第一章数列 单元测试卷-2026-2027学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

**基本信息** 湘教版高中数学选择性必修第一册数列单元卷，覆盖数列概念、等差等比数列及应用，通过基础题与综合题梯度设计，结合几何情境（如正方形作图问题）考查抽象能力与推理意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|数列概念、前n项和、等差性质|基础巩固，如第1题辨析数列定义| |多选|3/18|等比数列性质、递推关系|能力提升，如第9题综合等比与公差判断| |填空|3/15|等差数列求和、通项公式|聚焦核心技能，如第13题递推求通项| |解答|5/77|等差等比证明、错位相减求和|综合应用，如第17题等比证明与求和，体现推理能力|

湘教版高中数学选择性必修第一册 第1章：数列 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第1章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列说法中正确的是（    ） A．数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列 B．与集合中的元素要求互异类似，数列的项是不相同的 C．数列0，2，4，6，…可记为 D．已知，则数列是递增数列 【答案】D 【分析】根据数列的定义及通项公式的概念，依次判断每个选项的正确性即可. 【详解】选项A：数列是按一定顺序排列的一列数，具有有序性， 数列 与 的顺序完全不同，因此是两个不同的数列，A选项错误； 选项B：集合中的元素具有互异性，而数列的项可以重复。 例如常数列 就是一个合法的数列，B选项错误； 选项C：数列 的通项公式为 （）， 而 对应的数列是 ，首项为2，与题目中的首项0不符，C选项错误； 选项D：函数 是指数函数，底数 ，故 单调递增， 数列 是该函数在正整数点上的取值，所以是递增数列，D 选项正确. 故选：D. 2．已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过，求出数列的通项公式，然后求出即可. 【详解】因为，当时，， 当时，，则， 当时，，所以数列的通项公式为， 所以，故选：B. 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】裂项相消法计算求解. 【详解】， ∴.故选：C. 4．设是等差数列的前n项和，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式及二次函数的单调性即可求解. 【详解】由题意等差数列的公差， 则，当时等号成立．故选：B 5．等比数列中，为方程的两根，则等于（   ） A．6 B．12 C．6或12 D．-6 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质求解即可. 【详解】由等比数列中，为方程的两根，得，， 因此，，，所以.故选：B 6．已知数列的前n项和为，，且则（    ） A．1012 B．1013 C．1014 D．1015 【答案】B 【分析】利用等比数列的定义可推得数列的奇数项与偶数项分别构成等比数列，再利用分组求和法求得，代入所求式计算得解. 【详解】对于令，有，则. 因，则数列的奇数项和偶数项都是以2为公比的等比数列， 故， 可得.故选：B. 7．已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质，将转化为前项和的比值进行计算。 【详解】根据等差中项性质，，所以. 又因为等差数列前项和，所以. 已知，令，则，因此，，故选：C. 8．如图，正方形的边长为4，分别取正方形各边的四等分点，作第2个正方形，然后分别取正方形各边的四等分点，作第3个正方形，依此方法继续下去．设第个正方形的边长为，阴影部分中第个直角三角形的面积为（例如：，，…），则下列说法错误的是（   ）    A． B． C．使得成立的正整数的最大值为3 D．如果作图过程可以一直继续下去，那么阴影部分面积之和将趋近3 【答案】D 【分析】由题意可得，，，结合等比数列性质可判断AB，根据等比数列通项公式求法可得，根据通项公式性质可判断C，根据等比数列前项和公式计算可判断D. 【详解】由题意可得，， ， ，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即； 对于A，，故A正确；对于B，，故B正确； 对于C，因为随着的增大而减小，而，， 所以使得成立的正整数的最大值为3，故C正确；对于D，设数列的前项和为， 则，当时，，故， 如果作图过程可以一直继续下去，那么阴影部分面积之和将趋近4，故D错误. 故选：D 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为2的等差数列 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，列式求出等比数列的首项及公比，再结合等比数列通项公式与前项和公式，逐项判断即可. 【详解】由，得，解得或, 因为公比为整数，所以， 对于A，，A正确；对于B，，，， 因此数列是公比为2的等比数列，B正确； 对于C，，C正确；对于D，，，， 因此数列是公差为的等差数列，D错误.故选：ABC 10．已知数列的前项和，则下列说法正确的是（   ） A． B．为中的最大项 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据和的关系判断A；根据的正负性判断B；根据等差数列的求和公式以及下标和性质判断C；根据的正负性以及等差数列的求和公式求出判断D. 【详解】对于A：当时，；当时，， 经检验，当时，，故，A正确； 对于B：当时；；时，， 故和为中的最大项，B错误； 对于C：，C正确； 对于D： ，D正确．故选：ACD． 11．已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列为等差数列 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用等比数列的定义可判断A选项；利用等差数列的定义可判断B选项；结合AB选项中两个数列的通项公式可求得数列的通项公式，可判断C选项；利用分组求和法可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，所以， 则是首项为，公比为的等比数列，A错； 对于B选项，因为，所以，且， 所以数列为首项为，公差为的等差数列，B对； 对于C选项，由A选项可得①， 由B选项可得②，联立①②可得，C对； 对于D选项，，D对. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．记为等差数列的前项和，若，则的值为________. 【答案】3 【分析】根据等差数列求和公式计算得出，再应用等差数列通项公式计算求解. 【详解】记为等差数列的前项和， 因为，所以，所以， 则.故答案为：3. 13．