专题05指数函数与对数函数（11大题型）（期末真题分类汇编 河南专用）高一数学上学期

专题05 指数函数与对数函数 11大高频考点概览 考点01 指对数运算 考点02 指对幂比较大小 考点03 指对数函数图象 考点04 指对数函数解不等式问题 考点05 指对数函数单调性求参数范围 考点06 指对数函数模型应用 考点07 指对数函数的定义域、值域、最值 考点08 指对数函数过定点问题 考点09指对数函数的单调性判断与证明 考点10 指对数函数综合问题 考点11 指对数函数恒、能成立问题 地 城 考点01 指对数运算 1．(23-24高一上·河南洛阳·期末) . 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可. 【详解】 . 故答案为： 2．(23-24高一上·河南新乡·期末) ； . 【答案】 1 【分析】利用指数运算性质，对数运算性质，对数的概念进行运算即可． 【详解】， . 故答案为：；1． 3．(24-25高一上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)已知，且，则的值是 . 【答案】1 【分析】由指对互化可得，再利用对数的换底公式和对数的运算性质计算可得的值. 【详解】因为，则， 所以. 故答案为：1. 4．(23-24高一上·河南南阳·)已知实数m，n满足，则 . 【答案】 【分析】构造函数，根据函数的单调性可得，进而根据对数的运算性质即可求解. 【详解】由可得， 记，由于函数单调递减，所以单调递增， 由可得， 又，因此， 由可得， 所以，可得， 故答案为： 5．(23-24高一上·河南部分学校·期末)已知且，则 . 【答案】9 【分析】结合对数运算性质计算即可得. 【详解】由，则， 即有，故，则或， 又，故. 故答案为：9. 6．(24-25高一上·河南焦作·期末)对下列两个式子进行求值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）利用指数的运算性质计算即可； （2）利用对数的运算性质计算即可. 【详解】（1）原式. （2）因为， ， 所以原式 7．(24-25高一上·河南驻马店·期末)计算求值． (1)计算； (2)已知，求的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）分数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可； （2）利用对数运算性质化简变形可求得答案. 【详解】（1）由于，，， ， 因此原式 ． （2）由条件，． 由，得， 所以，化简得， 所以 得或（舍去） 从而可得. 8．(24-25高一上·河南开封·期末)求满足下列条件的各式的值： (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用指数运算计算得解. （2）利用对数换底公式及指数式与对数式的互化关系计算得解. 【详解】（1）由，，得， 所以. （2）由，得， 所以. 9．(23-24高一上·河南郑州·期末)（1）计算； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据指数幂与对数的运算公式，准确运算，即可求解； （2）根据题意，结合指数幂的运算，即可求解. 【详解】解：（1）由指数幂和对数运算法则，可得： . （2）因为，可得. 10．(23-24高一上·河南济源·期末)已知，函数，． (1)若，，求； (2)若，，求m； (3)若，，求证：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析； 【分析】（1）根据指数与对数的运算法则计算即可； （2）利用函数解析式及指数与对数的运算法则消元转化计算即可； （3）利用函数解析式得出，作商得，根据换元法设，则，结合函数单调性计算即可证明. 【详解】（1）若，，则依题意， 所以； （2）若，，则，， 所以； （3）若，，则，， 所以， 设，则， 易知，设，显然在R上单调递增， 又，即恰有一个根， 故，得证. 【点睛】思路点睛：第一二问，均借助函数解析式结合指数对数的运算法则计算即可；第三问利用函数解析式得出，要证，显然作商可得结构，利用换元法设，得，借助函数的单调性计算即可证明. 地 城 考点02 指对幂比较大小 11．(24-25高一上·河南商丘·期末)已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数，指数函数单调性和中间值比较大小. 【详解】由于在R上单调递减，， 由于，故， 由于在上单调递增，故， 故. 故选：D 12．(24-25高一上·河南许昌·期末)设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数单调性求对数值的范围，利用分数指数幂的运算法则计算即可比较. 【详解】因，而，， 故. 故选：C. 13．(23-24高一上·河南驻马店·)已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的性质判断即可. 【详解】因为，又，即， ， ，且，即， 所以. 故选：B 14．(23-24高一上·河南济源·期末)设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数，指数函数以及对数函数的单调性以及中间值法即可比较大小. 【详解】因为，，， 所以． 故选：A 15．(24-25高一上·河南驻马店·期末)记，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法依次判断的大小关系. 【详解】因为 ，所以. 因为 ，所以. 因为 ，所以. 综上可知：. 故选：A. 16．(24-25高一上·河南洛阳·期末)已知，若，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数运算可得，，，再利用对数函数的单调性判断大小即可. 【详解】对于函数，， ，， 又在定义域上单调递增，且， 所以，所以，即. 故选：B. 17．(23-24高一上·河南洛阳·期末)已知函数在区间内的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用函数的单调性结合零点存在性定理判断a，b，c所在区间作答. 【详解】函数在上单调递减，函数在上都单调递增， 因此函数在上都单调递减， 在上最多一个零点，，即有， ，则，而，即， 所以. 故选：A 18．(23-24高一上·河南南阳·)已知，，，则下列结论一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用数形结合的方法，即分别作出以及的图象，即可判断A，C；利用中间变量，结合函数单调性，比较大小，可判断B，D. 【详解】对于A，函数均为R上的增函数， 且时，两函数值相等，均为1，时，两函数值相等，均为9， 作出函数的图象如图：    由图可知当时，，即，A正确； 对于B，时，， 由于，故，故，B正确； 对于C，作出函数的图象如图，    由图象可知当时，，即，C错误； 对于D，，则，，， 由于，故，即，D正确， 故选：ABD 【点睛】方法点睛：（1）比较一次函数值与指数函数、对数函数值的大小关系，可采用数形结合的方法，即作出函数图象，可比较函数值大小关系； （2）比较指数幂以及对数值的大小关系，可寻找中间量，结合函数单调性，进行大小比较. 地 城 考点03 指对数函数图象 19．(24-25高一上·河南驻马店·期末)函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断当时，的取值情况，从而可得答案. 【详解】的定义域为， 因为， 所以为奇函数，所以的图象关于原点对称， 所以排除AC， 因为当时，， 所以排除D， 故选：B. 20．(24-25高一上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)下列可能是函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象特征先根据定义域排除A,B,再根据特殊值排除D即可得出选项. 【详解】函数定义域为R，排除选项A,B， 当时，，排除选项D. 故选：C. 21．(23-24高一上·河南中州联盟·期末)函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断B、D，再根据函数在上的单调性排除C. 【详解】函数，令，解得， 所以函数的定义域为，故排除B、D； 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，故排除C. 故选：A 22．(22-23高二下·河南焦作博爱县第一中学·期末)函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】通过分析函数的奇偶性和函数的取值范围即可得出结论. 【详解】因为，定义域为，关于原点对称，所以， ， ∴函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故D错误， ∵恒成立，且当时，，所以B、C错误. 故选：A. 23．(24-25高一上·河南开封·期末)如图，已知直线，与函数，的图象分别交于，，，四点，且为平行四边形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】首先确定点 点的坐标，利用平行四边形对边平行且相等的性质 ，建立关于 的等式，利用平方差公式化简得到 ，再通过均值不等式可得 ，最后分析选项得出结论. 【详解】依题意，当 时， 在 图象下方， 所以在 图象上， 在 图象上， 所以 ， ， ， 又因为四边形为平行四边形， 所以 ，即 ，即 ， 又因为 ，所以 ， . 故A正确， B错误. 由均值不等式 ，化简可得 ，当 时等号成立， 由于 ，故 ， D正确， C错误. 故选：AD. 24．(24-25高一上·河南开封·期末)已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则 ． 【答案】1 【分析】根据指数函数的性质确定的值，即可求解. 【详解】因为函数无限接近直线但又不与该直线相交，所以， 又函数图象过原点，所以 . 所以. 所以. 故答案为：1 地 城 考点04 指对数函数解不等式问题 25．(24-25高一上·河南豫东名校·期末)已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分， 和讨论求解. 【详解】解：当时，， 则在时无解； 当时，在R上单调递增； 当时，，则的解集为； 当时，， 则在时恒成立， 综上，不等式的解集为． 故选：B 26．(24-25高一上·河南郑州·期末)已知，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质，讨论、分别解不等式求参数范围. 【详解】当，则，可得，即， 当，则，可得，即， 综上，. 故选：C 27．(24-25高一上·河南三门峡·期末)已知函数，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，由的单调性与奇偶性，把不等式转化为求解． 【详解】令，定义域为， 在上单调递增； 在单调递增且，在上单调递增， 则在上单调递增， 所以在上单调递增． ， 故为奇函数，在上单调递增， 关于的不等式可化为， 即， 则，解得， ∴关于的不等式的解集为． 故选：B． 28．(24-25高一上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性化简，即可根据充要条件的定义求解. 【详解】因为，等价于即，解得， 所以是的充要条件. 故选：C. 29．(24-25高一上·河南周口·期末)已知函数 且. (1)若的图象经过点，求不等式的解集； (2)若存在x，使得，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入解析式，得到，根据对数函数定义域和单调性得到不等式，求出不等式解集； （2）先求出，变形得到在上有解，求出，从而得到，求出a的取值范围. 【详解】（1）将代入得，，解得， 故，其在上单调递增， ，故，解得， 故不等式的解集为； （2）， ，解得， 且，故在上有解， 即在上有解， 其中在上单调递增，且， 当时，，故， 所以， 又且，解得. 30．(24-25高一上·河南洛阳·期末)已知，函数，当且仅当时，． (1)求实数a的值； (2)设，当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数的单调性可得，即可根据的两根为0，1求解， （2）根据，利用换元法，结合对勾函数单调性即可求解. 【详解】（1）由得 即   ∴，即 依题意知，该不等式组的解集为． ∴方程的两根为0，1． ，解得． 经检验，当时，符合题意，故； （2）    令，因，则且， 故， 因函数在上递减，在上递增， 又，，则， 故， 故 ∴函数的值域为． 地 城 考点05 指对数函数单调性求参数范围 31．(24-25高一上·河南新乡·期末)已知，且，则“”是“函数在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先由在R上单调递增求得的取值范围，再利用充分条件，必要条件的定义即得. 【详解】由在上单调递增，得，解得， 故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A. 32．