专题06幂函数，函数与方程（8大题型）（期末真题分类汇编 河南专用）高一数学上学期

专题06 幂函数，函数与方程 8大高频考点概览 考点01 幂函数求解析式 考点02 根据幂函数及性质求参数 考点03 幂函数的单调性与奇偶性 考点04 方程根的个数问题 考点05 函数的零点所在区间 考点06 函数零点及零点的大小问题 考点07 方程根的个数（零点个数）求参数范围 考点08 函数模型应用 地 城 考点01 幂函数求解析式 1．(24-25高一上·河南濮阳·期末)已知幂函数的图象分别经过两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点的坐标代入函数解析式中可得，表示出，然后逐个分析判断. 【详解】把两点分别代入可得， 所以，， 对于A，，若，则， 得，此方程无解，所以不成立，所以A错误， 对于B，，所以B正确， 对于C，， 因为在上递减，且， 所以，即，所以，所以不成立，所以C错误， 对于D，若，则，得，显然不成立，所以，所以D错误. 故选：B． 2．(24-25高一上·河南焦作·期末)已知幂函数的图象分别经过两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两点的坐标分别代入的解析式中，得到关于的式子，再利用指数幂的运算法则化简即可求解. 【详解】因为幂函数的图象分别经过两点， 所以把两点分别代入可得， 故，故. 故选：B. 3．(23-24高一上·河南新乡·期末)“”是是幂函数”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据幂函数定义及充分必要条件关系可判断. 【详解】令，得， 故“”是“是幂函数”的充分不必要条件. 故选：C 4．(24-25高一上·河南郑州·期末)已知幂函数过点，则 ． 【答案】 【分析】先求出幂函数的解析式，然后代入求值即可. 【详解】设幂函数为 幂函数的图像过点，即，求出；幂函数的解析式为：,则. 故答案为： 5．(24-25高一上·河南三门峡·期末)若幂函数经过点，则 . 【答案】/0.25 【分析】根据给定条件，求出函数解析式，再代入求出函数值. 【详解】幂函数经过点，则，解得，， 所以. 故答案为： 6．(24-25高一上·河南信阳普通高中·期末)已知幂函数满足. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，是否存在实数n，使得的最小值为，若存在，求出实数n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由幂函数的定义求出m的值，再由确定函数解析式. （2）假设存在，求出的解析式，利用换元法将问题转化为二次函数在闭区间上的最值求解. 【详解】（1）由函数是幂函数，得，解得或， 当时，函数在上单调递减，不满足，不符合题意； 当时，在区间上单调递增，满足，符合题意， 所以. （2）假设存在实数n使得的最小值为， 由（1）得，由，得， 令，则化为， 于是的最小值为， 当，即时，在上单调递增，， 解得，矛盾； 当，即时，，则； 当，即时，在上单调递减，， 解得，矛盾， 所以存在，使得的最小值为， 地 城 考点02 根据幂函数及性质求参数 7．(24-25高一上·河南新乡·期末)若幂函数是偶函数，则（   ） A．-2 B．3 C．1 D．1或3 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义得到方程，求出或，结合函数奇偶性排除，得到答案. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或. 当时，是偶函数，符合题意； 当时，是奇函数，不符合题意. 故选：C 8．(23-24高一下·河南新高中创新联盟TOP二十名校·调研)已知是幂函数，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】由幂函数的定义得出结果即可. 【详解】由题知，解得，且，解得. 故选：D 9．(23-24高一上·河南漯河·期末)已知幂函数在上为减函数，则等于（    ） A．3 B．4 C． D．或4 【答案】C 【分析】由题意可得且，从而可求出的值. 【详解】因为为幂函数， 所以，即，解得或， 因为幂函数在上为减函数， 所以，得， 所以， 故选：C 10．(23-24高一上·河南郑州·期末)已知幂函数过点，则该幂函数解析式为 . 【答案】 【分析】设幂函数解析式为，然后将点代入解析式求解即可. 【详解】设幂函数解析式为，将点代入得， 所以.所以该幂函数解析式为. 故答案为： 地 城 考点03 幂函数的单调性与奇偶性 11．(23-24高一上·河南驻马店·)下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合指数函数，对数函数，幂函数的图象与性质逐一判断即可. 【详解】对于选项A:结合对数函数可知在上单调递减，所以在上单调递增，故选项A错误； 对于选项B: 结合指数函数可知在上单调递增，所以在上单调递增，故选项B错误； 对于选项C: 因为，结合幂函数图象与性质可知在上单调递减，故选项C正确； 对于选项D: 结合幂函数可知在上单调递增，故选项D错误. 故选：C. 12．(24-25高一上·河南许昌·期末)已知函数为幂函数，且在上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性，可得不等式组，解之可得，即得函数解析式； （2）利用函数的奇偶性和单调性将抽象不等式化成一元二次不等式，解之即得. 【详解】（1）因函数为幂函数，且在上单调递增， 则解得，故； （2）因为函数为奇函数且在R上单调递增， 所以不等式可化为 所以，即 解得或， 故实数a的取值范围为. 13．(23-24高一上·河南信阳普通高中·期末)已知幂函数在上是增函数 (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂函数的定义与性质即可得解； （2）利用的单调性与定义域即可得解. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得或， 又在上是增函数，故， ，则. （2）由（1）知在上是增函数， 又，的定义域为， ，解得， 的取值范围是． 14．(24-25高一上·河南豫东名校·期末)已知幂函数在上单调递增，且，请写出一个满足条件的的值为 ． 【答案】（答案不唯一．满足即可） 【分析】根据幂函数的性质选择符合题意的即可. 【详解】当时,幂函数在上单调递增， 又，满足题意. 故答案为：（答案不唯一．满足即可） 地 城 考点04 方程根的个数问题 15．(24-25高一上·河南濮阳·期末)已知函数，若，且，则方程的根的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析可知为函数与的交点，结合函数对称性即可得结果. 【详解】因为，， 可知是图象的一个对称中心，是的图象的上顶点， 且点为函数与的交点， 又是图象的一个对称中心， 故关于的对称点也在与的图象上， 结合图象可知：方程的根的个数为3． 故选：C． 16．(24-25高一上·河南漯河·期末)高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一､享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如.已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．