已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】根据数列的递推式构造等比数列，求出其通项，进而求得的通项公式. 【详解】由两边同除以，可得， 令，则，设，对照上式可得， 即得，因，则数列是以为首项，为公比的等比数列， 故，即，故.故答案为：. 14．数列满足递推关系，则使得数列为等差数列的实数m的值为________． 【答案】 【分析】求数列的前三项，由该前三项成等差结合等差中项公式即可计算求解. 【详解】由题， 依题意得成等差数列， ，所以．故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系计算即可求解； （2）由（1）可得，结合裂项相消求和法计算即可求解. 【详解】（1）由，得， 当时，， 上式对也成立，所以； （2）由（1）知，则， 所以， 则. 16．（15分）已知数列的首项，且满足（）． (1)求证：数列为等差数列； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：已知，两边同时除以，得：， 令，则上式可写为：，则是公差为的等差数列， 首项，因此，数列是首项为，公差为的等差数列. (2) 证明：由上一小问可知，即：， 因此， 对和式进行裂项相消：， 继续化简可得， 因为，所以，即. 17．（15分）若数列的首项且满足． (1)求证：为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列，求数列的前n项和． 【答案】(1)因为，所以． 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列． (2) (3) 【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可; （2）由（1）的通项公式求出的通项公式； （3）利用错位相减法求出数列的前n项和. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得，故． （3）由（2）可知． 从而 ． 令，① 则，② 由①－②得， 所以，而， 故． 18．（17分）已知数列的前项和为，且，数列为递增的等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求； (3)设，，求使得对任意，均有成立的最大整数. 【答案】(1)， (2) (3)5 【分析】（1）讨论当和当时，根据递推公式可求出数列通项公式，验证当是否成立，根据等比数列的定义可求出通项公式； （2）由（1）可得到，再根据错位相减法即可求出； （3）由（1）可得，根据裂项相消法可求出，再根据不等式恒成立即可求解. 【详解】（1）当时， 当时， 上式中当时，，所以数列的通项公式为 设的公比为，，所以， 数列为递增的等比数列，所以 （2） ① ② ①-②，得 ，所以 （3）由（1）可得 则 显然随的增大而增大，故 于是若要恒成立，只需，解得， 所以存在最大的整数满足题意. 19．（17分）已知数列满足，，． (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，若恒成立，求的最大值． 【答案】(1)证明：， ，而， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 当时，，， 累加得，解得，而满足上式，因此. (2)【分析】（1）由题可得，则数列是首项为，公比为的等比数列，，再利用累加法求通项即可； （2）代入化简得，再利用裂项相消法求和即可． 【详解】（1）略 （2）， ， 因为，所以，即， 又因为函数为增函数，为减函数，则为增函数， 故数列为单调递增数列，所以，即的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学选择性必修第一册 第1章：数列 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第1章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列说法中正确的是（    ） A．数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列 B．与集合中的元素要求互异类似，数列的项是不相同的 C．数列0，2，4，6，…可记为 D．已知，则数列是递增数列 2．已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．设是等差数列的前n项和，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．等比数列中，为方程的两根，则等于（   ） A．6 B．12 C．6或12 D．-6 6．已知数列的前n项和为，，且则（    ） A．1012 B．1013 C．1014 D．1015 7．已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，正方形的边长为4，分别取正方形各边的四等分点，作第2个正方形，然后分别取正方形各边的四等分点，作第3个正方形，依此方法继续下去．设第个正方形的边长为，阴影部分中第个直角三角形的面积为（例如：，，…），则下列说法错误的是（   ） A． B． C．使得成立的正整数的最大值为3 D．如果作图过程可以一直继续下去，那么阴影部分面积之和将趋近3 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为2的等差数列 10．已知数列的前项和，则下列说法正确的是（   ） A． B．为中的最大项 C． D． 11．已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列为等差数列 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．记为等差数列的前项和，若，则的值为________. 13．已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 14．数列满足递推关系，则使得数列为等差数列的实数m的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列，求数列的前项和． 16．（15分）已知数列的首项，且满足（）． (1)求证：数列为等差数列； (2)求证：． 17．（15分）若数列的首项且满足． (1)求证：为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列，求数列的前n项和． 18．（17分）已知数列的前项和为，且，数列为递增的等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求； (3)设，，求使得对任意，均有成立的最大整数. 19．（17分）已知数列满足，，． (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，若恒成立，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $