吉林省长春市德惠市八年级数学上学期单元整合作业（华东师大版八年级上册第13章 勾股定理）

德惠市八年级数学上学期单元整合作业 （华师版八年级上册第13章 勾股定理）参考答案与解析 参考答案与解析 （一）A层·基础篇 A1　答案：B 【分析】勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数；②较小两数的平方和等于最大数的平方。 【详解】A项0.3、0.4、0.5不是正整数，不符合勾股数的定义；B项，且5、12、13都是正整数，是勾股数；C项，而，不相等；D项，而，不相等．故选B． 【易错提醒】最常见的错误是选A——只看成立，却忽略了“勾股数必须是正整数”这一前提；这一式只能说明这三条边能构成直角三角形。 A2　答案：A 【分析】在Rt△ABC中，，则∠C所对的边 c 是斜边，由求解。 【详解】∵，∴ c 是斜边，∴，即，∴，∵，∴．故选A． 【易错提醒】看到“求第三边”不要盲目用加法，先确认哪条是斜边：时 c 才是斜边，若误把 b 当斜边会得到，正好落入干扰项。 A3　答案： 【分析】先用勾股定理求出斜边，再用“面积法”求斜边上的高。 【详解】由，得．设斜边上的高为h，由，即，解得． 【易错提醒】容易漏掉“再除以斜边”这一步；求三角形的高，面积法是通法：（a为该高所在的底）． A4　答案：5或 【分析】已知的两条边中，4可能是直角边，也可能是斜边，必须分类讨论。 【详解】①若4是直角边，则第三边为斜边，长为；②若4是斜边，则第三边为直角边，长为．综上，第三边的长为5或． 【易错提醒】本题最典型的错误是只答5：题目没有指明哪条是斜边，就必须分类讨论，这是勾股定理单元失分率最高的题型。 A5　答案：D 【分析】用勾股定理的逆定理判断：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方。 【详解】A项，能；B项，能；C项，能；D项，而，不相等，不能．故选D． 【易错提醒】①比较时必须拿“较小两数的平方和”与“最大数的平方”比，不能随意取两个数；②能构成三角形（两边之和大于第三边）与能构成直角三角形是两回事，D项只能说明它能构成三角形。 A6　答案：底边上的高为8 cm，面积为48 【分析】等腰三角形底边上的高同时是底边上的中线，用“三线合一”把问题转化为直角三角形问题。 【详解】解法一（三线合一）：作底边上的高AD，由等腰三角形三线合一得（cm）．在Rt△ABD中，（cm），．解法二（方程法）：设底边上的高为 h cm，由解得，． 【易错提醒】①求等腰三角形的高，一定要先作底边上的高，再利用三线合一得到“半底长”；②不能把腰长10 cm直接当成高使用。 （二）B层·提高篇 B1　答案：1.125 m 【分析】折断后，折断处离地面的高度、竹梢落地处与竹竿底部的距离、折断部分恰好构成一个直角三角形。 【详解】设折断处离地面的高度为x m，则折断部分的长为m．在直角三角形中，，即，，解得．答：折断处离地面的高度为1.125 m． 【易错提醒】①折断部分的长是，不是3，也不是 x；②这类题的等量关系始终是“折断部分与折断处高度之和等于原长”。 B2　答案： cm 【分析】折叠的实质是轴对称：折叠前后对应线段相等，即，，这是解题的突破口。 【详解】由矩形得（cm），（cm）．由折叠知（cm）．在Rt△ADF中，（cm），∴（cm）．设cm，则．在Rt△ECF中，，即，解得．∴ cm． 【易错提醒】①由折叠得到是第一步，也是关键一步；②设CE为x后，EF必须用表示，写成x就列不出方程。 B3　答案：14 cm或4 cm 【分析】BC边上的高AD可能在△ABC内部，也可能在外部，两种情况都要考虑。 【详解】在Rt△ABD中，（cm）；在Rt△ACD中，（cm）．①当高AD在△ABC内部时，（cm）；②当高AD在△ABC外部时，（cm）．综上，BC的长为14 cm或4 cm． 【易错提醒】题目只说“BC边上的高”而不给图形，就暗含两种可能：锐角（或直角）三角形时高在形内，钝角三角形时高在形外。只答14会丢一半分。 B4　答案：4500元 【分析】草坪的对角线与长、宽构成直角三角形，先求对角线长，再算造价。 【详解】草坪对角线的长为（m），铺设这条小路的造价为（元）．答：铺设这条小路的造价为4500元． 【易错提醒】①不要误用；②求对角线时先确认两条直角边是长和宽，单位统一为米后再计算。 B5　答案：直角三角形（c边所对的角是直角） 【分析】要判断三角形形状，只需考察三边是否满足，再用逆定理下结论。 【详解】，∴由勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形，且 c 边所对的角是直角． 【易错提醒】展开时不要漏掉中间项，也不要把与合并错；这正是本题的考查重点——代数运算的准确性。 （三）C层·拓展篇 C1　答案： cm（约18.4 cm） 【分析】把长方体表面沿棱剪开展成平面图形，比较三种展开方式下两点之间线段的长，最短的就是最短路程。 【详解】设长方体的长、宽、高分别为12 cm、8 cm、6 cm，从顶点到相对顶点沿表面展开有三种方式：①展开“长与宽”所在的两个面：；②展开“长与高”所在的两个面：；③展开“宽与高”所在的两个面：（以上三个结果依次约为20.9 cm、19.7 cm、18.4 cm）．∵，∴最短路程为 cm，约为18.4 cm． 【易错提醒】只算一种展开方式就下结论是最常见的错误。注意：展开时拼在一起的两条棱长之和作一条直角边，剩下的一条棱长作另一条直角边，三种情况要逐一计算再比较。 C2　答案：开放题，按要点评分（详见评分要点） 【分析】本题要求方案必须建立在勾股定理之上，先想清楚“哪两条线段可测、哪一条是要算的直角边”。 【详解】方案一（拉绳法）：在旗杆底部B处沿地面量出水平距离（如9 m），把绳子的一端固定在旗杆顶端A，拉直后量出绳长（如15 m），由勾股定理得旗杆高（本例为12 m）．方案二（双点校验法）：在地面上取与B共线的两点C、D，分别量出，，以及，，由，，两式相减得，可用于检验测量是否准确，再由求旗杆高．减小误差的做法：绳子要拉直绷紧；量水平距离时保证地面水平且方向与旗杆垂直；选择无风天气；同一量重复测三次取平均值；用钢卷尺代替皮尺以减少伸缩；读数时视线与尺面垂直． 【易错提醒】①八年级上学期尚未学习相似三角形，方案不能用“物高与影长成正比”，必须用勾股定理；②只给方案不写依据的数学原理，或缺少误差分析，都会丢分。 　【评分要点】设计出两种可行方案，每种3分，共6分（只给一种方案最多得3分）；明确写出需要测量的数据，1分；正确写出计算方法并点明依据勾股定理，2分；误差分析合理，1分；合计10分。 C3　答案：会受到影响，约4.2 h 【分析】判断“是否受影响”比的是“台风中心到德惠市的最短距离”与“影响半径”的大小；最短距离由垂线段最短得到。 【详解】台风中心移动的路线是过点B且垂直于AB的一条直线，由垂线段最短可知，台风中心到德惠市A的最短距离为（km）．∵，∴德惠市会受到台风影响．设台风中心移动到点E时开始影响德惠市，移动到点F时影响结束，则（km）．在Rt△ABE中，（km）．由对称性，（km），∴受影响的时间（h）．答：德惠市会受到台风影响，受影响的时间约为4.2 h． 【易错提醒】①不能拿初始距离100 km与半径比就下结论，要看移动过程中最近能到多远；②求影响时间要先求影响路程再除以速度，且由对称性要乘2，只算一段是常见错误。 （四）拓展实践作业·参考示例与评价要点 任务1参考示例： 三段绳长依次为3 m、4 m、5 m，因为 ，满足“较小两数的平方和等于最大数的平方”，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且5 m那条边所对的角是直角。 