(23-24高一上·河南信阳普通高中·期末)已知，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对给定不等式作等价变形，构造函数并确定其单调性，再借助函数单调性并结合复合函数单调性求解即得. 【详解】不等式， 令，则， 依题意，，，因此函数在上单调递增， 令，而在上单调递增，则函数在上单调递增，且恒有 令，显然函数在上单调递增，因此在上单调递增，且，， 当时，在上单调递增，当时，在上单调递增， 且恒成立，因此； 当时，由在上单调递增，得，解得， 由，，得，解得，因此， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 33．(24-25高一上·河南南阳·期末)已知（，且）在上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数单调性列式计算即可. 【详解】因为，所以在单调递减， 而（，且）在上单调递增， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：B． 34．(23-24高一上·河南部分学校·期末)已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质求解． 【详解】由题意，解得． 故选：C． 35．(24-25高一上·河南焦作·期末)已知函数，其中，则下列说法正确的是（   ） A．若的定义域是，则 B．若的最大值为1，则 C．若在上单调递增，则 D．若在上单调递减，则 【答案】ACD 【分析】根据对数函数和二次函数的图象和性质求解即可. 【详解】对于A，若的定义域是，则的解集为，所以，故A正确； 对于B，令，由二次函数的性质可知当时取最大值， 因为单调递增，且最大值为1，得的最大值为4， 所以当时，，解得，故B错误； 对于C，易知在上单调递增，所以，解得，故C正确； 对于D，易知在上单调递减，所以解得，故D正确； 故选：ACD 36．(23-24高一上·河南信阳普通高中·期末)函数在上单调递减，则的范围为 . 【答案】 【分析】函数是由指数变换得到的，根据函数图像变换知识和指数函数单调性可得的单调性，从而解出答案. 【详解】因为，所以根据函数图像的平移变换和指数函数的性质可得在单调递增，在单调递减. 因为函数在上单调递减所以. 故答案为：. 37．(24-25高一上·河南驻马店·期末)已知函数，且的解集为． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调，求实数的取值范围； (3)求在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得1，3为方程的两根，再利用根与系数的关系可求出的值，从而可求得的解析式； （2）求出的图象的对称轴，然后由题意可得或，从而可求出实数的取值范围； （3）分，和三种情况结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）根据条件的解集为，则1，3为方程的两根， 所以，得， 所以； （2）由于的对称轴为， 因此若在区间上单调，则或， 解得，或， 即； （3）因为在区间上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在区间上递增， 此时； 当，即时，； 当，即时，在区间上递减， 此时； 综上所述：即为所求． 地 城 考点06 指对数函数模型应用 38．(24-25高一上·河南洛阳·期末)在计算机的算法分析中，常用时间复杂度来衡量一个算法的优劣，算法的时间复杂度是指算法完成一次运行所需要的运算次数，若用(单位∶次)表示算法的时间复杂度，它是算法求解问题数据规模n的函数.已知某算法的时间复杂度()，一台计算机每秒可以进行1.3亿次运算，则要保证该算法能在此计算机上1秒内完成一次运行，则n的最大值为（    ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】B 【分析】将各项数值代入时间复杂度算法公式中求近似值，要求小于等于情况下最接近于的n值，即为n的最大值. 【详解】由题意知： ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴满足1秒内完成一次运行，n的最大值为50. 故选：B. 39．(24-25高一上·河南南阳·期末)我们已经学习和研究了对数函数（，且）的图象和性质．如果将解析式中的a，x互换位置，底数变为自变量，即可得到形如（，且）的函数．设（，且），则关于函数的图象或性质表述正确的是（   ） A．的图象只能出现在第一象限 B．的图象可以出现在第一、第二象限 C．的值域为 D．在区间和上单调递减 【答案】D 【分析】利用换底公式得到，再根据对数函数的图象与性质判断即可. 【详解】，由得或， 所以函数的定义域为， 当时，，所以，图象位于第四象限； 当时，，所以，图象位于第一象限， 所以的图象出现在第一和第四象限，值域为，故ABC错误； 当时，单调递增，所以单调递减； 当时，单调递增，所以单调递减， 所以函数在区间和上单调递减，故D正确. 故选：D. 40．(24-25高一上·河南新乡·期末)酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量（单位：mg）在内的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量为，如果停止喝酒后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，经过小时后，该驾驶员可以驾驶车辆，那么整数的最小值是（参考数据：）（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】利用题意列出不等式，再利用指对数转化，解不等式，然后用对数运算求值即可. 【详解】由题意可得，则， 即，所以. 因为，所以， 则整数的最小值是8. 故选：C. 41．(24-25高一上·河南郑州·期末)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数，如果在前5h消除了的污染物，那么污染物减少到需要花（   ）h（精确到1h，参考数据：） A．5 B．6 C．15 D．18 【答案】C 【分析】根据题设条件可得，据此可求污染物减少到需要的时间. 【详解】由题设有，故，故， 令，故，故， 所以， 故选：C. 42．(24-25高一上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)著名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．16分钟 B．18分钟 C．20分钟 D．22分钟 【答案】D 【分析】根据题意代值计算即可. 【详解】由题知， 所以，可得， 所以，即. 故选：D. 43．