第四章 三角形-（课本精讲梳理）-【中考123】2026年中考一轮总复习数学（吉林专版）

null第四章三角形 第四章 三角形 第14讲 线段、角、相交线与平行线 《考点梳理·夯基础》 答案75 考点①线段与直线 2.角的分类 1.直线、射线、线段的关系 分类 图形 直线 射线 线段 B 锐角 0°<a<90° 图示 A B m A B B 0 A 表示 工 或 ④ 或 方法 ② 或 射线AB ⑤ 或 直角 a=90° 3 6 A 端点 个数 ☑ ⑧ B 钝角 90°<a<180° 能否 度量 9 不能 四 平角 a=180° 延伸 品 方向 双向 回 无 周角 经过两点有 身面 a=360° 两点之间的 2 基本 3.角中度、分、秒的换算 事实 条直线，并且 所有连线中， 只有3 4 角的度、分、秒是60进制，即1°=26 条直线 最短 1'=2☑ "34.5°=2四 2四 112.27°=30 31 32 2.两点之间的距离：连接两点间的线段的长度， 3.线段的和与差及大小比较 4.余角和补角 a与B关系 关系式 性质 二者关系 图形 C(点C是线段AB延长线上一点) 同角（或等 AC=15 等量关系 +BC;AB=回 互余 a+B= 角)的余角 同角（或 ☑ ;BC=18 -AB 33 4 等角)的 大小关系AB四 AC;BC20 AC 补角比余 同角（或等 4.线段的中点：如图，点B在线段AC上，且AB= 互补 a+B= 角大☑ 角)的补角 BC,则点B叫做线段AC的中点，即AB=BC= 固 36 圆 5.角平分线 A B C (1)定理：角平分线上的点到这个角两边的 考点②)量角器的使用 38 ,如图，PE=PF 量角器的中心O和角的顶点重合，量角器的0 (2)逆定理：在一个角的内部，到这个角的两边 刻度线和角的一条边重合，做到两重合后看角的另 相等的点在这个角的角平分线上， 条边对应的刻度线的度数 (3)图示： 考点③角及角平分线 1.概念：角由22 具有公共端点的2☒ 组成，角也可看作由四 绕着它的端点 5 而形成的图形 见此业图廊合抖音微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧、◆， 23 R 数学·精讲本 害点④相交线 (3)图示： 1.三线八角 考点⑤平行线 1.平行公理及推论 ∠1与3☒ ;∠2与0 公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线 对顶角 ∠5与四 ;∠6与42 平行 对顶角图 推论 若a∥b,b∥c,则ac ∠1与∠2、∠4；∠2与∠1、4 邻补角 2.平行线的性质与判定 ∠5与固 ;∠8与6 ∠1与☑ ;∠2与8 (1)同位角相等器两直线平行 同位角 ∠3与4四 ;∠4与5@ (②)内错角相等瓷两直线平行 内错角 ∠3与圆 ；∠4与 (3)同旁内角互补鬓两直线平行。 同旁内角 ∠3与5图 ；∠4与网 考点6)命题与反证法 2.垂线 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题. (1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直（基本事实） 2.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样 的命题叫做真命题 (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短 3.假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成 (3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 立，这样的命题叫做假命题， 垂线段的长度， 4.互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的题设 和结论恰好是另一个命题的结论和题设，那么这 3.线段垂直平分线 两个命题是互逆命题.原命题成立，其逆命题不 (1)定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段 一定成立. 两个端点的距离5 ,如图，AP= 56 5.反证法：首先假设原命题不成立，然后推理出明 显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命 (2)逆定理：到线段两个端点距离相等的点在这 题得证 条线段的垂直平分线上 答案P75 《实战演练·品方法》 例（株洲）如图，点0在一块直角三角板ABC上 例2（湘潭）如图，一束光沿CD方向，先后经过平 (其中∠ABC=30),OM⊥AB于点M,ON1BC 面镜OB,OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB 于点N,若OM=ON,则∠AB0= 度 =120°，∠CDB=20°，则∠AEF= C cm 456 ⑨0 wwwwlwbwlwwwwwwm 例2题图 M 例1题图 温馨提示 请完成《精练本1》P67-69 28 见业图顺合抖音/微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 第四章三角形 第15讲一般三角形及其性质 《考点梳理·夯基础》 答案75 考点①三角形及其边、角关系 2.