第六章 圆-（课本精讲梳理）-【中考123】2026年中考一轮总复习数学（吉林专版）

null第六章圆 第六章 圆 第22讲 圆的基本性质 《考点梳理·夯基础》 答案P77 考点①与圆有关的概念和性质 考点②弦、弧、圆心角之间的关系 1.相关概念 1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 如图①，在一个平面内，线段0A 四 ,所对的2 也相等 绕它固定的一个端点0旋转一周， 提分点拨> 定义 另一个端点A所形成的图形叫做 回 其固定的端点O叫做 如图②，∠AOB=∠C0D,.AB=CD,AB ② ,线段OA叫做③ =CD. 图① 2.推论： 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的 弦 弦叫做④ ,如图①，AC,BC是弦，BC是 (1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所 直径 对的圆心角3 所对的弦也相等 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.圆的 (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它 任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一 们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分 弧 条弧都叫做半圆.大于半圆的弧叫做⑤ 别相等 (用三个点表示，如图①中的ABC),小于半圆的 一提分点拨>一 弧叫做⑥ (如图①中的AC) ①如图②，：AB=CD,∠A0B 等圆 能够重合的两个圆叫做等圆 =∠COD,AB=CD 同心圆圆心相同半径不同的圆叫做同心圆 ②如图②，，AB=CD,∴.∠AOBm 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 ∠C0D,AB=CD,AmB= 图② 顶点在可 的角叫做圆心角（如图①中 圆心角 CmD. 的∠AOB是AB所对的圆心角) 专点③圆周角定理及其推论 顶点在⑧ 上，并且两边都与圆相交的 圆周角 角叫做圆周角（如图①中的ㄥACB是AB所对的 1.定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 圆周角) ④ ,即∠BAC=7∠B0c(如图③)， 确定圆 的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 2.推论： (1)同弧或等弧所对的圆周角 2.性质 固 即∠BAC=∠BDC (1)圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线 (如图③) 都是圆的对称轴。 (2)半圆（或直径）所对的圆周角是 图③ 对称性 (2)圆是⑨ 图形，回 是它的对 6 即∠BCA=90°（如图③），90°的 称中心 圆周角所对的弦是7 旋转 把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都 考点④垂径定理及其推论 不变性 与原图形重合 1.定理：垂直于弦的直径⑧ 弦，并且平分 弦所对的两条弧。 见此业图廊合抖音微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧令。49 ③R 数学·精讲本 2.推论： 专点⑤三角形的外接圆（如图⑤】 (1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 1.定义：经过三角形三个顶点的圆， 分弦所对的两条弧， 2.圆心O:外心（三角形外接圆圆心或三角形三条 (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 边的垂直平分线的交点)· 的两条弧. 3. 性质：三角形的外心到三角形的四 的距 (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的另一条弧. 离相等。 一提分点拨> 4. 角度关系：∠B0C=2∠A,∠B0C=360°-2∠A'. ①如图④，：CD是直径，CD⊥AB,.AE=BE, AD BD,AC=BC. ②如图④，：CD是直径，AE=BE, .CD⊥AB,AD=BD,AC=BC. ③如图④，：CD是弦AB的垂直平 图⑤ 图⑥ 分线，.CD经过圆心O,AD= 图④ 者点⑥圆内接四边形的性质（如图⑥】 BD,AC=BC 1.圆内接四边形的对角2四 ,即∠B+∠D ④如图④，CD是直径，AD=BD,.CD1AB, =四 AC=BC. 2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角， 即∠DCE=2 答案77 《实战演练·品方法》 例)△ABC为⊙0的内接三角形，若∠A0C= A.80° 160°，则∠ABC的度数是 ( B.100° A.80° B.80°或100° C.120° C.100° D.160°或20° D.140° 例2（黄石）如图，AB是⊙0的直径，∠D=40°，则 例2题图 温馨提示 ∠A0C= 请完成《精练本1》P109-111。 第23讲 与圆有关的位置关系 考点梳理·夯基础》 答案P77 考点①点、直线与圆的位置关系 2.直线与圆的位置关系 1.点与圆的位置关系 位置关系 示意图 交点个数 d与r的关系 设⊙0的半径为r, 点P,P2,P3到圆 图示 心的距离分别为d, d2,d3,如图所示 相交 d 2 d④ 点P1在圆外 d,四 点P2在圆上 d2② 相切 d⑤ 点P,在圆内 d B 50 见业图廊合抖音/微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 第六章圆 续表 专点③三角形的外接圆和内切圆 位置关系 示意图 交点个数 d与r的关系 1.外接圆 0 相离 0 d6 图示 考点②切线的性质 定义 经过三角形的三个顶点的圆 直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直 圆心 外心（三角形三条边的垂直平分线的交点） 概念 线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫 做切点 性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等， 即OA=OB=OC 性质 圆的切线7 于过切点的半径 2.内切圆 1.和圆只有⑧ 个公共点的直线是圆的 切线.（定义) 2.经过半径的外端并且⑨ 于这条半径 图示 判定 的直线是圆的切线.（简述为：有切点，连圆 心，证垂直) 3.如果圆心到一条直线的距离四 圆的 定义 与三角形各边都相切的圆 半径，那么这条直线是圆的切线（简述为：无 圆心 内心（三角形三条角平分线的交点）》 切点，作垂直，证半径)》 三角形的内心到三角形三边的距离相等，即OD 经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的 性质 =OE=OF *切线长 线段的长，叫做这点到圆的切线长 角度 连接0B,0C,则LB0C=90°+2∠A;连接DE, 从圆外一点可以引圆的两 关系 条切线，它们的切线长相 EF,则∠DEF=90°-}∠A 2 等，这一点和圆心的连线 *切线长 平分两条切线的夹角.如 一拓展延伸> 定理 图，PA,PB分别切⊙O于 如图，直角三角形三边与 其内切圆半径r之间的关系： A,B两点，则有PA=PB,∠AP0=∠BPO= 2 ①r=a+0-b:②r=ac ∠APB 2 a+b+c 重难研析·理要点》 答案P77 重雅京。切线的性质与判定 中巩固训练链接至《精练本1》P114T1>2 典例（哈尔滨）如图，AD,BC是⊙0的直径，点P在BC的延 方法技巧万 长线上，PA与⊙O相切于点A,连接BD,若∠P=40°，则 1.切线的判定常用的辅助线添加方法： (1)若已知直线经过圆上一点，则连接 ∠ADB的度数为 这点和圆心，证所作半径与这条直 线垂直，即“连半径，证垂直”； (2)若已知条件中不知直线与圆是否有 公共点，则过圆心作直线的垂线段， 再证垂线段长等于半径长，即“作垂 直，证半径” 2.切线的性质常用的辅助线添加方法： A.65° B.60° C.50° D.25° (1)连接切点与圆心构造直角； (2)连接切点与直径两端点，找出直径 所对的圆周角，构造直角三角形. 见业图师号抖音微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧◆。51 忽二数学·精讲本 跟踪训练 →9 (北京)如图，OA是⊙0的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D,AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线 于点E.若∠A0C=45°，BC=2,则线段AE的长为 B 温馨提示 请完成《精练本1》P112-114 微专题8 圆中常见辅助线的作法 [答案P77] 模型（一见弦连半径，构造等腰三角形 模型见弦作垂径，构造直角三角形 模型 模型 图中出现圆的弦，要求弦长、半径或圆心到弦的 图中出现圆的弦，要求进行角度计算或证明 特点 特点 距离 模型 模型 示例 示例 0 解题 常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角 解题 作圆的半径，利用“同圆的半径相等”构造等腰 思路 形，利用勾股定理进行计算，在弦长、弦心距、半径 及结论 三个量中，已知任意两个求出另一个 思路 三角形，这样就把有关线段或角的问题转化到 对应训练 及结论 三角形中来解答 2.(怀化)如图，AB与⊙0相切于点C,A0=3,⊙0 的半径为2，则AC的长为 对应训练 1.(眉山)如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形 脸恰好与帽子边沿PA,PB分别相切于点A,B, 不倒翁的鼻尖正好是圆心O,若∠OAB=28°，则 2题图 ∠APB的度数为 模型目见到直径，构造直径所对的圆周角 模型 已知条件中有直径，要求进行有关计算或证明 特点 模型 示例 1题图 A.28° B.50° C.56° D.62 9 见业图标合抖暗微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 第六章圆 续表 续表 解题 当没有指出直线与圆 思路 构造直径所对的圆周角，充分利用“半圆（或直 解题 当已知直线与圆有公 径)所对的圆周角是直角”这一性质。 思路 共点时，只需“连半 有公共点时，过圆心作 及结论 及结论 径，证垂直”即可 已知直线的垂线，证明 对应训练 垂线段的长等于半径 3.(南京)如图，AB为⊙0的直径，点C,D,E在⊙O 对应训练 上，且AD=CD,若∠E=64°，则∠ABC的度数为 5.(滨州)如图，已知AC为⊙0的直径，直线PA与 ⊙O相切于点A,直线PD经过⊙O上的点B且 ∠CBD=∠CAB,连接OP交AB于点M. 求证：(1)PD是⊙0的切线； (2)AM2=OM·PM 3题图 模型回见切线，连接圆心和切点得切线垂直于半径 B D 模型 已知条件中有圆的切线条件，要求进行有关计 5题图 特点 算或证明 模型 示例 模型伏见内心，连接内心和顶点得角平分线 模型 已知条件中出现三角形的内心或三角形的内切 解题 把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构 特点 圆及圆心 思路 造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质 及结论解题 模型 对应训练 示例 0 4.（山西)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= 6,BC=8,点D是AB的中点，以CD为直径作 ⊙O,⊙0分别与AC,BC交于点E,F,过点F作 解题 利用内心与顶点的连线平分这个内角，再结合 ⊙O的切线FG,交AB于点G,则FG的长为 思路 三角形的外角、同弧所对的圆周角相等等进行 及结论 角的转换 对应训练 6.如图，设CD是△ABC的高，I1,I2分别是△ADC, △BDC的内心，DC=12,AD=9,BD=16,则I1I2 等于 4题图 模型伍要判定圆的切线，“连半径证垂直"或“作垂直证半径” 模型 证明一条直线是圆的切线 特点 模型 示例 6题图 D 温馨提示 请完成《精练本1》P113， 见此业图廊合抖音微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧◆。53 R 数学·精讲本 微专题9 辅助圆问题 [答案P77] 德型⊙定点定长作圆 模型自定弦对定角 模型展示 模型展示 1.如图①，已知平面内有一定点A和一动点B, 若已知弦AB的长度及其所对的∠ACB的大小， 若AB的长度固定，则动点B的轨迹是以点A 要确定顶点C的运动轨迹，往往需要构造 为圆心，AB长为半径的圆， △ABC的外接圆.(1)如图①，当∠ACB<90° 时，点C的运动轨迹为优弧ACB(不与点A,B 重合)；(2)如图②，当∠ACB=90°时，点C的运 动轨迹为⊙0（不与点A,B重合）；(3)如图③， 当∠ACB>90°时，点C的运动轨迹为劣弧AB (不与点A,B重合) 图① 图② 2.如图②，若OA=OB=OC,则A,B,C三点在 以点O为圆心，OA长为半径的圆上. B 对应训练> 1.如图，OA=OB=OC,且∠ACB=25°，则∠AOB的 图① 图② 图③ 大小是 对应训练 3.如图，在△ABC中，BC=2,点A 为动点，在点A运动的过程中始 终有∠BAC=45°，则△ABC面积B 的最大值为 3题图 模型@四点共圆 1题图 模型展示 A.45° B.50 C.55° D.65° 1.如图①，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC 模型（日直角对直径 =90°.如图②，在四边形ABDC中，∠ADC= 模型展示 ∠ABC=90°. 90°的圆周角所对的弦是直 径.如图，AB是一条定线段， 若∠APB=90°，则点P的运动 轨迹是以AB为直径的圆（不 B 图① 图② 包括A,B两点) 结论：点A,B,C,D在同一个圆上，且AC为直径 对应训练> 2.如图③，AB为△ABC和△ABD的公共边，且 2.如图，四边形ABCD为矩形，AB=3,BC=4,点P 点C,D在AB的同侧，∠C=∠D. 是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点， 结论：点A,B,C,D在同一个圆上 D ∠ADM=∠BAP,则BM的最小值为 0 图③ 图④ 2题图 3.如图④，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180° 结论：点A,B,C,D在同一个圆上 见业图标台抖暗微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 第六章圆 对应训练> 4.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90° ∠ACD=30°，AD=2,E是AC的中点，连接DE, 则线段DE长度的最小值为 5题图 类型二线圆最值 模型展示 已知⊙0及直线1，⊙0的半径为r,圆心O到直 线l的距离为d,点Q为⊙0上一动点 4题图 直线与 直线与 直线与 模型石最值问题 位置关系 ⊙0相离 ⊙0相切 ⊙0相交 类型一 点圆最值 图示（过点 模型展示 0作OD⊥I 于点D,交 0+ 已知平面内一定点D和⊙0，点E是⊙0上一 0 动点，当D,O,E三点共线时，线段DE的长度 ⊙0于点 D Q.D 有最大值和最小值.具体分以下三种情况讨论 Q1,Q2） (设OD=d,⊙0的半径为r): 点Q到直 位置 点D在 点D在 点D在 线！距离的 QD=d+r QD=2r QD=d+r 关系 ⊙0内 ⊙0上 ⊙0外 最大值 0(此时点 图示 OD 点Q到直 0 D 线1距离的 Q2D=d-r Q2D=0 Q为直线1 与⊙0的 最小值 DE的 交点) d+r 2r d+r 最大值 此时点 对应训练 连接D0并延长交⊙O于点E E的位置 6.如图，等边三角形ABC的边长为8，点P是AB边 上的一点，PB=6.直线1是经过点P的一条直 DE的 r-d 0 d-r 线，把△ABC沿直线I折叠，点B的对应点是B'. 最小值 在直线l变化过程中，△ACB'面积的最大值为 连接OD并 此时点 点E与点D 连接OD交 延长交⊙0 E的位置 重合 ⊙0于点E 于点E 对应训练 5.如图，在矩形ABCD中，已知AB=3,BC=4,点P 6题图 是BC边上一动点（点P不与B,C重合），连接 AP,作点B关于直线AP的对称点M,则线段MC 的最小值为 温馨提示 请完成《精练本1》P113-114 见此业图标合抖音微信扫码 对话种考复习助手考点攻克提分无忧工◆。55 数学·精讲本 第24讲 与圆有关的计算 《考点梳理·夯基础》 答案77 考点①弧长与扇形面积的计算 考点③阴影部分面积的计算 1.R为圆（扇形）的半径. R no 方法讲解详见P57-P58微专题10与圆有 图示 2.n°为AB所对的圆心角 A 关的阴影部分面积的计算 的度数 3.1为AB的长 考点④正多边形与圆 弧长 l=四 名称 公式 图例 扇形 的面积 S=2 正n边形的每个内角 考点②圆柱、圆锥的相关计算 为180(n-2-1800 内角 n 圆内 360° 圆柱 圆锥 接正 n 多边 形（正 中心角 &=360 n边 n 形的 正n边形的每个外角 a R 边长 外角 为a, 为3600 n r为底面圆半径，h 周长 为高 1为母线长，r为底面半径，h为圆 为) 边心距 锥高 VR-(受 周长 l =na 1.r为圆锥底面圆的半径，则底面 圆的面积S=③ ,周长 面积 C=④ s=2 1.S圈柱侧=2Th, 2.r为圆锥底面圆的半径，为圆 2.S圆往表=2Th+ 锥侧面展开图的扇形的圆心角，1 2mr2 为母线长，则a=⑤ 3.圆柱的侧面展 3.h为圆锥的高，l为圆锥的母线 开图是矩形 长，”为圆锥底面圆的半径，则 +⑥ =: 4.圆锥底面圆的周长为圆锥侧面 展开图扇形的☑ 答案77 《实战演练·品方法》 例（黄风）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B 例2（雅安)如图，已知⊙0的周长等于6π，则该圆 =30°，AB=8,以点C为圆心，CA的长为半径画 内接正六边形ABCDEF的边心距OG为() 弧，交AB于点D,则AD的长为 A.35 A.TT B告知 C.36 2 C D c.3 B D.3 例2题图 D.2π 例1题图 温馨提示一一 请完成《精练本1》P115-120 60 见业图台抖音微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 第六章圆 微专题10 与圆有关的阴影部分面积的计算 《考点梳理·夯基础》 答案77 模型（一）公式法求阴影部分的面积 对应训练 模型 所求阴影部分的面积是规则图形，直接用扇形的 2.(递宁)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直 特点 面积公式S=π代求解 径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作 3601 DF⊥AC,垂足为点F,若⊙0的半径为43， 模型 →S阴影=S扇形MN ∠CDF=15°，则阴影部分的面积为 ()》 示例 A.16π-123 B.16m-243 对应训练 C.20m-12√3 D.20π-243 1.(荆州模拟)如图，在四边形ABCD中，AB=CD, AD∥BC,以点B为圆心，BA的长为半径的圆弧与 BC交于点E.若四边形AECD是平行四边形，AB =3,则扇形（图中阴影部分）的面积是 0 以 B D 2题图 3题图 1题图 3.如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕，点A顺时针 模型©和差法求阴影部分的面积 旋转30°得到AD,此时点C的对应点D落在AB 模型 阴影部分为不规则图形，不改变图形的位置，将 上，连接CD并延长，交⊙0于点E,连接OE, 特点 它的面积用规则图形的面积的和或差表示 0C,若CE=4,则图中阴影部分的面积为() A.2m B.22 S△BD+S第形D0 C.2m-4 D.2m-2√2 4.如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=2,AC=4,点 O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半径作半 圆，交AC于点D,则图中阴影部分的面积是 模型 示 D B 4题图 5题图 5.(河南)如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点 0移到OB的中点O'处，得到扇形A'0'B'.若∠O S阴影=S形B0+S△OCE 扇形c0D =90°，OA=2,则阴影部分的面积为 见此图南合抖音微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无忧、◆ 57 忽3 数学·精讲本 模型（目等积转换法求阴影部分的面积 7.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到 △A'B'C,已知AC=3,BC=2,则线段AB扫过的 阴影部分为不规则图形，需要将图形的位置进行 模型 图形（阴影部分）的面积为 移动，以便为使用和差法提供条件，具体方法有： 特点 平移、翻折、旋转、等积变换等 (1)直接等面积转化(CD∥AB) →S影=S第形c0 7题图 8题图 AP O B 8.(广元)如图，将⊙0沿弦AB折叠，AB恰经过圆 (2)平移转化法（点E,F分别是边AB,CD的 中点) 心O,若AB=2√3，则阴影部分的面积为 9.如图，在等边三角形ABC中，AB=2,以AB为直 径作半圆分别交AC,BC于点D,E,连接AE,则 阴影部分的面积为 S阴影-S正方形BCFE (3)对称转化法 ①点D是AB的中点 模型 示例 E 9题图 10题图 10.如图，点A,B,C是⊙O上的点，连接AB,AC, ②四边形ABCD为正方形 BC,且∠ACB=15°，过点0作OD∥AB交⊙0 于点D,连接AD,BD,已知⊙O半径为2，则图 中阴影面积为 11.如图，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°，AB= (4)旋转转化法 2,点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角 为90的扇形DEF,点C恰在EF上，则图中阴 影部分的面积为 对应训练 6.如图，AB是⊙0的直径，⊙0的弦DC的延长线 C 与AB的延长线相交于点P,OD⊥AC于点E, E ∠CAB=15°，OA=2,则阴影部分的面积为( 11题图 12题图① 12题图② A5弩 D 12.如图①是一枚残缺的古代钱币，如图②，经测量 发现，钱币完好部分的弧长为3π，其内部正方 B. 形ABCD的边长为1.已知正方形ABCD的中心 与⊙O的圆心重合，且点E,F分别是边BC,CD 设 的延长线与⊙0的交点，则图中阴影部分的面 6题图 积为 D. 温馨提示 请完成《精练本1》P116-117。 99 见此图顺合抖音/微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