精品解析：上海市华东师范大学松江实验高级中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题

华实高中2025学年第一学期高一年级期中质量检测 数学试卷 （2025.10） 完卷时间：120分钟 试卷分值：150分 命题：徐素琳 陆淑颖 审核：徐素琳 一、填空题（共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共72分）、 1. 已知集合，和集合，则__________. 2. 指数式化成对数式为______． 3. 若要用反证法证明“若，则且”，应假设为______ 4. 若关于的方程：恒成立，则______． 5. 若，则的最小值是__________. 6. 若关于的不等式的解集是，则________ 7. 若集合至多有一个元素，则的取值范围是___________． 8. 已知，用和表示__________. 9. 已知方程的两个根为､，则___________. 10. 已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是______． 11. 设有两个命题；①方程没有实数根；②实数为非负数；如果这两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数的取值范围是______． 12. 已知由自然数组成的元集合，非空集合，且对任意，都有，当时，则所有满足条件的集合的元素的和为__________. 二、单选题（第题每题4分，第题每题5分，共18分） 13. 已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 14. 若，下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 在上定义运算：，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 16. 设，若关于的不等式的解集中的整数解个数恰为3个，则满足条件的实数所在区间可以是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（共5题，共78分） 17. 已知集合，，． （1）求，； （2）若全集，求． 18. 函数 （1）若，求的解集； （2）若关于的方程只有一个根，求的值； （3）关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 19. 某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶． （1）据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？ （2）为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价元，并投入万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润月销售总收入月总成本) 20. 已知命题：不等式对任意恒成立.命题：集合满足. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 21. 正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号. 学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数满足，求的最小值，并指出等号成立的条件； （2）设的最小值为，且正数满足，求的最小值； （3）若实数满足，试比较和的大小；利用该结论求代数式的最小值，并指出等号成立时m的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华实高中2025学年第一学期高一年级期中质量检测 数学试卷 （2025.10） 完卷时间：120分钟 试卷分值：150分 命题：徐素琳 陆淑颖 审核：徐素琳 一、填空题（共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共72分）、 1. 已知集合，和集合，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据并集的定义求解. 【详解】因，， 则. 故答案为： 2. 指数式化成对数式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数式与对数式互化关系即可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为： 3. 若要用反证法证明“若，则且”，应假设为______ 【答案】或 【解析】 【分析】根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得结果. 【详解】要证命题的结论为且，它的否定为或. 故答案为：或. 4. 若关于的方程：恒成立，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据恒等式的基本性质求解即可. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 5. 若，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式求解最值即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值是. 故答案为：. 6. 若关于的不等式的解集是，则________ 【答案】 【解析】 【分析】 根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系求解出结果即可． 【详解】解：由题设可知：关于的一元二次方程的两根为与， 由韦达定理可得：，解得：，， 故答案为：． 7. 若集合至多有一个元素，则的取值范围是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据讨论方程解的情况，即得结果 【详解】时，，满足题意； 时，要满足题意，需 综上的取值范围是或 故答案为或 【点睛】本题考查根据集合元素个数求参数，考查基本分析求解能力，属中档题. 8. 已知，用和表示__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数式化为对数式及换底公式，对数的运算性质可得. 【详解】由，得，所以. 故答案为：. 9. 已知方程的两个根为､，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用韦达定理代入求解即可. 【详解】由方程的两个根为､， 利用韦达定理得：， . 故答案为：. 10. 已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据充分不必要条件列不等式来求得的取值范围. 【详解】由于是的一个充分不必要条件， 所以， 所以. 故答案为： 11. 设有两个命题；①方程没有实数根；②实数为非负数；如果这两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】 分别根据两个命题为真命题时求出的范围，再分两种情况讨论求解可得结果. 【详解】方程没有实数根等价于，即， 实数为非负数，即， 若①为真命题，则②为假命题，所以，得； 若①为假命题，则②为真命题，所以，得. 