(23-24高一上·河南许昌·期末)双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流，放电时间为（    ） A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h 【答案】B 【分析】根据题意求出蓄电池的容量C，再把代入，结合指数与对数的运算性质即可得解. 【详解】解：根据题意可得， 则当时， ， 所以， 即当放电电流，放电时间为28.5h. 故选：B. 44．(23-24高一上·河南部分学校·期末)声音的强弱通常用声强级和声强来描述，二者的数量关系为（为常数）.一般人能感觉到的最低声强为，此时声强级为；能忍受的最高声强为，此时声强级为.若某人说话声音的声强级为，则他说话声音的声强为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可计算出、，而后代入计算即可得. 【详解】由题意可得，故， 则当时，有， 解得. 故选：B. 45．(23-24高一上·河南信阳普通高中·期末)我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（    ）参考数据： A．2024年 B．2023年 C．2026年 D．2025年 【答案】C 【分析】根据指数函数模型列不等式求解． 【详解】依题意，第n时投入资金为亿元， 设2020年后第n年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元， 则,得， 两边同取常用对数，得，所以， 所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元. 故选：C． 地 城 考点07 指对数函数的定义域、值域、最值 46．(23-24高一上·河南南阳·)已知函数，若存在最小值，则实数a的可能取值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】CD 【分析】运用指数函数的单调性，求得的的值域，再由对数函数的单调性，讨论对称轴和区间的关系，可得的值域，由题意列出不等式，求解即可得到所求范围． 【详解】函数函数， 当时，的范围是； 时，，， 由题意存在最小值，， 故选：CD． 47．(23-24高一上·河南郑州·期末)已知函数，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数是偶函数 D．函数是增函数 【答案】BC 【分析】根据对数函数真数大于0求解定义域判断A，根据偶函数定义判断C，根据函数图象判断BD. 【详解】要使函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数是定义域为的偶函数， 故选项A错误，C正确； 作出函数的图象，如图： 由图象可知，函数的值域为， 也可根据偶函数性质易得函数的值域为，故选项B正确； 函数在上单调递增，在上单调递减，故选项D错误. 故选：BC 48．(23-24高一上·河南许昌·期末)若函数在上的最大值比最小值大，则 ． 【答案】 【分析】借助指数函数的单调性计算即可得. 【详解】由，故函数在上单调递增，故有， 计算可得或（舍），故. 故答案为：. 49．(23-24高一上·河南信阳普通高中·期末)已知的零点为，若，则整数的最大值是 . 【答案】 【分析】根据题意分析的零点，，得到，通过判断的范围即可得到答案. 【详解】函数的定义域为， 当时，恒成立，不存在零点； 当时，单调递增，且，， 所以的零点，， 即，两边同时取对数，即，即， 所以，所以， 记， 显然，单调递减，所以， 所以，所以整数的最大值是0. 故答案为：0 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于判断的零点的范围，并通过和代入原式进行化简，再构造函数结合单调性判断范围进而求解答案.本题考查了转化与化归能力，属于中档题. 50．(23-24高一上·河南洛阳·期末)若关于的方程有解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】参变分离，把方程化为，令，结合基本不等式，求出范围，建立不等式，解出即可. 【详解】由题意可得， 即有解． 令，则． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，解得. 故答案为：. 51．(24-25高一上·河南驻马店·期末)若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数在定义域上递减，且值域为，可得，根据二次函数的性质可得答案. 【详解】因为函数在定义域上递减，且值域为， 所以 ，即 ，即 ， 所以 ， 所以，设，则， 由可得， 在上递增，所以， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 52．(24-25高一上·河南豫东名校·期末)设，，且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据，得到，从而 ，再分，， ，，，求解. 【详解】解：因为，所以， 所以 ． 当，时，，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立； 当，时，此时．不成立； 当时，，此时； 当，时，，，不成立； 当，时，，，不成立； 综上，的最大值为， 故答案为： 53．(23-24高一上·河南部分学校·期末)已知函数且的图象过坐标原点. (1)求的值； (2)设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值. 【答案】(1) (2)或3 【分析】（1）利用的图象过坐标原点得到关于的方程，解之即可得解； （2）利用指数函数的单调性，分类讨论的取值范围，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】（1）因为的图象过坐标原点， 所以，解得. （2）若，则在上单调递减， 所以，所以，即， 解得或（舍去）； 若，则在上单调递增， 所以，所以，即， 解得或（舍去）； 综上，的值为或3. 54．(24-25高一上·河南漯河·期末)已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据奇函数定义计算可得； （2）利用换元法以及二次函数单调性将问题转化成值域的包含关系，解不等式可得结果. 【详解】（1）函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得， 解得.此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意； 所以. （2）由（1），显然在上单调递减. 可得在的值域， 又 设，则， 当时，有，当时，有， 因此函数在上的值域， 由对任意的，总存在，使得成立，可知， 于是.解得. 所以实数的取值范围是. 55．(23-24高一上·河南新乡·期末)已知函数且. (1)若，函数，求的定义域； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数性质求解析式有意义的x的范围即可； （2）分和两种情况，分别研究和恒成立问题，即可得到答案. 【详解】（1），代入可得： ， 有意义可得，所以， 的定义域为. （2）. 因为且，所以恒成立. 若，则函数是增函数. 因为，所以，即. 设，要使时，恒成立， 只需或 解得. 故符合题意. 若，则函数是减函数. 因为，所以，即. 结合二次函数的性质可得，当时，不等式不可能恒成立. 故不符合题意. 综上，的取值范围为. 56．(24-25高一上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)已知函数且. (1)求函数的定义域； (2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用对数函数真数部分大于零分和解不等式； （2）含参恒成立问题可以转化为求的最大值，将其化简并利用换元法，进一步应用基本不等式得出最大值，即可得出参数的最小值. 【详解】（1）令关于的不等式，有. ①当时，解不等式，可得， 此时函数的定义域为： ②当时，解不等式，可得， 此时函数的定义域为； （2）当时，函数的定义域为， 令， 有 令，可得， 因为，所以， 有， 由，当且仅当时取等号， 有，有， 所以，故的最小值为. 57．(24-25高一上·河南新乡·期末)已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性并根据定义加以证明； (3)若函数在上的最小值是，求的值. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或. 【分析】（1）利用换元法可求函数的解析式； （2）利用单调性的定义可证在上单调递减； （3）分，两种情况求得的最小值，再结合已知求得的值. 【详解】（1）设，得， 则， 故. （2）在上单调递减.         证明如下： 任取，且， 则 ， 因为，且，所以，，， 所以，所以， 则在上单调递减. （3）当时，是上的减函数， 由（2）可知函数是上的减函数， 所以是上的增函数， 所以，解得.     当时，是上的增函数， 由（2）可知函数是上的减函数， 则是上的减函数， 所以，解得.     综上，或. 58．(24-25高一上·河南南阳·期末)设，且． (1)求的最小值； (2)求的取值范围． 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）根据对数值的正负去掉绝对值得出进而根据基本不等式得出最小值； （2）方法1：换元法结合二次函数的单调性得出值域；方法2：左右平方得出结合二次函数得出范围. 【详解】（1）由题可得，又 方法1： （当且仅当即时等号成立） 故的最小值为9． 方法2： （当且仅当即时等号成立） 故的最小值为9． （2）方法1：设， 则， ， 令，则， 易知在上单调递增 所以．即的取值范围为． 方法2：由（1）知，可得，从而， 又有得，易知函数在上单调递增， 故，即的取值范围为． （或若由（1）知，平方得：方法同上） 59．(23-24高一上·河南新乡·期末)已知函数满足，且的图象经过点. (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数和对数的互化公式，代入点的坐标即可求解； （2）利用换元法直接求解函数值域即可. 【详解】（1）因为，所以. 又因为的图象经过点，所以， 解得， 故的解析式为. （2）当时，，令， 则， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时，取得最小值， 又， 所以的值域为. 60．(24-25高一上·河南信阳普通高中·期末)已知函数（且）． (1)求函数的定义域； (2)若函数图象过点，求的值； (3)若时，函数的最大值为6，求值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数的真数大于0，可求函数的定义域. （2）根据已知条件列方程可求的值. （3）利用函数的单调性分类讨论求解. 【详解】（1）由 ， 所以函数的定义域为：. （2）由 . （3）若，则函数在上单调递增， 所以 ； 若，则函数在上单调递减， 所以 .但，故舍去. 综上： 61．(23-24高一上·河南洛阳·期末)已知函数的定义域为. (1)求的取值范围； (2)若，，当时，函数在上的值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的定义域为，可得恒成立，再利用参变分离结合函数的性质求出的取值范围即可； （2）根据条件，可得在区间上单调递增，从而在上有两个不等实根，据二次函数的性质列不等式组求出的取值范围即可. 【详解】（1）因为的定义域为，所以恒成立， 即恒成立， 因为，所以，当时等号成立， 所以，即的取值范围为. （2）因为函数在其定义域上为增函数，令，则为增函数， 因为，，所以在上为增函数， 因为在区间上单调递增，且值域为， 所以，即， 所以在上有两个不等实根， 则，解得，所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查对数复合函数单调性的应用，解题关键是根据对数复合函数单调性转为，从而构造二次方程，转化为在上有两个不等实根，然后利用二次方程根的分布列不等式求解． 地 城 考点08 指对数函数过定点问题 62．(24-25高一上·河南漯河·期末)在平面直角坐标系中，函数且的图象恒过定点，若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点,利用倍角公式可求答案. 【详解】因为函数且的图象恒过定点，所以； 因为角的终边过点，所以， 所以. 故选：C 63．(24-25高一上·河南驻马店·期末)已知曲线（且）过定点，且的坐标满足方程 ，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】A选项，先由指数函数特征求出，故，由基本不等式求出积的最大值；B选项，，解得，变形得到，求出最小值；C选项，变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值；D选项，变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值； 【详解】A选项，令，即，此时，故， 由题意得， 由基本不等式得，即，解得， 当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，，故，解得， 则， 故当时，取得最小值，最小值为，B错误； C选项，， 因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，C正确； D选项，因为，， 所以， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD. 64．(23-24高一上·河南信阳普通高中·期末)下列说法正确的是（    ） A．函数与的图象关于原点对称 B．函数，且恒过定点 C．已知命题，则的否定为： D．是的充分不必要条件 【答案】AC 【分析】A：根据图象上任意一点的对称点所满足的关系式判断；B：令，由此确定出所过定点坐标；C：通过修改量词否定结论可得结果；D：根据与的互相推出情况进行判断. 【详解】对于A：设上任意一点，其关于原点的对称点为， 所以，所以，所以，即为图象上任意一点，故A正确； 对于B：令，所以，此时，所以过定点，故B错误； 对于C：修改量词否定结论可得，故C正确； 对于D：不能推出，但一定能推出，所以是的必要不充分条件，故D错误； 故选：AC. 地 城 考点09 指对数函数的单调性判断与证明 65．(24-25高一上·河南豫东名校·期末)设函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得函数的定义域，再利用复合函数的单调性求解. 【详解】解：依题意，，则，解得， 即函数的定义域为， 显然函数在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递减， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为． 故选：D 66．(24-25高一上·河南周口·期末)已知（且）是偶函数. (1)求a的值； (2)用单调性的定义证明在上单调递增； (3)解关于x的不等式. 【答案】(1)4 (2)证明过程见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）变形得到，由得到方程，求出； （2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （3）不等式变形为，分，，，和，五种情况，求出不等式解集. 【详解】（1）， 故， 由题意得，即， 若且，无解， 若且，解得，负值舍去， 故； （2）由（1）知，， 任取，， 则 ， 因为，，在R上单调递增， 所以，， 故，即， 所以在上单调递增； （3），故， 变形为， 当时，，解得，解集为 当时，有两个根，分别为 当时，，不等式的解集为或； 当时，，不等式解集为； 当时，不等式为，解集为； 当时，，不等式解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 67．(24-25高一上·河南开封·期末)已知函数的定义域为，且，． (1)借助，证明：函数总能表示成一个奇函数与一个偶函数之和； (2)设函数． （i）判断在区间上的单调性，并根据定义进行证明； （ii）求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）在区间上单调递增，证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，利用函数奇偶性定义推理得证. （2）（i）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证；（ii）利用函数单调性求解不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，则函数，的定义域也为， 由，，得，函数为偶函数， 由，，得，函数为奇函数， 又， 所以函数总能表示成一个奇函数与一个偶函数之和. （2）（i）函数在区间上单调递增， ，且， ， 由，知，则，，， 因此，，所以在区间上单调递增. （ii）因为为偶函数图象关于轴对称，在区间上单调递增， 不等式等价于，即，解之得， 所以不等式的解集为. 68．(24-25高一上·河南豫东名校·期末)已知函数（且）在上的最大值和最小值之和为20，函数是奇函数． (1)求a和b的值； (2)用函数单调性的定义证明：函数在R上单调递增； (3)若函数恰有两个不同的零点，求m的取值范围． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先根据指数函数的单调性求得最值，利用最值列式求出，根据奇函数的定义求得，然后利用奇函数的定义进行检验. （2）根据单调性定义按照步骤证明即可. （3）根据指数运算化简及零点的概念，将问题转化为有两个不同的实数解，令，则在上有两个不同的实数解，然后利用二次方程根的分布列不等式求解即可. 【详解】（1）当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减， 所以函数在上的最大值与最小值之和为，解得． 所以，的定义域为R，又函数是奇函数， 所以，解得， 当时，， 所以， 所以函数是奇函数，满足题意． （2）证明：任取，且， 所以 ， 又，所以，，，所以， 即， 所以函数在R上单调递增． （3）因为 ， 所以有两个不同的实数解， 即有两个不同的实数解， 令，则在上有两个不同的实数解， 令，又，所以 解得，即m的取值范围是． 【点睛】方法点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 69．(24-25高一上·河南信阳普通高中·期末)已知函数为奇函数. (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)若不等式对任意都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1； (2)在R上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）由求解的值，再检验即可； （2）根据单调性的定义判断和证明即可； （3）将问题转化为，利用换元法及基本不等式求解即可. 【详解】（1）由函数为奇函数，其定义域为， 所以， 即，解得，此时， 满足， 即为奇函数， 故的值为. （2）解：在R上单调递减，证明如下： 由（1）知， ，且， 则， 因为，所以，，， 所以，， 即函数在上单调递减； （3）由题知：当恒成立； 则； 令， 所以； 又，当且仅当时等号成立， 而，所以，则. 所以实数的取值范围为 70．(23-24高一上·河南郑州·期末)对于函数． (1)判断函数的单调性，并给出证明； (2)是否存在实数a使函数为奇函数？ 【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析 (2)存在 【分析】（1）利用单调性的定义证明函数的单调性； （2）假设存在实数a，使函数为奇函数，由奇函数定义得到等式恒成立，则可求出. 【详解】（1）在区间上的单调递增． 证明如下：对任意，且， ， 因为在单调递增，且，所以，即， 又，则， 即，所以， 所以在区间上单调递增． （2）假设存在实数a，使函数为奇函数， 则对任意， 都有 ，解得， 故存在实数，使函数是奇函数． 71．(23-24高一上·河南郑州河南实验中学·月考)已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值. (2)试判断的单调性，并用定义证明. (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据计算，再验证即可. （2）函数单调递减，设，计算得到证明. （3）根据函数的奇偶性和单调性得到，解得答案. 【详解】（1）定义域为的函数是奇函数，则，， ，，，函数为奇函数； （2）函数在上单调递减. 设，则， ，，故，故， 即，故函数在上单调递减. （3）是定义在上的减函数和奇函数， ，即，即， ，即，解得. 地 城 考点10 指对数函数综合问题 72．(24-25高一上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)已知定义在上的函数在区间上满足，当时，；当时，.若直线与函数的图象有6个不同的交点，各交点的横坐标为，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】作出函数的图象，即可根据对数的运算性质求解AB,根据二次函数的性质即可求解C，根据对称即可求解D. 【详解】当时，，所以. 由题意作出函数的图象如图， 对于A，由题意结合图像可知， 因为，所以，即， 所以A选项正确： 又结合图象得，所以， 即所以B选项错误； 因为当时，， 所以当时，的图象关于直线对称， 所以， 又，此时在上单调递增，所以，C选项正确： 因为与与关于直线对称，所以. 又与关于直线对称，所以， 所以，所以. 结合图象可知，所以,D选项正确， 故选：ACD. 73．(24-25高一上·河南南阳·期末)已知函数是奇函数，且，若使得，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据为奇函数求出的值，再将零点问题转化为函数值域问题求解即可. 【详解】若，则函数的定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性， ，由函数解析式有意义可得，且， 且，定义域必须关于原点对称，，解得， 由得，，，经验证，符合为奇函数. 若使得， 则由，得，即， 易知在上单调递增且恒大于0， 且当时，，所以． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于根据奇函数的定义域关于原点对称，求出的值，将存在零点问题转化为函数的值域问题. 74．(24-25高一上·河南洛阳·期末)已知函数是定义在R上的偶函数． (1)求k的值； (2)设，且，若，求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由偶函数的性质即可求出； （2）由题设得，表示出，令，由，求得的值域，进而得到的取值范围. 【详解】（1）由得：， ∴， ∴， ∴， 从而．∴ （2）由（1）知 ∴， 又， ∴ 其中令, 则   由于，故， 对于函数， ， 所以函数是单调增函数. ∴，∴． 故面积的取值范围为． 75．(24-25高一上·河南新乡·期末)若函数满足对任意的，，都有，，且，则称为“超加性倾向函数”. (1)若函数，试判断是否是“超加性倾向函数”，并说明理由. (2)证明：函数是“超加性倾向函数”. (3)若函数是“超加性倾向函数”，求的值. 【答案】(1)不是“超加性倾向函数”，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据新定义直接求解判断即可； （2）根据“超加性倾向函数”的定义直接证明即可； （3）根据“超加性倾向函数”的定义，对恒成立，等价于对恒成立，又对任意的，恒成立，等价于对任意的，恒成立，进而利用不等式恒成立问题，求解参数即可. 【详解】（1）当时，，             .                     因为是上的增函数，所以，             则，则不是“超加性倾向函数”. （2）因为，所以是上的增函数. 因为是上的增函数，所以是上的增函数， 因为，所以.     取任意的，， 则.             因为，，所以，，所以，， 所以， 所以，则，             故是“超加性倾向函数”. （3）因为是“超加性倾向函数”，所以对恒成立， 即对恒成立. 因为，所以，所以.             因为是“超加性倾向函数”， 所以对任意的，恒成立， 所以，即， 即对任意的，恒成立.             因为，，所以，，所以，， 所以，所以，解得.                 故. 76．(24-25高一上·河南漯河·期末)定义：若函数在其定义域内存在实数，使，则称是的一个不动点.已知函数. (1)当，时，求函数的不动点； (2)若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据题意解方程即可， （2）由题意可得方程有两个不相等的实根，得，再由可求得结果， （3）设，，，则，，再由题意可得，结合根与系数的关系得，表示出结合二次函数的性质可求得结果. 【详解】（1），由，解得或， 所以所求的不动点为或. （2）令，则①， 由题意，方程①恒有两个不等实根，所以， 即恒成立，则，故. （3）设，，， 又是的不动点，∴，， ∴、的中点为. 又的中点在上 ∴， ∴， 而是方程的两个根， ∴ 即 ∴， ∴当，即时，. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查函数的新定义，解题的关键是对函数新定义的正确理解，考查计算能力，属于较难题. 77．(24-25高一上·河南商丘·期末)给定区间D，若在D上有最大值M及最小值m，且，则称为D上的“单位距函数”. (1)若是上的“单位距函数”，求a的值. (2)若函数在区间上的最小值为. （i）求的表达式； （ii）若，为整数，且为区间上的“单位距函数”，求m，a的值. 【答案】(1)1 (2)（i）； （ii）， 【分析】（1）先得到为奇函数，并分和两种情况，变形后，结合对勾函数单调性和奇偶性得到，从而得到方程，求出答案； （2）（i）化简换元，变形得到，，分类讨论，结合函数单调性，得到答案； （ii）在（i）基础上，得到为整数，从而得到，为区间上的“单位距函数”，结合（i）可得单调性，从而得到方程，解得. 【详解】（1）定义域为R， 且，故为奇函数， 当时，， 当时，，， 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 理由如下：任取且， 则 ， 因为且， 所以，，， 故，即， 所以在单调递减，同理可证在上单调递增， 则， 所以，故， 由对称性可知，当时，， 所以，故，解得； （2）（i）， 令，变形为， 由于，则， 当，即时， 在上单调递减， 故， 当，即时， 在上单调递增， 故， 当，即时， ， 综上，； （ii），，由（i）可得， 故 为整数， 因为，所以， 需为整数，则，即时，为整数，满足要求， 为区间上的“单位距函数”，结合（i）可得在上单调递增， 故，其中， ，故，解得. 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 地 城 考点11 指对函数恒、能成立问题 78．(23-24高一上·河南漯河·期末)已知是定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇函数的性质列方程组求解即可，并注意检验. （2）由分离常数，结合指数函数、复合函数单调性得单调性，是奇函数的性质并通过换元，将原问题等价转换为恒成立，由此即可求解. 【详解】（1）是上的奇函数，，即． 又 检验：当时，定义域为，且满足， 即是上的奇函数． 故满足题意. （2）由（1）知，易知在上为减函数， 令，因为，故， 又是奇函数，等价于， 又因为减函数，由上式推得， 即对一切有恒成立， ，令， 因为开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增，则， 即，所以实数的取值范围为. 79．(23-24高一上·河南南阳·)已知（a，），且为奇函数， (1)求a，b的值； (2)若恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用奇函数的性质求得，再进行检验即可得解； （2）将问题转化为恒成立，再利用两次换元法，结合基本不等式求得的最小值，从而得解. 【详解】（1）由题意，，即， 又为奇函数，所以函数的定义域关于原点对称， 则必有，得， 故的定义域为， 因为为奇函数，所以，即，， 验证：当，时，，定义域为， 而， 所以是奇函数， 综上：，. （2）由（1）知，，， 由有意义，得，故， 因为，所以恒成立， 设， 令，则，即， 再令，则，， 得， 因为，当且仅当时“＝”成立， 所以， 故，可得， 所以实数m的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 80．(23-24高一上·河南商丘·期末)已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数的单调性转化为指数不等式，换元后由一元二次不等式求解； （2）分离参数后，求的最小值，对数的真数换元后求出取值范围，即可由对数函数单调性求对数函数值域，即可得解. 【详解】（1）由题意可知，即. 令，则有，解得，所以，即. 所以不等式的解集为. （2）由题意可知，即， 即. 又 令， 易知在上单调递减， 所以，所以， 因为，所以. 故实数的取值范围为. 81．(23-24高一上·河南许昌·期末)已知函数为奇函数. (1)求的值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质列式求解即可； （2）分离参数得在上恒成立，令，则，构造函数，利用函数单调性求解最值即可； （3）把问题转化为函数的值域为函数值域的子集，利用函数单调性求解其值域，结合余弦函数性质，分类讨论求解函数的值域，列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为函数为奇函数， 所以， 即，所以，所以，解得. （2）由（1）知，则，所以， 故在上恒成立， 令，则，且，所以， 令，则函数在上为减函数， 所以，所以. （3）若，使得成立， 则函数的值域为函数值域的子集， ，则函数在上为减函数，所以. 因为，所以，所以， 当时，，则， 所以，所以； 当时，，则， 所以，所以； 当时，，显然成立. 综上可知. 【点睛】结论点睛：一般地，已知函数，， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 82．(23-24高一上·河南漯河·期末)已知函数满足． (1)求的解析式； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围， (3)已知实数，，满足，当时，恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）换元法求函数解析式即可得解； （2）分离参数后利用均值不等式求最值可得参数取值范围； （3）由题意转化为，利用均值不等式分析最小取值，解出的取值范围即可. 【详解】（1）令，得，则， 故的解析式为． （2）对任意的，不等式恒成立， 即， 因为，所以． 设， 因为，所以，，所以， 则， 故，即的取值范围为． （3）由，得， 由，得， 即，，当且仅当时，等号成立． 因为，所以， 所以，即，，解得， 因为，所以的最大值为2． 83．(24-25高一上·河南许昌·期末)已知函数． (1)若，求的值域； (2)若为偶函数，求实数t的值； (3)在（2）的条件下，若对使得恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得，结合二次函数及指数函数的性质求值域； （2）根据偶函数的性质得到，即可求出实数t的值； （3）结合基本不等式求出，依题意可得对使得恒成立，令，参数分离可得在恒成立，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）时，， 因为，因此，，即的值域是． （2）因为为偶函数，且的定义域为， 所以由得：， 整理得， 由可知，得． （3）由题意可知：只需， 由（2）得：， 当且仅当时等号成立，因此，即， 因此在恒成立， 即在恒成立， 令，则， 因此在恒成立， 即在恒成立， 所以在恒成立， 只需， 显然函数在内单调递减， 因此，， 所以，即实数m的取值范围是． 84．(23-24高一上·河南驻马店·)已知定义在上的函数，且是偶函数． (1)求的解析式； (2)当时，记的最大值为．，若存在，使，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，结合偶函数的定义计算即可; （2）借助函数的单调性求出的最大值为，再对进行参变分离求出最值即可. 【详解】（1）记， 为偶函数，恒成立， 即恒成立， 恒成立， 恒成立，即恒成立，， . （2）和都是单调递增函数, 在是单调递增的， , 在上有解， 在上有解， 在上有解， 在上单调递增， , . 试卷第62页，共62页 试卷第61页，共62页 学科网（北京）股份有限公司 $null