确理解绝对值和有理数平方的意义是解题的关键． 根据绝对值和平方的非负性，得到二元一次方程组，通过方程组变形直接求解的值． 【解答】解：，，， 将两个方程相减，得， 化简得， ，即． 故答案为：．   14.某校为开展体育活动，购买同样的篮球个，排球个，足球个，共花费元，后来又买同样的篮球个，排球个，足球个共花费元，问买同样的篮球个，排球个，足球个，共需______110_________元． 【答案】 【解析】本题考查了三元一次方程组的应用．设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元，依题意得，，然后作答即可． 【解答】 解：设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元，依题意得， ， 由②得：， 由得：， 则购买同样的篮球、排球、足球各个，共需花费元， 故答案为：． 15.如图，直线与直线相交于点，则关于的方程组的解为____________． 【答案】 【解析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，首先把点代入直线求出的值，进而得到点坐标即可，解题的关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解． 【解答】解：直线过点， ， 点， 直线与直线相交于点， 方程组的解为， 故答案为：． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.(6分) 解下列方程组． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】（1）用加减消元法求解即可； （2）消去，与②组成关于，的二元一次方程组求解，的值，再求出的值即可． 【解答】解：（1） ，得 把代入①，得 （2） ，得 联立②和④，得 ， 解得 把代入①，得 17.(8分) 已知关于的方程是二元一次方程． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）根据题意得到，，，，进而求解即可； （2）首先原方程可化为，然后将代入求解即可． 【解答】解：（1）由题意，得，，， ，． （2）由知，，则原方程可化为． 当时，， 解得．  18.（8分）已知和都是方程的解，求、的值． 【答案】， 【解析】此题考查二元一次方程的解，解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将和代入就即可求解． 【解答】解：和都是方程的解 得， 解得， 将代入①得， 解得 19.(8分) 一个星期天，小明和小文同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为． （1）求，的值； （2）求原方程组的解． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）根据一个方程抄错则另一个方程没有抄错，得到关于、的二元一次方程组，计算即可得到答案． （2）、的值代入原方程，解方程组即可． 【解答】（1）解：由题意得： 由可得： 解得：， 把代入①得 解得： （2）解：把代入原方程组为： 得 解得； 把代入①得， ， ． 20.(10分) 已知关于、的方程组． （1）请写出方程的所有正整数解． （2）若方程组的解满足，求的值． （3）当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】（1）确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值； （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【解答】（1）解：方程整理得， 当时，；当时，； 方程的正整数解有：，； （2）解： 联立和得，， 得，， 将代入得，， 解得， 将和代入得，， 解得； （3）解：变形得：， 令，得， 无论取何值，都是方程的解， 公共解为． 21.(9分) 今年（年）月日，是云大附中建校周年暨云大附中恢复办学周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小．已知小明今年岁，妹妹今年岁． 求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） 假如小明的爸爸和爷爷都是岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】爸爸岁，爷爷岁 爸爸是年华业，爷爷是年毕业的云附学子 【解析】设今年小明的爸爸岁，爷爷岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小”列出二元一次方程组求解即可． 用现在年份减去年龄加即可得到答案． 【解答】 设今年小明的爸爸岁，爷爷岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸岁，爷爷岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是年华业，爷爷是年毕业的云附学子．  22.(9分) 把图中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． （1）用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图可得_____2______． （2）求图阴影部分的周长． 【答案】；；；； （2） 【解析】（1）根据题意可表示出正方形、的边长，长方形的长和宽，再根据图中长方形的周长为，可求出的值； （2）根据图的周长可得，从而求出，然后可求出阴影部分的周长． 【解答】（1）解：正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的边长为， 正方形的边长为， 长方形的长为， 长方形的宽为， 由图可得， ， 故答案为：；；；；； （2）解：如图： 由题意得： ， ， 阴影部分的周长 ． 23.(10分) 我们把关于、的两个二元一次方程与叫作互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． （1）若关于、的方程组，为共轭方程组，则_____，_____； （2）若二元一次方程中、的值满足下列表格： 则这个方程的共轭二元一次方程是_______； （3）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： 的解为_______；的解为_______． （4）发现：若共轭方程组的解是，猜想、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），， ， （4） 【解析】 （1）含项的系数和含项的系数相等，常数项相等； （2）先求和，再写共轭二元一次方程； （3）消元法求解； （4）利用整体思想求解． 【解答】 （1）解：由定义可得：，， ，， 故答案为：， （2）解：将，和，分别代入，得： ，解得：， 二元一次方程为：， 共轭二元一次方程为：， 故答案为：． （3）解方程组， ①②得：， ， 将代入①得，， ， 方程组的解为：． 解方程组， ⑤⑥得：， ， 将代入⑤得：， ， 方程组的解为：， 故答案为：，． （4）解：将，，代入方程组得：， ， ， ． 24.(10分) 如图，数轴上、、、依次从左到右排列．如果、之间所有点表示的数，按照某种运算，恰好可以对应到、之间所有点表示的数，则称运算为“优美运算”．例如：数轴上，之间的数，可以通过运算，对应到，和之间的数，则为它的优美运算． （1）若表示的数为表示的数为． ①若、表示的数分别为，则对于、之间的，它的优美运算___（答案不唯一）________（写出一种即可）． ②若、表示的数分别为、；对于、之间的数，它的优美运算，求的值． （2）若之间的距离为距离为距离为，对于之间的，同时存在优美运算，求的值． 