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：分别根据两个命题为真命题时求出的范围是解题关键. 12. 已知由自然数组成的元集合，非空集合，且对任意，都有，当时，则所有满足条件的集合的元素的和为__________. 【答案】288 【解析】 【分析】由知有偶数个元素，分别在两个、四个、六个和八个元素的情况下求解元素之和即可得解. 【详解】当时，， 由是的非空子集，且时，，得中有偶数个元素， 当中有两个元素时，集合可以为，，，，元素总和为：； 当中有四个元素时，集合可以为集合，，，中任取两个的并集， 集合共有6种情况，元素总和为：； 当中有六个元素时，集合可以为集合，，，中任取三个的并集，集合共有4种情况，元素总和为：； 当中有八个元素时，，元素之和为：，所以所有满足条件的集合的元素和为：. 故答案为：288. 二、单选题（第题每题4分，第题每题5分，共18分） 13. 已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质判断D；举例说明即可判断ABC. 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，但不成立，故B错误； C：当时，，故C错误； D：由，得，故D正确. 故选：D 14. 若，下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解． 【详解】由，，，，知： 对于，，故正确； 对于，，故错误； 对于，，故错误； 对于，，故错误． 故选：． 15. 在上定义运算：，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用新定义及一元二次不等式计算求解. 【详解】， 化简得，即， ． 故选：B． 16. 设，若关于的不等式的解集中的整数解个数恰为3个，则满足条件的实数所在区间可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】同时开方将不等式化为两绝对值函数的大小形式，数形结合计算即可. 【详解】原不等式等价于，不妨设不等式的解集为， 作出函数的图象如图所示， 易知当，此时不等式的解集不只有三个整数解， 要满足题意需， 又，所以， 则，， 此时还需，整理得， 此时C正确，其余选项错误. 故选：C. 三、解答题（共5题，共78分） 17. 已知集合，，． （1）求，； （2）若全集，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先解一元二次不等式、绝对值不等、分式不等式，化简三个集合，然后结合数轴和交集、并集运算规则即可得解； （2）先计算集合，然后结合数轴和交集运算规则即可得解. 【小问1详解】 ∵，，． 分别在数轴上表示集合A、B、C，如下图： ∴，． 【小问2详解】 ∵，在数轴上表示集合，如下图： ∴． 18. 函数 （1）若，求的解集； （2）若关于的方程只有一个根，求的值； （3）关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或1 （3） 【解析】 【分析】（1）解一元一次不等式可得结果； （2）分和，结合根的判别式得到不等式，即可得到的值； （3）分和，结合二次函数的图象性质得到不等式，即可得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，，当时，，解得， 所以的解集为. 【小问2详解】 由题意，只有1个根， 若，，解得，只有1个解，满足要求， 若，，解得， 综上，或1. 【小问3详解】 ，即的解集为， 当时，，解得，不符合要求， 当时，需满足，解得， 所以实数的取值范围是. 19. 某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶． （1）据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？ （2）为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价元，并投入万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润月销售总收入月总成本) 【答案】（1）20元 （2）当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元 【解析】 【分析】（1）设提价元，根据“下月总利润不低于原来的月总利润”列不等式，求得的取值范围，从而求得最高售价. （2）求得下月总利润的表达式，利用基本不等式求得下月总利润的最大值以及此时的售价. 【小问1详解】 设提价元，由题意，每瓶饮料的利润为元，月销售量为万瓶， 所以提价少月销售总利润为万元． 因为原来月销售总利润为(万元)，月利润不低于原来月利润， 所以，即， 所以，所以售价最多为(元)， 故该饮料每瓶售价最多为20元． 【小问2详解】 由题意，每瓶利润为元，月销售量为万瓶，设下月总利润为， 整理得 因为，所以， 所以， 当且仅当时取到等号， 故当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元． 20. 已知命题：不等式对任意恒成立.命题：集合满足. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）R. 【解析】 【分析】（1）直接由三角不等式可得； （2）由两集合的交集为空集，对一元二次方程的根的情况进行分类讨论，进而可得所求结果. 【小问1详解】 因命题：不等式对任意恒成立，而， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 所以实数的取值范围为 【小问2详解】 若命题为真命题，由，，， ①当，即，，符合； ②当，即或， 当时，，不符合； 当时，，符合； ③当，即或，设方程的两根为. 当时，，所以，，此时，所以不符合题意； 当时，，所以，，此时，所以符合题意； 综上可得，命题为真命题时，. 所以命题中至少有一个为真命题，实数的取值范围为. 所以实数的取值范围为R. 21. 正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号. 学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数满足，求的最小值，并指出等号成立的条件； （2）设的最小值为，且正数满足，求的最小值； （3）若实数满足，试比较和的大小；利用该结论求代数式的最小值，并指出等号成立时m的值. 【答案】（1） （2） （3）；的最小值为，此时 【解析】 【分析】（1）根据题意，由，结合基本不等式，即可求解； （2）先求得函数的最小值为1，再化简，即可利用题干中方法求最值； （3）由，结合，即可判断；令，得到，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 若正实数满足， ,当且仅当且,即时取等号， 所以的最小值，当且仅当时取等号. 【小问2详解】 函数，作出图象， 函数的最小值为1，则， ， 当且仅当且，即时，等号成立； 所以，所求最小值为. 【小问3详解】 若正实数满足,且， 由 因为，且仅当时取等号， 所以 ，所以. 代数式, 令,则, 所以, 当且仅当，即时取等号, 又因为，解得， 即，所以. 所以的最小值为，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $