专题03 概率的进一步认识3考点（期末真题汇编，广东专用）九年级数学上学期北师大版

专题03 概率的进一步认识 3大高频考点概览 考点01 随机事件与概率 考点02 列举法或树状图法求概率 考点03 用频率估计概率 地 城 考点01 随机事件与概率 1．(24-25九上·广东清远英德·期末)盒子里装有5张质地均匀、大小相同的数字卡片，上面分别写着1，2，3，4，5．从盒中任意摸出一张卡片，摸出偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·广东清远英德·期末)随着移动互联网的兴起和智能手机的普及，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为30的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为（   ） A． B． C．12 D．18 3．(24-25九上·广东清远连州·期末)在一个不透明的袋一里有白球、黄球共40个，这些球除颜色外都相同，小华通过多次实验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子中白球的个数可能是（   ） A．12 B．16 C．17 D．20 4．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)在一个不透明的箱子里有个除颜色外完全相同的小球，其中白球只有6个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到白球的频率为，由此可以推算出约为（    ） A．10 B．15 C．16 D．21 5．(24-25九上·广东清远清城区·期末)概率试验活动环节，数学老师连续随机掷一枚质地均匀的硬币，前4次的结果都是正面朝上，则第5次的结果是正面朝上的概率是（   ） A． B． C． D．1 6．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)在一副完好的扑克牌中随机抽取一张牌，恰好抽中的是“方片3”的概率为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·广东清远阳山县青莲中学·期末)一只不透明的袋子中装有红球和白球共40个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是，则袋中有 个红球． 8．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期末)小宇和小辉所在的科学社团研究了四种生活现象，先将“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用”“D．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（为物理现象，主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽． (1)小宇随机抽取一张卡片，正面图案是化学变化的概率是______； (2)这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 小辉小宇 A B C D A B C D 9．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)2024年国庆假期，佛山各旅游景区持续火热．小王和小李准备到祖庙、千灯湖、西樵山、南海影视城（分别记作、、、）参加公益讲解活动． (1)若小王在这4个景区中随机选择1个景区，则选中祖庙的概率是_________； (2)小王和小李在、、三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小王和小李选到相同景区的概率． A B C A B C 10．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)0．3月14日是国际数学日．学校在当天举行了数独、魔方、24点游戏、数字华容道和数字猜谜等丰富多彩的活动，并采用积分制激励学生积极参与活动．甲、乙、丙、丁四人积分位居前列． (1)若从以上四人中随机选取一人介绍活动经验，求甲被选中的概率； (2)若从以上四人中随机选取两人介绍活动经验，求甲，乙同时被选中的概率． 11．(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)项目式学习【项目背景】为方便师生雨天出行，某校在校园内设置了4个共享雨伞放置区，总投放240把雨伞．小明发现雨天时各放置区的雨伞使用效率差别很大，有些放置区的雨伞不够用，而有些放置区的雨伞被闲置，为探究雨伞的合理投放方案，小明和同学们展开了研究． 【数据收集】在雨天到各放置区对师生使用共享雨伞的情况，人流量进行数据收集，数据如表1，表2： 表1：师生使用共享雨伞情况的抽样调查数据 放置区 教学楼 图书馆 饭堂 宿舍楼 经过放置区的师生人数 80 110 70 90 使用共享雨伞的人数 6 8 7 6 表2：雨天经过放置区的平均人流量 放置区 教学楼 图书馆 饭堂 宿舍楼 人流量（单位：人） 280 330 200 225 【问题解决】 (1)经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是多少？ (2)请设计一个合理的投放方案，应对该校师生使用共享雨伞的需求． 地 城 考点02 有理数的概念列举法或树状图法求概率 1．(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)某超市推出促销活动吸引顾客：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0”，“10”，“20”，“30”，顾客只要在超市一次性消费满200元，便可从箱子同时摸出两个小球，并根据两球所标金额之和换取等值的购物券，陈叔叔消费了200元，则他所获得购物券的金额不低于30元的概率是（   ） A． B． C． D． 0 10 20 30 0 10 20 30 2．(24-25九上·广东江门·)一个盒子中装有除颜色外其他都相同的20个蓝色小球和若干个红色小球．小明通过多次摸取小球的试验发现，摸取到红色小球的频率稳定在0.2左右，则盒子中约有 个红色小球． 3．(24-25九上·广东清远英德·期末)“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． (1)小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． (2)小强和小刚玩游戏，在（1）的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 4．(24-25九上·广东清远清新区·期末)“探索科技乐趣，体验智慧生活”．在清远研学活动中，某研学基地提供了四类适合学生选择的兴趣场馆：A国防军事馆，B航空航天馆，C模拟法庭馆，D生命科学实验室．为了解学生选择的兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 兴趣类别 A国防军事馆 B航空航天馆 C模拟法庭馆 D生命科学实验室 学生人数/名 240 m 140 100 (1)本次抽查的学生人数是________人，统计表中的________． (2)在扇形统计图中如图所示，“D生命科学实验室”对应的圆心角的度数是________． (3)若该校共有2600名学生，请你估计该校学生选择“C模拟法庭馆”兴趣的学生人数． (4)在“A国防军事馆”“B航空航天馆”“C模拟法庭馆”“D生命科学实验室”四个场馆中，若小文、小明随机选取四个场馆中的一个去参观，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一场馆参观的概率． 5．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)在月日“世界读书日”来临之际，某校为了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间（单位：时），把调查结果分为四档，档：；档：；档：；档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： 档和档的所有数据是：，，，，，，，，，，，； 图和图是两幅不完整的统计图． 根据以上信息解答问题： (1)求本次调查的学生人数，并将条形统计图补充完整； (2)已知该校共名学生，请你估计该校档的学生人数； (3)该校要从档的名学生中随机抽取名分享读书经验，已知这名学生中，名来自七年级，名来自八年级，名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的名学生来自不同年级的概率． 6．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)2024年11月4日，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功，为了让同学们进一步了解中国科技的快速发展，某班组织了一次手抄报比赛，该班每位同学从．“北斗导航”；．“时代”；．“东风快递”；．“无人智能”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： (1)该班共有__________名学生； (2)补全折线统计图； (3)小明和小丽从、、、四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率． 7．(24-25九上·广东清远连州·期末)希望中学做了如下表的调查报告（不完整）： 调查目的 了解本校学生：最喜欢的数学类校本课程 调查方式 随机问卷调查 调查对象 随机问卷调查部分七年级学生 调查内容 你最喜欢的数学类校本课程是（必选且只选一门）（   ） A．趣味数学   B．数学文化   C．数学家的故事   D．数学电影赏析 调查结果 结合调查信息，回答下列问题： (1)请补全统计图． (2)若某校七年级学生有1000人，估算七年级学生中选择趣味数学的有多少人． (3)小明和小华热爱数学，他们分别从以上四门校本课程中选择了一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率． 8．现有四张不透明的卡片，它们的背面完全一样，正面分别写有马家窑文化、齐家文化、辛店文化、寺洼文化，将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌子上． (1)从中随机抽取一张，抽到“辛店文化”的概率为______； (2)从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张，请通过画树状图或列表法，求抽到的两张卡片所写的都属于石器时代文化（即：马家窑文化和齐家文化）的概率． 由图可得共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片所写的都属于石器时代文化的结果数为2， 所以抽到的两张卡片所写的都属于石器时代文化的概率为 9．(24-25九·广东惠州·期末)某校要求学生暑假进行社会调查，每人必须完成至份报告，调查结束后随机抽查了名学生每人完成报告的份数，并分为四类，A：份；B：份；C：份；D：份，各类的人数绘制成扇形图（如图1）和尚未完整的条形图（如图2），回答下列问题： (1)请将条形统计图2补充完整； (2)这名学生每人完成报告份数的众数是______，中位数是______． (3)从四类报告中随机选取2类，请用画树状图法或列表法，求A、B都被选中的概率． 10．(24-25九上·广东广州白云区白云实验学校·期末)初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为_______度，并将条形统计图补充完整． (2)此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 11．(24-25九上·广东阳江江城区·期末)2024年12月1日，阳江核电•2024阳江海陵岛马拉松在海陵岛螺洲海滨公园鸣枪开跑．来自国内外的10783名参赛选手踏上山海相依、风光秀美的赛道，感受“绿能之都，海丝名城”的独特魅力．本届赛事共设置A．马拉松，B．半程马拉松和C．欢乐跑三个项目．请解答下列问题： (1)若甲随机选择一个项目参赛，则选择的是“C．欢乐跑”的概率为 　　； (2)甲、乙两人从A．马拉松，B．半程马拉松和C．欢乐跑这三个项目中各选择一个项目参赛，请用列表或画树状图的方法求甲、乙两人恰好选择同一项目的概率． 12．(24-25九上·广东惠州惠城区·期末)一个不透明的布袋中装有4个只有颜色不同的球，其中有1个黄球、1个白球、2个红球． (1)任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球．求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）； (2)现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值． (3)若在袋中再加入8个球（黄白红三种颜色都有），其中包含x个白球．将全部球搅拌均匀后，随机摸出一个是白球的概率为P，则P关于x的函数是______，x的取值范围是____． 13．(24-25九上·广东江门江海区·期末)量子计算原型机“九章”求解数学算法高斯玻色取样的速算只需200秒，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家，牢固确立了我国在国际量子计算研究领域的领先地位．为了解初中学生对量子计算的知晓情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据学生的答题情况，将结果分为A，B，C，D四类，分别表示“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解” 等级 A B C D 人数（人） 30 60 40 20 请根据以上信息，解答下列问题： (1)若该校共有初中学生3000名，请你估计该校初中学生对量子计算“非常了解”的人数； (2)学校准备从非常了解量子计算的四位同学（3男1女）中选2位同学参加知识问答竞赛，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中一男一女的概率． 14．(24-25九上·广东江门鹤山·期末)4件同型号的产品中，有1件不合格品（编号为1）和3件合格品（编号为2，3，4），从这4件产品中随机抽取1件，不放回，接着再随机抽取1件进行检测，求抽取到都是合格品的概率． 1 2 3 4 1 2 3 4 15．(24-25九上·广东汕头·期末)随着时代的发展，科技的进步，进入移动支付时代后，支付方式的转变不仅让大家生活更便捷，也改变着人们的消费观念．某超市为方便顾客购物付款，可供顾客选择的付款方式有以下四种：A．现金支付，B．刷卡支付，C．微信支付，D．支付宝支付．每种付款方式被选择的可能性是相同的． (1)小明的妈妈去该超市购物，选择“C．微信支付”的概率为_____； (2)若甲、乙两人在该超市购物，请你通过列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择不同付款方式的概率． A B C D A B C D 16．(24-25九上·广东广州越秀区·期末)已知①号盒子中有2个白球、1个黄球，②号盒子中有m个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别． (1)若从②号盒子中随机取出1个球，它是黄球的概率是，求m的值； (2)在（1）的条件下，分别从每个盒子中随机取出1个球，请用列表或画树状图的方法求取出的2个球恰好都是黄球的概率． ①② A B a C D b c 地 城 考点03 用频率估计概率 1．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)一个不透明的盒子中装有红球和白球共20个，它们除颜色不同外，其余均相同．从盒子中随机摸出一个球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到白球．由此估计盒子中的白球大约有（    ） A．8个 B．10个 C．12个 D．14个 2.二维码在日常生活中被广泛应用．如图，兴趣小组将二维码打印在面积为的正方形纸片上，利用计算机软件进行随机掷点模拟实验，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.4左右，据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（    ）    A． B． C． D． 3．(24-25九上·广东惠州惠城区·期末)如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·广东广州越秀区·期末)北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为迎接春节到来，某商场规定：购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会，如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品，转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为（   ） A． B． C． D． 5．(23-24九上·广东深圳·期末)如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 落在“心形线”内部的次数 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·广东清远连州·期中)在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将袋中的小球摇均匀，随机摸出一个球记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中黑球约有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．(23-24九上·广东连州·期末)在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到白色球的频率稳定在，则口袋中白色球的个数可能是（　　） A．24 B．18 C．16 D．6 8．(24-25九上·广东江门蓬江区·期末)在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外无其他差别的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数m 61 93 b 301 480 601 摸到红球的频率 a 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 (1)上表中的 ， ； (2)“摸到红球”的概率的估计值是 （精确到0.1）； (3)如果袋中有24个红球，那么袋中除了红球外，还有多少个其它颜色的球？ 9．(24-25九下·广东肇庆·期末)“2024年11月 24日，肇庆市举行了马拉松比赛”，赛事共有三项：A“马拉松”、B“半程马拉松”、C“欢乐跑”，小明和小 东参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组，为估算本次赛事参加“欢乐跑”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“欢乐跑”人数 21 45 79 200 401 参加“欢乐跑”频率 0.360 0.450 ______ 0.400 0.401 (1)请填出表中所缺的数据． (2)请估算本次赛事参加“欢乐跑”人数的概率_____．（精确到0.1） (3)若本次参赛选手大约有20000人，请你估计参加“欢乐跑”的人数是多少？ (4)利用画树状图或列表的方法，求小明和小东同时被分配到“欢乐跑”项目组的概率． 小明小东 A B C A A、A B、A C、A B A、B B、B C、B C A、C B、C C、C 10．(23-24九上·广东清远清城区·期末)“清远市2023年的首场马拉松比赛”共设两个项目，分别是“半程马拉松”（21.0975公里）和“迷你马拉松”（约5公里）． (1)为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，组委对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 20 50 100 200 500 参加“迷你马拉松”人数 15 33 72 139 356 参加“迷你马拉松”频率 0.750 0.660 0.720 0.695 0.712 请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为____．（精确到0.1） (2)小明（来自北京市），小军（来自长沙市）、小红（来自清远市）、小丽（来自广州市）四人报名参加“迷你马拉松”志愿者遴选，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取两名来自广东省外的志愿者的概率． 小明 小军 小红 小丽 小明 小军，小明 小红，小明 小丽，小明 小军 小明，小军 小红，小军 小丽，小军 小红 小明，小红 小军，小红 小丽，小红 小丽 小明，小丽 小军，小丽 小红，小丽 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 概率的进一步认识 3大高频考点概览 考点01 随机事件与概率 考点02 列举法或树状图法求概率 考点03 用频率估计概率 地 城 考点01 随机事件与概率 1．(24-25九上·广东清远英德·期末)盒子里装有5张质地均匀、大小相同的数字卡片，上面分别写着1，2，3，4，5．从盒中任意摸出一张卡片，摸出偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求解随机事件的概率，用出现偶数的情况除以总情况数即可． 【详解】解：总共有5种情况，摸出偶数的情况有2种， 故摸出偶数的概率是． 故选：B． 2．(24-25九上·广东清远英德·期末)随着移动互联网的兴起和智能手机的普及，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为30的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为（   ） A． B． C．12 D．18 【答案】D 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率， 然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在阴影部分的概率为， 设阴影部分面积为S，则， 即：， ∴黑色阴影的面积为18， 故选：D． 3．(24-25九上·广东清远连州·期末)在一个不透明的袋一里有白球、黄球共40个，这些球除颜色外都相同，小华通过多次实验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子中白球的个数可能是（   ） A．12 B．16 C．17 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．根据白球在总数中所占比例与实验所得频率应该相等，列式解答即可求出答案． 【详解】解：∵通过多次实验发现，摸到白球的频率稳定在左右， ∴摸到白球的概率为， ∴袋子中白球的个数可能为（个）． 故选：B． 4．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)在一个不透明的箱子里有个除颜色外完全相同的小球，其中白球只有6个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到白球的频率为，由此可以推算出约为（    ） A．10 B．15 C．16 D．21 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，根据白球的个数除以它占总数的比例即为球的总数，求出即可，解题的关键是能够根据大量重复试验中频率稳定于概率得出概率． 【详解】解：∵通过大量的重复试验后发现，摸到白球的频率为， ∴， 解得：， ∴约为， 故选：B． 5．(24-25九上·广东清远清城区·期末)概率试验活动环节，数学老师连续随机掷一枚质地均匀的硬币，前4次的结果都是正面朝上，则第5次的结果是正面朝上的概率是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了概率的意义，概率公式．根据概率的意义，即可解答． 【详解】解：概率试验活动环节，数学老师连续随机掷一枚质地均匀的硬币，前4次的结果都是正面朝上，则第5次的结果是正面朝上的概率是， 故选：A． 6．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)在一副完好的扑克牌中随机抽取一张牌，恰好抽中的是“方片3”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 ． 根据一副完整扑克牌的特点，得出扑克牌是“方片3”的张数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：∵一副有 54 张的完整扑克牌中，扑克牌是 “方片3”的有1张， ∴从中随机抽取一张，抽得的扑克牌是“方片3”的概率是； 故选：D． 7．(24-25九上·广东清远阳山县青莲中学·期末)一只不透明的袋子中装有红球和白球共40个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是，则袋中有 个红球． 【答案】4 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：设袋中有个红球， 由题意可得：， 解得：， ∴袋中有红球个数是4个， 故答案为：4． 8．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期末)小宇和小辉所在的科学社团研究了四种生活现象，先将“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用”“D．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（为物理现象，主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽． (1)小宇随机抽取一张卡片，正面图案是化学变化的概率是______； (2)这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【答案】(1) (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：小宇随机抽取一张卡片，正面图案是化学变化的概率是； 故答案为：； （2）解：公平，理由如下： 将冰雪融化、镜花水月、光合作用、冰雪消融、葡萄酿酒分别用表示，列表如下： 小辉小宇 A B C D A B C D 由表可知，共有16种等可能的结果，其中他们抽取的两张卡片上都是化学变化的有4种，他们抽取的两张卡片上都是物理变化的有4种． （抽取的两张卡片正面图案均为化学变化）， （抽取的两张卡片上都是物理变化）， 故这个规则对他们双方公平是公平的． 9．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)2024年国庆假期，佛山各旅游景区持续火热．小王和小李准备到祖庙、千灯湖、西樵山、南海影视城（分别记作、、、）参加公益讲解活动． (1)若小王在这4个景区中随机选择1个景区，则选中祖庙的概率是_________； (2)小王和小李在、、三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小王和小李选到相同景区的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了画树状图或列表的方法求概率，简单的概率公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）先用画树状图或列表的方法画出表格，得到共有9种等可能结果，其中小王和小李选到相同景区的结果有3种，即可求解． 【详解】（1）解：小王在这4个景区中随机选择1个景区，则选中祖庙的概率是， 故答案为：； （2）列表如下： A B C A B C 共有9种等可能结果，其中小王和小李选到相同景区的结果有3种， ∴小王和小李选到相同景区的概率为． 10．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)0．3月14日是国际数学日．学校在当天举行了数独、魔方、24点游戏、数字华容道和数字猜谜等丰富多彩的活动，并采用积分制激励学生积极参与活动．甲、乙、丙、丁四人积分位居前列． (1)若从以上四人中随机选取一人介绍活动经验，求甲被选中的概率； (2)若从以上四人中随机选取两人介绍活动经验，求甲，乙同时被选中的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率公式求概率，画树状图法求概率，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据概率公式即可求解； （2）根据题意，画出树状图，进而根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：∵一共有4个人，每个人被选取的概率相同， ∴从这四人中随机选取一人，恰好选中A同学参加活动的概率是； （2）解：树状图如下∶ ， 共有12种等可能的结果，其中符合条件的有2种， 所以甲、乙两人恰好同时选中的概率． 11．(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)项目式学习【项目背景】为方便师生雨天出行，某校在校园内设置了4个共享雨伞放置区，总投放240把雨伞．小明发现雨天时各放置区的雨伞使用效率差别很大，有些放置区的雨伞不够用，而有些放置区的雨伞被闲置，为探究雨伞的合理投放方案，小明和同学们展开了研究． 【数据收集】在雨天到各放置区对师生使用共享雨伞的情况，人流量进行数据收集，数据如表1，表2： 表1：师生使用共享雨伞情况的抽样调查数据 放置区 教学楼 图书馆 饭堂 宿舍楼 经过放置区的师生人数 80 110 70 90 使用共享雨伞的人数 6 8 7 6 表2：雨天经过放置区的平均人流量 放置区 教学楼 图书馆 饭堂 宿舍楼 人流量（单位：人） 280 330 200 225 【问题解决】 (1)经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是多少？ (2)请设计一个合理的投放方案，应对该校师生使用共享雨伞的需求． 【答案】(1)经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是； (2)投放方案是教学楼63把，图书馆72把，饭堂60把，宿舍45把 【分析】本题主要考查了统计与概率，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由表格直接代入公式求解即可； （2）先计算4个放置区使用共享雨伞的平均人数，从而得到雨天使用的平均人数，进而根据比例求解即可． 【详解】（1）解：由表1可知，经过饭堂的师生有70人，使用共享雨伞的有7人， ∴经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是． 答：经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是； （2）解：4个放置区使用共享雨伞的平均人数分别是： 教学楼：   图书馆： 饭堂：   宿舍楼： ∴雨天使用共享雨伞的平均人数约为：， ∴教学楼：   图书馆：   饭堂：   宿舍楼： ∴投放方案是：教学楼63把，图书馆72把，饭堂60把，宿舍45把． 答：投放方案是：教学楼63把，图书馆72把，饭堂60把，宿舍45把． 地 城 考点02 有理数的概念列举法或树状图法求概率 1．(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)某超市推出促销活动吸引顾客：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0”，“10”，“20”，“30”，顾客只要在超市一次性消费满200元，便可从箱子同时摸出两个小球，并根据两球所标金额之和换取等值的购物券，陈叔叔消费了200元，则他所获得购物券的金额不低于30元的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及他所获得购物券的金额不低于30元的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 0 10 20 30 0 10 20 30 共有12种等可能的结果，其中他所获得购物券的金额不低于30元的结果有：，，，，，，，，共8种， 他所获得购物券的金额不低于30元的概率为． 故选：B． 2．(24-25九上·广东江门·)一个盒子中装有除颜色外其他都相同的20个蓝色小球和若干个红色小球．小明通过多次摸取小球的试验发现，摸取到红色小球的频率稳定在0.2左右，则盒子中约有 个红色小球． 【答案】5 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据题意，得到摸取到红色小球的概率为，设盒子里有个红色小球，根据概率公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵摸取到红色小球的频率稳定在0.2左右， ∴摸取到红色小球的概率为， 设盒子里有个红色小球，由题意，得：， 解得：； 故盒子中约有5个红色小球； 故答案为：5． 3．(24-25九上·广东清远英德·期末)“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． (1)小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． (2)小强和小刚玩游戏，在（1）的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 【答案】(1) (2)公平，见解析 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）画树状图得出所有等可能的结果数和两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的结果数，再利用概率公式可得出答案． （2）根据两人抽到的卡片有指南针的结果数有种，得出小强、小刚胜的概率分别为，即可求解． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“A．指南针”和“B．造纸术”的结果有2种， 两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率为． 故答案为： （2）解：上述游戏公平，理由如下： 两人抽到的卡片有指南针的结果数有种， ∴小强胜的概率为 小刚胜概率为 ∴上述游戏公平 4．(24-25九上·广东清远清新区·期末)“探索科技乐趣，体验智慧生活”．在清远研学活动中，某研学基地提供了四类适合学生选择的兴趣场馆：A国防军事馆，B航空航天馆，C模拟法庭馆，D生命科学实验室．为了解学生选择的兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 兴趣类别 A国防军事馆 B航空航天馆 C模拟法庭馆 D生命科学实验室 学生人数/名 240 m 140 100 (1)本次抽查的学生人数是________人，统计表中的________． (2)在扇形统计图中如图所示，“D生命科学实验室”对应的圆心角的度数是________． (3)若该校共有2600名学生，请你估计该校学生选择“C模拟法庭馆”兴趣的学生人数． (4)在“A国防军事馆”“B航空航天馆”“C模拟法庭馆”“D生命科学实验室”四个场馆中，若小文、小明随机选取四个场馆中的一个去参观，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一场馆参观的概率． 【答案】(1)800，320 (2) (3)455人 (4) 【分析】本题考查了扇形统计图、由样本估计总体、列表法或画树状图法求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用A类别人数及其所占百分比即可得出本次抽查的学生人数，总人数乘以B类别人数所占比例即可得出的值； （2）用乘以D类别人数所占比例即可得解； （3）总人数乘以样本C类别人数所占比例即可得解； （4）列表得出所有等可能出现的结果，找出其中符合题意的结果，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：本次抽查的学生人数是人，统计表中的； （2）解：在扇形统计图中如图所示，“D生命科学实验室”对应的圆心角的度数是； （3）解：若该校共有2600名学生，估计该校学生选择“C模拟法庭馆”兴趣的学生人数为（人）； （4）解：列表得： 共有16种等可能出现的结果，其中他们选择同一场馆参观的情况有种， ∴． 5．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)在月日“世界读书日”来临之际，某校为了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间（单位：时），把调查结果分为四档，档：；档：；档：；档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： 档和档的所有数据是：，，，，，，，，，，，； 图和图是两幅不完整的统计图． 根据以上信息解答问题： (1)求本次调查的学生人数，并将条形统计图补充完整； (2)已知该校共名学生，请你估计该校档的学生人数； (3)该校要从档的名学生中随机抽取名分享读书经验，已知这名学生中，名来自七年级，名来自八年级，名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的名学生来自不同年级的概率． 【答案】(1)人，见解析 (2)人 (3) 【分析】（1）先计算出档人数，则利用档人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，接着计算出档人数，然后补全条形统计图； （2）用乘以样本中档人数所占的百分比即可； （3）先列出表格展示种等可能的结果，再找出抽到的名学生来自不同年级的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：档和档共有个数据，而档有人， 档共有（人）， 本次调查的学生人数为（人）， 档的人数为（人）， 补全条形统计图如下： ； （2）解：（人）， 故该校档的学生人数为； （3）解：用表示七年级学生，用和分别表示八年级学生，用表示九年级学生，列表如下： 由上表可知，共有种等可能出现的结果，其中抽到的名学生来自不同年级的结果有种， 所以抽到的名学生来自不同年级的概率． 【点睛】本题考查了画条形统计图、样本估计总体、列表法、概率公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 6．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)2024年11月4日，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功，为了让同学们进一步了解中国科技的快速发展，某班组织了一次手抄报比赛，该班每位同学从．“北斗导航”；．“时代”；．“东风快递”；．“无人智能”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： (1)该班共有__________名学生； (2)补全折线统计图； (3)小明和小丽从、、、四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率． 【答案】(1)50 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了折线统计图、扇形统计图、利用列举法求概率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键． （1）利用主题的人数除以主题的人数所占百分比即可得； （2）求出主题的学生人数，据此补全折线统计图即可； （3）先画出树状图，从而可得小明和小丽从四个主题中任选一个主题的所有等可能的结果，再找出他们选择相同主题的结果，利用概率公式计算即可得． 【详解】（1）解：该班学生的总人数为（名）， 故答案为：50． （2）解：主题的学生人数为（名）， 补全折线统计图如下： ． （3）解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，小明和小丽从四个主题中任选一个主题共有16种等可能的结果，其中，他们选择相同主题的结果共有4种， 则他们选择相同主题的概率为， 答：他们选择相同主题的概率为． 7．(24-25九上·广东清远连州·期末)希望中学做了如下表的调查报告（不完整）： 调查目的 了解本校学生：最喜欢的数学类校本课程 调查方式 随机问卷调查 调查对象 随机问卷调查部分七年级学生 调查内容 你最喜欢的数学类校本课程是（必选且只选一门）（   ） A．趣味数学   B．数学文化   C．数学家的故事   D．数学电影赏析 调查结果 结合调查信息，回答下列问题： (1)请补全统计图． (2)若某校七年级学生有1000人，估算七年级学生中选择趣味数学的有多少人． (3)小明和小华热爱数学，他们分别从以上四门校本课程中选择了一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率． 【答案】(1)见解析 (2)350人 (3) 【分析】本题考查了条形统计图、折线统计图、用样本估计总体、概率的计算，读懂统计图获取信息，学会用列表法或画树状图法求概率是解题的关键． （1）由统计图计算出问卷调查的学生人数，进而得到选择数学电影解析的学生人数，即可补全统计图； （2）由统计图可知选择趣味数学的学生占比为，再乘以1000人即可求解； （3）设四门校本课程为，列表得出所有等可能的结果数，再找出两人恰好选到同一门课程的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由统计图可知，问卷调查的七年级学生人数为（人）， 选择数学电影解析的学生人数为（人）， 补全统计图如下： （2）解：（人）， 答：估算七年级学生中选择趣味数学的有350人． （3）解：设四门校本课程为， 列表如下： 由列表可知，共有16种等可能的结果，其中两人恰好选到同一门课程有4种情况， 两人恰好选到同一门课程的概率． 答：两人恰好选到同一门课程的概率为． 8．现有四张不透明的卡片，它们的背面完全一样，正面分别写有马家窑文化、齐家文化、辛店文化、寺洼文化，将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌子上． (1)从中随机抽取一张，抽到“辛店文化”的概率为______； (2)从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张，请通过画树状图或列表法，求抽到的两张卡片所写的都属于石器时代文化（即：马家窑文化和齐家文化）的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率公式求概率，利用树状图求概率； （1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：共有4张卡片，从中随机抽取一张，抽到“辛店文化”的概率为 故答案为：． （2）画树状图如图所示： 由图可得共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片所写的都属于石器时代文化的结果数为2， 所以抽到的两张卡片所写的都属于石器时代文化的概率为 9．(24-25九·广东惠州·期末)某校要求学生暑假进行社会调查，每人必须完成至份报告，调查结束后随机抽查了名学生每人完成报告的份数，并分为四类，A：份；B：份；C：份；D：份，各类的人数绘制成扇形图（如图1）和尚未完整的条形图（如图2），回答下列问题： (1)请将条形统计图2补充完整； (2)这名学生每人完成报告份数的众数是______，中位数是______． (3)从四类报告中随机选取2类，请用画树状图法或列表法，求A、B都被选中的概率． 【答案】(1)见解析 (2)5，5 (3) 【分析】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，用列表法或画树状图法求概率，从条形统计图和扇形统计图中获取有用的信息是解决这类问题的关键． （1）根据B类的人数等于调查的人数乘以，即可补全条形统计图； （2）根据众数的中位数的定义求解； （3）用列表法或树状图的方法求解. 【详解】（1）解：B类的人数为（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：由条形图知，C类型人数最多， 所以众数为5份， 中位数是第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据均为5份， 所以中位数是5份； 故答案为：5，5； （3）解：画树状图如下： 则所有等可能的结果为12种，A、B都被选中的结果为2种， ∴A、B都被选中的概率为. 10．(24-25九上·广东广州白云区白云实验学校·期末)初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为_______度，并将条形统计图补充完整． (2)此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 【答案】(1)72，图见详解 (2) 【分析】（1）由360度乘以“优秀”所对应的扇形的百分数，得出“优秀”所对应的扇形的圆心角度数；求出全年级总人数，得出“良好”的人数，补全统计图即可； （2）画出树状图，由概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 故答案为：72； 全年级总人数为（人）， “良好”的人数为（人）， 将条形统计图补充完整，如图所示： （2）解：画树状图，如图所示： 共有12个等可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2个， ∴P（选中的两名同学恰好是甲、丁）． 【点睛】本题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，样本估计总体，解题的关键是从统计图表中获取信息． 11．(24-25九上·广东阳江江城区·期末)2024年12月1日，阳江核电•2024阳江海陵岛马拉松在海陵岛螺洲海滨公园鸣枪开跑．来自国内外的10783名参赛选手踏上山海相依、风光秀美的赛道，感受“绿能之都，海丝名城”的独特魅力．本届赛事共设置A．马拉松，B．半程马拉松和C．欢乐跑三个项目．请解答下列问题： (1)若甲随机选择一个项目参赛，则选择的是“C．欢乐跑”的概率为 　　； (2)甲、乙两人从A．马拉松，B．半程马拉松和C．欢乐跑这三个项目中各选择一个项目参赛，请用列表或画树状图的方法求甲、乙两人恰好选择同一项目的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率公式、用树状图求概率等知识点，正确画出树状图成为解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）先画树状图，可知共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好选择同一项目的结果有3种，然后由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵本届赛事共设置A．马拉松，B．半程马拉松和C．欢乐跑三个项目， ∴甲随机选择一个项目参赛，选择的是“C．欢乐跑”的概率为． 故答案为：． （2）解：根据题意：画树状图如下： 由树状图可知：共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好选择同一项目的结果有3种， ∴甲、乙两人恰好选择同一项目的概率为． 12．(24-25九上·广东惠州惠城区·期末)一个不透明的布袋中装有4个只有颜色不同的球，其中有1个黄球、1个白球、2个红球． (1)任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球．求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）； (2)现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值． (3)若在袋中再加入8个球（黄白红三种颜色都有），其中包含x个白球．将全部球搅拌均匀后，随机摸出一个是白球的概率为P，则P关于x的函数是______，x的取值范围是____． 【答案】(1)两次摸出的球恰好都是红球的概率为 (2)n的值为2 (3)， 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率；解题的方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．也考查了分式方程和函数． （1）先画出树状图，然后再根据概率公式进行计算即可； （2）根据概率公式列出方程，解方程即可； （3）根据概率列式即可． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好都是红球的结果有2种， ∴两次摸出的球恰好都是红球的概率为； （2）解：由题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴n的值为2． （3）解：P关于x的函数是， 根据加入的8个球，黄白红三种颜色都有可得：x的取值范围是． 故答案为：，． 13．(24-25九上·广东江门江海区·期末)量子计算原型机“九章”求解数学算法高斯玻色取样的速算只需200秒，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家，牢固确立了我国在国际量子计算研究领域的领先地位．为了解初中学生对量子计算的知晓情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据学生的答题情况，将结果分为A，B，C，D四类，分别表示“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解” 等级 A B C D 人数（人） 30 60 40 20 请根据以上信息，解答下列问题： (1)若该校共有初中学生3000名，请你估计该校初中学生对量子计算“非常了解”的人数； (2)学校准备从非常了解量子计算的四位同学（3男1女）中选2位同学参加知识问答竞赛，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中一男一女的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率，用样本估计总体等知识点，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键． （1）由统计表可知，A等级有30人，除以总人数，再乘以3000，即可算出“非常了解”的人数； （2）先画出树状图，展示所有等可能的结果，再找出恰好选中一男一女的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：（人）， 估计该校初中学生对量子计算“非常了解”的人数约为人； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中恰好选中一男一女的结果有种， 恰好选中一男一女的概率． 14．(24-25九上·广东江门鹤山·期末)4件同型号的产品中，有1件不合格品（编号为1）和3件合格品（编号为2，3，4），从这4件产品中随机抽取1件，不放回，接着再随机抽取1件进行检测，求抽取到都是合格品的概率． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出表格，然后求得所有等可能的结果以及满足条件的结果数，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 一共有12种等可能的结果数，其中抽取到都是合格品的概率有6种结果， ∴抽取到都是合格品的概率为． 15．(24-25九上·广东汕头·期末)随着时代的发展，科技的进步，进入移动支付时代后，支付方式的转变不仅让大家生活更便捷，也改变着人们的消费观念．某超市为方便顾客购物付款，可供顾客选择的付款方式有以下四种：A．现金支付，B．刷卡支付，C．微信支付，D．支付宝支付．每种付款方式被选择的可能性是相同的． (1)小明的妈妈去该超市购物，选择“C．微信支付”的概率为_____； (2)若甲、乙两人在该超市购物，请你通过列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择不同付款方式的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是用树状图法求概率．概率公式，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式即可解答； （2）先列表确定所有结果数和满足题意的结果数，然后再根据概率公式即可解答． 【详解】（1）解：小明的妈妈去该超市购物，选择“C．微信支付”的概率为； （2）解：列表如下： A B C D A B C D 由表知，共有16种等可能结果，其中甲、乙两人选择不同付款方式的结果有12种， ∴甲、乙两人选择不同付款方式的概率为． 16．(24-25九上·广东广州越秀区·期末)已知①号盒子中有2个白球、1个黄球，②号盒子中有m个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别． (1)若从②号盒子中随机取出1个球，它是黄球的概率是，求m的值； (2)在（1）的条件下，分别从每个盒子中随机取出1个球，请用列表或画树状图的方法求取出的2个球恰好都是黄球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）结合概率公式可列方程为，求出m的值即可． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及取出的2个球恰好都是黄球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：若从②号盒子中随机取出1个球，所有结果的总数为，并且它们出现的可能性相等，抽出是黄球的结果有2种，因此 解得． （2）①号盒中有2个白球记为A和B、1个黄球记为a，②号盒中有2个红球记为C和D、2个黄球记为b和c.可以用下表列举出所有可能性： ①② A B a C D b c 由上表可以看出，可能出现的结果又12种，并且它们出现的可能性相等. 取出的2个球都是黄球（记为事件M）的结果有2种，即，所以 答：取出的2个球都是黄球的概率为 地 城 考点03 用频率估计概率 1．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)一个不透明的盒子中装有红球和白球共20个，它们除颜色不同外，其余均相同．从盒子中随机摸出一个球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到白球．由此估计盒子中的白球大约有（    ） A．8个 B．10个 C．12个 D．14个 【答案】C 【分析】本题考查了频率估算数量，掌握频率的计算方法是解题的关键． 根据题意，共试验200次，其中有120次摸到白球，得到摸出白球的频率，由此即可求解． 【详解】解：共试验200次，其中有120次摸到白球 ∴摸出白球的频率为， ∵不透明的盒子中装有红球和白球共20个， ∴白球的数量为, 故选：C ． 2.二维码在日常生活中被广泛应用．如图，兴趣小组将二维码打印在面积为的正方形纸片上，利用计算机软件进行随机掷点模拟实验，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.4左右，据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，可以用频率的集中趋势来估计概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为， 故选B． 3．(24-25九上·广东惠州惠城区·期末)如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为．根据图可得，小球落在不规则图案内的概率约为，设不规则图案的面积为，再根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积=小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为， 长方形的面积为， 设不规则图案的面积为，则， 解得：． 即不规则图案的面积约为． 故选：B． 4．(24-25九上·广东广州越秀区·期末)北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为迎接春节到来，某商场规定：购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会，如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品，转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据图表信息获取其频率信息估计概率，从而根据占比计算其圆心角度数即可． 【详解】解：如图②，随着次数的增加，频率趋向于， 以频率估计概率，即， 优胜奖区域的圆心角， 故选：B． 5．(23-24九上·广东深圳·期末)如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 落在“心形线”内部的次数 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率的知识，利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可．解题的关键是了解“大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率”． 【详解】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在附近， ∴估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为． 故选：B． 6．(24-25九上·广东清远连州·期中)在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将袋中的小球摇均匀，随机摸出一个球记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中黑球约有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，再根据概率进行计算即可． 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在， ∴摸到黑球的概率为， ∴袋中黑球约有（个）， 故选：C． 7．(23-24九上·广东连州·期末)在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到白色球的频率稳定在，则口袋中白色球的个数可能是（　　） A．24 B．18 C．16 D．6 【答案】A 【分析】大量反复试验下频率稳定值即概率．先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数频率频数计算白球的个数．关键是算出摸到白球的频率． 【详解】解：∵摸到白色球的频率稳定在， ∴口袋中白色球的个数可能是个， 故选：A． 8．(24-25九上·广东江门蓬江区·期末)在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外无其他差别的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数m 61 93 b 301 480 601 摸到红球的频率 a 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 (1)上表中的 ， ； (2)“摸到红球”的概率的估计值是 （精确到0.1）； (3)如果袋中有24个红球，那么袋中除了红球外，还有多少个其它颜色的球？ 【答案】(1) (2) (3)个 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到红球的概率为，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【详解】（1）解：，， 故答案为：； （2）由表格的数据可得， “摸到红球”的概率的估计值是． 故答案为：； （3）(个)， 答：除红球外，还有大约个其它颜色的小球． 9．(24-25九下·广东肇庆·期末)“2024年11月 24日，肇庆市举行了马拉松比赛”，赛事共有三项：A“马拉松”、B“半程马拉松”、C“欢乐跑”，小明和小 东参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组，为估算本次赛事参加“欢乐跑”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“欢乐跑”人数 21 45 79 200 401 参加“欢乐跑”频率 0.360 0.450 ______ 0.400 0.401 (1)请填出表中所缺的数据． (2)请估算本次赛事参加“欢乐跑”人数的概率_____．（精确到0.1） (3)若本次参赛选手大约有20000人，请你估计参加“欢乐跑”的人数是多少？ (4)利用画树状图或列表的方法，求小明和小东同时被分配到“欢乐跑”项目组的概率． 【答案】(1)； (2)； (3)8000人； (4)． 【分析】本题主要考查了求频率、用频率估计概率、用样本估计整体、运用列表法求概率等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据频数和频率的关系列式计算即可； （2）结合表格信息，根据用频率估计概率的知识可求解； （3）用参数选手数乘以参加“欢乐跑”人数的概率即可解答； （4）先画出树状图确定所有等可能结果数和小明和小东同时被分配到“欢乐跑”项目组的情况数，再运用概率公式即可解答． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：由表格中数据可得：本次赛事参加“欢乐跑”人数的概率． （3）解：人． 答：参加“欢乐跑”的人数是8000． （4）解：由题意列表如下： 小明小东 A B C A A、A B、A C、A B A、B B、B C、B C A、C B、C C、C 则所有等可能结果数为9，小明和小东同时被分配到“欢乐跑”项目组的情况数为1，则小明和小东同时被分配到“欢乐跑”项目组的概率为． 10．(23-24九上·广东清远清城区·期末)“清远市2023年的首场马拉松比赛”共设两个项目，分别是“半程马拉松”（21.0975公里）和“迷你马拉松”（约5公里）． (1)为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，组委对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 20 50 100 200 500 参加“迷你马拉松”人数 15 33 72 139 356 参加“迷你马拉松”频率 0.750 0.660 0.720 0.695 0.712 请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为____．（精确到0.1） (2)小明（来自北京市），小军（来自长沙市）、小红（来自清远市）、小丽（来自广州市）四人报名参加“迷你马拉松”志愿者遴选，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取两名来自广东省外的志愿者的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率、用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）利用表格中的数据进而估计出参加“迷你马拉松”人数的概率； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由表格中的数据可得：本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为， 故答案为：； （2）解：列表得： 小明 小军 小红 小丽 小明 小军，小明 小红，小明 小丽，小明 小军 小明，小军 小红，小军 小丽，小军 小红 小明，小红 小军，小红 小丽，小红 小丽 小明，小丽 小军，小丽 小红，小丽 由表格可得，共有12种等可能出现的结果，其中恰好录取两名来自广东省外的志愿者的情况有种， 恰好录取两名来自广东省外的志愿者的概率． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $