2.2 二次函数的图象与性质 第2课时（教学设计）数学北师大版九年级下册

2.2 二次函数的图象与性质 第2课时 教学设计 1.教学内容 本课基于北师大版九年级下册第2章“二次函数”的第2课时，核心知识点是“二次函数的图象与性质”。主要内容包括：在直角坐标系中正确作出 和 的图象，并研究其对称轴、顶点、开口方向与大小、最值、增减性等基本性质。通过比较 与 的图象，理解常数 对抛物线位置的平移作用，掌握二次函数图象平移规律，为后续运用二次函数解决实际问题奠定基础。 2.内容解析 1.理解 的开口方向由 的符号决定，开口大小由 的大小决定； 2.掌握二次函数 的图象与 的平移关系：当 时图象向上平移， 时图象向下平移； 3.梳理二次函数图象的顶点、最值及增减趋势，并与 , 的对比，帮助学生形成对抛物线各要素的整体认识。 1.教学目标 •会画二次函数 和 的图象。 •掌握二次函数 和 的性质并会应用。 •比较函数 与 的联系。 2.目标解析 • 通过描点或平移法，学生能独立完成抛物线的绘制，并能根据 和 的不同判断图象开口与位置。 • 能根据对称轴和开口方向分析二次函数顶点的坐标和最值，结合数形关系加以应用。 • 能清晰说明 在 基础上作竖直平移的本质，对比其最值与增减性变化。 3.重点难点 • 教学重点：二次函数 和 的图象性质及应用。 • 教学难点：快速准确地画出 与 ，并理解它们在平移关系下性质的变化。 学生已具备一次函数的相关知识，对函数图象有初步认识；也已学习过多项式运算和简单几何图形的平移。现阶段对二次函数性质的理解还不够系统，亟需运用描点与对比等方法深化对抛物线开口方向、顶点位置和最值的认知，突破平移规律的理解难点。 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 二次函数y=和y=-的图象与性质： 二次函数 y= y＝- 图象 位置开口方向 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 对称性 关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点和最值 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，=0 当x=0时，=0 增减性 在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减 2.情景引入 问题：形如y=a和y=a+c的二次函数的图象与性质是怎样的呢？它们的图象与性质和y=（y=-）会有什么关系呢？ 本节课我们将继续探究. 【设计意图】通过回顾抛物线  和  的开口方向、对称轴等性质，引出二次函数  和  在形状与位置上的变化，让学生意识到日常生活中的抛物线现象，激发学习兴趣并明确本课学习的方向。 探究点1：二次函数y=a的图象与性质 1.想一想 画出函数y=2的图象. 解：（1）完成下表： x ··· －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 ··· y ··· 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 ··· （2）在右图y=2中画出的图象 描点，连线 （3）二次函数y=2的图象是什么形状？ 二次函数y=2的图象是一条开口向上的抛物线. （4）二次函数y=2的图象与二次函数y=的图象有什么相同和不同？ 相同点：都是位于x轴上方开口向上的抛物线,对称轴、顶点、最值和增减性都相同. 不同点：y=2的图象比y=的图象的开口小. （5）二次函数y=2的图象的对称轴和顶点坐标分别是什么？ y轴就是它的对称轴，顶点坐标是（0，0）. 2.想一想 在同一直角坐标系中画出二次函数y=的图象，它与y=， y=2的图象有什么相同和不同？ 解：相同点：都是位于x轴上方开口向上的抛物线,对称轴、顶点、最值和增减性都相同. 不同点：它们的开口大小不同，y=，y=，y=2开口依次变小. y=a的开口大小与a（a＞0）的大小有什么关系？ 当a>0时，a的值越大，开口越小. 3.做一做 在同一直角坐标系中，画出函数y=- ，y=−2 的图象． 解：列表如下： x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y=- ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 ··· x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y=−2 ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 ··· 描点、连线. （1）观察二次函数y=- ，y=−2的图象与y=−的图象有什么相同和不同？ 相同点：都是位于x轴下方开口向下的抛物线，对称轴、顶点、最值和增减性都相同. 不同点：开口大小不同.y=- ，y=−2，y=−图象开口依次变小. （2）y=a的开口大小与a（a＜0）的绝对值大小有什么关系？ 当a<0时，a的绝对值越大，开口越小. 教师归纳：在二次函数y=a（a≠0）中，a的绝对值越大，开口越小. 4.想一想 观察下列图象，抛物线y=a与y=−a（a>0)的关系是什么？ 抛物线y=a与y=−a（a>0)的二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称. 5.练一练 ①关于二次函数y＝2，下列说法正确的是( 　) A．它的开口方向是向下 B．当x<0时，y随x的增大而减小 C．它的对称轴是x＝2 D．当x＝0时，y有最大值是0 解：B. ②把图中图象的号码，填在它的函数式后面：（填序号） （1）y=3的图象是_______； （2）y=的图象是_______； （3）y=-的图象是_______； （4）y=-的图象是_______． 解：③①④② 6.知识归纳 二次函数y=a的图象与性质 二次函数 y=a(a＞0) y＝a(a＜0) 图象 位置开口方向 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 a的绝对值越大，开口越小 对称性 关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点和最值 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，=0 当x=0时，=0 增减性 在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减 【设计意图】通过从  过渡到  ，让学生结合作图、观察，建立更一般的“抛物线变量系数”概念，突破“如何比较抛物线的开口大小”这一难点，培养抽象概括能力。 探究点2：二次函数 的图象与性质 1.做一做 在同一直角坐标系中，画出函数 y=2+1与y=2-1的图象．你是怎样画的？ 解：先列表： x －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 y=2+1 9 5.5 3 1 3 5.5 9 y=2-1 7 3.5 1 -1 1 3.5 7 再描点，连线. 2.议一议 （1）抛物线 y=2+1,y=2-1与抛物线y=2有什么关系？ 解：二次函数y=2， y=2+1，y=2-1的图象都是开口向上的抛物线，并且形状相同，只是位置不同. 可以发现，把抛物线y=2向上平移1个单位长度，就得到抛物线y=2+1；把抛物线 y=2 向下平移1个单位长度，就得到抛物线y=2-1. （2）抛物线y=2+1,y=2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 y=2 向上 (0,0) y轴 y=2+1 向上 (0,1) y轴 y=2-1 向上 (0,-1) y轴 （3）抛物线y=2+1,y=2-1的增减性又如何？ 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. 当x=0时，y最小值=0 3.想一想 （1）画抛物线y=a+c的图象有些方法？ ①描点法，三步即列表、描点和连线. ②平移法，两步即第一步画y=a的图象，再向上（或向下）平移︱c ︱单位. （2）抛物线y=a+c 中的a决定什么？c决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ a决定抛物线的开口方向和大小； c决定抛物线的顶点的纵坐标； 对称轴为y轴；顶点坐标为(0,c). 4.知识归纳 ①二次函数y=a与y=a+c(a ≠ 0)的图象的关系: 二次函数y=a+c的图象可以由 y=a的图象平移得到： 当c > 0 时,向上平移c个单位长度得到. 当c < 0 时,向下平移-c个单位长度得到. 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. ②二次函数 y=a+c的图象与性质： y=a+c a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） 顶点坐标 （0,c） （0,c） 最值 当x=0时，=c 当x=0时，=c 增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大. 5.练一练 二次函数y＝－3＋1的图象是将(　 　) A．抛物线y＝－3向左平移3个单位得到 B．抛物线y＝－3向左平移1个单位得到 C．抛物线y＝3向上平移1个单位得到 D．抛物线y＝－3向上平移1个单位得到 解：D. 6.典例分析 例1 已知 y =是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式. 解: 依题意有: m+1>0 ①，+m=2 ② 解②得:=－2, =1 由①得:m>－1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2. 例2 不画函数y=-和y=-+1的图象回答下面的问题： （1）抛物线y=-+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-. 解: 向下平移1个单位. （2）函数y=-+1，当x______时， y随x的增大而减小；当x______时，函数y有最大值，最大值y是______，其图象与y轴的交点坐标是______，与x轴的交点坐标是______. 解: >0；=0；1；(0,1)；(-1,0)，(1,0) （3）试说出抛物线y=-3的开口方向、对称轴和顶点坐标. 解: 开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）. 【设计意图】本探究通过对比  与  ，引导学生感知“竖直平移”对函数图象的影响。通过观察与讨论，明确常数  对顶点、最值、位置的影响，帮助学生快速完成对新知的抽象与内化，并为后续应用解题打下基础。 1．下列关于抛物线，，的说法：①都是开口向上； ②都以点（0，0）为顶点； ③都以y轴为对称轴；④开口最大的是． 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：C． 2.函数y=x+1、y=−、y=中，当x>0时，y随x增大而增大的函数共有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解：D． 3.已知二次函数y=a的图象如图所示则下列点的坐标有可能在反比例函数y=的图象上的是( ) A.(-1，2) B.(1，-2) C.(2，3) D.(2，-3) 解：C. 4.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a＋c的图象大致为(　　) 解：D． 5. 填表： 函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 有最高（低）点 解： 函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 有最高（低）点 向下 轴 有最高点 向上 轴 有最低点 向下 轴 有最高点 6.已知二次函数y=a-2的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的解析式为______. 解：y=-2 7.从y=2-3的图象上可以看出，当-1≤x≤2时，y的取值范围是____________. 解: -3≤y≤5 8.（1）的图象是______； （2）的图象是______； （3）的图象是______； （4）的图象是______. 解：③①④② 9.抛物线的顶点坐标是，时对称轴是______，在对称轴的左侧，随的增大而______；当时，有最______值是. 它可以由抛物线向______平移______个单位得到. 解：(0,2)，y轴，增大，0，大，2，上，2 10.在平面直角坐标系中，函数的图象经过点、两点，若，，则与的大小关系是________. 解： 11.抛物线向下平移4个单位，就得到抛物线________. 解： 12.若抛物线的顶点坐标为，则，二次函数关系式为，那么它的图象是由怎样移动得来的？ 解：-5，，它是由的图像向下平移5个单位得到的. 13.如图，抛物线y＝－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且＝4，求P点的坐标． 解：抛物线y＝－4，令y＝0，得到x＝2或－2， 即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)， ∴AB＝4. ∵＝4，设P点纵坐标为b， ∴×4|b|＝4， ∴|b|＝2，即b＝2或－2. 当b＝2时，－4＝2，解得x＝±，此时P点坐标为(，2)，(－，2)； 当b＝－2时，－4＝－2， 解得x＝±，此时P点坐标为(，-2)，(－，-2)． 综上所述，P点的坐标为(，2)或(－，2)或(，-2)或(－，-2)． 【设计意图】以上练习题兼顾基础与综合运用，有利于学生加强对二次函数图象、特点与应用的理解。通过“真题感知”题目，让学生在发现和解决问题中进一步巩固概念，熟悉函数与几何、方程等多领域知识的关联，为后续更深入的探究奠定坚实基础。 主板书 2.2 二次函数的图象与性质 第2课时 探究点1 二次函数y=a的图象与性质 探究点 2 二次函数 的图象与性质 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1. 必做题：习题2.2第1-4题。 2. 探究性作业：习题2.2第5题。 学科网（北京）股份有限公司 $