高线：如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC 1.三角形的分类 所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做 (1)按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三 △ABC的边BC上的高 角形 性质：AD⊥⑧ ,即∠ADB=∠ADC=90° (2)按边分类： 三，三边都不相等的三角形 角{等腰「底边和腰不相等的等腰三角形 形[三角形等边三角形 拓展延伸> 2.三角形的边、角关系 垂心：三角形三条高所在直线的交点， (1)三边关系：三角形任意两边之和 3.角平分线：如图，画∠BAC的平分线AD,交 第三边，任意两边之差2 第三边， ∠BAC所对的边BC于点D,所得线段AD叫做 拓展延伸> 若一个三角形的三边长分别为a,b,c,则a △ABC的角平分线. -b<c<a+b. 性质：∠1=⑨ ∠BAC. (2)角的关系：三角形内角和定理：三角形三个 内角的和等于3 推论：①三角形的外角4④ 与它不相 邻的两个内角的和； 一拓展延伸> ②三角形的任意一个外角⑤ 任何 内心：三角形三条角平分线的交点，也是三 一个与它不相邻的内角 角形内切圆的圆心，该点到三角形三边的距离 (3)边角关系：同一个三角形中，等边对等角，等 相等. 角对等边，大边对大角，大角对大边 4.中位线：如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC 3.三角形具有稳定性 的中点，连接DE,所得线段DE叫做△ABC的中 考点②三角形中的重要线段 位线 1.中线：如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边 三角形的中位线定理：三角形的中位线四 BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC 于三角形的第三边，并且等于四 上的中线。 性质：BD=6 BC. 即DE∥BC且DE=2BC 一拓展延伸>心 提分点拨 ①中线将三角形分成面积相等的两个小三角 若三角形三个顶，点到某条直线的距离都相 形，即SAARD=S△ACn= 等，则该直线是这个三角形的中位线所在的 直线 ②重心：三角形三条中线的交，点，该点到三角形 顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍. 见此业图廊合抖音微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧。 29 R 数学·精讲本 答案P75 《实战演练·品方法》 例（宁波）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的例2（哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高， 中点，E为BD上一点，F为CE的中点.若AE= ∠ABC=30°，∠CAD=20°，则∠BAC是 度 AD,DF=2,则BD的长为 A.2√2 B.3 C.23 D.4 B 温馨提示， 请完成《精练本1》P70-72。 例1题图 第16讲 特殊三角形 《考点梳理·夯基础》 答案P75 考点④等腰三角形的性质与判定 考点③直角三角形的性质与判定 30 图形 图形 D C a B C aB 1.两腰相等，两个回 相等，即AB=AC, 图① 图② ∠B=∠C(等边对等角). 1.直角三角形的两个锐角之和等于90°，即∠A+ 2.顶角的平分线、底边上的② 、底边上 ∠B=90. 性质 的高互相重合（三线合一） 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的④ 3.是轴对称图形，有1条对称轴（不含等边三角形）. 4.两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角 ,即cD=之AB(如图O). 的平分线相等 性质 3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的 判定 1.有两条边相等的三角形是等腰三角形 一半，即BC=7AB(如图②). 2.有两个角相等的三角形是等腰三角形 4.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别 面积 S=2BC·AD 为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2 贵点②等边三角形的性质与判定 1.有一个角为90°的三角形是直角三角形. 2.有两个角互余的三角形是直角三角形. 判定 3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b, 图形 c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三 角形 B D C 1.具有等腰三角形的所有性质， 面积 S=1 ab- 2h(如图②) 2.三边相等，即AB=AC=BC. 性质 3.三个角相等，且每个角都等于60°，即∠BAC= 拓展延伸>。 ∠B=∠C=60°. 射影定理：如图，在Rt△ABC中，∠ABC= 4.是轴对称图形，有3条对称轴 90°，BD⊥AC,则： 1.三边都3 的三角形是等边三角形. (1)BD2=AD·CD; 判定 2.三个角都相等的三角形是等边三角形. (2)AB2=AD·AC; 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 (3)BC2=CD·CA; 面积 S=1 (4)AB·BC=AC·BD. 30 见此图颜合抖音/微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧 第四章三角形 2 者点④等腰直角三角形的性质与判定 拓展延伸 ①含30°角的直角三角形的三边之比为⑤ 图形 ②等腰直角三角形的三边之比为⑥ B ③顶角为120°的等腰三角形的三边之比为7 1.具有直角三角形的所有性质. 性质 2.两个锐角相等且都等于45°，即∠A=∠C=45° 3.两直角边相等，即AB=BC 面积为③ ×腰长2. 1.顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形. 判定 2.有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 3.两直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形， 4.有一个角为45的直角三角形是等腰直角三角形 《重难研析·理要点》 答案P75 重雅京，特殊三角形的几何变换 中巩固训练链接至《精练本1》P129T5>2 典例（河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= >思维导 (1)结合等腰直角三角形的性质，可知AD 2√2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP=1,将CP绕点 =2·连接CD,则CD⊥AB,且CD= C在平面内旋转，点P的对应点为点Q,连接AQ,DQ.当 2； ∠ADQ=90°时，AQ的长为 (2)结合∠ADQ=90°及旋转的性质，可以 确定点Q在直线CD上，且CQ=1; (3)当点Q在点C的左侧时，DQ=CQ+ CD=3;当点Q在点C的右侧时，DQ =CD-CQ=1_; (4)利用勾股定理，求得AQ的长 跟踪训练 (德阳)如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB=90°，点D是AB边上的中点，连接CD,将△ACD沿CD 折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB.若CB=1,则CE= 温馨提示 请完成《精练本1》P73-78 见此图师合抖暗微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无忧◆。3L 数学·精讲本 微专题2 角平分线的常考模型 [答案P75] 模型一)过角平分线上的点向角两边作垂线 模型（目平行线构造等腰三角形 模型 过角平分线上一点，作角两边的垂线，得线段相 模型 过角平分线上一点，作与角的一边平行的直线， 分析 等和三角形全等，进而求线段长或面积 分析 构造等腰三角形 少 图示 图示 02P N 条件：如图，OP是∠MON的平分线，PA⊥OM, 条件及 条件：如图，OP是∠MON的平分线，PQ∥ON. 条件及 PB⊥ON. 结论 结论：△OQP为等腰三角形，OQ=QP 结论 结论：PA=PB,△APO≌△BPO 对应训练 对应训练> 3.如图，等边△ABC的边长为6，∠ABC,∠ACB的 1.如图，点P是∠AOC的平分线上一点，PD⊥OA, 平分线交于点D,过点D作EF∥BC,交AB,AC 垂足为点D,且PD=3,点M是射线OC上一动 于点E,F,则EF的长为 点，则PM的最小值为 3题图 1题图 模型四垂线构造等腰三角形、全等三角形 模型日截取线段构造对称全等 模型 过角平分线上一点，作角平分线的垂线，构造两 分析 个全等的直角三角形和等腰三角形 模型 在角一边上截取与角另一边上相等的线段，构 分析 造全等三角形，利用对称性转换线段或角 图示 0 图示 条件：如图，OP是∠MON的平分线，AB1OP. 条件及 结论：Rt△AOP≌Rt△BOP,△AOB为等腰三 条件：如图，OP是∠MON的平分线，在ON上 结论 条件及 角形 截取OB=OA,连接PB. 结论 结论：PA=PB,△APO≌△BPO 对应训练> 4.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,过点C作CE 对应训练 ⊥BC,交AD于点E,连接BE,∠BEC=∠DEC, 2.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,以点B为圆 若AB=6,则CD= 心，AB长为半径画弧，交BC于点E,连接DE,已 知∠A=70°，则∠CED的度数为 4题图 2题图 温馨提示 请完成《精练本1》P74-75 32 见此图恢合抖音/微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧 第四章 三角形 微专题3 特殊三角形中的分类讨论 [答案P75] 类型○)等腰三角形中的分类讨论 4.如图，在△ABC中，AB=BC=3,∠ABC=120°，点 考法一 关于等腰三角形的角的讨论 E是AB边上一个动点（不与端点重合），ED⊥ 方法指寻 AC于点D,将△ADE沿DE折叠，点A的对应点 已知等腰三角形的一个角为，求顶角或 为F,连接BF.当△BCF为等腰三角形时，则AE 底角的度数时，分以下三种情况讨论： 的长为 (1)若α为钝角，则α为顶角，底角的度数为 2(180-a: (2)若心为直角，则心为顶角，且该三角形为等 4题图 腰直角三角形，底角为45°； (3)若α为锐角，则需分两种情况讨论：第一种， 类型©直角三角形中的分类讨论 当α为项角时，底角的度数为2(180°-a): 考法一关于直角三角形的边的讨论 方法指导人 当心为底角时，顶角的度数为180°-2a. 如图，a,b是直角三角形的两边长，则第三 边的长可能有以下两种情况： 对应训练 1.（云南)已知△ABC是等腰三角形.若∠A=40°， Va2+b 则△ABC的顶角度数是 2.等腰三角形ABC中，BD⊥AC,垂足为D,且BD= Vb2-a ①b为直角边长 ②b为斜边长 )AC,则等腰三角形ABC底角的度数为 对应训练 5.等腰直角三角形的一边长为2，则它的周长为 考法二关于等腰三角形的边的讨论 方法指寻 已知等腰三角形的两边长分别为a,b(a≠ 考法二 关于直角三角形的直角顶点的讨论 b),求周长C时，需分两种情况讨论： 《方法指导 (1)若a为腰长时，且2a>b,则周长C=2a+b; 如图①，已知点A,B和直线l,在1上找一 (2)若a为底边时，且2b>a,则周长C=2b+a. 点C,使△ABC为直角三角形，分以下三种情 注意：无论哪种情况，都要注意等腰三角形的三 况： 边必须满足“任意两边之和大于第三边”，三个 (1)当，点A为直角顶点时，作AC1⊥AB,交直线1 角必须满足“三角形的内角和等于180°” 于点C1,如图②，点C1即为所求； 对应训练 (2)当，点B为直角顶，点时，作BC2⊥AB,交直线 3.如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的 1于点C2,如图②，点C2即为所求； 网格中，点A,B在小正方形的顶点上，要在小正 (3)当点C为直角顶点时，找AB的中点O,以 方形的顶点确定一点C,连接AC,BC,使△ABC 点0为圆心，A0长为半径作⊙0，交直线1 是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数 于点C3,C4如图②，则点C3,C4即为所求 是 ( ●B 3题图 图① 图② A.5 B.6 C.7 D.8 见此图廊号抖音微信扫码 对话种考复习助手考点攻克提分无忧◆。33 忽R 数学·精讲本 对应训练> 7.如图，在等边三角形ABC中，BC=√3+1，点D,E 6.如图，已知点A(-1,0),B(1,2),在坐标轴上确 分别在边AB,BC上，沿DE折叠△DBE,得到 定点P,使得△ABP为直角三角形 △DB'E,且点B'落在边AC上.若△B'EC为直角 (1)若点P在x轴上，则满足条件的点P的坐标 三角形，则BE的长为 为 (2)若点P在y轴上，则满足条件的点P的坐标 为 7题图 温馨提示 6题图 请完成《精练本1》P75 微专题4 中点常考模型 [答案P75] 模型口中点构造中位线 模型 三角形一边上有中点，考虑作平行线构造中位 分析一 线，利用中位线的性质解决问题 B D 1题图 2题图 过点D作 图示 D DE∥BC D 2.在△ABC中，点D是BC的中点，∠A=2∠BED, B C AB=95,AC-AE=3√3，则BE= 模型 三角形两边上都有中点，考虑连接两中点构造 模型日垂线过中点构造中垂线 分析二 中位线，利用中位线的性质解决问题 模型 遇到三角形一边的垂线过该边的中点时，考虑 分析 用垂直平分线的性质解决问题 连接DE D 4 连接CE 图示 图示 连接BC 结论 ①EB=EC;②BD=CD;③LBED=∠CED 对应训练> 结论 ①DE=7BC:②DE/BC, 3.如图，在Rt△ABC,∠C=90°，点D是AC边上的 ③△ADE∽△ABC 一点，DE垂直平分AB,垂足为点E,若AC=4, 对应训练 BC=3,则线段DE的长度为 1.如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以 BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG,连 接DF,点M,N分别是DC,DF的中点，连接MN, 若AB=7,BE=5,则MN= 3题图 340 见此图颜合抖音/微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧 第四章三角形 模型目等腰三角形构造“三线合一” 模型伍倍长中线构造法 等腰三角形中遇到底边上的中点时，考虑作底 模型 模型 利用倍长中线构造中位线，利用中位线的性质 边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质 分析 分析一 解决问题 解决问题 连接AD D 图示 图示 B E B D B D AD是△ABC的中线 ①∠BAD=∠CAD;②BD=CD; 结论 ③AD⊥BC 结论 ①AB=AE,2AD/∥BC,③AD=2EC 对应训练 模型 利用倍长中线构造全等三角形，利用全等三角 4.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，BC=2N3, 分析二 形的性质解决问题 D为BC的中点，AE=AB,则△BBD的面积为 图示 4题图 A33 B.33 AD是△ABC的中线 C3 D.3 4 结论 △ADC≌△EDB △CFD≌△BED 模型©直角三角形构造斜边上的中线 对应训练> 直角三角形中遇到斜边上的中点时，考虑作斜 6.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1,D是边 模型 边上的中线，利用直角三角形斜边的中线的性 AB的中点，E是边BC上一点.若DE平分△ABC 分析 质解决问题；由直角+斜边的中点，还可得出 的周长，则DE的长为 等腰三角形 连接AD 图示 C B D 6题图 7.如图，在△ABC中，AD为中线，E在AC边上，AE ①AD=BD=CD= 结论 =AB,AD=CE,若∠BAD=60°，AB=3,则线段 ②△ADC和△ADB均为等腰三角形 BC的长度为 对应训练 5.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,作 DE⊥AC于点E,F是AB的中点，连接EF交AD于 点P.若AB=4,AE=3,则AP的长等于 7题图 温馨提示 请完成《精练本1》P76 5题图 见此业图廊合抖音微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧◆。35 数学·精讲本 第17讲全等三角形 《考点梳理·夯基础》 答案P75 专点○全等三角形的性质与判定 续表 1.定义：能够1 的两个三角形叫做全等三 判定方法 图形 几何语言 角形 两角分别相等且其 2.性质 ∠C=∠F, 中一组等角的对边 ∠A=∠D (1)全等三角形的对应边2 ,全等三角 相等的两个三角形 LAB=DE, 形的对应角相等。 全等，简写为⑨ ·.△ABC≌△DEF (2)全等三角形的周长3 面积4 斜边和一条直角边 [AB=DE, (3)全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中 对应相等的两个直 AC=DF, 位线都⑤ 角三角形全等，简 Rt△ABC≌ Rt△DEF 3.判定方法 写为四 提分点拨 判定方法 图形 几何语言 ①“AAA”和“SSA”不能判定两个三角形全等. .AB=DE, 三边分别相等的两 D ②“HL”是判定两个直角三角形全等的特有方 BC=EF, 个三角形全等，简 法，对于一般三角形不适用， 写为⑥ CE从 LAC=DF, ∴.△ABC≌△DEF 4.证明两个三角形全等的思路 两边及其夹角分别 .AB=DE, 找夹角→SAS 相等的两个三角形 ∠B=∠E, (1)已知两边{找直角→HL 全等，简写为☑ LBC=EF, 找第三边→SSS △ABC≌△DEF ,边为角的对边→找另一角→AAS 两角及其夹边分别 ∠A=∠D, 已知一边 r找夹角的另一边→SAS (2) 相等的两个三角形 AB=DE, 和一角 边为角找夹边的另一角一ASA 全等，简写为8 ∠B=∠E, 的邻边找边的对角一AAS △ABC≌△DEF (3)已知两角 找夹边→ASA 找其中一角的对边→AAS 答案75 《实战演练·品方法》 例如图，在矩形ABCD中，AB=8cm,AD=12cm, 例2如图，在△ABC中，AB=AC=16cm,∠B= 点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点 ∠C,BC=10cm,点D为AB的中点，如果点P在 线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动， C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发， 同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.当 以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D △BPD与△CQP全等时，点Q的运动速度可能 停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动 为 cm/s. 点也随之停止运动，当v为 时，△ABP 与△PCQ全等. 例2题图 温馨提示 例1题图 请完成《精练本1》P79-84。 36 见此图顺合抖音/微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