第二章 方程(组)与不等式(组}-（课本精讲梳理）-【中考123】2026年中考一轮总复习数学（吉林专版）

数学·精讲本 第二章 方程（组）与不等式（组） 第5讲 一次方程（组）及其应用 答案73 《考点梳理·夯基础》 考点①方程的有关概念 边，常数项移到方程的另一边（移项必须 1.方程：含有□ 的等式叫做方程， 变号)； 2.方程的解：使方程中等号左右两边相等的② (4)合并同类项：把方程化成回 (a≠0) 叫做方程的解 的形式； 3.等式的基本性质 (5)系数化为1：方程两边都除以未知数的系数 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子）， a,得到方程的解四 结果仍相等 考点③二元一次方程（组）及其解法 如果a=b,那么a±c=3 1.二元一次方程：含有2 个未知数，并且 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不 含有未知数的项的次数都是3 ,像这样 为0的数，结果仍相等。 的方程叫做二元一次方程 如果a=b,那么ac=④ ;如果a=b,那 2.二元一次方程组：方程组中有两个未知数，每个 含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个 么8=固 (c≠0). 方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组， 考点②一元一次方程及其解法 3.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组 1.一元一次方程：只含有⑥ 个未知数 的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组 (元)，未知数的次数都是⑦ 等号两边 的解。 都是整式，这样的方程叫做一元一次方程；它的 4.解二元一次方程组的基本思想是4 使 般形式为⑧ (a,b是常数，且a≠0) 之转化为5 方程，消元的方法有6 2.解一元一次方程的一般步骤 消元法和加减消元法. (1)去分母：方程中未知数系数有分母时，方程 专点④一次方程（组）的应用 两边都乘各分母的⑨ (不含分母的 1.列方程（组）解应用题的一般步骤 项也要乘)； 实际问题 找等量关系 方程问题 设未知数，列方程（组) (2)去括号：方程中有括号时，先去括号（括号外 的符号是负号，要变号)； 检验 实际问题的解 方程的解 (3)移项：把含有未知数的项都移到方程的 (符合实际意义) 80 见业图顺合抖音/微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 第二章方程（组）与不等式（组） 2.列方程（组）解应用题的常见类型 续表 类型 数量间基本的相等关系 类型 数量间基本的相等关系 相遇问题 路程=速度和×时间 利润=售价-进价=进价×利润率； 打折销售 甲速度>乙速度，同时不同地； 售价=标价×折扣； 问题 甲的时间=乙的时间； 销售总额=单件售价×销售数量 行 甲的路程-乙的路程=距离差 程 追及问题 1.工作总量=工作效率×工作时间= 甲速度>乙速度，同地不同时； 问 甲的时间=乙的时间-时间差； 工程问题 各部分工作量之和； 题 甲的路程=乙的路程 2.常把工作总量看作“1” 顺流速度=静水速度+水流速度； 水中航行 设a,b分别为一个两位数的个位、十位 逆流速度=静水速度-水流速度 数字问题 上的数字，则这个两位数可表示为10b 浓度问题 溶液=溶质+溶剂 F a (跨学科) 溶质=浓度×溶液 答案P73 《实战演练·品方法》 例（齐齐哈尔）端午节前夕，某食品加工厂准备 例2（沈阳）已知方程组 2x+3y=14,则x-y的 将生产的粽子装入A,B两种食品盒中，A种食 x+4y=12, 品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个 值是 () 粽子，若现将200个粽子分别装人A,B两种食 A.1 B.2 C.4 D.5 品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不 同的分装方式有 ( 温馨提示 请完成《精练本1》P13-18。 A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 第6讲 一元二次方程及其应用 《考点梳理·夯基础》 答案73 考点①一元二次方程的概念及解法 ⑥ 、⑦ ,还可以用图象法求一 1.概念：等号两边都是整式，只含有工 元二次方程的近似根. 未知数（一元），并且未知数的最高次数是② 解法 适用情况 方程的解 （二次)的方程，叫做一元二次方程，一般 直接开 能化成x2=P或(x+ x=±P 形式是ax2+bx+c=0(a≠0) 平方法 n)2=P的形式(P≥0) 或x=±p-n 提分点拨>一 适用于所有一元二次 在一元二次方程的一般形式中要注意a≠ 方程，化为一般形式 x=-b±VB-4ac 公式法 2a 0.当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次 ax2+bx+c=0(a≠0) (b2-4ac≥0) 方程.如关于x的方程(m-1)x2+2mx+1=0, 能化成(x+h)2=k的 当m≠1时，才是一元二次方程，当m=1时，就 配方法 形式(k≥0)》 x=±E-h 是一元一次方程了. 因式分 能化成(x-a)(x-b) 1=a,x2=b 2.解法：解一元二次方程的基本思路是3 解法 =0的形式 基本解法有④ 、⑤ 见业图号抖音微信扫鸠对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 9 数学·精讲本 一提分点拨 ②设a为原来的量，x为平均增长（降低）率， ①用公式法解一元二次方程时应注意： b为增长（降低）后的量，n为增长（降低）的 （1)要把方程化为一元二次方程的一般形式； 次数，则a(1±x)”=b. (2)将a,b,c代入公式时应注意其符号； (2)利润问题 (3)若b2-4ac≥0，则代入求根公式，若b2 ①利润=售价-进价； 4ac<0,则原方程无解. ②方程两边不能随便约去含有未知数的因式。 ②利润率=利润×100%. Γ进价 如-2(x+4)2=3(x+4)中，不能随便约去 (3)面积问题 (x+4). I.如图①，设空白部分的宽为x,则S阴影= ③当方程有等根时不能出现书写错误.如(x+ (a-2x)(b-2x); 1)2=0,它的两个根可以写成x1=x2=-1,不 Ⅱ.如图②，设空白部分的宽为x,则$阴影= 能写成x=-1. (a-3x)(b-2x); 考煮②一元二次方程根的判别式 Ⅲ.如图③，设阴影部分的宽为x,则S空白= 1.判别式与根的关系 (a-x)(b-x); 根的判别式为b2-4ac,用“△”表示，△=b2-4ac. V.如图④，设阴影部分的宽为x,则S空白= 当△>0时，方程有8 的实数根； (a-x)(b-x) 当△=0时，方程有⑨ 的实数根； 当△<0时，方程回 实数根 2.根与系数的关系（选学内容） 图① 图② 若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的两个根，则x1+x2=回 ,x12= 回 图3 图④ 考点③一元二次方程的实际应用 (4)单循环球赛问题：单循环球赛总场数= 1.一般步骤：审、设、列、解、验、答 n(n-1)(n为参赛球队总数)， 2 提分点拨> 检验时既要检验所求结果是否为所列方程 (5)握手问题：握手总次数=(n,1山(n为参与 的解，还要检验是否符合实际意义， 2 握手的总人数) 2.实际问题常见类型 (6)互赠礼物问题：互赠礼物总份数=n(n-1) (1)增长率问题 ①增长率=增长量 (n为参与互赠礼物的总人数). 基础量 ×100%; 100 见业图廊合抖音/微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无忧 第二章方程（组）与不等式（组） 《实战演练·品方法》 答案P73 例（陕西）在20世纪70年代，我 分割点，即BE2=AE·AB.已知AB为2米，则线 国著名数学家华罗庚教授将黄金 段BE的长为 米 分割法作为一种“优选法”，在全 例2（成都）若一个直角三角形两条直角边的长分 B C 国大规模推广，取得了很大成果， 别是一元二次方程x2-6x+4=0的两个实数 如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框 根，则这个直角三角形斜边的长是 ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金 温馨提示 请完成《精练本1》P19-24。 第7讲 分式方程及其应用 《考点梳理·夯基础》 答案73 考点①分式方程及其解法 考点②分式方程的实际应用 1.分式方程：分母中含有工 的方程 1.一般步骤 2.解分式方程的一般步骤 审题设未知数→找等量关系→列分式方程→ 去分母 分式方程乘 解分式方程→双检验→作答 →整式方程 提分点拨>心 解整式方程 检验 解分式方程实际应用问题，最终结果一定 代入3 要进行双检验：(1)检验是否是分式方程的解； 最简公分母为0 →a是分式方程④ (2)检验是否符合实际意义， 最简公分母不为0 →a是分式方程的解 2.常见类型及关系式 、提分点拨 ①分式方程的增根是去分母后的整式方程的 (1)工程问题：工作效率=工作总量 工作时间 根，也是使分式方程的最简公分母为0的根 (2)购买（盈利）问题：总=数量· ②分式方程无解，可能是整式方程的解使得最 简公分母为0，也可能是去分母后的整式方 (3)行程问题：时间=路程 速度 程无解。 答案P73 《实战演练·品方法》 例（齐齐哈尔）若关于x的分式方程1。 式方程y-1=a y+1y+1 -2的解是负整数，则所有满 =+2的解大于1，则m的取值范围是 x2-4 足条件的整数a的值之和是 A.-26 B.-24 例2（重庆）若关于x的一元一次不等式组 C.-15 D.-13 [x-1≥4x-1 3’的解集为x≤-2，且关于y的分 5x-1<a 温馨提示 请完成《精练本1》P25-30? 见此图廊合抖音/微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧◆。儿 数学·精讲本 第8讲 一元一次不等式（组）及其应用 《考点梳理·夯基础》 答案P73 考点①不等式的基本性质 2.几种常见不等式组的解集 性质1：若a>b,则a±c① b±c. 类型 图示 口诀 解集 (其中a<b) 性质2：若a>b,c>0,则ac>bc或g> >c x>a, 同大取大 ④ 性质3：若a>b,c<0,则ac② 或号 x<a, 同小取小 x<a x<b 3 b x>a, 大小小大 5 考点②)一元一次不等式的解法及其解集表示 .x<b 中间找 1.解法步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项 x<a, 大大小小 无解 x>b 找不到 →系数化为1. 考点④一元一次不等式的实际应用 2.解集在数轴上的表示 1.列不等式解应用题的一般步骤： 解集 在数轴上表示 总结 (1)审清题意； x <a 方向：小于向 (2)设未知数； 左，大于向右； (3)找出数量关系列不等式； x>a 边界：“≤”“≥” (4)解不等式； 为实心圆点， x≤a (5)检验并写出答案 “<”“>”为空 2.解决不等式的实际应用题时，常用关键词与不等 x≥a 0 心圆圈 号的对照表： 考点③一元一次不等式组的解法及解集表示 常用关键词 符号 大于，多于，超过，高于 6 1.解法步骤：分别求出不等式组中各个不等式的解 小于，少于，不足，低于 ☑ 至少，不低于，不小于，不少于 ⑧ 集，再在数轴上表示出各不等式的解集，然后利 至多，不超过，不高于，不大于 g 用数轴或根据口诀确定不等式组的解集 120 见业图顺合抖音/微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 第二章方程（组）与不等式（组） 2 《重难研析·理要点》 答案73 重难点。方案设计问题的实际应用 +巩固训练链接至《精练本1》P32T13>2 典例2024年4月25日20时58分57秒，神舟十八号载人飞 船在酒泉发射中心发射升空.某中学组织毕业班的同学到当 地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进 A,B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10 元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量 5思维导 相同. (1)找准等量关系，正确列出分式方程； (1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？ (2)已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于(2)根据各数量之间的关系，正确列出一 14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买 元一次不等式组； 方案？ (3)在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折 (3)根据各数量之间的关系，找出w(购买 优惠，B款每件让利m元，采购人员发现(2)中的所有购 资金)关于a(A款文化衬衫件数)的函数 买方案所需资金恰好相同，试求m值. 关系式 见此图南合抖暗微信扫鹏对话中考复习助手考点攻克提分无忧令。13 R 数学·精讲本 跟踪训练 →) 北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A,B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润= 销售价-进货价) 类别 A款钥匙扣 B款钥匙扣 价格 进货价（元/件） 30 25 销售价（元/件）》 45 37 (1)网店第一次用850元购进A,B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数； (2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A,B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和 销售价都不变)，且进货总价不高于2200元，应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销 售利润是多少？ (3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件.经调 查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天 销售利润为90元？ 温馨提示 请完成《精练本1》P31-36 14g 见业图标台抖音微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无忧、参考答案与解析 参考答案与解析 第一章数与式 第二章 方程（组）与不等式（组） 第1讲实数及其运算 第5讲一次方程（组）及其应用 【考点梳理·夯基础】 【考点梳理·夯基础】 工0②无限不循环小数③0④实数⑤大 ⑥互为相反数☑-a80⑨相等四原点 四0 □未知数☑未知数的值③b±c④bc 固6 回131410固6.5⑥0.3137大⑧绝对值 ⑥一718ax+b=0 ⑨最小公倍数0ax=b 四绝对值四0四减去四相反数☒正四负 因倒数2函b+a2☑a+(b+c)2四ba2四a(bc) 回x=。回两国1国消元因一元一次回代入 a 3网ab+ac团负数2正数图-1☒1 351 【实战演练·品方法】 实战演练·品方法】 例1 C例2B 例1B例2解：原式=12. 第6讲 元二次方程及其应用 第2讲数的开方及二次根式 【考点梳理·夯基础】 【考点梳理·夯基础】 ①一②2③降次④直接开平方法 5配方法 □√a②3a③±8④8⑤46因数或因式 ⑥公式法☑因式分解法⑧两个不相等⑨两个相等 7a8-a9≥0> 血非负数20 【实战演练·品方法】 四没有 四 ·四c 例1B 【实战演练·品方法】 例2375 例1（√5-1）例2 27 300 /3×2×5×2×5 /3/300 [解析] 第7讲 分式方程及其应用 n n 【考点梳理·夯基础 300 是大于1的整数，心√ 3 -10n >1.n为正整数， 工未知数 ②最简公分母 ③最简公分母④增根 【实战演练·品方法】 n的值可以为3,12,75..n的最小值是3，最大值是75. 例1m>0且m≠1 例2D 第3讲代数式与整式 第8讲一元一次不等式（组）及其应用 【考点梳理·夯基础】 【考点梳理·夯基础】 ▣a(1±10%)20.75a(1+x%)③(ax+by) 1> ②<③☒< ④x>b⑤a<x<b⑥> ④指数系数⑥ab☑相乘⑧指数 7<8≥9≤ 回ma+mb四ac+ad+bc+bd▣a2-b2回a2±2ab+b2 重难研析·理要点】 图m(a+b-c)4平方差固完全平方 典例 解：(1)设B款文化衫每件x元， 【实战演练·品方法】 例12[解析]1<√2<2，.1<3-√2<2. ,0-四解得：=0 根据题意可得500 3-√2的整数部分为a,小数部分为b, 经检验，x=40是原分式方程的解，并且符合题意， ∴a=1,b=3-√2-1=2-√2， x+10=50. 答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元. (2+√2a)·b=(2+2)(2-√2)=2.故答案为2. (2)设购进A款文化衫a件，B款文化衫(300-a)件，根 例24[解析]：m2+n2+10=6m-2n, .∴.m+n+10-6m+2n=0. 北题意可得0十00测-8三146动： 即(m-3)2+(n+1)2=0, 解得275≤a≤280. .m=3,n=-1,∴m-n=3-(-1)=4. .a取正整数，.a=275,276,277,278,279,280 第4讲分式 ∴一共有六种方案。 【考点梳理·夯基础 (3)设购买资金W元 回B≠0②A=0且B≠0③公因式④最简⑤最简 w=50×0.7a+(40-m)(300-a) 回同分母回 图兴回 =(m-5)a+12000-300m. :(2)中所有购买方案所需资金相同， 【重难研析·理要点】 .w与a的取值无关，∴.m=5. 1 跟踪训练 典例2024 解：(1)设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，依题 跟踪训练 意，得厂x+y=30, 2 2 130x+25y=850,解得{x=20, 1y=10. 解：原式三+万÷二米+ x2-1 答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件. x(x+1) (x+1)(x-1)=2 (2)设购进m件A款钥匙扣，则购进(80-m)件B款钥 2·由J2（x一1)<x+1,可得该不等式 匙扣.依题意，得30m+25(80-m)≤2200，解得m≤40. x(x-1) 15x+3≥2x 设再次购进的A,B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得 组的解集为-1≤x<3, 的总利润为w元， ∴.该不等式组的整数解为-10、1、2. 则w=(45-30)m+(37-25)(80-m)=3m+960. 当x=-1,0,1时，分式无意义，.x=2. 3>0,∴.0随m的增大而增大 把x=2代入得，原式= 1 2=2 ∴.当m=40时，w取得最大值，最大值=3×40+960= 1080,此时80-m=80-40=40. 见此图师号抖音微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧。 73 &R 数学·精讲本 答：当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能 第11讲反比例函数 获得最大销售利润，最大销售利润是1080元. 考点梳理·夯基础】 (3)设B款钥匙扣的售价定为每件α元，则每件的销售 ▣02>3<④减小⑤增大⑥原点(0,0) 利润为(a-25)元，平均每天可售出4+2(37-a)=(78 重难研析·理要点】 -2a)件， 典例解：(1)AB⊥y轴，∴.∠AB0=90 依题意，得(a-25)(78-2a)=90 .'tan∠AOB= 1 AB 1 整理，得a2-64a+1020=0,解得a1=30,a2=34. 2 0B=2 答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙 AB=2,∴.0B=4,,A(2,4) 扣平均每天销售利润为90元. 第三章函数 :点A在反比例函数y= -(x>0)的图象上， 第9讲平面直角坐标系及函数 【考点梳理·夯基础】 一k=2×4=8,反比例函数的解析式为y=8 回(-，+)②(+，-)③>④>固<⑥< (2)如答图，过点A作AELx轴于点E. ☑纵8横⑨1bl四1al▣√a+ .·∠AB0=∠BOE=∠AE0=90°， ∴四边形ABOE是矩形， 回√(y1-y2)2+(x1-一2)之图×四解析式法 ∴.OE=AB=2,0B=AE=4. 固x≠26x≥07x≥0且x≠18x>0 ∠AD0=45°，∴.△AED是等腰直角三角形 实战演练·品方法】 ∴DE=AE=4, 例1B[解析]连接BD,在菱形ABCD中，∠A=60°， ∴0D=0E+DE=2+4=6,.D(6,0). .△ABD为等边三角形. 设直线AD的解析式为y=x+b(k≠0)， 设AB=a,△ABD的面积为a2 欧66解得66， 1b=6, 由题图②可知，△ABD的面积为3√3， ∴直线AD的解析式为y=-x+6, “点A,C是反比例函数y=8 和一次函 答图 ∴.2=33，解得a=23 数y=-x+6的交点， 例2(4,6)[解析]连接OB,OB',由位似可知，点0，B,B 共线.由“四边形OA'B'C的面积是四边形OABC面积的 联立8 x 4倍”可知OB'=20B.又因为点B'在第一象限，.点B为 6解得仔=子或受 ly=2. y=-x+6 OB'的中点，结合B(2,3)可知，点B'的坐标为(4,6). A(2,4),∴.C(4,2) 第10讲 一次函数及其应用 跟踪训练 【考点梳理·夯基础】 解：(1)如答图，过点D作DF⊥x轴于 □k≠020③ 6国-冬 固减小 点F,过点C作CG⊥x轴于点G. :反比例函数y=的图象经过点 ⑥y=k(x+m)+b☑y=k(x-m)+b D 图y=+6+m回y=c+6-m画(-冬，0） D(-6,2), -6=2,解得=-12， A FE G 【重难研析·理要点】 典例解：(1)120060 一反比例函数的解析式为y=-1卫 答图 (2)90080015 (3)设直线MN的解析式为y=kx+n(k≠0)， DE∥OC,∴.∠DEA=∠COA. 由题意得M(15,900),N(20,800),则 又.LDAE=∠CAO,∴.△DAE△CAO, ”00:解得[负1烈 21 1n=1200. ·40=4g-2= AC-A0CG=3心CG=3CG=6. ∴.线段MW的解析式为y=-20x+1200(15≤x≤20). (4)出发后第8分钟和第4分钟。 当y=6时，-12 6,解得x=-2, 点C的坐标为(-2,6) 跟踪训练 将点D(-6,2),C(-2,6)分别代入y=k1x+b中， 解：(1)120 (2)出租车的速度："1=480÷4=120(km/h). 得{2%女6第得68 Lb=8. 货车的速度：2=120÷ 2 =80(km/h): .一次函数的解析式为y=x+8. (2)对于y=x+8, 当货车停下来开始装货时，两车相距： 当x=0时，y=0+8=8; 480-180-120=180(km). 当y=0时，x+8=0,解得x=-8, 当货车装完货物后再次开始出发时两车相距120km,所 ∴点A,B的坐标分别为(-8,0)，(0,8). 以货车装货的时间为(180-120)÷120=0.5(h).货车 AE 1 AE 1 继续出发号h两车相遇，所以货车再次出发后的速度： A03心8=3，解得AE= 3 120÷2 -120=60(km/h). ÷Sa=Sam-Saw-Sm=20A·0B-2A证： (480-120)÷60=6(h). DF-20B.0G= 32、1 ×8x2=4 所以点F的横坐标为1.5+0.5+6=8， 即四边形OCDE的面积为 即F(8,0)..B(2,120),G(8,480), ∴.直线BG的解析式为y=60x(2≤x≤8) 微专题1与双曲线上的点有关的问题 (3)3h和2h 1.D2.123.64.c5. 2 6.C7.128.69.C10.3 17 17 9 见此图恢抖音/微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