【答案】①（答案不唯一）；②，． （2）；、或、． 【解析】（1）①设运算，根据题意列出关于、的不等式求解即可；②根据题意列出关于、的不等式求解即可； （2）设表示的数为，则表示的数为，表示的数为，表示的数．存在优美运算，即与成反比，据此列方程组可求得、，进而得到表示的数为，则表示的数为，表示的数为，表示的数；再存在优美运算，，，据此分和两种列求解即可． 【解答】（1）解：①设运算，由题意可得： ， 解得：， （答案不唯一）． ②、表示的数分别为、；对于、之间的数，它的优美运算， ， 解得：， ，． （2）解：设表示的数为，则表示的数为，表示的数为，表示的数． 存在优美运算，即与成反比， ， 解得：， 表示的数为，则表示的数为，表示的数为，表示的数为， 存在优美运算，，， 当，时，的最小值为，则； 当，时，的最大值为，则； 综上，；、或、． 25.(12分) 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，直线分别与轴、轴交于点，，点在点的左边，且，直线与直线交于点． （1）求直线与的函数表达式． （2）求的面积． （3）在直线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线函数表达式为；直线函数表达式为 （2） （3）存在，点坐标为或 【解析】（1）由点和点坐标可求出直线函数表达式，再求出点坐标，根据点和点坐标可求出直线函数表达式； （2）分别求出点和点坐标，进而根据面积公式求解即可； （3）分类讨论，点在点上方和下方，然后表示出的面积，再根据面积公式求解即可． 本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数点的坐标特征、坐标与图形性质等内容，分类讨论是解题的关键． 【解答】（1）设表达式为，将点，代入得， ，解得， 直线函数表达式为； 由题可知， ， 设直线表达式为，将，代入得， ，解得， 直线函数表达式为； （2）令，得， ， 令，得， ， ， ； （3）当点在点上方时，如图， 此时， ， 解得， 此时， ； 当点在点下方时，如图， 此时， ， 解得正值舍去， 此时， ； 综上，满足题意的点坐标为或． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 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B. C. D. 2.（4分）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A. B. C. D. 3.（4分）若是关于、的方程的一个解，则的值是（   ） A. B. C. D. 4.（4分）以为解的二元一次方程组是（    ） A. B. C. D. 5.（4分）小亮和小明两人在解方程组时，小亮正确解得，小明因抄错，解得，则的值为（    ） A. B. C. D. 6.（4分）古老的巴比伦泥板书中记载这样一个问题：两块田地中，第一块每沙尔出产西拉谷物，第二块每沙尔出产西拉谷物（沙尔和西拉分别为面积和容积的度量单位）．第一块地的产量比第二块的多西拉；两块地的面积总共为沙尔，问每块地各是多大？设第一块地为沙尔，另一块地为沙尔，则可列方程组为（   ） A. B. C. D. 7.（4分）以方程组的解为坐标点，在平面直角坐标系中所在的象限是（   ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A. B. C. D. 9.（4分）若方程组的解满足方程，则的值为（    ） A. B. C. D. 10.（4分）一次函数与一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点，与两坐标轴分别交于、、、四个点.则下列结论： ①一元一次方程的解为；②；③方程组的解为；④四边形的面积为，正确的是（    ） A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.已知关于，的二元一次方程组的解为，则这个二元一次方程组可以是__________． 12.已知方程是关于，的二元一次方程，则的值为_______________． 13.若，则的值为__________．  14.某校为开展体育活动，购买同样的篮球个，排球个，足球个，共花费元，后来又买同样的篮球个，排球个，足球个共花费元，问买同样的篮球个，排球个，足球个，共需_____________元． 15.如图，直线与直线相交于点，则关于的方程组的解为____________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.(6分) 解下列方程组． （1） （2） 17.(8分) 已知关于的方程是二元一次方程． （1）求的值； （2）若，求的值． 18.（8分）已知和都是方程的解，求、的值． 19.(8分) 一个星期天，小明和小文同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为． （1）求，的值； （2）求原方程组的解． 20.(10分) 已知关于、的方程组． （1）请写出方程的所有正整数解． （2）若方程组的解满足，求的值． （3）当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 21.(9分) 今年（年）月日，是云大附中建校周年暨云大附中恢复办学周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小．已知小明今年岁，妹妹今年岁． 求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） 假如小明的爸爸和爷爷都是岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？  22.(9分) 把图中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． （1）用和的代数式表示：正方形的边长为__________，正方形的边长___________，长方形的长为________，长方形的宽为_____．由图可得________． （2）求图阴影部分的周长． 23.(10分) 我们把关于、的两个二元一次方程与叫作互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． （1）若关于、的方程组，为共轭方程组，则____，____； （2）若二元一次方程中、的值满足下列表格： 则这个方程的共轭二元一次方程是__ __； （3）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： 的解为_______；的解为_______． （4）发现：若共轭方程组的解是，猜想、之间的数量关系，并说明理由． 24.(10分) 如图，数轴上、、、依次从左到右排列．如果、之间所有点表示的数，按照某种运算，恰好可以对应到、之间所有点表示的数，则称运算为“优美运算”．例如：数轴上，之间的数，可以通过运算，对应到，和之间的数，则为它的优美运算． （1）若表示的数为表示的数为． ①若、表示的数分别为，则对于、之间的，它的优美运算__________（写出一种即可）． ②若、表示的数分别为、；对于、之间的数，它的优美运算，求的值． （2）若之间的距离为距离为距离为，对于之间的，同时存在优美运算，求的值． 25.(12分) 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，直线分别与轴、轴交于点，，点在点的左边，且，直线与直线交于点． （1）求直线与的函数表达式． （2）求的面积． （3）在直线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $