第三章 函数-（课本精讲梳理）-【中考123】2026年中考一轮总复习数学（吉林专版）

第三章函数 第三章 函数 第9讲 平面直角坐标系及函数 答案74 《考点梳理·夯基础》 考点⑦各象限的点的坐标特征 专点⑤平面直角坐标系中对称点的坐标特征 图示： 回 (1)P(a,b) (+,+) 关于x轴对称P'(a,-b) 第二象限 第一象限 (2)P(a,b) 关于y轴对称 P'(-a,b); 0 x (,-) ② 关于原点对称 (3)P(a,b) P'(-a,-b) 第三象限 第四象限 提分点拨 (1)第一象限：横坐标3 0,纵坐标④ 关于谁(x轴或y轴)对称谁不变，另一个 0; (2)第二象限：横坐标<0，纵坐标>0； 变号，关于原点对称都变号。 (3)第三象限：横坐标⑤ 0,纵坐标⑥ 拓展延伸> 0 ①，点(a,b)关于直线x=m对称的，点的坐标为 (4)第四象限：横坐标>0，纵坐标<0. 考点②坐标轴上的点的坐标特征 (2m-a,b); 图示： ②，点(a,b)关于直线y=n对称的，点的坐标为 M (a,2n-b); OM ③中，点坐标公式：若A(a,b),B(c,d)为坐标系 (1)x轴上点M1的纵坐标为0； 中任意两点，则线段AB的中点坐标为 (2)y轴上点M2的横坐标为0； (3)原点0的坐标为(0,0). a+c b+d 考点③)各象限角平分线上的点的坐标特征 2’2 图示： y 耆点⑥点平移的坐标特征 A2(x2,y2) 点P的坐标 平移方式 平移后点P'的坐标 口诀 向左平移 (1)点A(x1,y1)在第一、三象限角平分线上，则x1 a个单位 (x-a,y) 左右平移 横坐标： =y1; 向右平移 (2)点A2(x2,y2)在第二、四象限角平分线上，则x2 (x+a,y) 左减右加 a个单位 =-y2 (x,y) 向上平移 考点④与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征 b个单位 (x,y+b) 上下平移 图示： 纵坐标： 向下平移 上加下减 b个单位 (x,y-b) 0 遗点⑦点到坐标轴及点到点之间的距离 (1)平行于x轴的直线(1上的点的☑ 坐 (1)如图①，点P(a,b)到x轴的距离为⑨ 标相等； (2)平行于y轴的直线L2上的点的⑧ 坐 到y轴的距离为四 到原点的距离为 标相等 回 见此业图标抖音微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧◆。15 忽R 数学·精讲本 图示： 专点⑧函数的概念 P(a.b) 般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 l:y=b- Pi(x1,b) P2(x2,b) x和y,并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一 0 0 确定的值与其对应，那么我们称y是x的函数，其 图① 图② 中，x是自变量，y是因变量. (2)如图②，在x轴(y=0)或平行于x轴的直线l:y 一常见问题> =b(b≠0)上的两点P1(x1,b),P2(x2,b)间的 判断正误：若y是x的函数，则函数图象可以同 距离为x1一x2; 时过(1,2)和(1,3)两个，点.(3 )(填 (3)如图③，在y轴(x=0)或平行于y轴的直线l:x “x”或“V”) =a(a≠0)上的两点P1(a,y1),P2(a,y2)间的 距离为y1-y2. 者点©)函数的表示方法及画法 图示： (1)表示方法：列表法、4 图象法； ty lx=a y P(ab) 4 (2)画法：列表→描点→连线， Px1y） iP (ay 、 考点⊙函数自变量的取值范围 =m +P,(a.y) C P(x1y2） P2(x2,y2) 函数表达式的形式 自变量的取值范围 注：在实际 图③ 图④ 图⑤ 含有分式，y=3 -2 固 问题中，自 拓展延伸>一 变量的取 ①如图④，点P(a,b)到平行于x轴的直线y= 含有二次根式，y=√： 西 值范围应 m的距离为|b-ml,点P(a,b)到平行于y轴 含有分式 y= 7 使该问题 的直线x=n的距离为la-nl; x-1 与二次根 有实际 ②如图⑤，已知坐标平面内任意两点P1（x1, Y= 8 意义 y1),P2（x2,y2),则PP2=√PP+PP 函数值：y是x的函数，如果当x=a时，y=b, 2 那么b叫做当自变量的值为a时的函数值 答案P74 《实战演练·品方法》 例（甘肃）如图①，在菱形ABCD中，∠A=60°， 例2如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的 动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向 顶点坐标分别是0(0,0)，A(1,0),B(2,3), 匀速运动，运动到点B停止.设点P的运动路程 C(-1,2),若四边形OA'B'C'与四边形OABC关 为x,△APB的面积为y,y与x的函数图象如图 于原点O位似，且四边形OA'B'C'的面积是四边 ②所示，则AB的长为 形OABC面积的4倍，则第一象限内点B'的坐标 为 例1题图① 例1题图② A.3 B.23 C.33 D.43 例2题图 温馨提示 请完成《精练本1》P37-39 160 见此图廊合抖音/微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧 第三章函数 第10讲一次函数及其应用 《考点梳理·夯基础》 答案74 考点①一次函数的图象与性质 3.一次函数图象的平移（口诀：左加右减，上加 1.一次函数的概念 下减) 般地，形如y=x+b(k,b是常数，□ (1)直线y=kx+b向左平移m(m>0)个单位长 )的函数，叫做一次函数.特别地，当b= 度得到直线6 2 时，y=x(k为常数，k≠0)叫做正比 例函数， (2)直线y=k+b向右平移m(m>0)个单位长 2.一次函数的图象与性质 度得到直线⑦ 一次函数y=x+b(k,b是常数，k≠0)的图象 (3)直线y=x+b向上平移m(m>0)个单位长 是一条经过点(0,3③ ),(④ ,0)的 度得到直线⑧ 直线.正比例函数y=x(k为常数，k≠0)的图象 是一条经过原点的直线。 (4)直线y=kx+b向下平移m(m>0)个单位长 y=kx+b 度得到直线⑨ b>0 b<0 b=0 (k≠0) 提分点拨 一次函数图象平移前后飞值不变， 4.求交点坐标 k>0 (1)与x轴的交点坐标→令y=0,求出对应的x 经过第一、 经过第一、 经过第一、 二、三象限 三、四象限 三象限 值，即与x轴的交点坐标为回 (2)与y轴的交点坐标→令x=0,求出对应的y 值，即与y轴的交点坐标为(0，b). k<0 (3)两个一次函数图象的交点坐标→联立两个 经过第一 经过第二、 经过第二、 二、四象限 三、四象限 四象限 函数关系式解方程组即可， 5.一次函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积 提分点拨 ①k决定函数图象的走向： (1)一条直线与两个坐标轴围成的三角形的面 k>0,函数图象从左向右呈上升趋势，y随x 积，如图①，S。m=20A·0B=71x,1· 的增大而增大； k<0,函数图象从左向右呈下降趋势，y随x Iygl. 的增大而⑤ ②b决定图象与y轴的交点位置： b>0,交y轴于正半轴；b<0,交y轴于负半 轴；b=0,交于原点 图① 见业图号抖倍微信扫屑对话中考复习助手考点攻克提分无忧、◆ ③R 数学·精讲本 (2)两条直线与一个坐标轴围成的三角形的 (3)两条直线的位置关系与二元一次方程组 面积： 的解： ①与x轴围成的三角形的面积，如图②， 已知关于x,y的二元一次方程组 SA=2BGADy: ry=h1x+b1, ②与y轴围成的三角形的面积，如图③， y=h2x+b2. S=2BCAD=2ya-ll ①该方程组有唯一的解台直线y=kx+b1 与直线y=k2x+b2相交台k1≠k2; B ②该方程组无解台直线y=k1x+b1与直线y =k2x+b2平行台k1=k2,b1≠b2; 7B0DC ③该方程组有无数个解台直线y=k,x+b1 图② 图③ 与y=k2x+b2重合曰k1=k2,b1=b2: 考点②一次函数解析式的确定 2.一次函数与一元一次不等式的关系 1.常用方法：待定系数法 (1)一次函数y=x+b位于x轴上方的图象对 2.一般步骤 应的自变量x的取值范围台不等式kx+b> (1)设：设出一次函数解析式y=kx+b(k≠0)； 0的解集 (2)列：找出函数图象上的两个点，代入y=x+ b中，得到二元一次方程组； (2)一次函数y=kx+b位于x轴下方的图象对 (3)解：解这个二元一次方程组，得到k,b的值； 应的自变量x的取值范围不等式x+b< (4)还原：将所求的飞，b的值代入所设的函数解 0的解集 析式中即可. (3)当两个一次函数的图象有交点时，联立两个 一提分点拨 函数解析式组成方程组，求出交点坐标，再 对于正比例函数y=x(k≠0)，找出函数 图象上的一，点（非原点），求出飞的值即可确定 根据交点两侧函数图象的位置关系来确定 解析式。 不等式的解集， 考点③一次函数与方程（组）、一元一次不等式的关系 考点④一次函数的实际应用 利用一次函数解决实际问题的一般步骤： 1.一次函数与方程（组）的关系 (1)一次函数y=c+b的图象与x轴交点的横 (1)设出实际问题中的变量； 坐标曰方程x+b=0的解. (2)列出一次函数的解析式； (2)一次函数y=x+b与y=k1x+b1的图象交 (3)确定自变量的取值范围； y=kx+b, (4)利用函数性质解决问题； 点的横、纵坐标方程组 的解 y=k x+b (5)检验所求解是否符合题意并作答 69 见此图恢二抖音/微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧 第三章函数 《重难研析·理要点》 答案P74 重难京。一次函数的应用 中巩固训练链接至《精练本1》P46T10>2 典例（齐齐哈尔）在一条笔直的公路上有A,B两地，甲、乙二 人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻 以原速度沿原路返回A地.乙从B地步行匀速前往A地 (甲、乙二人到达A地后均停止运动)，甲、乙二人之间的距 离y(米)与出发时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，请 结合图象解答下列问题： 思维导 (1)A,B两地之间的距离是 米，乙的步行速度是 (1)利用函数图象中的信息直接得到A,B 米/分钟； (2)图中a= ,b= 两地之间距离，再利用函数图象中的信息， (3)求线段MN的函数解析式； 即可求得乙的步行速度； (2)利用(1)的结论通过计算即可得出结论； (3)利用待定系数法解答即可； (4)在乙运动的过程中，何时两人相距80米？（直接写出答 (4)利用分类讨论的方法，分别求得相遇 案即可) 前和相遇后两人相距80米时的时间即可 3y/米 求得结论 1200 60 Px分钟 跟踪训练 →>》 已知甲、乙两地相距480k,一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地 前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km.货车 继续出发号h后与出租车相遇.出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地， 如图是两车距各自出发地的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图象，结合图象回答下列 问题： (1)图中a的值是 (2)求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关 系式； (3)直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km. 480L 温馨提示 请完成《精练本1》P40-48 见此图标号抖音微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 19 数学·精讲本 第11讲 反比例函数 《考点梳理·夯基础》 答案P74 考点①反比例函数的概念 2.与双曲线上的点有关的问题.详见本讲册P22微 1.概念：一般地，形如y=(k为常数，k≠0)的函 专题1. 考点④反比例函数解析式的确定 数，叫做反比例函数.其中x是自变量，y是函 数.自变量x的取值范围是不等于工 的 1.用待定系数法确定反比例函数的解析式 一切实数. 设：设反比例函数的解析式为y=产（(k≠0)： 2.表示形式：①y=车：②='：③灯=k(为常 二列：找出图象上的一点P(a,b)代入y=(k 数，k≠0) ≠0)，得到关于k的方程； 考点②反比例函数的图象与性质 三解：解方程，求出k的值； ysk k② 0 k☒ 四代：将求出的飞值代入所设解析式中，得到所 (k≠0) 求反比例函数的解析式 2.利用k的几何意义确定反比例函数的解析式 图象 当题中已知面积时，考虑用k的几何意义解 题.由面积得1，再结合函数图象所在象限确定 k的正负，从而得出k的值，代入所设解析式 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 即可。 在每一个象限内，y 在每一个象限内，y 随x的增大而④ 随x的增大而固 考点⑤反比例函数的实际应用 增减性 ,且第一象限 ,且第二象限 1.反比例函数实际应用题的解题方法 的y值大于第三象 的y值大于第四象 (1)分析实际问题中变量之间的关系； 限的y值 限的y值 (2)建立反比例函数模型； 图象特征 反比例函数的图象是双曲线，无限接近坐标 轴，但不与坐标轴相交 (3)用反比例函数的知识解答，注意利用反比例 1.双曲线关于直线y=x,y=-x成轴对称. 函数两变量之积是定值的性质，算出定值. 2.双曲线关于6 成中心对称. 对称性 2.反比例函数常见应用 注：正比例函数与反比例函数图象的 两个交点关于原点对称 (1)路程(s)一定，速度()和时间(0)：= 考点③)反比例函数解析式中k的几何意义 (2)矩形面积(S)一定，长(y)和宽(x):y= S 1.k的几何意义：如图，过反比例函数图象上任一 点P(x,y)作x轴、y轴的垂线PM,PV,则 (3)电压(U)一定，电流()与电盟()：1-只： S矩形PwoN=PV·PM=Ixl·lyl=Ikl. (4)压力(F)一定，压强(p)与受力面积(S): S 20 见业图标合抖音/微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无忧 第三章函数 22 《重难研析·理要点》 答案74 重难点。反比例函数图象及性质 +巩固训练链接至《精练本1》P54T14>》2 典例 如图，点A在反比例函数y=左(x>0)的图象上，AB1 y轴于点B,aLA0B=7,AB=2 思维导印 (1)求反比例函数的解析式； (1)根据锐角三角函数求出OB,进而求出 点A坐标，最后用待定系数法即可求出k; (2)点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于：(2)过A作AF⊥x轴于F,求出点D坐标， 点D,且∠AD0=45°，求点C的坐标. 进而求出直线AC的解析式，最后联立双 曲线解析式求解，求出点C坐标 跟踪训练 >> 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点，与反比例函数 y兰的图象在第二象限交于C,D(-6,2)两点，DE∥0C交：轴于点E,若2-了 (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求四边形OCDE的面积. 温馨提示 请完成《精练本1》P49-54 见图酶合抖音微信扫丽对话中考复习助手考点攻克提分无忧令。2头 R 数学·精讲本 微专题1与双曲线上的点有关的问题 [答案P74] 类型©)单支曲线上一点 3.如图，点A在反比例函数y=(x>0)的图象 点一垂线 点两垂线（及变形） 上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点 y 图示 C若C-,△40B的面积为6，则k的值为 0 类型日单支曲线上两点 SAAED=S△AOD S矩形AOCB=kl 两点一原点（及变形） 结论 SAAOB SAABC 注：当四边形AOCB为平 1l 行四边形、菱形、正方形 图示 2 时，结论仍成立 M 点一原点 0 0■ D S四边形OEBF= S△AOB=S四边形ABCD 结论 S1=S2 图示 S矩形OABC- S△OBM=S因边形McDA 对应训练 0 子 4.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在 结论 -OA·1xB SAAOC= x轴正半轴上，其中∠OAB=90°，AO=AB,点C 为斜边OB的中点，反比例函数y=(飞>0，x> 对应训练 1.(易错题)如图，AB⊥OA于点A,AB交反比例函 O)的图象过点C且交线段AB于点D,连接CD, 数了=兰（(x<0)的图象于点C,且ACBC=1:3, 0D,若SAcD= ，则k的值为 若S△A0B=4,则k= A.3 B C.2 D.1 4题图 1题图 A.4 B.-4 C.2 D.-2 5.如图，反比例函数y=(x>0)经过A,B两点， 2,如图，点4是反比例函数y=产(x>0)图象上 过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作BDLy轴 点，过点A作两坐标轴的平行线，分别交x轴、 于点D,过点B作BE⊥x轴于点E,连接AD.已 y轴于点B,C,连接BC,若SAARG=6,则k的值 知AC=1,BE=1,S矩形BDoE=4,则S△ACD= 为 D 2题图 3题图 5题图 220 见此图顺已抖音/微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无忧 第三章函数 类型（目双曲线上两点 8.如图，正比例函数y=-x与反比例函数y=-6 两点一垂线（三角形一边过原点） 的图象交于A,C两点，过点A作AB⊥x轴于 点B,过点C作CD⊥x轴于点D,则△ABD的面 图示 积为 结论 S△ABM=Ikl 两点两垂线（三角形一边过原点）》 8题图 图示 类型回两条曲线上两点 两点所在的直线平行于坐标轴 Y 结论 SAAPP =21kl SOABCD=21kl 图示 x A 两点（三角形三边不过原点）》 0 D Cx 图示 结论 S矩形ABCD=1k1一片2 Ik I Ik2 I SAABC=S△A0B= 2+ 2 对应训练> SAABD SAADE +SABDE SAAOB=SAM0c+S△B0c 9.如图，点A在双曲线y=4上，点B在双曲线 结论 DE·Iya-ya↓ 2 2 OC·lxA-x8 y=上，且AB/x轴，点C,D在x轴上，若四边 对应训练 形ABCD为矩形，则它的面积为 () 6.如图，正比例函数y=x与反比例函数y=4的图 A.4 B.6 C.8 D.12 象相交于A,C两点，过点A作x轴的垂线交x轴 12 AIP\B 于点B,连接BC,则△ABC的面积等于( A.8 B.6 C.4 D.2 CO 9题图 10题图 10.如图，过y轴上任意一点P作x轴的平行线，分 别交反比例函数y=-4和)y=2的图象于点A 6题图 7题图 和点B,若C为x轴上任意一点，连接AC,BC, 7.如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数 则△ABC的面积为 y=-5的图象相交于点A(-1,m),B(n,-1) 温馨提示 两点，则△AOB的面积为 请完成《精练本1》P51-52 见此图师号抖音微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧◆。23 数学·精讲本 第12讲 二次函数的图象与性质 《考点梳理·夯基础》 答案P75 考点①二次函数的图象与性质 拓展延伸 根据二次函数图象判断含有a,b,c的代数 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0) 式与0的关系 2a +b 直线x=会 b与1比较 2 称 注：还可以利用x= 名+西(x1,西为纵坐 2a -b b与-1比较 2 2a 标相等的两个点对应的横坐标) a+b+c 令x=1,看纵坐标 顶点 坐标 (四 ,2 a-b+c 令x=-1,看纵坐标 4a +26+c 令x=2,看纵坐标 a>0时，在对称轴 4a-26+c 左侧，y随x的增 a<0时，在对称轴左 令x=-2,看纵坐标 性质 增减性 大而3 侧，y随x的增大而 ； 在对称轴右侧，y ④ ;在对称 考点②二次函数解析式的确定 随x的增大而 轴右侧，y随x的增 已知条件 增大 大而减小 常设解析式 抛物线上任意三点 般式：y=ax2+bx+c(a≠0) a>0时，y有最⑤ a<0时，y有最☑ 与x轴的两个交点+ 值，此时 值，此时x= 任意一点 交点式：y=a(x-x1）(x-x2) 最值 x=- 2ay=⑥ b a,y=⑧ 与x轴的一个交点+ (a≠0) 对称轴+任意一点 顶点+任意一点 a(决定 a>0 开口向上 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)》 对称轴+最值+任意一点 开口 方向) a<0 开口向下 考点③二次函数的平移 b=0 对称轴为y轴 1.基本步骤 a,b(决 b (1)将二次函数的解析式转化为顶点式y=α(x 2a <0,即a,b 对称轴在y轴⑨ 定对 -h)2+k,确定顶点坐标； 侧 称轴 同号 (2)保持二次函数图象的形状不变，平移其顶点 b 位置) >0,即a,b 对称轴在y轴画 坐标即可. 2a 侧 2.平移规律 图象 异号 平移前的 平移后的 记忆 与系 c=0 抛物线过原点 解析式 平移方向 平移规律 解析式 口诀 数的 c(决定 关系 抛物线与y轴交于 与y轴 c>0 向左平移 正半轴 m个单位 y=a(x-h 交点 长度 左右平移 +m)2+k 左加 位置) 抛物线与y轴交于 c<0 向右平移 变x 负半轴 m个单位 y=a(x-h 右减 长度 -m)2+k y=a(x- b2-4ac 与x轴有一个交点 b2-4ac=0 h)2+k (决定 (顶点) 向上平移 m个单位 y=a(x-h)2 与x轴 与x轴有两个不同 长度 上下平移 +k+m b2-4ac>0 变等号右 上加 交点 的交点 向下平移 面整体 下减 个数) m个单位 y=a(x-h)2 b2-4ac<0 与x轴没有交点 长度 +k-m 240 见此图顺合抖音/微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧、null