第四章 三角形 第16讲 特殊三角形-（精练本）-【中考123】2026年中考一轮总复习数学（吉林专版）

中专123 第16讲 特殊三角形 基础集训 [答案P19] ⊙命题点1等腰三角形的有关判定与性质 1.(2024·鞍山模拟)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=24°，延长BC到点D,使CD=AC,连接AD,则 ∠D的度数为 () A.39° B.40° C.49° D.51° BL2250 45> C 1题图 3题图 4题图 6题图 2.（2024·大庆模拟)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形” 若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 ⊙命题点2等边三角形的有关判定与性质 3.(2024·龙东地区模拟)如图，面积为1的等边三角形ABC中，D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，则 △DEF的面积是 () A.1 c号 D 4.(2024·辽宁)如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为() A.30° B.45o C.60° D.120° ⊙命题点3直角三角形的有关判定与性质 5.(2024·大庆模拟)下列说法不正确的是 A.有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形 B.有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形 C.有两个角互余的三角形是直角三角形 D.底和腰相等的等腰三角形是等边三角形 6.(2024·绥化模拟)如图，在△ABC中，∠B=22.5°，∠C=45°，若AC=2,则△ABC的面积是() A.3+2 2 B.1+√2 C.22 D.2+√2 一73一 ⊙命题点4勾股定理及其逆定理 7.(2024·荆门二模)有下列说法：①一个直角三角形的两条直角边长分别为1，√3，则它的斜边长是2； ②一个直角三角形的两边长分别是3,4，则它的第三条边长是5；③“一个三角形的三条边长分别是 2,3,4,因为22+3≠42，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理.其 中，正确的个数是 A.3 B.2 C.1 D.0 8.（2024·吉林)图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意 图如图②，其中AB=AB',AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺，B'C=2尺(1尺≈0.33米).设AC的长度为x 尺，可列方程为 诗文：波平如镜一湖面，半尺高 处生红莲亭亭多姿湖中立，突遭 狂风吹一边离开原处二尺远，花 贴湖面象睡莲。 8题图① 8题图② 微专题2角平分线的常考模型 [答案P19] ⊙模型一过角平分线上的点向角两边作垂线 1.(2024·西安二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AD平分∠BAC,E为AD的中点， EF⊥AD交AB于点F.若CD=3,则AF= () E 1题图 A.33 B.32 C.6 D.5 ⊙模型二截取线段构造对称全等 2.（2024·济宁三模)如图，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC,求证：AB=AC+CD. D 2题图 -74 见此图标号抖音/微信扫吗对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 第四章三角形 ⊙模型三平行线构造等腰三角形 3.(2024·武汉二摸)如图，在矩形ABCD中，BC=6,E为CD上一点，CE=2,DE=1.将矩形ABCD沿 BE折叠，G是C的对应点，BG与AD交于点F,则AF= B 3题图 ⊙模型四垂线构造等腰三角形、全等三角形 4.（2024·鄂州二模)如图，在△ABC中，AB=AC,D,E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC,∠EBC=∠E =60°，若BE=10cm,DE=4cm,则BC的长为 () A.7 cm B.12 cm C.14 cm D.16 cm B 4题图 5题图 5.(2024·铜仁三模)如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,若AC=8,BC= 5,则BD的长为 微专题3特殊三角形中的分类讨论 [答案P19] ⊙类型一等腰三角形中的分类讨论 1.（2024·泰安一模)等腰三角形的一个外角度数为80°，则顶角度数为 2.(2024·恩施州二模)如果一个等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm,那么此三角形的周长是 A.12 cm B.15 cm C.18 cm D.12cm或15cm ⊙类型二直角三角形中的分类讨论 3.（2024·张掖一模)已知直角三角形的两边长分别为3和2，则第三边长为 A.√5 B.√13 C.1 D.√5或13 4.（2024·南充模拟)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8.点D是BC上的中点. 点P是边AB上的动点，若要使△BPD为直角三角形，则BP= 4题图 —75— 数学·精练本1 见此图标号抖音微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 微专题4中点常考模型 [答案P19] ⊙模型一中点构造中位线 1.(2024·齐齐哈尔模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,点N是BC边上一点，点M为 AB边上的动点，点D,E分别为CN,MN的中点，则DE的最小值为 N M E 1题图 2题图 3题图 4题图 ⊙模型二垂线过中点构造中垂线 2.(2024·鞍山模拟)如图，在△ABC中，∠A=105°，AC的垂直平分线MN交BC于点N,交AC于点M, 且AB+BN=BC,则∠B的度数是 () A.45° B.50° C.55 D.60° ⊙模型三等腰三角形构造“三线合一” 3.(2024·牡丹江模拟)如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC,BW⊥AN于点N,且AB=8, MN=3,则AC的长为 A.12 B.14 C.16 D.18 ⊙模型四直角三角形构造斜边上的中线 4.(2024·大庆模拟)如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE=AC, ∠BAE=15°，则∠AE0= ⊙模型五倍长中线构造法 5.（2024·哈尔滨模拟)在△ABC中，AB=5,AC=7,则中线AD的取值范围是 中考集训 [答案P20] 满分：100分 一、选择题（每小题5分，共30分） 1.（2024·宿迁)若等腰三角形的两边长分别为3cm和5cm,则这个等腰三角形的周长是 () A.8 cm B.13 cm C.8cm或13cm D.11cm或13cm 2.(2023·贵州)有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m,则底边上 的高是 A.4m B.6m C.10m D.12m D B 2题图 4题图 3.(2023·菏泽)△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2+√2a-b-3+1c-3√21=0，则△ABC是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 4.(2024·安徽)如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2,点D在AB的延长线上，且CD=AB,则BD的长是 A.√10-√2 B.√6-√2 C.2√2-2 D.22-6 -76— 5.(2024·南充)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D,DE∥AB,交AC于点E, DF⊥AB于点F,DE=5,DF=3,则下列结论错误的是 A.BF=1 B.DC=3 C.AE=5 D.AC=9 C:B B ..1..i.. 5题图 6题图 6.新考法(2023·济宁)如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A,B,C,D,E 均在小正方形的顶点上，线段AB,CD交于点F,若∠CFB=,则∠ABE等于 () A.180°-a B.180°-2a C.90°+ D.90°+2a 二、填空题（每小题5分，共30分） 7.(2023·新疆)如图，在△ABC中，若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°，则∠C= B 01cm2 D C D B D E 7题图 8题图 9题图 10题图 8.(2024·荆州)如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点.若AC=8,CD=5,则DE= 9.（2024·济宁)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D,E在边BC上，若∠DAE=30°，tan∠EAC =号，则80 10.（2023·江西)将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α=60°，点B,C表示 的刻度分别为1cm,3cm,则线段AB的长为 cm. 11.传统文他(2023·安徽)清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计 算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出 了-个结论：如图AD是镜角三角形AC的高，则BD-(BC+份cC当B=7,BC-6,4AC- 5时，CD=_ 弦(c) 勾a b) 11题图 12题图 12.传统文化(2023·扬州)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之 为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成.如图，直角三角形的两直角边 长分别为a,b,斜边长为c.若b-a=4,c=20,则每个直角三角形的面积为 —77— 三、解答题（共40分） 13.（12分)(2023·荆州)如图，BD是等边三角形ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC 的延长线于E,连接DE.求证：CD=CE. 13题图 14.（13分)(2023·武汉)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=∠D,点E在BA的延长线上，连接CE. (1)求证：∠E=∠ECD; (2)若∠E=60°，CE平分∠BCD,直接写出△BCE的形状 14题图 15.(15分)(2024·长沙)如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,BD=CD,延长BC至E,使得CE=CA, 连接AE. (1)求证：∠B=∠ACB; (2)若AB=5,AD=4,求△ABE的周长和面积 B D 15题图 —78一见业图顺合抖音/微信扫吗对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 第15讲一般三角形及其性质 12.(1)证明：BD是△ABC的角平分线， 基础集训 ∴.∠CBD=∠EBD. 1.C DE∥BC, 2.-3<a<-2 .∠CBD=∠EDB, 3.664.D5.B6.B7.35 .∠EBD=∠EDB. 8.1[解析]如答图，过点D作DF⊥AC于点F,:AD (2)解：CD=ED.理由如下： 平分∠BAC,DE⊥AB,DF=DE=1,SACD=2 AB=AC,∴.∠C=∠ABC. DE∥BC, 1 ·DF=2×2x1=1 ∴.∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC, .∠ADE=∠AED, ..AD =AE,.'.CD=BE. 由(1)得∠EBD=∠EDB, .BE DE,..CD ED. 第16讲特殊三角形 B D 基础集训 8题答图 9.解：AD平分∠BAC,∠BAC=60°， 1.A2.63.D4.C5.A6.D7.B 8.x2+22=(x+0.5)2 ∠BMD=2∠BMC=309 微专题2角平分线的常考模型 :CE是△ABC的高，∠BCE=40°，.∠B=50°， 1.c .∠ADB=180°-∠B-∠BAD=100° 2.证明：如答图，在AB上取点E,使得AE=AC, 综合集训 AE=AC, 1.C2.B 在△AED和△ACD中， ∠1=∠2， 3.C[解析]如答图，过点O作OQ1MN,则∠C0Q= LAD =AD, ∠D0Q=90°.又：∠A0Q=∠B0Q(提示：入射角等于 .△AED≌△ACD(SAS), 反射角)，∴.∠B0D=∠A0C=35°.又PD1CD, ∴.∠AED=∠C,ED=CD. .∠0BD=90°-∠B0D=55°.故选C. :∠C=2∠B,且∠AED=∠B+∠BDE, 0 .∴.∠B=∠BDE, .BE DE, .AB=AE+BE=AC+DE=AC+CD. A C D 2 3题答图 E 4.C[解析]：DE是△ABC的中位线，BC=6,.DE∥ c.E=3△DEAE8器-g器：DF- D 2题答图 2BF2.CMC+ 3.44.C5.1.5 微专题3特殊三角形中的分类讨论 5.B[解析]AE∥CD,.∠1=∠2=35°.CA平分 1.100°2.B ∠BCD,.∠BCD=2∠1=70°.又∠D=60°，∴∠B 3.D[解析]当3和2为两直角边长时，第三边长为 =180°-∠BCD-∠D=50°. √13；当3为斜边长，2为直角边长时，第三边长为5. 6.B7.4(大于2小于8的数即可)8.139.18 10.55[解析]：DE∥BC,∠BDE=120°，.∠B= 综上，第三边长为√5或√13.故选D. 180-∠BDE=60.:PG/AC,∠DFG=15,∠A45或9 =180°-∠AFG=65°，.∠C=180°-∠A-∠B微专题4中点常考模型 =55. 11.12:15:10 1g2B3B43051<40<6 19- 见此图标合抖倍/微信扫吗对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 中考集训 “6=16,每个直角三角形的面积为2b=96。 1.D2.B3.D4.B5.A 6.C[解析]如答图，取格点G,H.易知GD=EH=1,CG13.证明：如答图，~BD为等边三角形ABC的中线， =BH=4,∠CGD=∠BHE=90°，∴.△CGD≌△BHE, .BD1AC,∠1=60°，.∠3=30°. .∠GCD=∠HBE.CG∥BD,.∠CAB=∠ABD. BD=DE,∴.∠E=∠3=30°. ∠CFB=∠CAB+∠GCD=a&,∴.∠ABD+∠EBH=a, ∠2+∠E=∠1=60°，∴.∠2=30°=∠E, ∴.∠ABE=∠ABD+∠DBH+∠HBE=90°+&.故 ∴.CD=CE. 选C. 12 B E 13题答图 6题答图 14.(1)证明：AD∥BC,∴.∠EAD=∠B. 7.52[解析]AB=AC,AD=BD,∴∠DAB=LB=∠C. .·∠B=∠D,.∠EAD=∠D, ∠B+∠C+∠DAB+24°=180°，.∠C=52°. ∴BE∥CD,.LE=LECD. &.3[解析]：CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，CD= (2)解：等边三角形. 5,.AB=2CD=10(依据：直角三角形斜边上的中线15.(1)证明：AD1BC, 等于斛边的一半)，BC=√102-82=6.E为AC .∠ADB=∠ADC=90°. 的中点，D为AB的中点，∴.DE是△ABC的中位线， 在△ABD和△ACD中， “DB=BC=3(依据：三角形中位线的性质)。 AD =AD. ∠ADB=LADC, 9.3-5[解析]如答图，过点A作AH1BC于H. BD=CD. :△ABC是等边三角形，∴.AB=AC=BC=6,∠BAC= .△ABD≌△ACD(SAS), 60°.AH L BC,BH=3(提示：等腰三角形“三线合 .∠B=∠ACB 一”)，AH=3V3,∠HAC=30°，∴.∠HAE+∠EAC=30° (2)解：△ABD≌△ACD,AB=5,∴.AC=AB=5. ∠DAE=30°，.∠DAH+∠EAH=30°，.∠DAH= .CE=CA,.'.CE=5. ∠EAC(提示：等量代换)，∴.tan∠DAH=tan∠EAC= AB=5,AD=4,AD⊥BC, 号DH=AM=BD=M-0m=3-月 .BD=√AB2-AD2=3. BD=CD,∴CD=3, .BE=BD+CD+CE=3+3+5=11, DE=CD+CE=3+5=8, .AE=AD2+DB=√42+82=45， 则△ABE的周长为AB+BE+AE=5+11+4√5=16 B D H E +45, 9题答图 10.2[解析]：点B,C表示的刻度分别为1cm,3cm, SeE=78E:40=7×11x4=2 .BC=3-1=2(cm).:∠a=60°，直尺的对边平 第17讲全等三角形 行，∠ACB=∠a=60°.又：∠A=60°，.△ABC是 基础集训 等边三角形，∴AB=BC=2cm. 1.A2.∠A=∠D(答案不唯一) 11.1[解析]AB=7,BC=6,AC=5,.BD= 3.证明：：B是线段AC的中点， (c+世）分×6+7。到-5m-t .AB=BC. 又：AD∥BE,BD∥CE, 12.6[解析]由题意知，a2+b2=c2,b-a=4,c=20, .∴.∠A=∠EBC,∠DBA=∠C, .a2+(a+4)2=202,解得a=12或a=-16(舍去)， .△ABD≌△BCE. 20