方程在区间上有4个实数根 C．若，则 D．，都有 【答案】BCD 【分析】根据高斯函数的定义，化简，结合选项可得答案. 【详解】对于A, , 所以，故函数在上不是单调递增，A不正确； 对于B,当时，，此时的解为； 当时，，此时的解为； 当时，，此时的解为； 当时，，此时的解为； 当时，，此时无解. 故方程在区间上有4个实数根，B正确； 对于C,由题意，故，所以， 所以，即，C正确； 对于D,由C可知，所以，D正确. 故选：BCD 17．(24-25高一上·河南新乡·期末)对于函数，存在，使得，我们称为“不动点”函数.下列函数中，是“不动点”函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】将函数是否为“不动点”函数，转化为方程是否有解，根据方程判别式的符号判断AB；根据是方程的一个解判断C；分两种情况讨论分别判断方程是否有解即可判断D. 【详解】令，即. 因为，所以无解， 则不是“不动点”函数，A不正确； 令，即，即. 因为，所以有两个不同的非零实根， 则是“不动点”函数，B正确； 令，即， 易知是方程的一个解， 则是“不动点”函数，C正确； 当时，令，即，解得或， 则方程在上无解；当时，， 则方程在上无解.故不是“不动点”函数，D 不正确； 故选：BC. 18．(24-25高一上·河南郑州·期末)设函数的定义域为，且满足，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．在上为减函数 D．方程有且仅有5个实数根 【答案】ABD 【分析】利用赋值法可求判断A；由已知可得，进而可求判断B；作出函数图象可判断C；在同一坐标系下作出的图象，可判断D. 【详解】令，由，可得， 所以，故A正确； 由，所以，所以是的一个周期， 所以，故B正确； 当，，由， 可得， 作出图象如图所示： 可知在上为增函数，故C错误； 由方程，可得与的交点个数，又， 结合与的图象，可知两函数有且只有5个交点， 所以方程有且仅有5个实数根，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：方程根的个数，零点个数问题，常常转化为两函数图象的交点个数问题处理. 19．(24-25高一上·河南南阳·期末)已知函数有三个零点，且函数，则下列判断正确的是（   ） A． B．函数可能不存在零点 C．函数可能有一个零点 D．函数可能有两个零点 【答案】ACD 【分析】根据函数零点的情况确定，，进而得到可判断A；讨论和两种情况可判断BCD. 【详解】因为和是的零点，所以，解得，， 所以， 因为为函数的零点，所以，故A正确； 当时，有一个零点，故C正确； 当时，对于，， 所以有两个零点，故D正确， 综上，可能有一个零点或两个零点，故B错误. 故选：ACD． 20．(23-24高一上·河南济源·期末)设函数的定义域为R，且，，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．为奇函数 C． D．函数有11个不同的零点 【答案】BC 【分析】利用抽象函数的对称性及奇偶性性质可判定A、B，利用函数的周期性可计算C，结合对数函数的图象与性质可判定D. 【详解】因为，， 所以的图象关于轴对称，且关于中心对称， 且， 即， 所以的一个正周期为， 因为当时，，则， 所以由题意可知：，故A错误； 同理， 所以为奇函数，故B正确； 易知， ， ， 所以， 故，故C正确； 函数的零点等价于与的交点个数， 作出函数图象如下：    如图所示，，当时，与无交点， 同理时，与无交点， 即两函数交点在上，易知共有10个交点，故D错误. 故选：BC 【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论 （1）关于轴对称， （2）关于中心对称， （3）的一个周期为， （4）的一个周期为. 可以类比三角函数的性质记忆以上结论. 21．(24-25高一上·河南郑州·期末)已知函数，若对于其定义域中任意非零实数x，都有，则称函数为“倒负函数”． (1)若，，试判断和是不是“倒负函数”．并说明理由； (2)设，若，求的最小值； (3)若，证明：在定义域内有且仅有两个零点． 【答案】(1)是“倒负函数”，不是“倒负函数”，理由见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据函数新定义及对数函数的性质判断和是否为“倒负函数”． （2）利用单调性定义证明在上的单调性，根据已知可得，再应用基本不等式求目标式的最小值； （3）由单调性定义可得在、上单调递增，应用零点存在性定理判断区间零点，结合题设定义判断零点个数，即可证结论. 【详解】（1）若，，满足， 所以是“倒负函数”． 由，则，而， 对于，则无意义，所以不是“倒负函数”． （2）任取，， 所以在上单调递减， 由（1）知，，所以， 又，所以，所以． ，当且仅当时等号成立． （3）因为，， 任取，， 所以在上单调递增，同理在上单调递增． 又，， 由零点存在性定理知，，， 所以在上有且只有一个零点． 又， 所以是“倒负函数”，， 所以，也是的零点， 所以在和各有一个零点，即在定义域内有且只有两个零点． 【点睛】关键点点睛：第二、三问，应用单调性定义判断函数的单调性，结合函数新定义、基本不等式、零点存在性定理求解证明. 地 城 考点05 函数的零点所在区间 22．(24-25高一上·河南开封·期末)已知是函数的零点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结果. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在为增函数， 因为，，，则， 由零点存在定理可得，又因为，，故. 故选：B. 23．(24-25高一上·河南驻马店·期末)函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依次判断各个区间端点处函数值的符号，根据零点存在定理可得到结果. 【详解】函数的定义域为，且函数在上单调递增， 故函数至多有一个零点. ，，， ，∴函数的零点所在区间为. 故选：C. 24．(23-24高一上·河南新乡·期末)已知函数在内的一个零点附近的函数值如下表： 则该零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判定函数的单调性，然后将表中数据按照从小到大排列，根据函数零点存在性定理即可求解. 【详解】因为函数和都是上的单调增函数，所以函数为单调递增函数. 将表格中数据按照从小到大排列如下： 由表格可得：. 由函数零点存在性定理可得：函数有唯一零点，所在的区间为. 故选：C. 25．(23-24高一上·河南济源·期末)方程的解所在区间是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断所给选项中的区间的两个端点的函数值的积的正负性即可选出正确答案. 【详解】∵, ∴,,，,∴, ∵函数的图象是连续的, ∴函数的零点所在的区间是. 故选C 【点睛】本题考查了根据零存在原理判断方程的解所在的区间,考查了数学运算能力. 26．(24-25高一上·河南信阳普通高中·期末)函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间为（    ） A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 【答案】B 【分析】计算出，并判断符号，根据零点存在性定理可得答案. 【详解】函数的定义域为，函数的图象是连续不断的， 因为，，，，， 所以根据零点存性定理可知，函数在区间内存在零点. 故选：B. 【点睛】本题考查了零点存在性定理，属于基础题. 27．(23-24高一上·河南信阳普通高中·期末)函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理和单调性即可求解. 【详解】函数. 又为单调增函数，所以有唯一零点，且在区间内. 故选：C. 28．(24-25高一上·河南三门峡·期末)函数零点存在的区间为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数在上单调递增，，的零点所在区间为，故选C. 29．(24-25高一上·河南濮阳·期末)下列所给函数中，不能使用二分法求解其零点所在区间的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据二分法的定义结合零点存在性定理逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为和在上连续且单调递增，所以在上连续且单调递增， 所以，无零点，不能使用二分法，故A正确； 对于B，，当且仅当时取等号， 又零点左右函数值同号，不能使用二分法，故B正确； 对于C，因为和在上连续且单调递增，所以在上连续且单调递增， 因为，所以可以使用二分法，故C错误； 对于D，，无零点，不能使用二分法，故D正确． 故选：ABD． 30．(24-25高一上·河南洛阳·期末)已知函数是定义域为的奇函数，其零点分别为，若，则关于x的方程的解所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意可得，即求关于x的方程的根所在的区间，由和的图象有两个交点，知有两个零点，利用零点存在性定理即可得出选项. 【详解】因为函数是奇函数，故其零点对应的点关于原点对称， 且，所以，则关于x的方程为. 分别画出和的图象，如图：    则由图象可知两函数有两个交点， 令，则有两个零点， 因为，， ，， ，，， 所以关于x的方程的解所在的区间是，. 故选：AD. 地 城 考点06 函数零点及零点大小问题 31．(24-25高一上·河南三门峡·期末)函数的零点为 . 【答案】 【分析】根据题意，由函数零点的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】令，则，即， 所以函数的零点为. 故答案为： 32．(23-24高一上·河南驻马店·)已知函数，则函数的零点是 ． 【答案】和 【分析】根据分段函数解析式，由求得正确答案. 【详解】依题意，或， 解得或（负根舍去）. 故答案为：和 33．(23-24高一上·河南郑州·期末)已知函数的零点分别为a，b，c，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断各函数的单调性再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案. 【详解】因为函数都是增函数， 所以函数都是连续增函数， 因为，，即， 所以在在存在唯一零点，即， 因为，，即， 所以在在存在唯一零点，即， 令，即，即，解得，即， 综上：. 故选：D. 34．(23-24高一上·河南洛阳·期末)已知函数在区间内的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用函数的单调性结合零点存在性定理判断a，b，c所在区间作答. 【详解】函数在上单调递减，函数在上都单调递增， 因此函数在上都单调递减， 在上最多一个零点，，即有， ，则，而，即， 所以. 故选：A 地 城 考点07 方程根的个数（零点个数）求参数范围 35．(24-25高一上·河南漯河·期末)若一元二次方程有正实数根，则实数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，可得，求出答案. 【详解】因为方程对应的函数为，开口向上，对称轴为， 所以方程有正实数根，则，即，解得. 故选：ACD. 36．(24-25高一上·河南商丘·期末)已知函数，若方程有3个不同的实数根，，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出的图象，数形结合得到，令，解得，由韦达定理得到，结合单调性求出，得到答案. 【详解】画出的图象，如下： 有3个不同的实数根，，， 故，令，解得， 显然为方程，即的两个根， 故， 故， 因为，在上单调递减， 所以. 故选：A 【点睛】方法点睛：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 37．(23-24高一上·河南南阳·)设集合，，函数.若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数恰有两个零点转化有两个根，设，，即与函数有两个交点，作出的图象，结合图象分析实数的取值范围. 【详解】函数恰有两个零点转化有两个根，设，，则与 函数有两个交点， 由题可得：，作出的图象如下：    由题可得，，， 所以要使与函数有两个交点，则实数的取值范围. 故选：B 38．(24-25高一上·河南许昌·期末)设函数，则下列说法正确的是（   ） A．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为 B．若函数有3个不同零点，则实数a的取值范围为 C．若函数有3个零点名，则的取值范围为 D．对任意，函数在内无最小值 【答案】ABD 【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，可判定A；令，结合指数函数与二次函数的性质，可判定B正确；得到，令，求得函数的单调性和最值，可判定C；当时，函数，根据二次函数的性质，和指数函数的单调性，列出不等式组，可判定D正确. 【详解】对于A中，由函数，要使得在上单调递增， 则，即，所以，所以A正确； 对于B中，令，当时，可得， 若函数有3个零点，则需有一个零点，则； 当时，可得，若函数有3个零点， 则需有两个不等的小于1的实根，则满足，解得， 所以若函数有3个零点，则的取值范围是，所以B正确. 对于C中，设函数的3个零点分别是， 则，可得， 令，则在上单调递减，所以， 即的取值范围是，所以C错误； 对于D中，当时，函数是开口向下的二次函数，对称轴是， 当时，函数在单调递减，在没有最小值，， 当时，函数单调递增，所以，因为，所以，所以在内无最小值； 当时，函数在单调递增，在单调递减，在没有最小值，， 当时，函数单调递增，所以，因为，所以，所以在内无最小值； 当时，函数在单调递增，在没有最小值，， 当时，函数单调递增，所以，因为，所以，所以在内无最小值，所以D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围 2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 39．(23-24高一上·河南洛阳·期末)已知函数 ，则（    ） A．的值域为 B．若有个零点，则或 C．若有个零点，则或 D．若的个零点分别为：，，，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】作出分段函数的图象，通过观察并验证易得函数值域；对于的零点问题，可以转化成与的图象公共点问题，易于判断B,C两项，对于D项，则需要就这条等高线确定函数零点，，对应的函数值得到，结合即得的取值范围. 【详解】 对于A选项，先作出的图象如图，可得时，；时，. 则的值域为，故A项正确； 对于B选项，由，即，由图知当或时，与只有一个交点， 即有一个零点，故B项错误； 对于C选项，同理由图知，当或时，与有两个交点，即有两个零点，故C项正确； 对于D选项，如图，当时，与有三个交点，即有三个零点，，， 则,且,则，于是， 因，可得，故.故D项正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：解决的关键在于要作出函数的图象，并会利用函数的零点与方程的根及对应的两函数图象的交点进行转化的观点来处理，有时还需要利用等高线选设未知数列出方程来求解. 40．(23-24高一上·河南名校联盟·期末)已知函数，若方程有4个不同实根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】画出函数图像，结合函数性质逐项分析得答案. 【详解】当时，即，当且仅当时取等号， 在上递增，在上递减， 当时，且在上递减，在上递增， 综上，可得图象如下， 当且仅当时方程有4个不同实根，A错误； 结合图象及题设知：，B正确； 由题得且， 所以，C正确； 是方程的两个根，即方程的两个根， 所以则， 由，得，所以，D正确. 故选：BCD. 41．(24-25高一上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)已知定义在上的函数在区间上满足，当时，；当时，.若直线与函数的图象有6个不同的交点，各交点的横坐标为，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】作出函数的图象，即可根据对数的运算性质求解AB,根据二次函数的性质即可求解C，根据对称即可求解D. 【详解】当时，，所以. 由题意作出函数的图象如图， 对于A，由题意结合图像可知， 因为，所以，即， 所以A选项正确： 又结合图象得，所以， 即所以B选项错误； 因为当时，， 所以当时，的图象关于直线对称， 所以， 又，此时在上单调递增，所以，C选项正确： 因为与与关于直线对称，所以. 又与关于直线对称，所以， 所以，所以. 结合图象可知，所以,D选项正确， 故选：ACD. 42．(23-24高一上·河南新乡·期末)已知函数且，下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象与直线一定没有交点 C．若的图象与直线有2个交点，则的取值范围是 D．若的图象与直线交于两点，则线段长度的取值范围是 【答案】ABC 【分析】对于A，利用偶函数的定义判断即可；对于B，讨论和时的单调性及最值即可判断；对于C，的图象与直线有2个交点，等价于方程有两个实数根，根据的图象即可得到结果；对于D，由C项分析知，线段的长度为即可判断选项. 【详解】，所以是偶函数，正确. 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，此时的图象与直线没有交点. 当时，在上单调递增，在上单调递减， ，此时的图象与直线没有交点， 故的图象与直线一定没有交点，B正确. 令，则，即.若的图象与直线有2个交点， 则1，解得.又因为且，所以的取值范围是，C正确. 由，解得，所以，错误. 故选：ABC. 43．(23-24高一上·河南郑州·期末)已知函数求使方程的实数解个数为3时取值范围 ． 【答案】 【分析】分析给定函数的性质，作出图象，数形结合求出取值范围. 【详解】当时，函数在是递减，函数值集合为， 在上递增，函数值集合为，当时，是增函数，函数值集合为R， 方程的实数解个数，即为函数与直线的交点个数， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象，当时，直线与函数的图象有3个交点， 所以方程的实数解个数为3时取值范围是. 故答案为： 44．(24-25高一上·河南南阳·期末)已知函数是奇函数，且，若使得，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据为奇函数求出的值，再将零点问题转化为函数值域问题求解即可. 【详解】若，则函数的定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性， ，由函数解析式有意义可得，且， 且，定义域必须关于原点对称，，解得， 由得，，，经验证，符合为奇函数. 若使得， 则由，得，即， 易知在上单调递增且恒大于0， 且当时，，所以． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于根据奇函数的定义域关于原点对称，求出的值，将存在零点问题转化为函数的值域问题. 45．(24-25高一上·河南豫东名校·期末)已知函数（且）在上的最大值和最小值之和为20，函数是奇函数． (1)求a和b的值； (2)用函数单调性的定义证明：函数在R上单调递增； (3)若函数恰有两个不同的零点，求m的取值范围． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先根据指数函数的单调性求得最值，利用最值列式求出，根据奇函数的定义求得，然后利用奇函数的定义进行检验. （2）根据单调性定义按照步骤证明即可. （3）根据指数运算化简及零点的概念，将问题转化为有两个不同的实数解，令，则在上有两个不同的实数解，然后利用二次方程根的分布列不等式求解即可. 【详解】（1）当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减， 所以函数在上的最大值与最小值之和为，解得． 所以，的定义域为R，又函数是奇函数， 所以，解得， 当时，， 所以， 所以函数是奇函数，满足题意． （2）证明：任取，且， 所以 ， 又，所以，，，所以， 即， 所以函数在R上单调递增． （3）因为 ， 所以有两个不同的实数解， 即有两个不同的实数解， 令，则在上有两个不同的实数解， 令，又，所以 解得，即m的取值范围是． 【点睛】方法点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 46．(24-25高一上·河南三门峡·期末)对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. (1)若是不动点，求的值； (2)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围； (3)若的两个不动点为、，且，当时，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）由可求得的值； （2）分析可知，关于的方程有两个不等的实根，可得出，可得出关于的二次不等式恒成立，结合判别式可求得实数的取值范围； （3）由韦达定理可得出，结合已知条件可得出，令，可得出，分析函数在上的单调性，求其值域，即可得出的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，，即，解得， （2）因为恒有两个不动点，即恒有两个不等实根， 整理为， 所以且恒成立. 即对于任意，恒成立. 令， 则，整理可得，解得. （3）因为， 所以， 设，因为，所以， 则，其中，设， 则， 因为，所以，， 则，即， 所以得在上单调递增， 所以，， 所以，所以. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法： （1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且； （2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值作差变形定号下结论. 47．(23-24高一上·河南名校联盟·期末)已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式； (3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，解出即可； （2）考查函数在的单调性，根据条件转化不等式，解出即可； （3）根据题意可知方程有两个不同的根，化简方程后，列出条件，解出即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为函数为偶函数． 所以， 即， 所以 ， 所以； （2）因为， 当时，，单调递增， 所以在上单调递增，又函数为偶函数， 所以函数在上单调递减； 因为，所以， 解得或， 所以不等式的解集为 （3）因为函数与图象有个公共点， 所以方程有两个不同的根， 方程即为， 可化为， 则有，， 设，则， 即， 又在上单调递增， 所以方程有两个不等的正根； 所以， 解得， 所以的取值范围为． 48．(24-25高一上·河南漯河·期末)定义：若函数在其定义域内存在实数，使，则称是的一个不动点.已知函数. (1)当，时，求函数的不动点； (2)若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据题意解方程即可， （2）由题意可得方程有两个不相等的实根，得，再由可求得结果， （3）设，，，则，，再由题意可得，结合根与系数的关系得，表示出结合二次函数的性质可求得结果. 【详解】（1），由，解得或， 所以所求的不动点为或. （2）令，则①， 由题意，方程①恒有两个不等实根，所以， 即恒成立，则，故. （3）设，，， 又是的不动点，∴，， ∴、的中点为. 又的中点在上 ∴， ∴， 而是方程的两个根， ∴ 即 ∴， ∴当，即时，. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查函数的新定义，解题的关键是对函数新定义的正确理解，考查计算能力，属于较难题. 地 城 考点08 函数模型应用 49．(24-25高一上·河南洛阳·期末)果蔬清洗剂主要由表面活性剂，乳化剂、香精和色素等成分组成，使用果蔬清洗剂可以去除果蔬表面的部分农药残留．但由于其本身也是一种化学物质，使用后可能会造成二次污染，因此部分人群仍习惯于仅用清水清洗果蔬．已知用1个单位量的清水可清除果蔬上残留农药量的，用水越多，清洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在果蔬上．设用x单位量的清水清洗一次后，果蔬上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数． (1)试根据问题的实际含义，确定的值，并在此基础上，求出a，b的值； (2)现用单位量的清水，既可以清洗一次，也可以把水平均分成2份，先后清洗两次．哪种方案清洗后果蔬上残留的农药量比较少?请说明理由． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）利用给定条件求出特殊点处的函数值，再代入求解参数即可. （2）利用给定条件求出残留量，再对参数范围分类讨论求解即可. 【详解】（1）根据问题的实际意义，可知， 将代入，得，解得． （2）由（1）知， 设果蔬未被清洗时，农药残留量为单位1， 若用单位量的水清洗一次，则农药残留量为 若将单位量的水平均分成2份，先后清洗2次， 则农药残留量为， 而 ， ①当，即时，， 将水均分成2份，清洗两次，农药残留量比较少． ②当，即时，， 两种方式下，农药残留量相等． ③当，即时，． 清洗一次，农药残留量比较少． 50．(23-24高一上·河南名校联盟·期末)某机构通过对某企业今年的生产经营状况的调查，得到月利润（单位：万元）与相应月份的部分数据如下表： 2 5 7 10 229 244 241 227 (1)根据上表中的数据，从（这里的都是常数）三个函数模型中选取一个恰当的模型描述与的变化关系，并说明理由； (2)利用2月份和5月份的数据求出（1）中选择的函数模型，并估计几月份的月利润最大. 【答案】(1)选取二次函数，理由见解析 (2)；6月份的利润最大 【分析】（1）根据表格中的数据不是单调函数，即可作出选择； （2）将点代入，求得函数，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由题目中的数据知，描述每月利润与相应月份数的变化关系不是单调函数， 所以应选取二次函数进行描述. （2）解：将点，代入， 可得，解得， 所以，即， 所以当时，取最大值，故可估计6月份的利润最大. 51．(23-24高一上·河南郑州·期末)后疫情时代，全民健康观念发生很大改变．越来越多人注重通过摄入充足的水果，补充维生素，提高自身免疫力．郑州某地区适应社会需求，利用当地的地理优势，发展种植某种富含维生素的珍稀果树．经调研发现：该珍稀果树的单株产量W（单位：千克）与单株用肥量x（单位：千克）满足如下关系：已知肥料的成本为10元/千克，其他人工投入成本合计元．若这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该果树的单株利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当单株施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1) (2)当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元 【分析】（1）用单株产量乘以水果的市场售价减去肥料的成本、人工投入成本得出该果树的单株利润； （2）利用配方法、基本不等式求出的最大值可得答案． 【详解】（1）由题可知 ， ； （2）由（1）得 ， 当时，； 当时，； （当且仅当时，即时等号成立） 因为，所以当时，， 所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元. 52．(24-25高一上·河南商丘商师联盟·期末)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，n表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型，，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为. (1)求该学习率模型的表达式； (2)要使学习率衰减到以下（不含），至少需训练迭代多少轮？（参考数据） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，将时，代入计算，即可得到结果. （2）根据题意，由条件列出不等式，结合指数，对数的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由条件可得，指数衰减的模型为， 当时，，代入可得，解得， 所以该学习率模型的表达式 （2）由学习率衰减到以下（不含），可得， 即，所以，即 ， 所以，则，即至少需训练迭代74轮. 53．(23-24高一上·河南洛阳·期末)2022年卡塔尔世界杯刚结束不久，留下深刻印象的除了精彩的足球赛事，还有灵巧可爱、活力四射的吉祥物，中文名叫拉伊卜，在全球范围内收获了大量的粉丝，开发商设计了不同类型含有拉伊卜元素的摆件、水杯、钥匙链、体恤衫等.某调查小组通过对该吉祥物某摆件官网销售情况调查发现：该摆件在过去的一个月内（以30天记）每件的销售价格（单位：百元）与时间（单位：天）的函数关系式近似满足（为正常数），日销售量（件）与时间的部分数据如下表所示： （天） 5 10 15 25 30 （件） 115 120 125 115 110 已知第10天的日销售收入为132百元. (1)求的值； (2)给出以下四种函数模型： ①，②，③，④. 请根据上表中的数据，选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量（单位：件）与时间（天）的变化关系，并求出该函数解析式； (3)求该吉祥物摆件的日销售收入（单位：百元）的最小值. 【答案】(1) (2)选②，. (3)132百元 【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为132元，代入即可得解； （2）据所给数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，而①，③，④中的函数为单调函数，故只能选②，再代入题表数据即可得解； （3）由（2）可得，分类讨论求最小值即可. 【详解】（1）由题意得，解得． （2）由题表中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，而①，③，④中的函数为单调函数，故只能选②，即． 由题表可得，， 即解得 故． （3）由（2）知 ∴ 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴当时，，当时，， ∴当时，取得最小值，且； 当时，是单调递减的， ∴当时，取得最小值，且． 综上所述，当时，取得最小值，且． 故该商品的日销售收入的最小值为132百元． 54．(24-25高一上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一万台需另投入80万元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式：（利润=销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润． 【答案】（1）；（2）当年产量为29万台时，该公司获得的年利润最大为1360万元. 【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式； （2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论． 【详解】（1）因为， 所以； （2）时，， 时，， 时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以时，， 综上，（万台）时，年利润最大，最大利润为1360万元． 55．(23-24高一上·河南漯河·期末)某市为争创文明卫生城市，实行生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为“厨余垃圾”，“可回收垃圾”，“有害垃圾”和“其他垃圾”四类，某企业在市科研部门的支持下进行研究，把厨余垃圾加工处理为一种可销售的产品．已知该企业每周的加工处理量最少为110吨，最多为150吨．周加工处理成本（元）与周加工处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每加工处理一吨厨余垃圾得到的产品售价为18元． (1)该企业每周加工处理量为多少吨时，才能使每吨产品的平均加工处理成本最低？ (2)该企业每周能否获利？如果获利，求出利润的最大值；如果不获利，则市政府至少需要补贴多少元才能使该企业不亏损？ 【答案】(1)120吨 (2)不获利，市政府至少需要补贴1345元 【分析】（1）由题可得每吨产品平均加工成本关于每周加工处理量的表达式，后由基本不等式可得答案； （2）由题可得获利关于每周加工处理量表达式，判断其最大值与0的大小，即可判断是否获利. 【详解】（1）设每吨产品的平均加工处理成本为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故每周加工处理量为120吨时，平均加工处理成本最低． （2）设该企业每周获利元， 则, 故当吨时，， 所以该企业每周不获利，市政府至少需要补贴1345元才能使其不亏损． 56．(23-24高一上·河南商丘·期末)过去，新材料的发现主要依赖“试错”的实验方案或者偶然性的发现，一种新材料从研发到应用需要10～20年，已无法满足工业快速发展对新材料的需求．随着计算与信息技术的发展，利用计算系统发现新材料成为了可能．科学家们正在构建由数千种化合物组成的数据库，用算法来预测是什么让材料变得坚固和更轻．某科研单位在研发某种产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x（单位：克）的关系为；当时，y是x的指数函数；当时，y是x的二次函数．性能指标值y越大，性能越好，测得数据如下表（部分）： x（单位：克） 1 4 6 … y 2 8 4 … (1)求y关于x的函数关系式； (2)求这种新材料的含量为何值时该产品的性能达到最佳． 【答案】(1) (2)4克 【分析】（1）根据给定的数表，利用待定系数法求出解析式作答. （2）分段求出函数的最值，再比较大小作答. 【详解】（1）当时，y是x的指数函数，设（且）， 由数表知，满足指数函数解析式，于是得， 即当时，； 易知时，． 当时，y是x的二次函数，设（）， 显然，，满足二次函数解析式，即， 解得，，， 即当时，． 所以y关于x的函数关系式． （2）当时，，则当时，y取得最大值4； 当时，，则当时，y取得最大值8，而． 因此当时，y取得最大值8． 综上可知，当这种新材料的含量为4克时，该产品的性能达到最佳． 试卷第42页，共42页 试卷第41页，共42页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 幂函数，函数与方程 8大高频考点概览 考点01 幂函数求解析式 考点02 根据幂函数及性质求参数 考点03 幂函数的单调性与奇偶性 考点04 方程根的个数问题 考点05 函数的零点所在区间 考点06 函数零点及零点的大小问题 考点07 方程根的个数（零点个数）求参数范围 考点08 函数模型应用 地 城 考点01 幂函数求解析式 1．(24-25高一上·河南濮阳·期末)已知幂函数的图象分别经过两点，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·河南焦作·期末)已知幂函数的图象分别经过两点，则（   ） A． B． C． D． 3．(23-24高一上·河南新乡·期末)“”是是幂函数”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(24-25高一上·河南郑州·期末)已知幂函数过点，则 ． 5．(24-25高一上·河南三门峡·期末)若幂函数经过点，则 . 6．(24-25高一上·河南信阳普通高中·期末)已知幂函数满足. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，是否存在实数n，使得的最小值为，若存在，求出实数n的值；若不存在，请说明理由． 地 城 考点02 根据幂函数及性质求参数 7．(24-25高一上·河南新乡·期末)若幂函数是偶函数，则（   ） A．-2 B．3 C．1 D．1或3 8．(23-24高一下·河南新高中创新联盟TOP二十名校·调研)已知是幂函数，则（    ） A．3 B． C．6 D． 9．(23-24高一上·河南漯河·期末)已知幂函数在上为减函数，则等于（    ） A．3 B．4 C． D．或4 10．(23-24高一上·河南郑州·期末)已知幂函数过点，则该幂函数解析式为 . 地 城 考点03 幂函数的单调性与奇偶性 11．(23-24高一上·河南驻马店·)下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 12．(24-25高一上·河南许昌·期末)已知函数为幂函数，且在上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，求实数a的取值范围． 13．(23-24高一上·河南信阳普通高中·期末)已知幂函数在上是增函数 (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围． 14．(24-25高一上·河南豫东名校·期末)已知幂函数在上单调递增，且，请写出一个满足条件的的值为 ． 地 城 考点04 方程根的个数问题 15．(24-25高一上·河南濮阳·期末)已知函数，若，且，则方程的根的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．(24-25高一上·河南漯河·期末)高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一､享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如.已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．方程在区间上有4个实数根 C．若，则 D．，都有 17．(24-25高一上·河南新乡·期末)对于函数，存在，使得，我们称为“不动点”函数.下列函数中，是“不动点”函数的是（   ） A． B． C． D． 18．(24-25高一上·河南郑州·期末)设函数的定义域为，且满足，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．在上为减函数 D．方程有且仅有5个实数根 19．(24-25高一上·河南南阳·期末)已知函数有三个零点，且函数，则下列判断正确的是（   ） A． B．函数可能不存在零点 C．函数可能有一个零点 D．函数可能有两个零点 20．(23-24高一上·河南济源·期末)设函数的定义域为R，且，，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．为奇函数 C． D．函数有11个不同的零点 21．(24-25高一上·河南郑州·期末)已知函数，若对于其定义域中任意非零实数x，都有，则称函数为“倒负函数”． (1)若，，试判断和是不是“倒负函数”．并说明理由； (2)设，若，求的最小值； (3)若，证明：在定义域内有且仅有两个零点． 地 城 考点05 函数的零点所在区间 22．(24-25高一上·河南开封·期末)已知是函数的零点，且，，则（   ） A． B． C． D． 23．(24-25高一上·河南驻马店·期末)函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 24．(23-24高一上·河南新乡·期末)已知函数在内的一个零点附近的函数值如下表： 则该零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 25．(23-24高一上·河南济源·期末)方程的解所在区间是（    ）． A． B． C． D． 26．(24-25高一上·河南信阳普通高中·期末)函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间为（    ） A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 27．(23-24高一上·河南信阳普通高中·期末)函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 28．(24-25高一上·河南三门峡·期末)函数零点存在的区间为 A． B． C． D． 29．(24-25高一上·河南濮阳·期末)下列所给函数中，不能使用二分法求解其零点所在区间的有（   ） A． B． C． D． 30．(24-25高一上·河南洛阳·期末)已知函数是定义域为的奇函数，其零点分别为，若，则关于x的方程的解所在的区间是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点06 函数零点及零点大小问题 31．(24-25高一上·河南三门峡·期末)函数的零点为 . 32．(23-24高一上·河南驻马店·)已知函数，则函数的零点是 ． 33．(23-24高一上·河南郑州·期末)已知函数的零点分别为a，b，c，则有（    ） A． B． C． D． 34．(23-24高一上·河南洛阳·期末)已知函数在区间内的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点07 方程根的个数（零点个数）求参数范围 35．(24-25高一上·河南漯河·期末)若一元二次方程有正实数根，则实数可以是（    ） A． B． C． D． 36．(24-25高一上·河南商丘·期末)已知函数，若方程有3个不同的实数根，，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 37．(23-24高一上·河南南阳·)设集合，，函数.若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．(24-25高一上·河南许昌·期末)设函数，则下列说法正确的是（   ） A．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为 B．若函数有3个不同零点，则实数a的取值范围为 C．若函数有3个零点名，则的取值范围为 D．对任意，函数在内无最小值 39．(23-24高一上·河南洛阳·期末)已知函数 ，则（    ） A．的值域为 B．若有个零点，则或 C．若有个零点，则或 D．若的个零点分别为：，，，则的取值范围为 40．(23-24高一上·河南名校联盟·期末)已知函数，若方程有4个不同实根，则（    ） A． B． C． D． 41．(24-25高一上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)已知定义在上的函数在区间上满足，当时，；当时，.若直线与函数的图象有6个不同的交点，各交点的横坐标为，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 42．(23-24高一上·河南新乡·期末)已知函数且，下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象与直线一定没有交点 C．若的图象与直线有2个交点，则的取值范围是 D．若的图象与直线交于两点，则线段长度的取值范围是 43．(23-24高一上·河南郑州·期末)已知函数求使方程的实数解个数为3时取值范围 ． 44．(24-25高一上·河南南阳·期末)已知函数是奇函数，且，若使得，则实数t的取值范围是 ． 45．(24-25高一上·河南豫东名校·期末)已知函数（且）在上的最大值和最小值之和为20，函数是奇函数． (1)求a和b的值； (2)用函数单调性的定义证明：函数在R上单调递增； (3)若函数恰有两个不同的零点，求m的取值范围． 46．(24-25高一上·河南三门峡·期末)对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. (1)若是不动点，求的值； (2)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围； (3)若的两个不动点为、，且，当时，求实数的取值范围. 47．(23-24高一上·河南名校联盟·期末)已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式； (3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围． 48．(24-25高一上·河南漯河·期末)定义：若函数在其定义域内存在实数，使，则称是的一个不动点.已知函数. (1)当，时，求函数的不动点； (2)若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值. 地 城 考点08 函数模型应用 49．(24-25高一上·河南洛阳·期末)果蔬清洗剂主要由表面活性剂，乳化剂、香精和色素等成分组成，使用果蔬清洗剂可以去除果蔬表面的部分农药残留．但由于其本身也是一种化学物质，使用后可能会造成二次污染，因此部分人群仍习惯于仅用清水清洗果蔬．已知用1个单位量的清水可清除果蔬上残留农药量的，用水越多，清洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在果蔬上．设用x单位量的清水清洗一次后，果蔬上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数． (1)试根据问题的实际含义，确定的值，并在此基础上，求出a，b的值； (2)现用单位量的清水，既可以清洗一次，也可以把水平均分成2份，先后清洗两次．哪种方案清洗后果蔬上残留的农药量比较少?请说明理由． 50．(23-24高一上·河南名校联盟·期末)某机构通过对某企业今年的生产经营状况的调查，得到月利润（单位：万元）与相应月份的部分数据如下表： 2 5 7 10 229 244 241 227 (1)根据上表中的数据，从（这里的都是常数）三个函数模型中选取一个恰当的模型描述与的变化关系，并说明理由； (2)利用2月份和5月份的数据求出（1）中选择的函数模型，并估计几月份的月利润最大. 51．(23-24高一上·河南郑州·期末)后疫情时代，全民健康观念发生很大改变．越来越多人注重通过摄入充足的水果，补充维生素，提高自身免疫力．郑州某地区适应社会需求，利用当地的地理优势，发展种植某种富含维生素的珍稀果树．经调研发现：该珍稀果树的单株产量W（单位：千克）与单株用肥量x（单位：千克）满足如下关系：已知肥料的成本为10元/千克，其他人工投入成本合计元．若这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该果树的单株利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当单株施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大，并求出最大利润． 52．(24-25高一上·河南商丘商师联盟·期末)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，n表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型，，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为. (1)求该学习率模型的表达式； (2)要使学习率衰减到以下（不含），至少需训练迭代多少轮？（参考数据） 53．(23-24高一上·河南洛阳·期末)2022年卡塔尔世界杯刚结束不久，留下深刻印象的除了精彩的足球赛事，还有灵巧可爱、活力四射的吉祥物，中文名叫拉伊卜，在全球范围内收获了大量的粉丝，开发商设计了不同类型含有拉伊卜元素的摆件、水杯、钥匙链、体恤衫等.某调查小组通过对该吉祥物某摆件官网销售情况调查发现：该摆件在过去的一个月内（以30天记）每件的销售价格（单位：百元）与时间（单位：天）的函数关系式近似满足（为正常数），日销售量（件）与时间的部分数据如下表所示： （天） 5 10 15 25 30 （件） 115 120 125 115 110 已知第10天的日销售收入为132百元. (1)求的值； (2)给出以下四种函数模型： ①，②，③，④. 请根据上表中的数据，选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量（单位：件）与时间（天）的变化关系，并求出该函数解析式； (3)求该吉祥物摆件的日销售收入（单位：百元）的最小值. 54．(24-25高一上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一万台需另投入80万元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式：（利润=销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润． 55．(23-24高一上·河南漯河·期末)某市为争创文明卫生城市，实行生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为“厨余垃圾”，“可回收垃圾”，“有害垃圾”和“其他垃圾”四类，某企业在市科研部门的支持下进行研究，把厨余垃圾加工处理为一种可销售的产品．已知该企业每周的加工处理量最少为110吨，最多为150吨．周加工处理成本（元）与周加工处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每加工处理一吨厨余垃圾得到的产品售价为18元． (1)该企业每周加工处理量为多少吨时，才能使每吨产品的平均加工处理成本最低？ (2)该企业每周能否获利？如果获利，求出利润的最大值；如果不获利，则市政府至少需要补贴多少元才能使该企业不亏损？ 56．(23-24高一上·河南商丘·期末)过去，新材料的发现主要依赖“试错”的实验方案或者偶然性的发现，一种新材料从研发到应用需要10～20年，已无法满足工业快速发展对新材料的需求．随着计算与信息技术的发展，利用计算系统发现新材料成为了可能．科学家们正在构建由数千种化合物组成的数据库，用算法来预测是什么让材料变得坚固和更轻．某科研单位在研发某种产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x（单位：克）的关系为；当时，y是x的指数函数；当时，y是x的二次函数．性能指标值y越大，性能越好，测得数据如下表（部分）： x（单位：克） 1 4 6 … y 2 8 4 … (1)求y关于x的函数关系式； (2)求这种新材料的含量为何值时该产品的性能达到最佳． 试卷第42页，共42页 试卷第41页，共42页 学科网（北京）股份有限公司 $