实地检测示例：测得某花坛一角的两边长为 m、2.0 m，对角线长为 m；因为 ，而 ，两者不相等，可以判定它不是直角（实际小于90°）． 【注意】测量总有误差，若两边相差很小（如 与 ），应认为在误差范围内接近直角，这正显示了数学与实际之间的距离，也正是“减小误差”的价值所在。 任务2参考示例： “勾三股四弦五”中，短直角边叫勾，长直角边叫股，斜边叫弦；这句话是说：当两条直角边分别为3和4时，斜边为5。 另外两组常见的勾股数：5、12、13，因为 ；8、15、17，因为 ． 生活中的应用举例：装修工人用“3、4、5拉线法”检查墙角是否方正，用的是勾股定理的逆定理；工人要算出斜拉绳的长度，用的是勾股定理本身。判断“是不是直角”用逆定理，求“斜边多长”用定理，两者方向正好相反。 【评价要点】 ①任务1的操作真实发生，三名同学分工清楚，实地数据记录完整；②能正确指出用到的是勾股定理的逆定理，说理过程完整；③任务2的小短文史实有出处（写明书名或网站），能正确解释“勾、股、弦”的含义；④另举的两组勾股数均通过平方和验证；⑤举例能分清勾股定理与其逆定理，收获不少于150字。按以上五项评为“优秀／合格／待改进”三档，小组互评与教师评价各占一半，作为加分项计入“实践与创新”维度。 学科网（北京）股份有限公司 $ 德惠市八年级数学上学期单元整合作业 （华师版八年级上册第13章 勾股定理） 【应用场景】单元复习（同步教学） 本作业适用于华东师大版八年级上册第13章《勾股定理》单元教学结束后的整合复习与单元过关检测，同时可按板块拆分用于课时作业。适用地区为吉林省长春市德惠市，贴合本地农村城镇化背景下生源外流、班额小、学情差异大的实际：A层基础篇全体必做，B层提高篇鼓励完成，C层拓展篇供学有余力的学生选做或小组合作完成。全卷建议完成时间不超过90分钟（其中A篇约25分钟、B篇约35分钟、C篇约30分钟），符合初中作业总量控制要求。提交版本为可编辑文档，教师可直接增删题目后印刷或线上发布。 一、作业目标 （一）知识与技能 1．能准确叙述勾股定理及勾股定理的逆定理，会用符号语言表示，并能区分二者的题设与结论。 2．已知直角三角形的任意两边，会求第三边；结果不能用整数或有限小数表示时，会用根号或近似值表示。 3．会用勾股定理解决折叠问题、长方体表面最短路程问题以及简单的实际测量问题，能构造直角三角形建立方程。 4．会用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形，能识别常见的勾股数。 5．能结合等腰三角形“三线合一”、垂线段最短等已有知识解决综合问题。 （二）过程与方法 1．经历“实际问题→抽象成几何图形→构造直角三角形→建立方程→求解并检验”的建模全过程，体会模型观念。 2．在已知两边求第三边、已知高求底边等问题中，体会分类讨论思想，养成“先判断直角边还是斜边”的思维习惯。 3．在折叠与展开问题中体会转化思想：把空间最短路程转化为平面上的两点之间线段最短。 （三）情感态度与价值观 1．了解《周髀算经》中“勾三股四弦五”的记载与我国古代数学成就，增强文化自信。 2．通过测量旗杆、铺设小路、台风影响等真实情境，体会数学与生活的联系，提高学习兴趣。 （四）素养指向 核心素养 本作业中的落实点 主要对应题目 几何直观 能画出直角三角形、长方体展开图，把实际问题转化为图形问题 A6、B2、C1 运算能力 含根号、字母的平方运算与化简，结果表述规范 A2、A3、B5 模型观念 用勾股定理建立方程模型解决折竹、折叠、测量问题 B1、B2、C2 应用意识 用数学方法解释并解决生活中的距离、造价、影响范围问题 B4、C2、C3 创新意识 设计方案、寻找最短路径、一题多解 A6、B3、C1、C2 二、作业内容 说明：标注“（原创）”的试题为本作业原创设计；解答题后留有答题空间；全卷满分100分；第（四）部分为选做的长周期拓展实践作业，不计入100分，最高加10分。 （一）A层·基础篇（全体必做，共6小题，每小题5分，共30分，建议25分钟） A1（选择题，5分）下列各组数中，是勾股数的是（　　） 　A．，，　　B．，，　　C．，，　　D．，， A2（选择题，5分）在Rt△ABC中，，，，则 b 的长为（　　） 　A．　　B．　　C．　　D． A3（填空题，5分）在Rt△ABC中，，，，则斜边上的高为______． A4（填空题，5分）已知一个直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三边的长为______． A5（选择题，5分）下列各组数分别是一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的是（　　） 　A．，，　　B．，，　　C．，，　　D．，， A6（解答题，5分）如图，已知等腰三角形的腰长为10 cm，底边长为12 cm，求这个等腰三角形底边上的高和面积． 图1　A6题图 （二）B层·提高篇（建议完成，共5小题，每小题8分，共40分，建议35分钟） B1（原创）（解答题，8分）如图，一根竹竿高3 m，被风吹折后竹梢恰好落在距竹竿底部1.5 m的地面上，求折断处离地面的高度． 图2　B1题图 B2（解答题，8分）如图，矩形纸片ABCD中， cm， cm，点E在BC边上，将纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处，求CE的长． 图3　B2题图 B3（解答题，8分）如图，在△ABC中， cm， cm，BC边上的高 cm，求BC的长． 图4　B3题图（两种情况） B4（原创）（解答题，8分）德惠市某小区计划在长20 m、宽15 m的长方形草坪上沿对角线铺设一条石板小路（小路宽度忽略不计），每米造价180元，求铺设这条小路的造价． B5（解答题，8分）已知△ABC的三边长分别为，，（m＞n＞0），试判断△ABC的形状，并说明理由． （三）C层·拓展篇（自主选做，共3小题，每小题10分，共30分，建议30分钟） C1（解答题，10分）如图，一个长方体纸盒的长、宽、高分别为12 cm、8 cm、6 cm，一只蚂蚁从纸盒的一个顶点出发，沿纸盒表面爬到与它相对的顶点，求蚂蚁爬行的最短路程． 图5　C1题图 C2（原创）（实践探究题，10分）如图为拉绳法示意图（仅供参考）。请设计至少两种测量学校旗杆高度的方案（可借助影子、标杆、镜子等工具），要求说明每种方案需要测量哪些数据、怎样计算、依据什么数学原理，并说明怎样减小测量误差． 图6　C2题图（拉绳法示意） C3（原创）（新情境题，10分）如图，台风“海神”的中心位于德惠市正北方向 km的B处，正以每小时 km的速度沿正东方向移动，台风影响区域的半径为 km．德惠市是否会受到台风影响？如果会，受影响的时间大约有多长（结果精确到0.1 h）？ 图7　C3题图 （四）拓展实践作业（选做·长周期） 说明：本板块不计入全卷100分，作为加分项（最高加10分）计入第五部分“实践与创新”维度；建议在两周内完成，可独立完成，也可2～3人小组合作，成果在班级数学角展示交流。 任务1（跨学科·历史与劳动技术）用绳结法检验一个角是不是直角 相传古埃及人在尼罗河泛滥后用一根打了12个等距绳结的绳子重新丈量土地，我国也有“勾三股四弦五”的说法。请你利用这个办法完成一次实地检测： （1）准备一根长绳，在上面每隔1 m打一个结（共12段）；由三名同学分别拉住其中的两个结，使三段绳长依次是3 m、4 m、5 m，再把绳子拉紧，就得到一个三角形； （2）用三角板（或量角器）检验：这个三角形最长边所对的角是多少度？由此你发现了什么？ （3）用勾股定理的逆定理说明这样做出来的角一定是直角，把说理过程写出来； （4）到校园或家中找一个需要检验的角（如新修花坛的一角、地砖的拼角、自家院墙的拐角），实地量一量并记录数据，说明它是不是直角，如果不是直角，大约差多少度。 任务2（实践探究·数学阅读）写一篇关于“勾股数”的小短文 请查阅资料（可以请教历史老师、语文老师，也可以在图书馆或网上搜索），了解《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”，写一篇300字以内的数学小短文，完成下列要点： （1）用你自己的话说说“勾”“股”“弦”分别指的是直角三角形中的哪条边，“勾三股四弦五”这句话是什么意思； （2）除了3、4、5，你还能写出两组勾股数吗？请把它们写下来，并逐一验证“较小两个数的平方和等于最大数的平方”； （3）举一个今天仍然在用勾股定理的例子（建筑、测绘、体育、游戏中的哪一个都可以），说一说它用的是勾股定理还是它的逆定理； （4）把以上内容整理成300字以内的小短文，题目自拟，并在末尾写明资料的来源。 成果形式与评价要点 （1）成果形式：一份A4实践记录单（含任务1的实地测量数据与说理过程、任务2的数学小短文），可与历史、劳动技术老师协商共同指导完成；（2）评价要点：操作真实可信、逆定理说理准确、实地数据记录完整、小短文中史实有出处且能另举两组勾股数并逐一验证；（3）评分办法：小组互评与教师评价各占一半，按上述要点评为“优秀／合格／待改进”三档，作为加分项记入第五部分“作业评价标准”的“实践与创新”维度。 三、作业内容与目标对应表 说明：目标编号 A 对应“知识与技能”，B 对应“过程与方法”，C 对应“情感态度与价值观及创新意识”。 题号 题型 题目概要 目标编号 设计意图 参考答案／评价要点 A1 选择 勾股数的识别（正整数前提） A 辨析定义，抓“正整数”条件 B A2 选择 已知两边求第三边 A 先确认斜边再代公式 A A3 填空 面积法求斜边上的高 A 体会面积法这一通法 A4 填空 已知两边求第三边（无图） A 强制分类讨论 或 A5 选择 逆定理判断直角三角形 A 较小两数平方和比最大数平方 D A6 解答 等腰三角形的高与面积 B 三线合一转化为直角三角形 cm； B1 解答（原创） 折竹求折断处高度 B 建模：构造直角三角形 m B2 解答 矩形折叠求线段长 B 折叠→轴对称→列方程 cm B3 解答 高在形内与形外的分类 B 无图必分类 cm 或 cm B4 解答（原创） 草坪对角线小路造价 C 真实情境中的建模 元 B5 解答 含字母三边的形状判断 B 代数运算与逆定理结合 直角三角形 C1 解答 长方体表面最短路程 C 展开转化、逐一比较 cm（约18.4 cm） C2 实践探究（原创） 旗杆测高方案设计 C 实践育人、误差分析 开放题，按要点评分 C3 新情境（原创） 台风影响时长 C 垂线段最短与对称性 约 h 拓展实践1 跨学科（选做） 绳结法检验直角（历史与劳动技术） A、C 用勾股定理的逆定理解决真实技术问题，体会中国古代的测量智慧 操作规范，逆定理说明准确 拓展实践2 实践探究（选做） 查阅“勾三股四弦五”并另举勾股数 A、C 把数学史资源转化为探究任务，落实文化自信与创新意识 史实准确，另举两组勾股数并验证 四、作业实施建议 （一）使用时机 1．单元新授课结束后作为单元整合作业整体使用（建议90分钟内完成），用于诊断学生对勾股定理及逆定理的掌握情况。 2．拆分使用：A层基础篇可作为第13章每课时后的随堂作业；B层提高篇可用于周测或错题矫正；C层拓展篇适合作为周末实践性作业或小组合作任务。 （二）分层与选做建议 1．A层基础篇全体必做，要求正确率不低于90%；未达标的学生先订正错题，再进入B层。 2．B层提高篇鼓励全体完成，确有困难的学生可只完成B1、B4两道应用题。 3．C层拓展篇由学生自主选做或2～3人小组合作完成，其中C2为课外实践题，可安排在周末完成并提交方案报告。 （三）完成时间与总量控制 A层约25分钟，B层约35分钟，C层约30分钟，全卷合计不超过90分钟，符合初中作业总量控制要求。教师可根据本班学情删减题目，保证绝大多数学生在规定时间内完成。 （四）批改与反馈建议 1．选择题、填空题由学生互批并登记错因，教师重点讲评A4、A5两题（分类讨论与逆定理的易错点）。 2．B层解答题按步骤给分：正确设未知数2分，正确列出方程3分，求解正确2分，写出答语并检查单位1分。 3．C2实践探究题采用等级评价，重点看方案的合理性、依据的数学原理是否准确、误差分析是否到位。 4．讲评时突出两点：一是“先判断直角边还是斜边”，二是“遇折叠想全等、遇最短路程想展开”。 （五）拓展延伸方向 1．学有余力的学生可查阅《周髀算经》中“勾三股四弦五”的记载，写一篇200字左右的数学小记。 2．可继续探究：长方体表面最短路程是否总有三种展开方式？若长、宽、高中有两个相等，结果怎样变化？ 五、作业评价标准 （一）分维度等级描述 评价维度 优秀 良好 合格 待改进 知识与技能 （30分） 勾股定理及逆定理运用熟练，含根号的运算准确，分类讨论完整，A层正确率不低于90% 能正确运用定理，个别含根号运算或分类讨论有小失误，A层正确率75%～89% 在提示下能完成基本计算，常漏掉分类讨论的第二种情况，A层正确率60%～74% 分不清直角边与斜边，逆定理使用条件不清，A层正确率低于60% 过程与方法 （25分） 能独立把实际问题抽象成直角三角形并列出方程，会一题多解，书写规范有条理 能建模列方程，思路基本正确，解法单一，步骤较完整 需要模仿例题才能列式，步骤跳跃，缺少必要的文字说明 不能构造直角三角形，无法建立等量关系 规范与表达 （20分） 步骤完整，正确使用“∵”“∴”，单位齐全，结果化为最简，卷面整洁 步骤较完整，偶有跳步，单位或化简小有疏漏 能得出结果但过程简略，单位时常遗漏 只有答案没有过程，书写混乱 实践与创新 （25分） C层实践题方案可行且不少于两种，原理表述准确，误差分析到位，有新思路 能给出一种完整方案并说明原理，有简单的误差分析 方案描述笼统，原理表述不够准确，缺少误差分析 未作答或方案不可行 （二）等第换算与达标要求 1．总分90分及以上为优秀，75～89分为良好，60～74分为合格，60分以下为待改进。 2．分层达标要求：A层基础篇得分率不低于90%方可进入B层；B层得分率不低于80%时可自主选做C层；C层实践题按等级计入“实践与创新”维度。 3．拓展实践作业（二、作业内容之（四））为加分项，最高加10分，按“操作真实—说理准确—资料有出处—验证完整”四项给分，由小组互评与教师评价各占一半，计入“实践与创新”维度。 3．错题矫正要求：A4、B3（分类讨论）、A5、B5（逆定理与代数运算）为本单元高频错题，错题必须在原题旁用红笔写出错因与正确过程，教师二次批阅。 六、原创声明 本人声明：本作业设计《德惠市八年级数学上学期单元整合作业（华师版八年级上册第13章 勾股定理）》为本人依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》及华东师大版教材独立设计完成。其中标注“（原创）”的试题B1、B4、C2、C3为本人原创，“（四）拓展实践作业”中的两个长周期任务为本人依据本章内容独立设计，其余试题为依据教材例题、习题及日常教学积累改编而成，题中情境均结合德惠市本地实际重新设计。本作品未抄袭、盗用他人作品，未在其他平台发布或获奖，参赛即视为同意主办方将作品用于活动宣传与网上展示。 声明人：　　　　　　　所在单位：德惠市第八中学　　　　　　　日期：2026年10月　　　日 学科网（北京）股份有限公司 $