专题02 一元二次方程11考点（期末真题汇编，广东专用）九年级数学上学期北师大版

专题02 一元二次方程 11大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念和解 考点02 一元二次方程的解法-直接开平方法 考点03 一元二次方程的解法-配方法 考点04 一元二次方程的解法-公式法 考点05 一元二次方程的解法-因式分解法 考点06 一元二次方程的解法-综合选择 考点07 根的判别式 考点08 根与系数的关系 考点09 实际问题-营销问题 考点10 实际问题-增长率问题 考点11 实际问题-其它问题 地 城 考点01 一元二次方程的概念和解 1．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)探索方程的正数解的过程如下表： 0 1 2 13 可以看出方程的正数解应介于和之间，则，分别是（   ） A．0， B．，1 C．1， D．，2 【答案】C 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似解，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 由列表数据可得判断出的值在1和之间即可解答． 【详解】解：通过列表可以看出看出方程的正数解应介于1和之间， ∴． 故选：C． 2．(24-25九上·广东清远清新区·期末)若是一元二次方程的一个根，则m的值是（   ） A．0 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，得，解得，即可作答． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴把代入，得， 解得， 故选：D． 3．(24-25九上·广东揭阳惠来县·期末)若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程的二次项的系数不为0，结合方程没有实数根，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴； 故选：C． 4．(24-25九上·广东清远清城区·期末)一元二次方程的一个根是，则m的值为（   ） A．2 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根的概念．根据一元二次方程根的概念，将代入方程，求解即可． 【详解】解：将代入方程，得， 解得， 故选：B． 5．如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】根据题意，是方程的解，得，化简代入计算即可． 本题考查了方程的根，求代数式的值，熟练掌握方程的根是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．(24-25九上·广东茂名祥和中学·期末)若是方程的一个根，则c的值为（   ） A． B．8 C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程，然后解关于的方程，即可得到答案． 【详解】解：把代入方程得，， 解得：， 选项A符合题意， 故选：A ． 7．若m是关于x的方程的一个解，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，由题意，得，进而得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴； 故选D． 8．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解本题的关键． 将方程整理成一元二次方程的一般形式，确定各项系数、、的值． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项，得， 方程化简为， 可得，，， 故选：B． 9．(24-25九上·广东珠海金湾区·期末)已知是一元二次方程的一个实数根，则c等于（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键．把代入原方程即可解出c的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴把代入原方程，得， ∴， 故选：D． 10．(24-25九上·广东江门蓬江区·期末)下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、符合一元二次方程的定义，故选项符合题意； B、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、不是整式方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 11．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)请写出一个关于的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程根，根据一元二次方程有一个正根和一个负根解答即可，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有一个正根和一个负根， ∴这个方程可以是， 即， 故答案为：． 12．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)写出一个以为根的一元二次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解成为解题的关键． 以为根写一个一元二次方程即可． 【详解】解：以为根写一个一元二次方程可以为：． 故答案为：（答案不唯一）． 13．(24-25九上·广东清远英德·期末)将方程化为的形式后， ， ， ． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是，本题通过移项化为一般形式，再确定各项系数． 【详解】∵ ∴ ∴ 故答案为：1；2； 地 城 考点02 一元二次方程解法-直接开平方法 1．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； （）两边除以，再利用直接开平方法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ， ∴， 即或， ∴或． 2．(24-25九上·广东深圳福田石厦学校·适考)解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）先将方程变形得，再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：两边直接开平方得：， 则， 解得：，； （2）解：， 整理得：， 配方，得：， 两边开平方解得：． 3．(23-24九上·广东清远阳山县·期末) 解方程： (1)． (2)； 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键 （1）利用配方法求解即可； （2）利用直接开方法求解即可 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴， ∴； （2） ∴， ∴． 地 城 考点03 一元二次方程解法-配方法 1．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)方程配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键．先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可． 【详解】， ， ， 故选：B 2．(24-25九·广东惠州·期末)解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查一元二次方程的解法，解方程时依据方程的特点选择恰当的解法是解方程的关键． （1）根据配方法求解即可； （2）根据配方法求解即可； 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， 即， 开平方得， 即或， 即． （2）解：， 移项，得， 配方，得， 即， 开平方得， 即或， 即． 3．(23-24九上·广东湛江赤坎区·期末)用适当的方法解下列一元二次方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴， 解得，，． 4．(24-25九上·广东佛山三水区·期末)解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解． （2）移项后，利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴，； （2）解：， ， ， 或， ． 5．(24-25九上·广东清远连州·期末)下面是小华利用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 移项，得．…………………………………………第一步 配方，得，即………………第二步 由此，可得．…………………………………………第三步 ……………………………………第四步 请完成下列任务： (1)上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是_________，其中，“配方法”所依据的数学公式是_______（填“完全平方公式”或“平方差公式”） (2)小华同学利用配方法解题过程中，从第______步开始出现错误，请写出正确的解题过程． 【答案】(1)等式的基本性质，完全平方公式 (2)二，解题过程见解析 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键． 对于（1），根据等式的基本性质和完全平方公式解答即可； 对于（2），先移项，再配方，然后求出解即可． 【详解】（1）解：上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是等式的基本性质，其中“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式． 故答案为：等式的基本性质，完全平方公式； （2）解：小华同学利用配方法解题的过程中，从第二步开始出现错误，正确的解法如下： ， 移项，得， 配方，得， 即， 可得， ∴． 故答案为：二． 6．(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)（1）填空：方程的根为______； （2）解方程： 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，因式分解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程-配方法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， 或， ，， 故答案为：，； （2）解：， ， ， 或， ， 7．(24-25九上·广东揭阳普宁·期末)设一元二次方程，在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】答案不唯一，见解析 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键，先根据这个方程有两个不相等的实数根，得，由此可知b、c的值可在②③中选取，然后求解． 【详解】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴②③均可，①④不满足题意； 选②解方程，则这个方程为：， ， ∴， ∴，； 选③解方程，则这个方程为：， ， ∴， ∴，． 地 城 考点04 一元二次方程解法-公式法 1．(24-25九上·广东深圳宝安区孝德学校·期末)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟悉不同解法的特点，根据方程的特点选择合适的解法是关键． （1）该方程为一般形式，且不能因式分解，采用公式法解此方程更合适，套用公式即可解出方程； （2）该方程左边可以因式分解，用因式分解法即可解出方程． 【详解】（1）解：， ， ， 即，； （2）解：， ， 或， ，． 2．(24-25九上·广东清远英德·期末)如图，在中，． (1)实践与操作：利用尺规作图，过上一点作直线交于点，使所得的与相似；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定； （1）作交于点，则与相似； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 根据作图， 又∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ 解得：（负值舍去） 3．(24-25九·广东东莞翰林实验学校·期末)解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，首先找出方程中的a、b、c，再根据公式法求出，计算，即可得出答案． 【详解】解：， ， 代入求根公式得， ， ，． 4．(24-25九上·广东江门蓬江区·期末)解方程： 【答案】，． 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的解法：公式法．首先对方程转化为一般形式：，再进行判断根的情况，最后利用公式法代入求解即可． 【详解】解：原方程可化为：， ∴，，， ∵， ∴， 解得：，． 5．(24-25九·广东惠州·期末)解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查一元二次方程的解法，解方程时依据方程的特点选择恰当的解法是解方程的关键． （1）先计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可． 【详解】（1）解：， 则， ∴， ∴， 所以． （2）解：， ∴， ∴或， ∴． 地 城 考点05 一元二次方程解法-因式分解法 1．(24-25九上·广东清远清新区·期末)一元二次方程的解为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 本题运用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 解得：或， 故选：C． 2．(24-25九上·广东揭阳普宁·期末)解这个方程最简单的方法是（　　） A．公式法 B．因式分解法 C．配方法 D．直接开平方法 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有4种，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 方程的前后两项都含有因式，故可用因式分解法分解因式． 【详解】解：解这个方程最简单的方法是因式分解法． A、正确，但不符合题意； B、正确，也符合题意； C、正确，但不符合题意； D、正确，但不符合题意． 故选：B． 3．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)解方程： 【答案】， 【分析】利用因式分解法计算即可． 本题考查了因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵, ∴ ∴ 解得，． 4．(24-25九上·广东深圳龙岗区宏扬学校·期末)解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键在于正确掌握因式分解法与公式法． （1）利用因式分解法求解，即可解题； （2）利用公式法求解，即可解题． 【详解】（1）解： 解得． （2）解： 有， ∴． ∴方程有两个不相等的实数根． ∴． 解得． 5．(24-25上·广东珠海凤凰中学·期末)（1）解方程：． （2）填空：如图是计算机中“扫雷”游戏的画面，在一个有个小方格的正方形雷区中，随机埋藏着3颗地雷，每个小方格内最多只能埋藏1颗地雷．小王在游戏开始时随机地踩中一个方格，踩中后出现了如图所示的情况，我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（划线部分），A区域外的部分记为B区域，数字3表示在A区域中有3颗地雷，每个小方格中最多只能藏一颗．那么，第二步应该踩在A区域还是B区域？ 解：∵再继续踩在A区域踩到地雷的概率为 ，而踩在B区域踩到地雷的概率为 ， ∴第二步应该踩在B区域． 【答案】（1）（2）；0 【分析】本题主要考查了几何概率，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）先根据已知条件得出各个区域的地雷所占的比例，再进行比较，即可求出答案， 【详解】解：（1）， ， ， ∴， （2）∵在一个有个小方格的正方形雷区中，随机埋藏着3颗地雷，把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（划线部分），A区域外的部分记为B区域，数字3表示在A区域中有3颗地雷，每个小方格中最多只能藏一颗． ∴再继续踩在A区域踩到地雷的概率为，而踩在B区域踩到地雷的概率为， ∴第二步应该踩在B区域． 故答案为：；0． 6．(24-25九上·广东江门鹤山振华学校·)解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用因式分解法求解即可； （）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， 或， ∴，； （2）解： ， 或， ∴，． 7．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵ ∴． 则． ，． 8．(24-25九上·广东茂名崇文学校·期末)按要求完成下列各小题． (1)解方程：； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先计算特殊角的三角函数值、零指数幂，再计算乘方，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：． 9．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)已知是关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)若，是方程的两个实数根，且，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及解一元二次方程-公式法，熟知一元二次方程根与系数的关系及公式法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）将代入方程，并用因式分解法对所得方程进行求解即可． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）解：将代入方程得， ， 或， 解得，． （2）解：因为，是方程的两个实数根， 所以，． 又因为， 所以， 解得． 又因为， 解得， 所以m的取值范围是：． 10．(24-25九上·广东揭阳惠来县·期末)（1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，解一元二次方程： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）移项后，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1）原式； （2） ， ， ， ∴或； ∴． 11．(24-25九上·广东清远阳山县青莲中学·期末)关于x的一元二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)若方程有两个不相等的实数根，求c的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：（1）当时，方程有两个不相等的两个实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程无实数根是解题的关键． （1）把代入一元二次方程，求出的值即可； （2）根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴方程可化为， ∴， 解得； （2）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：． 地 城 考点06 一元二次方程解法-综合选择 1．(24-25九上·广东清远清新区·期末)【阅读材料】若关于x的一元二次方程的两根为、，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】 一元二次方程的两根为、，则________，________； (2)【类比运用】已知关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为、，满足，求k的值． (3)【思维拓展】已知实数m，n，满足，，且，求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根与系数的关系直接计算即可； （2）根据根与系数的关系求出，，再代入，解一元二次方程即可得到答案； （3）由题意：可看成方程的两个根，利用根与系数的关系，并把式子变形后即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：由题意可得：，， ， ， 解得； （3）解：由题意：可看成方程的两个根， ， ． 2．(24-25九上·广东清远英德·期末)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键． （1）把方程化为，再化为两个一次方程即可； （2）把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可； 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； 3．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 4．(23-24九上·广东汕头龙湖区·期末)已知关于的方程． (1)方程有一根为，求的值； (2)求证：不论为何值，方程总有实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式； （1）代入可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值； （2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此即可证出：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【详解】（1）解：把代入方程得： 解得， （2）证明：在关于的一元二次方程中， ∵     ∴无论取何值，该方程总有实数根； 地 城 考点07 根的判别式 1．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．两支曲线分别位于第二、四象限 C．在每一象限内，y随x的增大而减小 D．与直线没有交点 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数和一次函数交点问题，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义可得，进而判断 A ，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，随的增大而增大，进而判断B、C ，联立两个函数解析式即可判断D． 【详解】解：∵， ∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，随的增大而增大，B选项正确，C选项不正确； ∵，则图象不经过点，故A选项不正确； 联立和，整理得， ， ∴反比例函数的图象与直线有两个交点，故D选项不正确，     故选：B． 2．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式即可求解，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：在方程中， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 3．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)关于的方程的根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定根的情况 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的计算是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式“，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根”进行判定即可． 【详解】解：关于的方程中，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A ． 4．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)下列关于一元二次方程根的情况说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，当时，一元二次方程有两个相等的实数根，当时，一元二次方程无实数根．计算此方程的判别式即可求解． 【详解】解：∵方程中， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根； 故选：A． 5．(24-25九上·广东清远连州·期末)若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故选：C． 6．(24-25九上·广东清远清城区·期末)若一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（   ） A． B． C．9 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式，代入求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：A． 7．(23-24九上·广东东莞·期末)已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根为，．若，，求k的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，也考查了根与系数的关系． （1）先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）根据根与系数的关系得，则，然后解不等式即可． 【详解】（1）证明： ， 此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据根与系数的关系得， ，， ， 解得， 即的范围为． 8．(24-25九上·广东东莞·期末)已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个实数根是2，求另一个实数根和k值． 【答案】(1)见解析 (2)方程另一个根为，k的值为 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解和根与系数的关系． （1）先计算判别式得到，再根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先根据一元二次方程的解的定义把代入原方程可求出k，然后利用根与系数的关系求出方程另一个根． 【详解】（1）证明：， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：把代入方程得， 解得， ∴原方程为 设方程另一个根为t，则， ∴， ∴方程另一个根为，k的值为． 9.．已知关于的一元二次方程． (1)若此方程有两个相等的实数根，求实数的值； (2)已知是此方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 【答案】(1) (2)方程的另一个根为， 【分析】本题主要考查了一元二次方程判别式的意义、一元二次方程根与系数的关系． （1）先计算根的判别式，得关于的方程，求解即可； （2）先设出方程的另一个根，根据根与系数的关系进行列式计算，可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：设方程的另一个根为， 由题意得：， ∴， 即方程的另一个根为， 则， ∴， 解得． 10．(24-25九上·广东东莞万江区·期末)已知，是方程的两实数根，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了根与系数的关系； （1）先利用根与系数的关系得到，，利用因式分解法变形得到，然后利用整体代入的方法计算； （2）利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：，， 原式； （2）解：． ． 11．(24-25九上·广东广州荔湾区·期末)若是关于的一元二次方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数关系，解题的关键是掌握是一元二次方程的两根时，，． 根据方程有两个实数根，则，再利用根与系数关系构建方程求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， 解得：； 由韦达定理得，，代入得， 解得，有实根． 所以，． 12．(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)中国新能源汽车市场异常火爆，销量持续攀升．某汽车销售公司以每辆18万元的价格购入一批新能源汽车进行销售．当定价为26万元每辆时，平均每周能卖出10辆．现公司计划开展让利销售，市场调研表明：售价每降低1万元，平均每周能多卖出2辆．若要每周的销售利润达到84万元，且尽可能给顾客更多优惠，则每辆汽车的售价应定为多少？ 【答案】每辆汽车的售价应定为24万元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意正确找到题中的等量关系是解题的关键． 设每辆汽车售价降低万元，则多买辆，根据题意列出方程，解答分析即可． 【详解】解：设每辆汽车售价降低万元，则多卖辆， 由题意得：， 化简得：， 解得：，， 要尽可能给顾客更多优惠， 取， ， ∴每辆汽车的售价应定为24万元． 13．(24-25九上·广东汕头·期末)某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系：． (1)当时，利润为_____元； (2)若该公司要获得418元的利润，求每件的销售单价． 【答案】(1) (2)每件的销售单价为元或元 【分析】本题主要考查了一次函数与一元二次方程的应用； （1）将代入一次函数解析式可得销售量，然后根据每件的利润乘以数量即为总利润即可得； （2）根据利润=销售数量×每件的利润可得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：当时， ， ∴销售量为件， 利润为：（元）， 故答案为：； （2）解：由题意得： 展开并整理方程： 解得： 答：每件的销售单价为元或元． 14．(24-25九上·广东广州越秀区·期末)某商品现在的售价为60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件39元． (1)若降价2元，每星期可以卖出多少件该商品？ (2)若要每星期获利6480元，应该涨价多少元？ 【答案】(1)340件 (2)3元或6元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）根据某商品现在的售价为60元，每星期可卖出300件；每降价1元，每星期可多卖出20件，列式计算即可； （2）设应该涨价x元，则每星期要少卖出件，根据要每星期获利6480元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，（件）， 答：若降价2元，每星期可以卖出340件该商品； （2）解：由题知，如果价格不变，每件利润为元 设涨价x元，则每星期要少卖出件， 则 解得：或 答：当涨价3元或6元，每星期获利6480元． 地 城 考点08 根与系数的关系 1．(24-25九上·广东广东广州知用学校·期末)已知是方程的两个实数根，则的值是（　） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可． 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：是方程的两个实数根， 则，， 故， 故， 故选：A． 2．(24-25九上·广东汕头潮南区峡山统考·)已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2019 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键． 根据题意可知，，，所求式子化为即可求解． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴ ． 故选：D． 3．(24-25九上·广东广州越秀区广东实验中学越秀学校·期末)已知是方程的两个实数根，则的值是（　　） A．2016 B．2018 C．2022 D．2024 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：． 4．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期末)已知关于的方程的两个实数根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，直接根据可得结论． 【详解】解：∵方程的两个实数根为， ∴， 故迁：D. 5．(24-25九上·广东清远阳山县青莲中学·期末)若，是一元二次方程的两根，则 ； ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答，即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，． 故答案为：； 6．(24-25九上·广东广州知用学校·期末)若、是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程的两个实数根是、，那么，． 根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系可知，，将变形后得到，代入求值即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ，， ， ∴ 故答案为：． 7．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)若，是方程的两个根，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据一元二次方程的解的定义得到，即，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的根， ，即， ， ，是方程的两个根， ， ， 故答案为：． 8．(24-25九上·广东广州荔湾区·期末)已知m，n是方程的两个根，则代数式的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，． 利用根与系数关系，利用整体代入的思想求解． 【详解】解：∵m，n是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：0． 9．(24-25九上·广东汕头金平区·)若关于x的方程的两根为，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系．根据一元二次方程的根与系数关系可知，，将算式的值代入中即可求解． 【详解】解：∵方程的两根为、， ∴，， 则． 故答案为：2． 10．(24-25九上·广东广州天河区·期末)设，是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，． 根据一元二次方程根与系数的关系即可直接得出答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， 故答案为：． 地 城 考点09 实际问题-营销问题 1．(24-25九上·广东江门·)体育点燃梦想，奥运余温传至大湾区，第十五届全运会的举办将掀起新一轮运动浪潮．某市参加体育运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人． (1)求该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率． (2)为支持市民的体育运动，市政府决定从某公司购买某种运动器材套装．该公司规定：若购买数量不超过120套，则每套售价2400元；若购买数量超过120套，则每增加10套，售价每套可降低50元，但最低售价不得少于1500元．已知市政府向该公司支付货款40万元，求该市政府购买的这种运动器材的套数． 【答案】(1) (2)200套 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加体育运动的人数的年平均增长率为，根据从2022年的25万人增加到2024年的36万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种运动器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款40万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该市参加体育运动的人数的年平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该市参加体育运动的人数的年平均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种运动器材的套数大于120套， 设购买的这种运动器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元，不符合题意，故舍去， 当时，售价元，符合题意， 答：购买的这种运动器材的套数为200套． 2．(24-25九上·广东河源龙川第一实验学校·期末)已知某商场经营某种新型电子产品，购进时的单价为100元/件，售价为每件240元．该商场在试销中发现，如果以定价售出，那么每天可售出200件；如果售价每降低1元，那么销售量就可以增加10件． (1)当售价为每件多少元时，商场每天销售该电子产品获得的利润最大？最大利润是多少？ (2)若商场想每天获得60000元的利润，同时又要减少库存，则该电子产品的售价应定为每件多少元？ 【答案】(1)当售价为每件180元时，商场每天销售该电子产品获得的利润最大，最大利润是64000元； (2)该电子产品的售价应定为每件160元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设销售单价为x元，获得的利润为y元，根据利润等于单件利润乘以销售量列出y与x的函数关系式，并利用二次函数的性质求解即可； （2）设该电子产品的手机应定为每件m元，根据利润等于单件利润乘以销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设销售单价为x元，获得的利润为y元， 由题意得 ， ∵， ∴当，即时，y有最大值，最大值为64000， 答：当售价为每件180元时，商场每天销售该电子产品获得的利润最大，最大利润是64000元； （2）解：设该电子产品的售价应定为每件m元， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∵又要减少库存， ∴， 答：该电子产品的售价应定为每件160元． 3．(24-25九上·广东清远清城区·期末)直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在某平台上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出30件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． (1)若日获利1000元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ (2)经统计，促销活动后第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件．如果第二日、第三日销售的增长率相同，求该款小商品的日平均增长率． 【答案】(1)每件售价应定为50元； (2)该款小商品的日平均增长率为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每件降价x元，则每件售价应为元，日销售量为件，每件盈利为元，根据日获利1000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该款小商品的日平均增长率为m，根据第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设每件降价x元，则每件售价应为元，日销售量为件，每件盈利为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，日销售量为件； 当时，日销售量为件， 因为商家想尽快销售完该款商品，所以应选择日销售量较大的方案，故取， ∴， 答：每件售价应定为50元； （2）解：设该款小商品的日平均增长率为m， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款小商品的日平均增长率为． 地 城 考点10 实际问题-增长率问题 1．(24-25九上·广东清远连州·期末)“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的全年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，根据题意即可列出方程求解． 【详解】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为， 根据题意得． 故选：A． 2．(24-25九上·广东河源龙川第一实验学校·期末)某校截止2023年底，校园绿化面积为1000平方米，为美化环境，该校计划2025年底绿化面积达到1440平方米．利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元二次方程， 根据题意得出形如的方程即可. 【详解】解：根据题意，得. 故选：B. 3．(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)某污水净化站今年10月份净化污水6万吨，12月份增加到7.26万吨，则这两个月净化污水量每月的平均增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这两个月净化污水量每月的平均增长率为x，根据今年10月份净化污水6万吨，12月份增加到7.26万吨，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设这两个月净化污水量每月的平均增长率为， 由题意得：， 解得：(不合题意，舍去)， 故答案为：． 4．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)据统计，某企业年利润为万元，年利润为万元，该企业年到年利润的年平均增长率都相同． (1)求该企业利润的年平均增长率； (2)若年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业年的利润能否超过万元？ 【答案】(1) (2)不能 【分析】（）该企业利润的年平均增长率为，根据题意列出方程解答即可； （）根据题意列出算式计算即可判断求解； 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：该企业利润的年平均增长率为， 由题意得，， 解得，（不合，舍去）， 答：该企业利润的年平均增长率为； （2）解：∵， ∴该企业年的利润不能超过万元． 5．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)某市2021年森林和人工绿化面积为20万亩，为了响应十九大的“绿水青山就是金山银山”号召，2023年该市的绿化面积比2021年提高了4.2万亩． (1)求2021底至2023年底该市的绿化面积的年平均增长率． (2)按照这个增长速度，预测2024年底该市的绿化面积． 【答案】(1) (2)万亩 【分析】本题考查了一元二次方程的应用平均增长率，找等量关系列出正确的方程是解题的关键． （1）设年平均增长率为x，根据2021年至2023年两年的增长，建立方程求解； （2）基于第一问的年增长率预测2024年的绿化面积． 【详解】（1）解：设2021底至2023年底该市的绿化面积的年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）； 答：2021底至2023年底该市的绿化面积的年平均增长率是； （2）解：（万亩 ）， 答：预测2024年底该市的绿化面积为万亩． 6．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)某商店在国庆前购进某种文创品，预计每件盈利元，其中年月日至月日的日销售量如图所示． (1)求年月日至月日文创品的日平均增长率； (2)用你学过的知识预估年月日的日销售盈利情况． 【答案】(1)年月日至月日文创品的日平均增长率为； (2)预估年月日的日销售盈利元． 【分析】（）设年月日至月日文创品的日平均增长率为， 由题意得，然后解方程并检验即可； （）根据题意列式计算即可； 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设年月日至月日文创品的日平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：年月日至月日文创品的日平均增长率为； （2）解：由题意可知，（元）， 答：预估年月日的日销售盈利元． 地 城 考点11 实际问题- 其它问题 1．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知米，米，阴影部分为美食推位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺地毯防污的面积为平方米，      (1)求道路的宽是多少米？ (2)该美食节共有摊位个，据调查分析，当每个摊位的日租金为元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨元，就会少租出个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入为元？ 【答案】(1)道路的宽为米； (2)每个车位月租金上涨元时，停车场月租金收入为元． 【分析】（）根据道路的宽为米，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设月租金上涨元，月租金收入为元，根据题意得，然后解方程并检验即可； 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 【详解】（1）解：根据道路的宽为米， 根据题意得，， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米； （2）解：设月租金上涨元，月租金收入为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：每个车位月租金上涨元时，停车场月租金收入为元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02一元二次方程 ☆1大高频考点概览 考点01一元二次方程的概念和解 考点02一元二次方程的解法直接开平方法 考点03一元二次方程的解法配方法 考点04一元二次方程的解法公式法 考点05一元二次方程的解法因试分解法 考点06一元二次方程的解法综合选择 考点07根的判别式 考点08根与系数的关系 考点09实际问题-营销问题 考点10实际问题-增长率问题 考点11实际问题-其它问题 目目 考点01 元二次方程的概念和解 1.(24-25九上广东佛山顺德区·期末)探索方程x2+12x-15=0的正数解的过程如下表： X 0 0.5 1 1.5 x2+12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13 可以看出方程的正数解应介于Q和b之间，则Q,b分别是() A.0,0.5 B.0.5,1 C.1,1.5 D.1.5,2 2.(24-25九上·广东清远清新区·期末)若x=-3是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值是() A.0 B.-2 C.3 D.-3 3.(24-25九上·广东揭阳惠来县·期末)若关于x的一元二次方程2-x+1=0没有实数根，则k的取值范围 是() B.k>且k￥0 4 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.k> D.k<且k*0 4 4.(24-25九上·广东清远清城区·期末)一元二次方程x2+3x-m=0的一个根是x=1,则m的值为() A.2 B.4 C.-4 D.5 5.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0的一个解是x=1,则代数式2023-2b-2a的值为() A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 6.(24-25九上·广东茂名祥和中学期末)若x=4是方程x2-2x+c=0的一个根，则c的值为() A.-8 B.8 C.9 D.-9 7.若m是关于x的方程ax2+bx+5=0的一个解，则am2+bm-3=( A.-2 B.1 C.2 D.-8 8.(24-25九上广东河源紫金县·期末)把一元二次方程x(2x-1=4x化成一般式，则a,b,c的值分别是() A.1,4,1 B.2,-5,0 C.3,4,0 D.-2,-5,1 9.(2425九上·广东珠海金湾区·期末)已知x=2是一元二次方程x2-3x+c=0的一个实数根，则c等于() A.-2 B C. D.2 10.(2425九上广东江门蓬江区·期末)下列方程中，是一元二次方程的是() A.x2+2x+1=0 B.+1=0 c.x-1=0 D.x+y=0 11.(24-25九上广东佛山南海区·期末)请写出一个关于x的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根， 那么这个方程可以是一 12.(24-25九上广东佛山顺德区·期末)写出一个以√5为根的一元二次方程： 13.(24-25九上广东清远英德期末)将方程x2+2x=3化为ax2+bx+c=0的形式后，a=一 b= C= 目目 考点02 一元二次方程解法-直接开平方法 1.(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学期末)解方程： (1)x(x-1=2(x-1: (2)2(x+1)2=8. 2.(24-25九上·广东深圳福田石厦学校适考)解方程 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)2x-1)2=4; (2)(x+3)2=2x+5. 3.(23-24九上·广东清远阳山县期末)解方程： (1)x2-4x+2=0. (2)2x2-16=0: 目目 考点03 一元二次方程解法一配方法 1.(24-25九上广东佛山顺德区·期末)方程x2+8x-9=0配方结果正确的是() A.(x+4)2=7B.（x+4)2=25 C.(x-4)2=7 D.（x-4)2=25 2.(24-25九广东惠州期末)解方程： (1)x2-2x-1=0 (2)x☐-2x-5=0 3.(23-24九上广东湛江赤坎区期末)用适当的方法解下列一元二次方程：x2-2x-1=0· 4.(24-25九上广东佛山三水区期末)解下列方程： (1)x2-4x+1=0; (2)x(x-2)=3x-6. 5.(24-25九上·广东清远连州期末)下面是小华利用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应 的任务。 解：x2+4x-5=0. 移项，得x2+4x=5,第一步 配方，得x2+4x+16=5+16,即(x+4)2=21第二步 由此，可得x+4=±√21. 第三步 .X1=√21-4，X2=-√21-4.…第四步 请完成下列任务： (1)上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是 其中，“配方法”所依据的数学公式是 (填“完全平方公式”或“平方差公式”) (2)小华同学利用配方法解题过程中，从第 步开始出现错误，请写出正确的解题过程。 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(24-25九上广东佛山禅城区期末)(1)填空：方程x(x+1=0的根为； (2)解方程：x2-4x+2=0 7.(24-25九上广东揭阳普宁期末)设一元二次方程x2+bx+c=0,在下面的四组条件中选择其中一组b,c 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程. ①b=2,c=1; ②b=3,c=1: ③b=3,c=-1; ④b=2,c=2. 目目 考点04 一元二次方程解法公式法 1.(24-25九上广东深圳宝安区孝德学校期末)解方程： (1)2x2-2x-1=0; (2)x+3-xx+3)=0. 2.(24-25九上·广东清远英德·期末)如图，在ABC中，AB>AC. D (I)实践与操作：利用尺规作图，过AC上一点D作直线DE交AB于点E,使所得的ABC与ADE相似； (要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) (2)在(1)的条件下，若AE=2,AB=5,CD=2,求AD的长 3.(24-25九广东东莞翰林实验学校期末)解方程：x2-5x+2=0. 4.(24-25九上·广东江门蓬江区·期末)解方程：2x2+5x=x+2 5.(24-25九广东惠州期末)解方程： (1)x2+4x+1=0 (2)x2-10x+24=0 目目 考点05 元二次方程解法-因式分解法 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(24-25九上·广东清远清新区·期末)一元二次方程x2-4x=0的解为() A.x=0 B.x=4 C.x=0或x=4 D.x=±2 2.(24-25九上·广东揭阳普宁.期末)解这个方程x(2x+3)-32x+3)=0最简单的方法是() A.公式法 B.因式分解法 C.配方法 D.直接开平方法 3.(24-25九上广东清远阳山白莲中学期末)解方程：（x-5)(x+2)=8 4.(24-25九上·广东深圳龙岗区宏扬学校期末)解方程： (1)x2-4x+3=0 (2)x-2)(3x-5=1 5.(24-25上·广东珠海凤凰中学·期末)(1)解方程：x(x-2)-3=0. (2)填空：如图是计算机中“扫雷”游戏的画面，在一个有9×9个小方格的正方形雷区中，随机埋藏着3颗 地雷，每个小方格内最多只能埋藏1颗地雷.小王在游戏开始时随机地踩中一个方格，踩中后出现了如图 所示的情况，我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（划线部分），A区域外的部分记为B区域， 数字3表示在A区域中有3颗地雷，每个小方格中最多只能藏一颗.那么，第二步应该踩在A区域还是B 区域？ 解：：再继续踩在A区域踩到地雷的概率为_，而踩在B区域踩到地雷的概率为_-， ∴.第二步应该踩在B区域. 3 6.(24-25九上广东江门鹤山振华学校)解下列方程： (1)x2-2x-3=0; (2)xx-4=5(4-x. 7.(24-25九上广东河源紫金县期末)解方程：3(x-7)=2x(x-7). 8.(24-25九上广东茂名崇文学校期末)按要求完成下列各小题. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)解方程：（x-5)2+x(x-5)=0; (2)计算：tan45°+sin260°-（元-cos21)°. 9.(24-25九上·广东佛山顺德区期末)已知x2-2x+m=0是关于x的一元二次方程. (1)当m=-3时，求方程的解： (2)若x,x2是方程的两个实数根，且x1x2+2(x+x2>0,求m的取值范围. 10.(24-25九上广东揭阳惠来县期末)(1)计算：-√27 +6c0s30 3-2 (2)解方程：x2-9=2x-6. 11.(24-25九上·广东清远阳山县青莲中学.期末)关于x的一元二次方程x2+3x+c=0. (1)当c=-4时，求方程的根； (2)若方程有两个不相等的实数根，求c的取值范围. 目目 考点06 一元二次方程解法-综合选择 1.(24-25九上·广东清远清新区·期末)【阅读材料】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为 X、,则x+:=-6,5=二，这就是一元二次方程根与系数的关系.根据上述材料，结合你所学的 b a a 知识，完成下列问题： (1)【材料理解】 一元二次方程2x2-5x-1=0的两根为X1、x3,则x1+x2=，xx2=; (②)【类比运用】已知关于x的一元二次方程-(2k+1x+)k2-2=0.若方程的两个实数根为X、5,满 足x+2=2xx+5,求k的值. (3③)【思维拓展】已知实数m,n,满足3m2+6m-5=0,3m2+6n-5=0,且m≠n,求”+”的值. m n 2.(24-25九上广东清远英德期末)解方程： (1)x2-4x-45=0: (2)x(x+3)=2(x+3). 3.(24-25九上广东佛山南海区·期末)解方程：（x-2)(x+3)=14. 4.(23-24九上广东汕头龙湖区·期末)已知关于x的方程x2-+k-1=0. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)方程有一根为2，求k的值： (2)求证：不论k为何值，方程总有实数根. 目目 考点07 根的判别式 1.2425九上广东清远阳山白莲中学期末)关于反比例函数y=3的图象，下列说法正确的是() A.图象经过点(0，-3) B.两支曲线分别位于第二、四象限 C.在每一象限内，y随x的增大而减小D.与直线y=2x-7没有交点 2.(24-25九上·广东佛山南海区·期末)一元二次方程x2+5x+6=0的根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 3.(24-25九上·广东河源紫金县·期末)关于x的方程x2-x-1=0的根的情况，下列结论中正确的是() A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法确定根的情况 4.(24-25九上广东清远阳山白莲中学·期末)下列关于一元二次方程2x2+x-1=0根的情况说法正确的是 () A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 5.(24-25九上·广东清远连州期末)若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0有两个不相等的实数根，则实数 m的取值范围为() A.m<4 B.m<-4 C.m<16 D.m<-16 6.(24-25九上·广东清远清城区·期末)若一元二次方程x2+x+9=0有两个相等的实数根，则m的值是() A.±6 B.±9 C.9 D.6 7.(23-24九上广东东莞·期末)已知关于x的一元二次方程x2-(k+4x+3+2k=0. (1)求证：此方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根为x,:·若x>0,x2<0,求k的取值范围。 8.(24-25九上广东东莞期末)已知关于x的一元二次方程x2+kx+k-2=0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若方程的一个实数根是2，求另一个实数根和k值. 9.已知关于x的一元二次方程x2-2x+k-1=0. ()若此方程有两个相等的实数根，求实数k的值： (2)已知x=3是此方程的一个根，求方程的另一个根及k的值. 10.(24-25九上广东东莞万江区期末)已知x,x2是方程2x2-5x+1=0的两实数根，求下列各式的值. (1)xx+xx2; (2)x1-x2 11.(24-25九上·广东广州荔湾区期末)若x,x2是关于x的一元二次方程x2-10x+4m=0的两个实数根，且 x1+x2+xx=26,求m的值. 12.(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)中国新能源汽车市场异常火爆，销量持续攀升.某汽车销售公司以 每辆18万元的价格购入一批新能源汽车进行销售.当定价为26万元每辆时，平均每周能卖出10辆.现公 司计划开展让利销售，市场调研表明：售价每降低1万元，平均每周能多卖出2辆.若要每周的销售利润 达到84万元，且尽可能给顾客更多优惠，则每辆汽车的售价应定为多少？ 13.(24-25九上·广东汕头期末)某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天 的销售量y(件)与每件的销售单价x(元)满足一次函数关系：y=-2x+140(x>40), (1)当x=50时，利润为元： (2)若该公司要获得418元的利润，求每件的销售单价 14.(24-25九上广东广州越秀区期末)某商品现在的售价为60元，每星期可卖出300件.市场调查反映： 如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，己知商品的进 价为每件39元. (1)若降价2元，每星期可以卖出多少件该商品？ (2)若要每星期获利6480元，应该涨价多少元？ 目目 考点08 根与系数的关系 1.(24-25九上广东广东广州知用学校期末)已知a,B是方程x2-2x-2024=0的两个实数根，则 a2-4a-2B+aB的值是() A.-4 B.4 C.-2 D.2 / 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(24-25九上·广东汕头潮南区峡山统考)已知a,b是方程x2+x-3=0的两个实数根，则a2-b+2019的 值是() A.2019 B.2021 C.2022 D.2023 3.(24-25九上·广东广州越秀区广东实验中学越秀学校期末)已知α，B是方程x2-2x-2024=0的两个实数 根，则a2-4a-2B-2的值是() A.2016 B.2018 C.2022 D.2024 4.(24-25九上·广东揭阳榕城区期末)已知关于x的方程x2-3x-5=0的两个实数根为x,x2,则xx2的值为 () A. 3 B.-3 C.5 D.-5 5.(24-25九上广东清远阳山县青莲中学期末)若x1,,2是一元二次方程3x2-x-4=0的两根，则 X1+x2=_;XX2= 6.(24-25九上广东广州知用学校期末)若x、七2是方程x2+2x-2028=0的两个实数根，则代数式 x2+4x+2x2的值等于一· 7.(24-25九上·广东河源紫金县期末)若x,:2是方程x2-5x+4=0的两个根，则代数式 x2-4x1+x2= 8.(2425九上广东广州荔湾区·期末)己知m,n是方程x2-2x-3=0的两个根，则代数式m2-2m+mn的值 为一 9.(24-25九上广东汕头金平区)若关于x的方程x2-3x-1=0的两根为xx2,则 x1x2+X1+x2= 10.(24-25九上广东广州天河区·期末)设x1,x2是方程x2+5x=0的两个根，则x+x2= 目目 考点09 实际问题-营销问题 1.(24-25九上·广东江门)体育点燃梦想，奥运余温传至大湾区，第十五届全运会的举办将掀起新一轮运动 浪潮.某市参加体育运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率， (②)为支持市民的体育运动，市政府决定从某公司购买某种运动器材套装.该公司规定：若购买数量不超过 120套，则每套售价2400元；若购买数量超过120套，则每增加10套，售价每套可降低50元，但最低售 价不得少于1500元.已知市政府向该公司支付货款40万元，求该市政府购买的这种运动器材的套数。 2.(24-25九上·广东河源龙川第一实验学校期末)已知某商场经营某种新型电子产品，购进时的单价为100 元/件，售价为每件240元.该商场在试销中发现，如果以定价售出，那么每天可售出200件；如果售价每 降低1元，那么销售量就可以增加10件. (1)当售价为每件多少元时，商场每天销售该电子产品获得的利润最大？最大利润是多少？ (2)若商场想每天获得60000元的利润，同时又要减少库存，则该电子产品的售价应定为每件多少元？ 3.(2425九上·广东清远清城区·期末)直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在某平台上对一款成本价为 30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出30件，通过市场调查发现，每件小商品 售价每降低5元，日销售量增加10件， (1)若日获利1000元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ (2)经统计，促销活动后第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件，如果第二日、第三日销售的增 长率相同，求该款小商品的日平均增长率 目目 考点10 实际问题一增长率问题 1.(2425九上广东清远连州期末)“读万卷书，行万里路.”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外 阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的全年144万字，设该校七至九年级人均 阅读量年均增长率为x,则可列方程为() A.64(1+x)2=144 B.64(1+x%)2=144 C.64(1+2x)=144 D.64+64(1+x)+64(1+x)2=144 2.(24-25九上·广东河源龙川第一实验学校·期末)某校截止2023年底，校园绿化面积为1000平方米，为美 化环境，该校计划2025年底绿化面积达到1440平方米.利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长 率为x,则依题意可列方程() A.1000(1-x=1440 B.10001+x)2=1440 C.1440(1-x)2=1000 D.1440(1+x)2=1000 3.(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)某污水净化站今年10月份净化污水6万吨，12月份增加到7.26万吨，