第19讲 锐角三角函数及其应用&微专题7 解直角三角形的实际应用的常考模型(课本梳理精讲)-【中考123】2026年中考一轮总复习数学（绥化市专版）

第四章三角形 第19讲 锐角三角函数及其应用 《考点梳理·夯基础》 答案P76 专点①锐角三角函数的概念 续表 1.定义：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则 已知条件 图形 解法 ∠A的正弦：sinA= ∠A的对边=□ c=√a2+b,由tanA 斜边 已知两直角边 ∠A的余弦：c0sA=∠4的邻边=2 (如a,b) =名求出∠A,∠B= 斜边 90°-∠A b ∠A的正切：tanA= ∠A的对边=B 已知斜边和 B b=√c2-a2,由sinA ∠A的邻边 条直角边 =a求出∠A,LB= c (如c,a) 90°-∠A 专点③锐角三角函数的实际应用 2.特殊角的三角函数值 1.仰角与俯角 0300号 sin450=2 如图，在视线与水平线所成的锐角中，视线 sin60°=￥3 2 在水平线上方的角叫⑥ ,视线在水平线 09 c0s450=2 c0s60°=2 下方的角叫⑦ ,视线 铅 tan30°= tan 45=1 垂 3 tan60°=√3 水平线 视线 考点②解直角三角形 2.坡度与坡角 1.直角三角形的边角关系 如图，坡面的铅直高度h和水平宽度1的比 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边 叫坡度（坡比），用字母i表示；坡面与水平线的 分别为a,b,c. (1)三边之间的关系：④ (勾股定理). 夹角a叫坡角，i=ana=,坡角越大，坡度越 (2)两锐角之间的关系： 大，坡面越⑧ (3)边角间关系：nA=osB=名；osA=sinB =b;tan A=4 itan B=b 3.方向角（又称方位角） 2.解直角三角形的几种常见类型及解法 般指以观测者的位置为中心，将正北或正 南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成 已知条件 图形 解法 的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东 ∠B=90°-∠A,c= 已知一直角边 (西)××度.例如：如图，A点位于0点的北偏 和一个锐角 品Ab=(或6= a 东30°方向，B点位于0点的南偏东60°方向， (如a,∠A) C点位于0点的北偏西45方向（或西北方向） √2-a) 北 b 已知斜边和一 ch B ∠B=90°-∠A,a=c 个锐角 ·sinA,b=c·cosA 0 (如c,∠A) (或b=√c-a2) 见业图号抖音微信扫屑对话中考复习助手考点攻克提分无忧、◆ e43 R 数学·精讲本 《实战演练·品方法》 答案P76 例（荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A,B分 例2（连云港）如图，在6×6的正方形网格中， 别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上， △ABC的顶点A,B,C都在网格线上，且都是小 OC:BC=1:2,连接AC,过点O作OP∥AB交AC 正方形边的中点，则sin∠CAB= 的延长线于点P.若P(1,1),则tan∠OAP的 值是 例2题图 例1题图 4.13 B② D.3 温馨提示 3 请完成《精练本1》P91-961 微专题7 解直角三角形的实际应用的常考模型 [答案P76] 模型○)背靠背型 请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据， 并利用你选择的数据计算出建筑物AB的高度. 模型 通过在三角形内作高，构造两个直角三角形，其 分析 中公共边（高）是解题的关键 (结果精确到0.1m.参考数据：sin67°≈0.92， cos67°≈0.39，tan67°≈2.36，sin22°≈0.37， 基础图形 图形演变一 图形演变二 cos22°≈0.93，tan22°≈0.40) 图示 CD是公共 CD是公共 CD=EF,CE= 边，CE=DA, 总结 边，AB=AD+ DF,AB AD+ CD =EA,BA BD CE+FB 1题图 BD DA 对应训练 1.如图，某数学活动小组要测量建筑物AB的高 度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测 量结果如下表 测量项目 测量数据 测角仪到地面的距离 CD=1.6 m 点D到建筑物的距离 BD=4 m 从C处观测建筑物顶部A的仰角 ∠ACE=67° 从C处观测建筑物底部B的俯角 ∠BCE=22° 见此图廊合抖音/微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 第四章三角形 02 2.如图，小亮在大楼AD的观光电梯中的E点测得4.某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜 大楼BC楼底C点的俯角为60°，此时他距地面 坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B 的高度AE为21米，电梯再上升9米到达D点， 处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB 此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为45°，求大 的坡度为i=1:2.4,点A到大楼的距离AD为 楼BC的高度（结果保留根号）. 72米，求大楼的高度CD.参考数据：sin53°≈ 号，es53°=子，m53=号） 4 60 B A=1:2.4 2题图 D 模型日母子型 4题图 模型 通过在三角形外作高，构造有公共直角的两个三 分析 角形，其中公共边（高）是解题的关键 基础 模型但拥抱型 图形 模型 若两个直角三角形有一条公共边，则分别解两个 AD是公共边，AD=AC-CD 分析 直角三角形，其中公共边是解题的关键 基础图形 图形演变一 图形演变二 图形 演变 图示 矩形AEFC→AC=EF, EC-BC=BE AE =CF,BF=BC CF BE B C(PE =BC+AE AB GE,AG BF FE CE 总结 BC为公共边 BE,BC CE =BC BD) AG,AB+DG=DE 图形 对应训练 演变 5.如图，小明沿着马路自东向西前行，当他位于A 二 矩形BCGF→BC=FG, 矩形BCGF→BC=FG, BF=CG,∴.EF+BC= 处时，发现大厦P位于他的正北方向，医院Q位 BF=CG,∴AC+BF= EG,BD DF BF,AC 于他的北偏西63.5°方向，当他前行300米到达 AG.EF+BC=EG +BD+DF=AG B处时，发现大厦P位于他的东北方向，医院Q 对应训练 位于他的正北方向，求医院与大厦的直线距离有 3.如图，运载火箭从地面0处发射，当火箭到达点 多远？（结果保留整数，参考数据：√2≈1.414， A时，地面D处的雷达站测得AD=4000米，仰 √3≈1.732,5≈2.236，sin63.5°≈0.89， 角为30°，3秒后，火箭直线上升到达点B处，此 tan63.5°≈2.00) 时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°.已 知C,D两处相距460米，求火箭从A到B处的 平均速度.（结果精确到1米/秒，参考数据：√3 ≈1.732,2≈1.414) 5题图 0 D 温馨提示 3题图 请完成《精练本1》P92-93， 见此业图廊合抖音微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧◆。45数学·精讲本 5.证明：.AE⊥AD,.∴.∠DAE=∠DAC+∠CAE=90° 又：∠BAC=∠DAC+∠BAD=90°，.∠BAD=∠CAE, (32-6)2 4 rAB=AC. 3 32-6,故答案为35-6 在△ABD和△ACE中，{∠BAD=∠CAE, 6 LAD =AE 微专题6相似三角形的常考模型 .·.△ABD△ACE(SAS). 10 6.证明：.·四边形ABCD是正方形， 2103A45-156A7.68☑ .∴.AB=AD,∠BAF+∠DAE=90° ·.·DE⊥AG,.∠DAE+∠ADE=90°，∴.∠ADE=∠BAF. 9(1)aD=CE(2)CE=万AD1011=4S BF∥DE,∴.∠BFA=∠AED=90°，.△ABF≌△DAE, .'BF=AE,..AF-BF =AF -AE EF. 第19讲锐角三角函数及其应用 7.(1)证明：：∠B+∠BDE+∠BED=180° 【考点梳理·夯基础】 ∠DEF+∠FEC+∠BED=180°，∠B=LDEF=60°， 四：回：图÷ ④a2+b=c2⑤∠A+∠B=90° .∠BDE=∠CEF c r∠B=∠C, ⑥仰角⑦俯角⑧陡 (2)解：在△BDE和△CEF中， BD=CE, 【实战演练·品方法】 L∠BDE=∠CEF. 例1C .∴.△BDE≌△CEF(ASA),∴.DE=EF 4 DE=3,EF=3. 例25 [解析]如答图，过点C作CE1 8.89.2 AB于点E,则CE=4,AE=3,∴.AC= 10.证明：如答图，把△ACF绕点A顺 A E:B 时针旋转90°得到△ABG,连接 √AE+CE=5,∴sinLCAB=9g=4. AC=5· 例2题答图 EG.由旋转的性质可得△ACF≌G: △ABG, 微专题7解直角三角形的实际应用的常考模型 .∴.AF=AG,CF=BG 1.解：选取CD=1.6m,BD=4m,∠ACE=67°..·CD⊥BD ∠ACF=∠ABG=45 B 10题答图 AB⊥BD,CE⊥AB,.∠ABD=∠D=∠BEC=90°，.四边 ∴LBAC=90°，∠GAF=90°，.LGAE=∠EAF=45 形BDCE为矩形，∴.CE=BD=4,BE=CD=1.6,在 rAG=AF 在△AEG和△AEF中，{∠GAE=∠FAE, R△ACE中，tan LACE=C,AE=CE·tan∠AcE=4× AE=AE tan67°≈4×2.36=9.44，AB=AE+BE=9.44+1.6= '.△AEG≌△AEF(SAS),.EG=EF 11.04≈11.0(m). :∠GBE=90°，∴.BE2+BG2=EG2,即BE2+CF2=EF2 答：建筑物AB的高度约为11.0m 第18讲相似三角形（含位似） 2.解：过D作DH⊥BC于点H,过E作EG⊥BC于点G.由 【考点梳理·夯基础】 题意得，∠BDH=45°，∠CEG=60°，AE=21米，DE= 卫对应角②成比例③相似比④相似比 固相似比的平方⑥相等⑦对应边⑧相似比 9米.在Rt△CEG中，CG=AE=21米，tanLCEG-C EG 实战演练·品方法】 例1B ..EG= CG。=21=75(米)，DH=EG=73(米). an60=3 例2 3V2-6 6 [解析]连接AD,如 在Rt△BDH中，∠BDH=45°，∴.BH=DH=73(米)， 答图..·将AC绕着点C按顺时针 .BC=CG+HG+BH=CG+DE +BH=21+9+73= 旋转60°得到CD,.AC=CD, (30+73)米. ∴△ACD是等边三角形，∴.AC=AD =CD,∠ADC=∠CAD=60°，设AC 答：大楼BC的高度是(30+7√3)米 =AD=CD=a,则AB=AC=a,取 例2题答图 3.解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意 AC的中点H,连接DH,.∴.AH=CH= 2AC=1 a,∠AHD 可知，AB=3x,在Rt△AD0中，∠AD0=30°，AD=4000, ∴.A0=2000,.D0=2000W5.CD=460,∴.0C=0D- =90,DH=52 1 )a.设AE=x,则EH=AH-AE= 2a-x. CD=2000W3-460,在Rt△B0C中，∠BC0=45°，.∴.B0= ∠BAC=90°，∠BAE=∠DHE.∠AEB=∠HED, 0C..0B=0A+AB=2000+3x,∴，2000+3x=2000,3 -460,解得x≈335. ∴△MBB△ED,能-品 2a-x ,解得x 答：火箭从A到B处的平均速度约为335米/秒 22 4.解：过点B作BE⊥AD于点E,BF⊥CD于点F..:CD⊥ AD,.四边形BEDF是矩形，∴.FD=BE,FB=DE,在 =(2-√3)a,即AE=(2-√3)a,.EH=AH-AE= Rt△ABE中，BE:AE=1:2.4=5:12,设BE=5x,AE=12x, 29 根据勾股定理，得AB=13x,∴.13x=52,解得x=4,∴.BE x人 2a-(2-3)a=232-3a,.DE2=3(2-3)2, FD=5x=20,AE =12x =48,..DE FB=AD-AE =72 -48=24,∴.在Rt△CBF中，CF=FB·tan∠CBF≈24× AE AE (2-5)2a2 2-3-6-33 3 =32,∴.CD=FD+CF≈20+32=52（米）. ED ED2W3(2-√5)a2 3 答：大楼的高度CD约为52米. /24-125 /18-125+6 /(32)2-2x32x6+(6)1 5.解：过Q作QC⊥AP于C,由题意知，QB⊥AB,PA⊥AB, 4 4 ∠PAQ=63.5°，∠ABP=45°，AB=300,∴.∠BAP=∠ABQ =90°，∴.AP∥BQ,∴.四边形ACQB是矩形，.∠AQB= ∠PAQ=63.5°，AC=BQ,CQ=AB=300,在Rt△ABP中， 160 见业此图恢合抖音/微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧 参考答案与解析 ∠ABP=45°，.PA=AB=300,在Rt△ABQ中，tan63.5°= 第24讲 与圆有关的计算 g,.BQ=390=150,∴.PC=150,.P0=VCQ2+Pc= 【考点梳理·夯基础 1505≈335（米）. ☑πR 6 或2刷 3π2 ④2mr ⑤360， 180 答：医院与大厦的直线距离约有335米 ⑥27弧长 第五章四边形 【实战演练·品方法】 第20讲平行四边形与多边形 例1B例2C 【考点梳理·夯基础】 微专题10与圆有关的阴影部分面积的计算 四相等②相等③互补④互相平分⑤中心 ⑥平行⑦相等⑧平行且相等回相等四互相平分 π2.A3.C 1.2 455-受5号+96B7智 4.2 2 回首尾顺次四(n-2)×180°3360° 【实战演练·品方法】 8.2 3 9.π3 号-1011.-分12m-4 例1D例29⑩ 第七章图形的变化 50 第21讲 特殊的平行四边形 第25讲尺规作图与无刻度直尺作图 【考点梳理·夯基础】 【考点梳理·夯基础】 1直角2互相平分且相等3直角4直角 固相等 四适当长 ⑥相等 ⑦互相垂直且平分⑧相等回相等四垂直 回大于2MN的长图∠AOB的内部 皿相等。2直角3相等4平行四边形5矩形 回矩形☑菱形⑧菱形四四边形 ④大于AB的长固直线MN回适当长 【重难研析·理要点】 ☑大于2AB的长图PM长回大于分B的长为半径 典例2或5-√3 安好 【重难研析·理要点】 跟踪训练 典例A 第六章圆 跟踪训练 D 第22讲圆的基本性质 第26讲 视图与投影 【考点梳理·夯基础】 【考点梳理·夯基础】 四圆2圆心③半径④直径⑤优弧⑥劣弧 T由左向右②实线 ③虚线④正方形 5长方形 ☑圆心⑧圆⑨中心对称四圆心回相等四弦 6扇形7三角形 3相等四一半固相等6直角7直径8平分 【实战演练·品方法】 四三个顶点20互补四180° 22∠A 例1B例2C 【实战演练·品方法】 第27讲 图形的对称与折叠 例1B例2B 【考点梳理·夯基础】 第23讲 与圆有关的位置关系 工（成轴）对称2对称轴3轴对称图形 ④对称轴 【考点梳理·夯基础】 ⑤垂直平分 ⑥对称轴⑦全等⑧相等⑨相等 ①>②=3<④<⑤= 6> ⑦垂直 ⑧1 0中心对称 回对称中心回中心对称图形 9垂直0等于 【实战演练·品方法】 【重难研析·理要点】 例1A 例29 典例A 微专题11 几何图形的折叠问题 跟踪训练√2 方法指导 微专题8圆中常见辅助线的作法 (2)AD AG FD∠D∠DAG四边形FDAG(3)AE 1.C2.53.52°4.2 (4).∠AGF 5.证明：(1)连接0B,如答图. 1.2.5或102. 5 3.1.5或2.5 .OB=OC,∴.∠OCB=∠OBC AC是⊙0的直径，∴.∠CBA=90 4.4-25或25-2 ∴.∠CAB+∠OCB=90° 第28讲 图形的平移与旋转 .·∠CBD=∠CAB, 【考点梳理·夯基础】 D .∴.∠CBD+∠OCB=90° □距离②相等③相等④全等⑤旋转角度 5题答图 .∴.∠CBD+∠OBC=90° 6相等 ☑旋转角⑧全等 ⑨(x,y±n)0(x,-y) .∴.∠OBD=90°，∴.PD是⊙O的切线： 【实战演练·品方法】 (2)由(1)知PD是⊙0的切线，直线PA与⊙0相切. 例1D ∴.P0垂直平分AB,∴.∠AMP=∠AM0=90°， 例290°，180°或270° [解析]如答 ∴.∠APM+∠PAM=90°. 图，连接AC,取BC的中点E,连接 ∠OAP=90°，∴.∠PAM+∠OAM=90°， AE,则BE=CE=AB.又.·∠ABE= 六∠APM=LOAM,.△OAM∽△APM,A=OM 60°，∴.△ABE是等边三角形，∴.AEB PMAM' =BE=CE,∴.点A在以点E为圆心 例2题答图 .∴.AM=OM·PM 的圆上且BC为该圆的直径，∴.∠BAC=90°（依据：直径 6.5√2 所对的圆周角为90)，又：AB∥CD,∴.∠ACD=∠BAC 微专题9辅助圆问题 =90°.AP=AB,.点P在以点A为圆心，AB为半径的 圆上运动.讨论如下： 1.B2.13-23.2+14.√5-15.26.24+43 见此图师号抖音微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧◆。乃