第13章勾股定理 本章复习课2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件系统梳理了勾股定理单元核心内容，涵盖勾股定理及其逆定理、验证方法、应用及反证法。通过知识梳理构建思维导图，串联定义公式、重点难点与例题习题，形成逻辑清晰的知识网络，帮助学生建立完整知识体系。 其亮点在于采用“知识回顾-基础练习-拓展应用”递进式活动设计，如折叠问题分析培养几何直观（数学眼光），反证法证明题强化推理意识（数学思维）。分层作业与例题方法总结助力个性化复习，有效巩固知识，为教师提供高效复习教学支持。

第13章 勾股定理 本章复习课 回顾与思考 活动一：知识回顾 高效课堂 2 1.勾股定理及其逆定理： (1)勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方. 说明：①勾股定理反映直角三角形中三边之间的平方关系，它把图形的特征转化成了数量之间的关系. ②勾股定理只在直角三角形中适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形. 高效课堂 3 ③已知直角三角形的两条边长，可求第三条边长.在应用时，要分清直角边和斜边的位置.除勾股定理外，还有如下图所示变形： 高效课堂 4 (2)勾股定理的验证方法： 勾股定理的验证方法较多，面积法是常用的一种方法，具体方法是把同一个图形的面积用不同的形式表示，再根据同一个图形的面积的不同表达形式相等，列出等式，通过化简等运算就可验证勾股定理.以下图形是验证勾股定理的常用图形： 高效课堂 5 (3)勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角. 说明：①用三角形的三边长判定三角形是直角三角形，体现了数形结合的思想，用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的步骤是：先找出最长边，然后计算两个短边的平方和，看它与最长边的平方是否相等.若相等，是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形.除此之外，它还可以证明两条线段垂直. 高效课堂 6 ②勾股定理与勾股定理的逆定理是互逆定理，勾股定理主要反映了直角三角形三边之间的数量关系，它是解决直角三角形中有关计算与证明的主要依据；勾股定理的逆定理主要的应用是把数转化为形，通过计算三角形三边之间的关系来判断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据. ③满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数.如3、4、5，5、12、13，n2－1、2n、n2＋1(n为大于1的整数)等. 高效课堂 7 2.勾股定理的应用： 勾股定理的实际应用就是把实际问题转化为数学问题，它的前提是直角三角形，在求解时常运用题目中的直角条件或构造直角三角形，利用勾股定理直接求或利用勾股定理列出方程求解. 高效课堂 8 3.反证法： (1)定义：首先假设结论的反面成立，然后经过正确的逻辑推理得出与已知、定理、定义、基本事实矛盾的结论，从而得到原结论的正确，像这样的证明方法叫做反证法. (2)反证法证明的一般步骤： ①反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； ②归谬：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③存真：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 高效课堂 9 活动二：基础知识练习 高效课堂 B 10 高效课堂 13 20 24 11 高效课堂 10或 12 高效课堂 勾股定理 a2＋b2＝c2 13 高效课堂 4 14 活动三：拓展应用 高效课堂 解析 作出图形，根据三角形的面积公式，要求△ABC的面积.由于三边已知，因此，只需求出任一边上的高即可.可作AD⊥BC于点D.高AD将△ABC分成两个直角三角形，但这两个三角形中都只知道一条边，无法用勾股定理直接求出.观察得AD是这两个直角三角形的公共边，可利用AD作为“桥梁”，建立方程求解.即设BD＝x，利用勾股定理列出方程，求出x的值，再利用勾股定理求出AD的长，进而就可求出△ABC的面积. 15 答案 如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13， 设BD＝x，则CD＝14－x. 由勾股定理，可得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2. 所以152－x2＝132－(14－x)2， 解得x＝9.所以CD＝14－x＝14－9＝5. 在Rt△ADC中， 所以 高效课堂 16 方法技巧： 对于非直角三角形中求线段的长，通常作高，将三角形分成两个直角三角形求解.当这两个直角三角形中有一个已知两边长时，可直接利用勾股定理求出第三边，进而求解.当两个直角三角形没有一个能直接利用勾股定理求解时，通常设未知数，利用公共直角边(即高)作桥梁，根据勾股定理列方程求解. 高效课堂 17 例2 求证：△ABC中至少有两个角是锐角. 解析 至少有两个角是锐角，就是说在△ABC中有两个锐角或三个锐角，它的反面就是至多有一个锐角，即只有一个锐角或没有锐角. 高效课堂 18 已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有两个角是锐角. 证明：假设△ABC中至多有一个锐角，则△ABC中有一个锐角或没有锐角. (1)当△ABC中只有一个锐角时，不妨设∠A为锐角，则∠B≥90°，∠C≥90°，所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，所以△ABC中不可能只有一个锐角. 高效课堂 19 (2)假设△ABC中没有锐角，则∠A≥90°，∠B≥90°，∠C≥90°，所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，所以△ABC中不可能没有锐角. 由(1)(2)得出假设不成立，从而原命题成立. 综上所述，△ABC中至少有两个锐角. 高效课堂 20 规律总结： (1)有些命题的结论中含有“至多”“至少”“超过”“不超过”等词，可考虑利用反证法证明. (2)若结论的反面不止一种情况，必须把各种可能情况全部列出来，并逐一加以否定之后才能肯定原结论是正确的. (3)在推理论证时，要把假设作为新增加的已知条件加进去. 高效课堂 21 例3 如图，折叠长方形ABCD(四个角都是直角，对边相等)的一边AD，使点D落在BC边上的点F处.已知AB＝8 cm，BC＝10 cm，求BF和EC的长. 解析 由折叠的性质，可得AD＝AF，∠D＝∠AFE，DE＝EF，由勾股定理可求BF的长，进而求得FC的长.设EC＝x cm，则DE＝(8－x)cm，在Rt△ECF中，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程就可求得EC的长. 高效课堂 22 答案 设EC的长为x cm，则DE＝(8－x)cm. 因为△ADE折叠后的图形是△AFE， 所以AD＝AF，∠D＝∠AFE，DE＝EF. 因为AD＝BC＝10 cm，所以AF＝AD＝10 cm. 又因为AB＝8 cm， 在Rt△ABF 中，根据勾股定理，可得AB2＋BF2＝AF2， 所以82＋BF2＝102，所以BF＝6 cm. 所以FC＝BC－BF＝10－6＝4(cm). 高效课堂 23 在Rt△EFC中，根据勾股定理，可得FC2＋EC2＝EF2， 所以42＋x2＝(8－x)2， 即16＋x2＝64－16x＋x2， 化简，得16x＝48. 所以x＝3. 答：BF、EC的长分别为6 cm、3 cm. 高效课堂 24 规律总结： 求折叠问题中线段的长度，常设未知线段的长为x，把其他要求的线段用含x的代数式表示出来，选择一直角三角形，运用勾股定理，列出关于x的方程求解. 高效课堂 25 例4 如图，公路AB和公路CD在点P 处交会，且∠APC＝45°，点Q处有一所小学，PQ＝ m，假设拖拉机行驶时，周围130 m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路AB上沿PA方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？ 请说明理由.若受影响，已知拖拉机的速度为36 km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 高效课堂 26 解析 如图，过点Q作QH⊥PA于点H，易证△PHQ为等腰直角三角形.由勾股定理，可得PH＝HQ＝120 m＜130 m.故学校会受到噪声的影响. 设拖拉机行驶至E处开始影响学校，在F处结束影响，则QE＝QF＝130 m，由勾股定理可求得EH、FH的长，进而得到EF的长，就可求得学校受影响的时间. 高效课堂 27 答案 如图，过点Q作QH⊥PA于点H. 因为∠APC＝45°，所以∠HQP＝45°. 所以△PHQ为等腰直角三角形. 因为PQ＝ m，由勾股定理，可得HQ2＋PH2＝PQ2， 所以PH＝HQ＝120 m＜130 m.故学校会受到噪声的影响. 高效课堂 28 设拖拉机行驶至E处开始影响学校，在F处结束影响，则QE＝QF＝130 m， 由勾股定理，可得 所以EF＝100 m.又因为v拖＝36 km/h＝10 m/s. 所以学校受影响的时间为100÷10＝10(s). 高效课堂 29 规律总结： 勾股定理的实际应用就是把实际问题转化为数学问题，它应用的前提是在直角三角形中.在求解时常运用题目中的直角条件或构造直角三角形，利用勾股定理直接求解或利用勾股定理列方程求解. 高效课堂 30 1.从知识点、数学方法、感受等方面分享你本节课的收获. 2.你弄懂了哪些之前不太清楚的知识？ 3.在本章你用到了哪些数学方法？ 课堂总结 31 基础性作业：教材复习题第1、3、6题. 提高性作业：教材复习题第11、12题. 拓展性作业：教材复习题第15题. 作业设计 32 $