专题06 直角三角形中的边角关系4考点（期末真题汇编，广东专用）九年级数学上学期北师大版

专题06 直角三角形中的边角关系 4大高频考点概览 考点01 锐角三角函数 考点02 解直角三角形 考点03 仰角俯角问题 考点04 其它综合问题 地 城 考点01 锐角三角函数 1．(24-25九上·广东茂名电白区·期末)如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个角的余弦值，勾股定理，构造出直角三角形是解题的关键． 过点A作于点H，则，由勾股定理求出，再由余弦的定义即可求解． 【详解】解：过点A作于点H，则， ∴由勾股定理得，， ∴， 故选：B． 2．(23-24九上·广东茂名电白区·期末)在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，正切的计算，先用勾股定理求得，再根据正切定义计算即可． 【详解】∵，，， ∴， ∴， 故选B． 3．(23-24九上·广东茂名博雅中学·期末)如图，的三个顶点都在正方形网格格点上，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，余弦的定义；由勾股定理求出，再由余弦的定义得，即可求解；理解“”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ； 故选：C． 4．(24-25九上·广东揭阳普宁·期末)如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，与交于点，与交于点，若，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．设，正方形的边长为，证明，先后求得，，，利用三角形面积公式求得，证明，求得，，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，且， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 同理，即， ∴， 同理， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．(23-24九上·广东梅州兴宁第一中学教育集团·期末)已知为锐角，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查三角函数，先得出，再设，，求出，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 如图所示：设，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．(23-24九上·广东普宁·期末)计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．(23-24九上·广东梅州兴宁第一中学·期末)在中，，则的度数为 【答案】/度 【分析】本题考查了绝对值，平方数的非负性，锐角三角函数值的计算，三角形内角和定理，根据非负性可得，求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握特殊角的三角函数值的计算方法是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 8．(23-24九上·广东广州海珠区·期末)如图，在中，，，，点D在边上，且，点E在直角边上，直线把分成两部分，若其中一部分与原相似，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质、三角函数等知识点，掌握分类讨论数学是解题的关键． 先根据三角形函数求得，即；在分点E在和上情况分别根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴,即, ∴, 如图：当点E在上，且时，,则； 如图：当点E在上，且时，, ∵ ∴ ， ∵， ∴,即点E与点C重合，不符合题意； 如图：当点E在上，且时，, ∴, ∴． 综上，为或． 9．(24-25九下·广东肇庆·期末)在中，，点 O是的中点，点D是直线上一点，连接． (1)【问题探究】 如图① ，当，点D在线段上时，将射线绕点 O 顺时针方向旋转交于点 E，连接，则 ______（填“>”“<”或“=”）； (2)【问题推广】 如图②，当，点D在线段延长线上时，将射线绕点 O顺时针方向旋转交延长线于点 E，请写出三条线段之间的数量关系，并证明； (3)【拓展延伸】 如图③，当，点D 在线段延长线上时，将线段绕点 O逆时针方向旋转得到，点E恰好落在线段的延长线上，若，求线段的长． 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，，根据直角三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质得到∠，求得，，根据直角三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到； （3）连接，由点O是斜边的中点，得到，根据等边三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵点O为斜边中点， ∴， ∴， ∴， ∵将射线绕点O顺时针方向旋转交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：=； （2）解：， 证明：连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵点O为斜边中点， ∴， ∴， ∴， ∵将射线绕点O顺时针方向旋转交延长线于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵点O是斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵将线段绕点O逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． 10．(23-24九上·广东梅州兴宁第一中学·期末)0．如图，四边形 中， ， ， ， E为的中点， 连接、． (1)求证： (2)求 的值 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形与正切．熟练掌握相似三角形的判断和性质，勾股定理解直角 三角形，正切定义，是解决问题的关键． （1）根据中点性质得到，根据，得到，根据，即得； （2）根据相似三角形性质，得到，得到，得到，根据勾股定理得到，，即得． 【详解】（1）∵，  E为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 11．(23-24九上·广东梅州大埔县·期末)如图，在中，已知． (1)在边上求作点，连结，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，当，时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查基本作图-作垂直平分线，垂直平分线的性质、勾股定理和求正弦值． （1）作的垂直平分线，交于点D，则点D即为所求； （2）设的长为x，则，根据勾股定理求出的长，由正弦的定义即可求解． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求． （2）解：如图，连接， 由（1）可得， 设，则， 在中， ∴ 解得： 故， ∴ 12．(23-24九上·广东深圳南山区·期末)2．某数学学习小组学习完四边形后进行了如下探究，已知四边形为矩形，请你帮助他们解决下列问题： (1)【初步尝试】：他们将矩形的顶点、分别在如图（1）所示的的边、上，顶点、恰好落在的对角线上，求证：； (2)【深入探究】：如图2，若为菱形，，若，求的值； (3)【拓展延伸】：如图（3），若为矩形，；且，请直接写出此时的值是________（用含有，的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，则，根据，可得； （2）如图（2），连接，交于，由（1）可知，，则，证明四边形是平行四边形，则，由为菱形，，可得，，，如图（2）作于，则，，然后计算求解即可； （3）由勾股定理得，，如图（3），连接，作于，同理（2）可知，，证明，则，求得，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图（2），连接，交于， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵矩形， ∴， ∵为菱形，， ∴，，，， ∴，， ∴， 如图（2）作于， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵为矩形，；， 由勾股定理得，， 如图（3），连接，作于， 同理（2）可知，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，正弦，余弦，勾股定理，相似三角形的判定与性质．熟练掌握矩形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 13．(24-25九上·广东茂名崇文学校·期末)3．按要求完成下列各小题． (1)解方程：； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先计算特殊角的三角函数值、零指数幂，再计算乘方，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：． 14．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期末)4．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算含特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 15．(24-25九上·广东揭阳惠来县·期末)5．（1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，解一元二次方程： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）移项后，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1）原式； （2） ， ， ， ∴或； ∴． 16．(24-25九上·广东河源龙川第一实验学校·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂、二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、化简二次根式和绝对值，再计算二次根式的加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 17．(23-24九下·广东茂名龙岭学校·期末)计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，根据二次根式的性质，绝对值的代数意义，特殊角三角函数值，负整数指数幂将原式化简，再进行加减运算即可．掌握相应的运算法则、性质和公式是解题的关键． 【详解】解： ． 18．按要求完成下列各小题． (1)计算：； (2)解方程： 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了实数的运算，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值的意义求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∴， ∴， 解得：． 19．按要求完成下列各小题． (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，代入计算即可； （2）因式分解法求解即可． 本题考查了特殊角的三角函数值计算，解方程，熟练掌握函数值，灵活选择解法是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ∴， ∴ 解得，． 20．(24-25九上·广东茂名祥和中学·期末)0．计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及二次根式的化简与减法运算，特殊三角函数值，先计算乘方，化简二次根式，绝对值，代入特殊三角函数值，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 21．(24-25九上·广东茂名电白区·期末)1．计算： (1)（公式法） (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了公式法解一元二次方程、实数的混合运算等知识，熟练掌握公式法和特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可； （2）代入特殊角的三角函数值，计算零指数幂、计算负整数指数幂，再进行运算即可． 【详解】（1）解：， ∵， 代入求根公式，得，， 故原方程的解为，． （2）解：原式． 22．(24-25九上·广东汕头潮阳实验学校·期末)2．计算： 【答案】1 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．将特殊角的三角函数值代入求解即可． 【详解】解： ． 23．(24-25九上·广东茂名龙岭学校·期末)3．计算： 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算．把特殊角的三角函数值代入，再计算即可求解； 【详解】解：原式： 24．(23-24九上·广东河源龙川县老隆中学·期末)4．计算 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程：以及特殊角的三角函数的混合运算：正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． （2）先化简各个式子的三角函数值，再根据加减混合运算，即可作答． 【详解】（1）解： 则 即 （2）解： ． 地 城 考点02 解直角三角形 1．(22-23九上·广东深圳罗湖外语初中学校·期末)在直角中，，，，求为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据锐角三角函数的概念和勾股定理求解，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系及勾股定理，然后再代入三角函数进行求解，最后求出面积及的值． 【详解】解：由，， 得出：， 由勾股定理得出：， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的能力，还考查解直角三角形的定义，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，还考查了直角三角形的性质． 2．(24-25九上·广东揭阳普宁·期末)顶角为的等腰三角形，其底边长与腰长的比为，通常称它为“黄金三角形”，利用“黄金三角形”可以计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 过点A作，垂足为D，先利用等腰三角形的三线合一性质可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点A作，垂足为D， ∵，， ∴，， 在中，， ， 故答案为：． 3．(24-25九上·广东茂名电白区·期末)如图，正方形纸片的边长为10，E是边上一点，连接，折叠该纸片，使点A落在上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕，点F在上．若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠问题，正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，，由余角的性质可得，由锐角三角函数可求，，即可求解，求的长是解题的关键． 【详解】解：如图，设与的交点为， 四边形是正方形， ，， ， 折叠该纸片，使点落在上的点， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 4．(23-24九上·广东深圳南山区·期末)如图，为直角三角形，，，，是边上的中点，将绕着点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点的对应点为，边与边交于点，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】先证，由锐角三角函数可求，的长，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，通过证明，可得，可求的长，通过证明，由相似三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于， ，，， ， 是边上的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 将绕着点逆时针旋转， ，， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 5．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期末)【问题发现】数学小组成员小明做作业时遇到以下问题：请你帮助解决 （1）若四边形是菱形，边长为2，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，连接，则与的数量关系为 ，长度的最小值为 ． 【类比探究】数学小组对该问题进一步探究，请你帮助解决： （2）如图2，若四边形是正方形，边长为2，点O为中点，点P是射线上一动点，以为斜边在边的右侧作等腰，，连接求： ①与的数量关系； ②求长度的最小值． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的基础上，当P是对角线的延长线上一动点时，以为直角边在边的右侧作等腰，，连接，若，，求的面积． 【答案】（1），1；（2）①，②长度的最小值为1；（3） 【分析】（1）连接，由菱形性质推出和是等边三角形，又是等边三角形，可证明，即得，，延长交于，则在射线上运动，当，即与重合时，取最小值，可得，即可求出的最小值为1； （2）①连接，根据正方形性质可知是的中点，知是等腰直角三角形，有，，而是等腰直角三角形，可知，，即可推出，利用相似三角形性质可得结果；②延长交于，由在射线上运动，当，即与重合时，取最小值，可求出，故可求出最小值； （3）连接交于点，过点作交于点，根据正方形性质，可得的长，证明，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接，   四边形是菱形， ， ， 和是等边三角形， ，， ， ， ，， 四边形是菱形，， ， ， 如图，延长交于，则在射线上运动，当，即与重合时，取最小值，   ，， ， ， 的最小值为1， 故答案为：，1； （2）①如图，连接，   四边形为正方形，为的中点， 是等腰三角形， ，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ，， ； ②延长交于，如图，   ， 在射线上运动，当，即与重合时，取最小值， 四边形为正方形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 的最小值为1； （3）如图，连接交于点，过点作交于点，   四边形为正方形，， ，，， ，， ，， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ，， 在中，有勾股定理得：， ， 解得：，（舍去）， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了解直角三角形的相关运算，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质、作辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键． 6．(24-25九上·广东清远英德·期末)已知点E，F为反比例函数上的点． (1)如图1，若矩形的边，分别经过点E，F，且，四边形的面积为4，求反比例函数的表达式． (2)如图，一次函数的图像分别于x轴，y轴交于点N，M，若四边形为矩形且，求反比例函数的表达式． (3)在（2）的条件下，直线上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)反比例函数为：； (3)或 【分析】（1）设，可得，结合，再建立方程求解即可； （2）如图，过作轴于，连接，求解，证明，可得，设，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． （3）如图，由四边形为矩形，证明，设直线为，可得直线为，求解，，结合在直线上，设，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点E，F为反比例函数上的点． 设， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴反比例函数为：； （2）解：如图，过作轴于，连接， 令，则，当时，则， ∴，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴， ∴， ∴反比例函数为：； （3）解：如图，∵四边形为矩形， ∴，， 设直线为，， ∴， 解得：， ∴直线为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在直线上， ∴设， ∴， 整理得：， 解得：， ∴或． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 7．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)阅读材料：有一边是另一边倍的三角形叫做“卓越三角形”，这两边中较长的边称为“卓越边”，这两边的夹角称为“卓越角”． (1)如图①，在菱形中，对角线相交于点O，已知，请找出图中的一个“卓越三角形”，并说明判断依据． (2)如图②，是卓越三角形，是卓越角，是卓越边，若，求的长． (3)如图③，在平面直角坐标系中，有一卓越，是卓越角，是卓越边，顶点A在x轴上，其坐标为，顶点B、C均在反比例函数的第一象限图象上，点B在点C下方，且纵坐标为，当是直角三角形时，求反比例函数的表达式． 【答案】(1)是“卓越三角形”（答案不唯一，，，也满足） (2) (3)或 【分析】本题主要围绕“卓越三角形”的定义，结合菱形、三角函数以及反比例函数的相关知识进行求解。对于（1），根据菱形性质和“卓越三角形”定义找出符合的三角形并说明理由；对于（2），通过作高构造直角三角形，利用三角函数求解边长；对于（3）先根据点B纵坐标求出其横坐标，再设出点C坐标，利用勾股定理和“卓越三角形”定义建立方程求解． （1）根据卓越三角形的定义即可得到结论； （2）过点C作于点D，构造两个有特殊角的直角三角形，解直角三角形即可得到结论； （3）由题意可知，因此当为直角三角形时，不可能为斜边，即或两种情况讨论．作辅助线构造三垂直模型，证得相似或全等三角形，再利用对应边的关系把B、C的坐标表示出来，再代入计算． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 在中，， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， ∴是“卓越三角形”（答案不唯一，，，也满足）； （2）解：过点C作于点D，如图， ∵， ∴在中，， ∴； 设， ∵是卓越三角形，是卓越角，是卓越边， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∵，即 解得：， ∵， ∴ ∴， 在等腰直角三角形中，； （3）解：在卓越中，为卓越边，为卓越角， ∵是直角三角形， ∴不可能为斜边，即， ∴或， ①当时，如图3， 过点B作轴于点E，过点C作交延长线于点F，过点C作轴于点G，则． ∴， ∴， ∴， ∴ 设，则， ∵， ∴ ∵，， ∴，， ∵点B，C在函数的图象上， ∴， 解得：（舍去）． ∴， ∴反比例函数解析式为； ②当时，如图4，过点C作轴于点M，过点B作轴于点N． 则． ∴． ∴． ∴， ∵为卓越边，为卓越角， ∴， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∴，． ∵点B，C在函数的图象上， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上所述，反比例函数解析式为：或． 8．(23-24九上·广东梅州·期末)已知：如图，在中，，，，求的长和的正切值． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，注意：在中，，．根据已知得出方程，求出，由勾股定理求出，即可求出的正切值． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理得： 则 9．(24-25九上·广东茂名茂南区部分学校·期末)如图，中，，垂足是，若，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键． （1）首先根据的三角函数求出的长度，即可得出的长度； （2）在中，根据勾股定理求出的长度，由，代值计算即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴． 10已知点A在反比例函数的图象上，以为边长作正方形，使正方形顶点，在x轴上方，与y轴的夹角为． (1)如图1，当点B在y轴上时，求点A坐标； (2)①如图2，当时，与y轴相交于点D，若，求点B的坐标； ②如图3，当时，与y轴相交于点D，若，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了反比例函数与正方形综合，涉及三角函数、三角形全等的判定与性质、勾股定理，数量掌握这些性质是解题的关键． （1）过点A作轴于点E，设，求出，可得，再用含的式子表示出，即可求解； （2）①过点A作轴于点E，过B作轴于点F，同（1）方法求出，求出、，证即可求出； ②过点A作轴于点H，过点B作延长线于点G，同（1）求出，证即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点A作轴于点E， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：（负值舍）， ∴， ∴点坐标为； （2）①如图，过点A作轴于点E，过B作轴于点F， ∴， ∵，， ∴，即，， 设， ∴， 解得：（负值舍）， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②如图，过点A作轴于点H，过点B作延长线于点G， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：（负值舍）， ∴，， ∵，轴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴点坐标为， 即． 【点睛】本题考查了反比例函数与正方形综合，涉及三角函数、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等，数量掌握这些性质是解题的关键． 11．(23-24九上·广东深圳·期末)已知点是正方形内部一点，且． 【初步探究】 （1）如图1，延长交于点．求证：； 【深入探究】 （2）如图2，连接并延长交于点，当点是的中点时，求的值； 【延伸探究】 （3）连接并延长交于点，把分成两个角，当这两个角的度数之比为时，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【分析】（1）可得出，，从而得出结论； （2）作于，可证得，从而，不妨设，则，，进而得出，，可证得， 从而得出； （3）设，分别延长，，分别交于，交于分两种情况当时与当时，进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ； （2）解：如图1， 作于， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，点是的中点， ， 不妨设，则，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图， 当时，即， 设， 分别延长，，分别交于，交于， ， 、、、共圆， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，即， 同理可得：， ， ， ， ， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是较强计算能力． 12．(23-24九上·广东深圳·期末)如图，点O是矩形的对角线上一点，过点O作，交于点E，交于点F． (1)在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：　　　　，使得，并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形： （1）添加，证明，即可； （2）根据勾股定理可得，证明，可得，在 和中，利用锐角三角函数可得，即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ， ∵， ， 又∵， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∵， ， 又∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 1．某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是 ．（参考数据：）地 城 考点03 仰角俯角问题 【答案】51 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键． 延长交距水平地面的水平线于点，根据，求出，即可求解． 【详解】解：延长交距水平地面的水平线于点，如图， 由题可知，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．(24-25九上·广东茂名高州·期末)在我市乡村振兴活动中，村委会办公楼外墙上有一幅电子显示屏每天上午在播放乡村宣传片，小丽同学在点A处，测得显示屏顶端D的仰角为，再向显示屏方向前进10米后，又在点B处测得显示屏顶端D的仰角为，已知观测点A、B和C离地面高度都为米，求显示屏顶端D点距离地面的高度．（计算结果保留根号） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，在中，利用锐角三角函数的定义可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：在中，， ， ， 在中， ， ， ， ， 解得：米， 观测点A、B和C离地面高度都为米， 显示屏顶端D点距离地面的高度为米． 3．(24-25九上·广东揭阳惠来县·期末)甲乙两名游客选择两种不同的方式游览某景区，如图，甲从山脚A处乘坐缆车到达景点C处，同时乙开车从山脚A处前行到达D处，此时遇一斜坡，坡度，沿着斜坡前行到达停车场E处，停车后，再跑步到达景点C处（汽车行驶在平路和上坡的速度相等，停车时间忽略不计）．甲在A处观测景点C的仰角为，乙在E处观测景点C的仰角为． (1)求景点C的高度；（结果精确到） (2)甲乘坐缆车的速度为，乙的车速为，乙的跑步速度为，谁先到达景点C?（参考数据：） 【答案】(1)； (2)乙先到达景点． 【分析】本题主要考查了矩形的判定及性质，平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作，于，，延长交于点，在中，由，得，，进而得，，再证明，得， ，，设，进而，在中，由，构造方程求解即可； （2）利用解直角三角形分别求出及，进而求得甲、乙的运动时间，从而比较即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，于，，延长交于点， ∵在中，由， ∴，， ∴，， ∵为的边上的高， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴，，设， ∴， 在中，，即， 解得，经检验是原方程的解， ∴； 答：景点C的高度为； （2）解：由（）得，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴乙先到达景点． 4．(24-25九上·广东茂名茂南区部分学校·期末)综合与实践 【问题情境】龙象塔位于南宁市青秀山风景区，取“水行龙力大，陆行象力大”之意．某校数学实践小组利用所学数学知识测量龙象塔的高度． 【实践探究】下面是两个方案及测量数据： 项目 测量龙象塔的高度 方案 方案一：晴天，借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：阴天，利用锐角三角函数．测量：距离，仰角，仰角． 测量示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 1.61m 1.59m 1.6m 26.4° 26.6° 26.5° 1.18m 1.22m 1.2m 37.1° 36.9° 37° 38.9m 39.1m 39m 34.8m 35.2m 35m 【问题解决】 (1)本次实践活动对每个测量项目测量两次，再以两次测量数据的平均数作为研究数据，这样做的目的是______． (2)根据“方案一”的数据，求出龙象塔的高度； (3)根据“方案二”的数据，求出龙象塔的高度（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)减小误差 (2)龙象塔的高度为52米 (3)龙象塔的高度为52.5米 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质和锐角三角函数并进行实际应用是解题的关键． （1）根据题意解答即可； （2）由题意可知，从而得出，代入测量的平均值进行求解即可； （3）根据锐角三角函数的正切值分别得出，，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：这样做的目的是减小误差； （2）解：由题意可知， 又， ， ，即， 解得， 龙象塔的高度为52米； （3）解：在中，， ， 在中，， ， ， ， 即． 米， 龙象塔的高度为52.5米． 5．(24-25九上·广东茂名电白区·期末)某校课外活动小组来到太原古县城进行参观研学，对位于古县城“十字街”的旗亭高度进行了实地测量．项目操作过程如下：如图，测试小组利用测角仪从点D处观测旗亭顶端A点的仰角为．在测角仪和旗亭之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到旗亭顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得米，已知测角仪的高度米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上，求旗亭的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，） 【答案】米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点D作于点F，根据题意可知，，得到，设米，米，则米，米，在中， ，即，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点F，如图： 根据题意可知，， 在中，， ∴， 设米，米，则米，米， 在中， ， 即， 解得：米， ∴米． 6．(23-24九上·广东茂名电白区·期末)某校数学兴趣小组为了测量建筑物的高度，先在斜坡的底部测得建筑物顶点的仰角为，再沿斜坡走了到达斜坡顶点处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为，已知斜坡的坡度．（参考数据：，）    (1)求点到地面的高度； (2)求建筑物的高度． 【答案】(1)点到地面的高度为； (2)． 【分析】（）作，利用坡度的定义求解即可； （）在（）的基础之上，作，利用三角函数求解的长度即可； 此题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握坡度，仰角俯角等基本定义，灵活构造直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）过点作于点，于点，    在中，，设，， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∴点到地面的高度为； （2），过点作于点，如上图， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，∴， 即：，解得：， ∴， 答：建筑物的高度约为米． 地 城 考点04 其它综合问题 1．(24-25九上·广东深圳·期末)【问题思考】 （1）如图1，已知正方形，M，N分别是边，上一点，连接，，，且，若延长到，使得，连接． 则：运用三角形全等的相关知识，可推理得到三条线段，，之间的数量关系是 ． 【探究应用】 （2）如图2，正方形的边长为5，点E是射线上一动点（不与点B重合），连接，以为边长在的上方作正方形，交射线于点，连接． ①当点E在上时． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若是等腰三角形，求此时的长． ②当点E在的延长线上时，若，则线段的长为 ． 【答案】（1），理由见解析；（2）①（ⅰ）；（ⅱ）或5；②． 【分析】（1）利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）（i）连接，利用正方形的性质得到，利用（）的结论得到：，设，则，，利用勾股定理列出方程求得值，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可；（ii）过点作，交的延长线于点，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质求得．设，则，，，再利用分类讨论的思想方法分三种情况推论解答：I．当时，，此种情况不存在；Ⅱ．当时，，则，点与点重合；Ⅲ．当时，．则，利用勾股定理解答即可． ②过点作，交的延长线于点，延长，交于点，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质和矩形的判定与性质得到，设，则，再利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】解：（1），之间的数量关系是：．理由： 四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 即． ， ． 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：； （2）①（i）连接，如图， 四边形为正方形， ，， ， 由（）知：． 正方形的边长为，， ． 设，则，． ， ， ． ， ； （ii）过点作，交的延长线于点，如图， 四边形和四边形为正方形， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 设，则，，． ． Ⅰ．当时，， ． ， ． 此时，不合题意，舍去； Ⅱ．当时，， ， 此时，点与点重合， 点与点重合， ； Ⅲ．当时，． 则， ． ， ． 解得： 综上，若是等腰三角形，的长为或； ②过点作，交的延长线于点，延长，交于点，如图， 四边形和四边形为正方形， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形为矩形， ，， 同理：四边形为矩形， ． ， ． 设，则， ． ， ． ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等腰三角形的判定与性质，分类讨论的思想方法，添加恰当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 2．(23-24九上·广东江门开平·期末)张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是张老师在“矩形纸片的剪拼”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现 将为，为的矩形纸片沿对角线剪开，得到和．如图，将以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，，得到，过点作，交的延长线于点，则四边形的形状是______． (2)探究迁移 如图，若将以点为旋转中心逆时针旋转，得到的，若，，三点在同一条直线上，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，得到四边形，请你判断四边形的形状，并加以证明． (3)拓展应用 如图，在的条件下，将沿着方向平移，使点与点重合，此时点平移至点，与相交于点，连接，求的值． 【答案】(1)菱形 (2)正方形，见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，进而得到，可得到四边形为平行四边形，再由旋转的性质得：，即可求解； （2）先证明四边形是平行四边形，再由四边形是矩形，可得，从而得到四边形是矩形，然后根据，即可解答； （3）先求得，可得到，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 由旋转的性质得：， ∴四边形为菱形； 故答案为：菱形 （2）解：四边形是正方形，理由如下： ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， 即， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． （3）解：在和中，，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、正方形的判定、直角三角形的性质，旋转的性质和平移的性质，是中考的压轴题，解题时需要抓住图形在变换中的性质，递进式的解答． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直角三角形中的边角关系 4大高频考点概览 考点01 锐角三角函数 考点02 解直角三角形 考点03 仰角俯角问题 考点04 其它综合问题 地 城 考点01 锐角三角函数 1．(24-25九上·广东茂名电白区·期末)如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么值为（   ） A． B． C． D． 2．(23-24九上·广东茂名电白区·期末)在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 3．(23-24九上·广东茂名博雅中学·期末)如图，的三个顶点都在正方形网格格点上，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 4．(24-25九上·广东揭阳普宁·期末)如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，与交于点，与交于点，若，则的值是 ． 5．(23-24九上·广东梅州兴宁第一中学教育集团·期末)已知为锐角，且，则的值为 ． 6．(23-24九上·广东普宁·期末)计算： ． 7．(23-24九上·广东梅州兴宁第一中学·期末)在中，，则的度数为 8．(23-24九上·广东广州海珠区·期末)如图，在中，，，，点D在边上，且，点E在直角边上，直线把分成两部分，若其中一部分与原相似，则 ． 9．(24-25九下·广东肇庆·期末)在中，，点 O是的中点，点D是直线上一点，连接． (1)【问题探究】 如图① ，当，点D在线段上时，将射线绕点 O 顺时针方向旋转交于点 E，连接，则 ______（填“>”“<”或“=”）； (2)【问题推广】 如图②，当，点D在线段延长线上时，将射线绕点 O顺时针方向旋转交延长线于点 E，请写出三条线段之间的数量关系，并证明； (3)【拓展延伸】 如图③，当，点D 在线段延长线上时，将线段绕点 O逆时针方向旋转得到，点E恰好落在线段的延长线上，若，求线段的长． 10．(23-24九上·广东梅州兴宁第一中学·期末)0．如图，四边形 中， ， ， ， E为的中点， 连接、． (1)求证： (2)求 的值 11．(23-24九上·广东梅州大埔县·期末)如图，在中，已知． (1)在边上求作点，连结，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，当，时，求的值． 12．(23-24九上·广东深圳南山区·期末)2．某数学学习小组学习完四边形后进行了如下探究，已知四边形为矩形，请你帮助他们解决下列问题： (1)【初步尝试】：他们将矩形的顶点、分别在如图（1）所示的的边、上，顶点、恰好落在的对角线上，求证：； (2)【深入探究】：如图2，若为菱形，，若，求的值； (3)【拓展延伸】：如图（3），若为矩形，；且，请直接写出此时的值是________（用含有，的代数式表示）． 13．(24-25九上·广东茂名崇文学校·期末)3．按要求完成下列各小题． (1)解方程：； (2)计算：． 14．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期末)4．计算：． 15．(24-25九上·广东揭阳惠来县·期末)5．（1）计算：． （2）解方程：． 16．(24-25九上·广东河源龙川第一实验学校·期末)计算：． 17．(23-24九下·广东茂名龙岭学校·期末)计算： 18．按要求完成下列各小题． (1)计算：； (2)解方程： 19．按要求完成下列各小题． (1)计算：； (2)解方程：． 20．(24-25九上·广东茂名祥和中学·期末)0．计算： 21．(24-25九上·广东茂名电白区·期末)1．计算： (1)（公式法） (2) 22．(24-25九上·广东汕头潮阳实验学校·期末)2．计算： 23．(24-25九上·广东茂名龙岭学校·期末)3．计算： 24．(23-24九上·广东河源龙川县老隆中学·期末)4．计算 (1) (2)． 地 城 考点02 解直角三角形 1．(22-23九上·广东深圳罗湖外语初中学校·期末)在直角中，，，，求为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·广东揭阳普宁·期末)顶角为的等腰三角形，其底边长与腰长的比为，通常称它为“黄金三角形”，利用“黄金三角形”可以计算 ． 3．(24-25九上·广东茂名电白区·期末)如图，正方形纸片的边长为10，E是边上一点，连接，折叠该纸片，使点A落在上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕，点F在上．若，则的长为 ． 4．(23-24九上·广东深圳南山区·期末)如图，为直角三角形，，，，是边上的中点，将绕着点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点的对应点为，边与边交于点，则的长是 ． 5．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期末)【问题发现】数学小组成员小明做作业时遇到以下问题：请你帮助解决 （1）若四边形是菱形，边长为2，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，连接，则与的数量关系为 ，长度的最小值为 ． 【类比探究】数学小组对该问题进一步探究，请你帮助解决： （2）如图2，若四边形是正方形，边长为2，点O为中点，点P是射线上一动点，以为斜边在边的右侧作等腰，，连接求： ①与的数量关系； ②求长度的最小值． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的基础上，当P是对角线的延长线上一动点时，以为直角边在边的右侧作等腰，，连接，若，，求的面积． 6．(24-25九上·广东清远英德·期末)已知点E，F为反比例函数上的点． (1)如图1，若矩形的边，分别经过点E，F，且，四边形的面积为4，求反比例函数的表达式． (2)如图，一次函数的图像分别于x轴，y轴交于点N，M，若四边形为矩形且，求反比例函数的表达式． (3)在（2）的条件下，直线上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由． 7．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)阅读材料：有一边是另一边倍的三角形叫做“卓越三角形”，这两边中较长的边称为“卓越边”，这两边的夹角称为“卓越角”． (1)如图①，在菱形中，对角线相交于点O，已知，请找出图中的一个“卓越三角形”，并说明判断依据． (2)如图②，是卓越三角形，是卓越角，是卓越边，若，求的长． (3)如图③，在平面直角坐标系中，有一卓越，是卓越角，是卓越边，顶点A在x轴上，其坐标为，顶点B、C均在反比例函数的第一象限图象上，点B在点C下方，且纵坐标为，当是直角三角形时，求反比例函数的表达式． 8．(23-24九上·广东梅州·期末)已知：如图，在中，，，，求的长和的正切值． 9．(24-25九上·广东茂名茂南区部分学校·期末)如图，中，，垂足是，若，，． (1)求的值； (2)求的值． 10已知点A在反比例函数的图象上，以为边长作正方形，使正方形顶点，在x轴上方，与y轴的夹角为． (1)如图1，当点B在y轴上时，求点A坐标； (2)①如图2，当时，与y轴相交于点D，若，求点B的坐标； ②如图3，当时，与y轴相交于点D，若，求点B的坐标． 11．(23-24九上·广东深圳·期末)已知点是正方形内部一点，且． 【初步探究】 （1）如图1，延长交于点．求证：； 【深入探究】 （2）如图2，连接并延长交于点，当点是的中点时，求的值； 【延伸探究】 （3）连接并延长交于点，把分成两个角，当这两个角的度数之比为时，请直接写出的值． 12．(23-24九上·广东深圳·期末)如图，点O是矩形的对角线上一点，过点O作，交于点E，交于点F． (1)在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：　　　　，使得，并说明理由； (2)若，求的长． 1．某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是 ．（参考数据：）地 城 考点03 仰角俯角问题 2．(24-25九上·广东茂名高州·期末)在我市乡村振兴活动中，村委会办公楼外墙上有一幅电子显示屏每天上午在播放乡村宣传片，小丽同学在点A处，测得显示屏顶端D的仰角为，再向显示屏方向前进10米后，又在点B处测得显示屏顶端D的仰角为，已知观测点A、B和C离地面高度都为米，求显示屏顶端D点距离地面的高度．（计算结果保留根号） 3．(24-25九上·广东揭阳惠来县·期末)甲乙两名游客选择两种不同的方式游览某景区，如图，甲从山脚A处乘坐缆车到达景点C处，同时乙开车从山脚A处前行到达D处，此时遇一斜坡，坡度，沿着斜坡前行到达停车场E处，停车后，再跑步到达景点C处（汽车行驶在平路和上坡的速度相等，停车时间忽略不计）．甲在A处观测景点C的仰角为，乙在E处观测景点C的仰角为． (1)求景点C的高度；（结果精确到） (2)甲乘坐缆车的速度为，乙的车速为，乙的跑步速度为，谁先到达景点C?（参考数据：） 4．(24-25九上·广东茂名茂南区部分学校·期末)综合与实践 【问题情境】龙象塔位于南宁市青秀山风景区，取“水行龙力大，陆行象力大”之意．某校数学实践小组利用所学数学知识测量龙象塔的高度． 【实践探究】下面是两个方案及测量数据： 项目 测量龙象塔的高度 方案 方案一：晴天，借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：阴天，利用锐角三角函数．测量：距离，仰角，仰角． 测量示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 1.61m 1.59m 1.6m 26.4° 26.6° 26.5° 1.18m 1.22m 1.2m 37.1° 36.9° 37° 38.9m 39.1m 39m 34.8m 35.2m 35m 【问题解决】 (1)本次实践活动对每个测量项目测量两次，再以两次测量数据的平均数作为研究数据，这样做的目的是______． (2)根据“方案一”的数据，求出龙象塔的高度； (3)根据“方案二”的数据，求出龙象塔的高度（参考数据：，，，，，）． 5．(24-25九上·广东茂名电白区·期末)某校课外活动小组来到太原古县城进行参观研学，对位于古县城“十字街”的旗亭高度进行了实地测量．项目操作过程如下：如图，测试小组利用测角仪从点D处观测旗亭顶端A点的仰角为．在测角仪和旗亭之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到旗亭顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得米，已知测角仪的高度米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上，求旗亭的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，） 6．(23-24九上·广东茂名电白区·期末)某校数学兴趣小组为了测量建筑物的高度，先在斜坡的底部测得建筑物顶点的仰角为，再沿斜坡走了到达斜坡顶点处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为，已知斜坡的坡度．（参考数据：，）    (1)求点到地面的高度； (2)求建筑物的高度． 地 城 考点04 其它综合问题 1．(24-25九上·广东深圳·期末)【问题思考】 （1）如图1，已知正方形，M，N分别是边，上一点，连接，，，且，若延长到，使得，连接． 则：运用三角形全等的相关知识，可推理得到三条线段，，之间的数量关系是 ． 【探究应用】 （2）如图2，正方形的边长为5，点E是射线上一动点（不与点B重合），连接，以为边长在的上方作正方形，交射线于点，连接． ①当点E在上时． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若是等腰三角形，求此时的长． ②当点E在的延长线上时，若，则线段的长为 ． 2．(23-24九上·广东江门开平·期末)张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是张老师在“矩形纸片的剪拼”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现 将为，为的矩形纸片沿对角线剪开，得到和．如图，将以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，，得到，过点作，交的延长线于点，则四边形的形状是______． (2)探究迁移 如图，若将以点为旋转中心逆时针旋转，得到的，若，，三点在同一条直线上，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，得到四边形，请你判断四边形的形状，并加以证明． (3)拓展应用 如图，在的条件下，将沿着方向平移，使点与点重合，此时点平移至点，与相交于点，连接，求的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $