专题05 反比例函数9考点（期末真题汇编，广东专用）九年级数学上学期北师大版

专题05 反比例函数 9大高频考点概览 考点01 反比例函数的定义 考点02 反比例函数的图像和性质 考点03 反比例函数的解析式 考点04 K值意义 考点05 反比例函数与一次函数的图像判断 考点06 反比例函数与一次函数的交点问题 考点07 反比例函数与一次函数的面积问题 考点08 反比例函数与几何综合 考点09 实际问题与反比例函数 地 城 考点01 反比例函数的定义 1．(24-25九上·广东清远英德·期末)下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·广东惠州惠城区·期末)下列函数：①，②，③，④，⑤．其中反比例函数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．(23-24九上·广东清远清城区·期末)下列函数中，不是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 4．(23-24九上·广东揭阳·期末)下列关系式中y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·广东清远阳山县青莲中学·期末)某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（）是气体体积V（）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个函数的表达式； (2)当气体体积为时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全考虑，气体的体积应不小于多少？ 地 城 考点02 反比例函数的图像和性质 1．(24-25九上·广东清远阳山县青莲中学·期末)若反比例函数图象经过点，该函数图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 2．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．两支曲线分别位于第二、四象限 C．在每一象限内，y随x的增大而减小 D．与直线没有交点 3．(24-25九上·广东清远清新区·期末)若点，，都在反比例函数的图象上，则、，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)关于反比例函数，下列说法中正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象与坐标轴没有交点 C．图象是一条直线 D．的值随的值增大而减小 5．(24-25九上·广东揭阳惠来县·期末)下列命题正确的是（   ） A．已知：线段，则a，b，c，d是比例线段 B．关于x的方程是一元二次方程 C．角都对应相等的两个多边形是相似多边形，边都对应成比例的多边形也是相似多边形 D．已知点是函数图象上的两点，则 6．(24-25九上·广东茂名祥和中学·期末)已知点均在双曲线上，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·广东广州白云区白云实验学校·期末)如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 8．(24-25九上·广东江门蓬江区·期末)若点A，B，C都在反比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 9．(24-25九上·广东江门江海区·期末)如图，点是反比例函数（）图象上任意一点，则的面积为（　　） A． B． C． D． 10．(24-25九上·广东江门·期末)如图，点A在图象上，轴于点B，且的面积为4，则k的值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 11．(23-24九上·广东东莞石碣新民学校·期末)1．以下说法正确的是（   ） A．为提高中奖概率需要抢先抽签 B．旋转前后的两个图形全等 C．不可能发生的事情可以说其发生的概率为1 D．同一平面直角坐标系内两个反比例函数一定会有交点 12．(23-24九上·广东深圳龙岗区龙岗街道同乐主力学校·期末)2．关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点和都在该图像上 D．当时， 13．(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)3．在函数中，函数值随的增大而 ． 14．(24-25九上·广东珠海金湾区·期末)4．如图，点M为双曲线上一点，若轴于点P，则的面积为 ． 15．(24-25九上·广东惠州惠城区·期末)5．如图，过反比例函数的图像上一点A作轴于点B，连接，若，则k的值为 ． 16．(24-25九上·广东江门蓬江区·期末)反比例函数，在第二象限的图象如图所示，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，若的面积是3，则的解析式为 ． 17．(24-25九上·广东东莞长安实验中学·期末)7．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”连接） 18．(23-24八下·广东惠州惠阳区惠州知行学校·期末)8．已知，，，是关于的函数图象上的两点，当时，，则的取值范围是 ． 19．(23-24九上·山东济南历下区·期末)9．如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C两点.，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为6，则 ． 20．(23-24九上·广东清远·期末)0．用表格表示反比例函数如下，则与的大小关系为： ． x … 2 4 … y … 4 … 21．(23-24九上·广东茂名电白区·期末)1．如图，点A在反比例函数的图像上，轴于点B，点C在y轴上，的面积为，则m的值为 ．    22．(23-24九上·广东广州增城区·期末)2．已知点，在反比例函数的图象上，且，则 ．（填“”或“”或“”） 23．(24-25九上·广东清远英德·期末)综合与实践 【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1： 表1 长度（） 振动频率（） 【探索发现】 （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）； （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式． 表2  C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 【实际应用】 （3）根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到） 24．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)已知点，是反比例函数图象与一次函数图象的交点． (1)画出反比例函数图象； (2)写出满足的的取值范围． 地 城 考点03 反比例函数的解析式 1．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)点在反比例函数的图象上，当时，的值为（    ） A．1 B． C． D．4 2．(24-25九上·广东清远英德·期末)反比例函数的图象经过点（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)若双曲线经过点，则实数的值为（   ） A． B．12 C．24 D． 4．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)已知点在反比例函数的图象上，则m的值为 ． 5．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点，若，则的取值范围是 ． 6．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，过点作轴的垂线，垂足为点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上求一点，使的值最小，并求出此时点的坐标． 7．(24-25九上·广东清远英德·期末)已知点E，F为反比例函数上的点． (1)如图1，若矩形的边，分别经过点E，F，且，四边形的面积为4，求反比例函数的表达式． (2)如图，一次函数的图像分别于x轴，y轴交于点N，M，若四边形为矩形且，求反比例函数的表达式． (3)在（2）的条件下，直线上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由． 8．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)如图，为正方形的边的中点，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、，，． (1)求的值； (2)求证：； (3)猜想与的数量关系，并证明． 9．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，与x轴交于点C，过点A作轴于点D，，，B点的坐标为 (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)写出当一次函数值不大于反比例函数值时x的取值范围； (3)求的面积； (4)P是y轴上一点，且是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标． 10．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)已知：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B，交点A、B的横坐标分别为和2． (1)求一次函数的表达式； (2)直接写出当时，x的取值范围； (3)如图，连接、，求的面积． 11．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)连接、，求的面积． 12．(45-25九上·广东揭阳榕城区2·期末)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出的解集； (3)在x轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 此时最大， ∵ ∴ 设直线的关系式为，将 ，代入得： 解得：，， ∴直线的关系式为， 当时，即，解得， ∴． 地 城 考点04 K值意义 1．(24-25九上·广东茂名高州·期末)如图，点M为反比例函数图象上的一点，过点M作轴，垂足为A，若的面积为2，则k的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 2.如图，点P是反比例函数图像上的一点，轴于F点，且面积为4．若点也是该图像上的一点，则m的值为（    ） A．－2 B．－4 C．2 D．4 3．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上．若平行四边形的面积是，则的值是（    ） A．4 B．1 C． D． 4．(24-25九上·广东佛山三水区·期末)【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，的一边与轴正方向重合，点在射线上；过点作轴于点，的面积是，函数的图象经过点；以点为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点；分别过点，点作轴和轴的平行线，两线相交于点，连接；过点作轴的平行线交线段于点． 【构建联系】 （1）填空： ． 【深入探究】 （2）求证：点在直线上． （3）请写出与的数量关系，并说明理由． （4）尺规作图：求作射线，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 地 城 考点05 反比例函数与一次函数的图像判断 1．(24-25九上·广东清远清新区·期末)若，则函数与函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（） A． B． C． D． 3．(24-25九上·广东清远英德·期末)如图，函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·广东茂名高州·期末)如图所示，在平面直角坐标系中，函数与（不为零）的图象相交于点，，则关于x的不等式的解集是 ． 地 城 考点06 反比例函数的交点问题 1．(24-25九上·广东茂名电白区·期末)如图，四边形是平行四边形，点B在x轴上，的延长线与y轴交于点D，反比例函数的图象经过点，且与边交于点E．若，且，则点E的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·广东茂名龙岭学校·期末)已知直线与双曲线的一个交点为，则它们另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．(23-24九上·广东广州增城区·期末)解方程“”时，小明绘制了如图所示的函数图象，通过观察图象，该方程的解为(   ) A． B．， C．， D． 4．(23-24九上·广东普宁·期末)如图，函数与的图象相交于点两点，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 5．(24-25九上·广东清远清城区·期末)如图，一次函数和反比例函数的图像相交于点，，若，则x的取值范围是 ． 6．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．则的的取值范围 ．    7．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)网格是研究几何图形的一种工具，是解决问题的一种方法，是培养几何直观的一种方式． (1)如图1，点A、、、都在格点（正方形的顶点）上．仅用无刻度的直尺在线段上找出点，使得和相似，并说明画图的依据； (2)如图2，点为一次函数与反比例函数图象的交点．将一次函数的图象绕点逆时针方向旋转45°，求新图象的表达式． 8．(24-25九上·广东揭阳惠来县·期末)如图，已知反比例函数与直线交于点，点C是x轴上的一点，连接． (1)求反比例函数的表达式及直线的函数表达式； (2)若，求点C的坐标； (3)如图2，直线l绕若点旋转，直线l上有一动点P，过P作交反比例图象于M，作轴交反比例函数图象于N，连接，若在直线上刚好存在三个不同的P点且使得的面积为9时，请直接写出此时直线的斜率． 地 城 考点07 反比例函数的面积问题 1．(23-24九上·广东惠州一中教育集团·期末)如图、点A是第一象限内反比例函数 图象上的一点，轴，垂足为点B，点C在x轴上，的面积是4， 则k 的值等于（  ） A．4 B．5 C．8 D．9 2．(23-24九上·广东深圳南山区·期末)【教材再现】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考． （1）若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，，，根据“相似三角形对应的高的比等于相似比”可以求得此时正方形的边长是________． 【问题解决】：若木板是面积仍然为的锐角三角形，按照如图（乙）所示的方式加工，记所得的正方形的面积为，如何求的最大值呢？某学习小组做了如下思考： 设，，边上的高，则，，由得：，从而可以求得，若要内接正方形面积最大，即就是求的最大值，因为为定值，因此只需要分母最小即可． （2）小组同学借鉴研究函数的经验，令．探索函数的图象和性质： ①下表列出了与的几组对应值，其中________． … 1 2 3 4 … … 4 4 … ②在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象； ③结合表格观察函数图象，以下说法正确的是 A．当时，随的增大而增大． B．该函数的图象可能与坐标轴相交． C．该函数图象关于直线对称． D．当该函数取最小值时，所对应的自变量的取值范围在之间． 3．(24-25上·广东珠海凤凰中学·期末)已知等边，边长为4，点A在第一象限，点B在x轴上，反比例函数经过的中点M，与边相交于点N． (1)求k的值； (2)连接、，求的面积． 4．(24-25九上·广东茂名电白区·期末)综合运用： 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 5．(23-24九上·广东连州·期末)综合运用：如图，直线与反比例函数的图象相交于，两点，连接，． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)若点M在第一象限内反比例函数图象上，点N在x轴上方且在一次函数图象上，若以O，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标． 6．(23-24九上·广东清远清城区·期末)在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与等腰直角三角形相交，，. (1)如图1，若反比例函数的图象恰好经过的顶点B时，求反比例函数的表达式； (2)在（1）的前提下，过点A作交反比例函数的图象于点Q，连接，求的面积和点Q的坐标； (3)如图2，若反比例函数的图象交的边于点C，且，点P是反比例函数图象上的一动点，满足的面积是3，请直接写出点P的坐标. 地 城 考点08 反比例函数与几何综合 1．(24-25九上·广东揭阳普宁·期末)根据图①所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图②．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作平行x轴交图象于点P，Q，连接，则以下结论：①时，；②的面积为定值；③时，y随x的增大而增大；④；⑤存在．其中正确结论是（　　） A．②④⑤ B．①②⑤ C．③④⑤ D．②③⑤ 2．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)反比例函数图象经过点，过点作轴的垂线交轴于点．当点在轴上运动时，的面积为（   ） A．3 B．6 C．12 D．不确定 3．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)如图，已知菱形的面积为5，边在轴上，顶点在反比例函数图象（第一象限的分支）上，则点的坐标是 ． 4．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)阅读材料：有一边是另一边倍的三角形叫做“卓越三角形”，这两边中较长的边称为“卓越边”，这两边的夹角称为“卓越角”． (1)如图①，在菱形中，对角线相交于点O，已知，请找出图中的一个“卓越三角形”，并说明判断依据． (2)如图②，是卓越三角形，是卓越角，是卓越边，若，求的长． (3)如图③，在平面直角坐标系中，有一卓越，是卓越角，是卓越边，顶点A在x轴上，其坐标为，顶点B、C均在反比例函数的第一象限图象上，点B在点C下方，且纵坐标为，当是直角三角形时，求反比例函数的表达式． 5．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)综合与应用 【知识背景】如题图，在反比例函数的图象上有一点，过点作轴于点，连接，点为反比例函数图象上一动点，连接． 【基础尝试】 求反比例函数的表达式； 【深入探究】 若，求点的坐标； 如题图，若，求的面积． 6．(24-25九上·广东揭阳普宁·期末)【综合实践】 如图1所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，小杰组装了如图2所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图2，即） … b … … 8 a 2 … (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为 N； (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则： ①y关于x的函数关系式是 ． ②完成表格： ； ． ③借助表格，在图3的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，若点A的坐标为，点B的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点C，使得，请求出点C的坐标． … … … 8 4 2 … 7．(24-25九上·广东清远清新区·期末)综合与实践 【主题】反比例函数图象与三等分角 【素材】我们知道，利用尺规可以平分任意一个角，从而可以把一个角四等分、八等分……那么，能否用尺规三等分一个任意角呢？ 公元前5世纪，古希腊的学者们就提出了这个问题．为了解决这个问题，数学家们花费了大量的时间和精力．直到1837年，数学家才证明了“三等分任意角”是不可能用尺规完成的．在研究这个问题的过程中，古希腊数学家帕普斯（Pappus，约300-350）给出了一种方法． 【实践与操作】 步骤1：建立平面直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合． 步骤2：在平面直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P． 步骤3：以P为圆心，的长为半径作弧，交函数的图象于点R． 步骤4：分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线交于点M． 步骤5：连接，得到． 【实践探索】 (1)过P作轴于点H且交于Q，连接，，请证明四边形为矩形． (2)求证：． 地 城 考点09 实际问题与反比例函数 1．(23-24九上·广东深圳·期末)【项目式学习】 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考察测量 （1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ； 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段能通过直角弯道； ②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是　 　； ③当时，线段不能通过直角弯道． （3）如图3，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，且矩形能通过该直角弯道，求a的最大整数值． 任务三：成果迁移 （4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线上，两边分别与x轴，y轴平行， ．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为　　　　．（参考数据：） 2．(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)如图，现有一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在O点左侧处挂一个重的物体，在点O的右侧处用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤的示数F（单位：）与相应的L的部分实验数据如下表： … 10 15 20 25 … … 30 20 15 a … (1)填空：表中a的值为______． (2)猜想并验证F与L之间的函数关系式． (3)保持木杆处于水平状态，移动弹簧秤到什么位置时，弹簧秤的示数F最小？是多少？ 3．(24-25九上·广东佛山三水区·期末)某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，已知每天组装的数量y（台）与组装的时间x（天）之间的关系如下表： 组装的时间x（天） 30 40 45 50 60 每天组装的数量y（台） 300 225 200 180 150 (1)求y关于x的函数关系式． (2)某商场以每台2400元的进货价购进这批空调．调查发现，当销售价为2800元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．设商场每台空调降价x元． ①降价后每天卖出 台，每台盈利 元（用含x的代数式表示）； ②该商场平均每天的盈利可能是4000元吗？为什么？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 反比例函数 9大高频考点概览 考点01 反比例函数的定义 考点02 反比例函数的图像和性质 考点03 反比例函数的解析式 考点04 K值意义 考点05 反比例函数与一次函数的图像判断 考点06 反比例函数与一次函数的交点问题 考点07 反比例函数与一次函数的面积问题 考点08 反比例函数与几何综合 考点09 实际问题与反比例函数 地 城 考点01 反比例函数的定义 1．(24-25九上·广东清远英德·期末)下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的意义分别进行分析即可，形如：或或的函数是反比例函数． 【详解】解：A．，y是的反比例函数，故此选项不合题意； B．，y是x的一次函数，故此选项不合题意； C．，不是的反比例函数，故此选项不合题意； D．，y是x的反比例函数，故此选项符合题意． 故选：D． 2．(24-25九上·广东惠州惠城区·期末)下列函数：①，②，③，④，⑤．其中反比例函数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义即可作答． 【详解】解：①是正比例函数，不是反比例函数； ②是反比例函数； ③是反比例函数； ④不是反比例函数； ⑤不是反比例函数； 所以反比例函数有2个． 故选：C． 3．(23-24九上·广东清远清城区·期末)下列函数中，不是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数解析式逐项判断即可得出答案，理解反比例函数解析式的特征是解此题的关键． 【详解】解：A、符合定义，是反比例函数，故本选项不符合题意； B、不符合题意，不是反比例函数，故本选项符合题意； C、符合定义，是反比例函数，故本选项不符合题意； D、，，符合定义，是反比例函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．(23-24九上·广东揭阳·期末)下列关系式中y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的识别，一般地，形如的函数叫做反比例函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、不是反比例函数，不符合题意； B、，即是反比例函数，符合题意； C、不是反比例函数，不符合题意； D、，当时不是反比例函数，不符合题意； 故选B． 5．(24-25九上·广东清远阳山县青莲中学·期末)某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（）是气体体积V（）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个函数的表达式； (2)当气体体积为时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全考虑，气体的体积应不小于多少？ 【答案】(1) (2) (3)为了安全考虑，气体的体积应不小于 【分析】本题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数图象以及性质是解题的关键． （1）根据图象上的点的坐标，待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）将代入（1）中的解析式即可； （3）根据反比例函数图象，结合题意解不等式即可． 【详解】（1）解：设该函数表达式为． 将点代入表达式中可得， ， ∴该函数表达式为． （2）解：将代入表达式中可得， ∴气体体积为时，气压是 ． （3）解：由题意可知， 解得， ∴为了安全考虑，气体的体积应不小于． 地 城 考点02 反比例函数的图像和性质 1．(24-25九上·广东清远阳山县青莲中学·期末)若反比例函数图象经过点，该函数图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，直接根据反比例函数图象上点的坐标特征，得到k的值，即可得到图象的位置． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴该函数图象在第一、三象限． 故选：B． 2．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．两支曲线分别位于第二、四象限 C．在每一象限内，y随x的增大而减小 D．与直线没有交点 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数和一次函数交点问题，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义可得，进而判断 A ，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，随的增大而增大，进而判断B、C ，联立两个函数解析式即可判断D． 【详解】解：∵， ∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，随的增大而增大，B选项正确，C选项不正确； ∵，则图象不经过点，故A选项不正确； 联立和，整理得， ， ∴反比例函数的图象与直线有两个交点，故D选项不正确，     故选：B． 3．(24-25九上·广东清远清新区·期末)若点，，都在反比例函数的图象上，则、，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将的横坐标代入得出相应的值，再比较大小，本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，熟练掌握函数值的计算是解题的关键． 【详解】解：∵，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴， 故选：B． 4．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)关于反比例函数，下列说法中正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象与坐标轴没有交点 C．图象是一条直线 D．的值随的值增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数解析式得到反比例函数图象是双曲线，经过第二、四象限，与坐标轴没有交点，每个象限随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∵， ∴反比例函数图象是双曲线，经过第二、四象限，与坐标轴没有交点，每个象限随的增大而增大， ∴只有B选项符合题意， 故选：B ． 5．(24-25九上·广东揭阳惠来县·期末)下列命题正确的是（   ） A．已知：线段，则a，b，c，d是比例线段 B．关于x的方程是一元二次方程 C．角都对应相等的两个多边形是相似多边形，边都对应成比例的多边形也是相似多边形 D．已知点是函数图象上的两点，则 【答案】B 【分析】本题考查判断命题的真假，根据比例线段的定义，一元二次方程的定义，相似多边形的定义以及反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、已知：线段，则：，故a，b，c，d不是比例线段，原命题为假命题，不符合题意； B、∵，∴关于x的方程是一元二次方程，原命题为真命题，符合题意； C、角都对应相等，且边都对应成比例的多边形是相似多边形，原命题为假命题，不符合题意； D、∵， ∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点是函数图象上的两点，且， ∴，原命题为假命题，不符合题意； 故选B． 6．(24-25九上·广东茂名祥和中学·期末)已知点均在双曲线上，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，主要利用了反比例函数的增减性，求出点A、B、C所在的象限是解题的关键．根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：， ∴反比例函数的图象在一、三象限， 点在第一象限，点在第三象限． ． ， ． 故选：D． 7．(24-25九上·广东广州白云区白云实验学校·期末)如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比函数比例系数的几何意义，根据反比函数比例系数的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积． 【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点， ，， 四边形的面积， 故选：D． 8．(24-25九上·广东江门蓬江区·期末)若点A，B，C都在反比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：对于， ， 当时， 随的增大而减小， 点A，B，C都在反比例函数的图象上，， ∴； 故选：A． 9．(24-25九上·广东江门江海区·期末)如图，点是反比例函数（）图象上任意一点，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数系数的几何意义解答即可求解，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上任意一点，轴， ∴， 故选：． 10．(24-25九上·广东江门·期末)如图，点A在图象上，轴于点B，且的面积为4，则k的值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为，体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 根据题意可得，即得或，再根据图象分布的象限即可求解． 【详解】解：∵轴于点，的面积为， ∴， ∴或， ∵反比例函数的图象分布在一、三象限， ∴， ∴， 故选：C． 11．(23-24九上·广东东莞石碣新民学校·期末)1．以下说法正确的是（   ） A．为提高中奖概率需要抢先抽签 B．旋转前后的两个图形全等 C．不可能发生的事情可以说其发生的概率为1 D．同一平面直角坐标系内两个反比例函数一定会有交点 【答案】B 【分析】本题考查概率，旋转的性质，反比例函数的图象和性质，根据概率的意义，旋转的性质和反比例函数的图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、抽签的先后顺序和中奖的概率无关，原说法错误，不符合题意； B、旋转前后的两个图形全等，原说法正确，符合题意； C、不可能发生的事情可以说其发生的概率为0，原说法错误，不符合题意； D、同一平面直角坐标系内两个反比例函数一定不会有交点，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 12．(23-24九上·广东深圳龙岗区龙岗街道同乐主力学校·期末)2．关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点和都在该图像上 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，根据题意，利用反比例函数图像与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、由于，反比例函数图像在第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，该选项说法正确，不符合题意； B、由于，反比例函数图像在第二、四象限，该选项说法正确，不符合题意； C、由于点在函数的图像上，则，从而点和都在函数的图像上，该选项说法正确，不符合题意； D、当时，，由于反比例函数图像在第二、四象限，则当时，，该选项说法错误，符合题意； 故选：D． 13．(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)3．在函数中，函数值随的增大而 ． 【答案】减小 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，根据在每一象限内，函数值随的增大而减小可得答案． 【详解】解：在函数中，函数值随的增大而减小， 故答案为：减小 14．(24-25九上·广东珠海金湾区·期末)4．如图，点M为双曲线上一点，若轴于点P，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，根据反比例函数值的几何意义解答即可．熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：点为双曲线上一点，若轴于点， ． 故答案为：4． 15．(24-25九上·广东惠州惠城区·期末)5．如图，过反比例函数的图像上一点A作轴于点B，连接，若，则k的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 过双曲线上任意一点与原点所连的线段，坐标轴，向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即． 【详解】解：根据题意可知：， 又反比例函数的图象位于第一象限，， 则， 故答案为：6 ． 16．(24-25九上·广东江门蓬江区·期末)反比例函数，在第二象限的图象如图所示，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，若的面积是3，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义．设的解析式为，再利用得到，然后解关于的绝对值方程即可． 【详解】解：设的解析式为， 由题意得， ， 解得． ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴反比例函数的解析式为， 故答案为：． 17．(24-25九上·广东东莞长安实验中学·期末)7．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查比例反比例函数的函数值的大小，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小， ∵点在反比例函数的图象上，且：， ∴； 故答案为：． 18．(23-24八下·广东惠州惠阳区惠州知行学校·期末)8．已知，，，是关于的函数图象上的两点，当时，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．根据题意可得出随的增大而增大，结合一次函数的性质可得出，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：，、，两点在一次函数的图象上，且当时，， 随的增大而增大， ， ， 即的取值范围为． 故答案为：． 19．(23-24九上·山东济南历下区·期末)9．如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C两点.，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为6，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义．由反比例函数的几何意义得，，，再根据即可求出k的值． 【详解】解：∵D，E在反比例函数的图像上且图像在第二象限， ∴，， ∵点A是双曲线上一点，且图像在第二象限， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：． 20．(23-24九上·广东清远·期末)0．用表格表示反比例函数如下，则与的大小关系为： ． x … 2 4 … y … 4 … 【答案】 【分析】本题考查的知识点是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象在某个象限内的增减性是解此题的关键．首先根据表格得到，再代入数值计算，最后比较大小，即可作答． 【详解】解：由表格可得， ∴反比例函数， ∵ ∴． ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 21．(23-24九上·广东茂名电白区·期末)1．如图，点A在反比例函数的图像上，轴于点B，点C在y轴上，的面积为，则m的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，平行线间的距离处处相等，连接，得到，结合，计算即可． 【详解】连接， ∵ 轴，的面积为， ∴，    ∴， ∴， ∵ 反比例函数在二、四象限， ∴， 故答案为：． 22．(23-24九上·广东广州增城区·期末)2．已知点，在反比例函数的图象上，且，则 ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，根据反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内随着的增大而减小，结合即可得出答案，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标的特征是解此题的关键． 【详解】解：反比例函数中，， 反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内随着的增大而减小， ，点，在反比例函数的图象上， ， 故答案为：． 23．(24-25九上·广东清远英德·期末)综合与实践 【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1： 表1 长度（） 振动频率（） 【探索发现】 （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）； （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式． 表2  C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 【实际应用】 （3）根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到） 【答案】（1）高；（2）图象见解析；（3）低音区的对应吸管长度为 【详解】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式． （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越高； 故答案为：高． （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线． 根据表格可知 ∴从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用反比例函数模型反映，该函数表达式为． 函数图象，如图所示 （3）由题可得，低音区的音频率为 代入 ∴ 答：低音区的对应吸管长度为 24．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)已知点，是反比例函数图象与一次函数图象的交点． (1)画出反比例函数图象； (2)写出满足的的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，画函数的图象，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解题的关键． （1）先求出反比例函数解析式，再画出函数图象即可； （2）关键图象直接写出不等式解集即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴反比例函数解析式为：， 再把代入，得 ， ∴， ∴， 反比例函数图象如图： （2）解：由（1）中图象可知，满足的x的取值范围为：或． 地 城 考点03 反比例函数的解析式 1．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)点在反比例函数的图象上，当时，的值为（    ） A．1 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求反比例函数的步骤是解题的关键． 把点代入求出反比例函数解析式，然后把代入即可求出的值． 【详解】解：把点代入，得， ∴， ∴， 当时，． 故选B． 2．(24-25九上·广东清远英德·期末)反比例函数的图象经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，即反比例函数中，为定值依此判断即可． 【详解】解：反比例函数中，， A、∵，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； B、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； C、，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； D、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)若双曲线经过点，则实数的值为（   ） A． B．12 C．24 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，代入求值是解题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵双曲线经过点， ∴． 故选：D ． 4．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)已知点在反比例函数的图象上，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，将代入即可求解，熟练掌握待定系数法解函数解析式是解题的关键． 【详解】解：将代入得：， 解得：， 故答案为：． 5．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点，若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再画出两个函数的图象，然后根据正比例函数和反比例函数的图象与性质可得两个函数图象的另一个交点的坐标为，据此结合函数图象即可得出答案．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：将点代入反比例函数得：， 则反比例函数的解析式为， 画出两个函数的图象如下： 由函数图象的对称性得：正比例函数和反比例函数的图象的另一个交点的坐标为， ∴结合函数图象得：若，则的取值范围是或 故答案为：或 6．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，过点作轴的垂线，垂足为点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上求一点，使的值最小，并求出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)见解析， 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标为，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）作点关于轴的对称点，则点的坐标为，连接，交轴于点，点即为所求．先求出直线的解析式，即可得解． 【详解】（1）解：将点代入，得， ． 一次函数的解析式为． 将点代入，得， ． 反比例函数的解析式为． （2）解：在反比例函数中，令，得． 点的坐标为． ． （3）解：如图，作点关于轴的对称点，则点的坐标为，连接，交轴于点，点即为所求． 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为． 令，得． 点的坐标为． 7．(24-25九上·广东清远英德·期末)已知点E，F为反比例函数上的点． (1)如图1，若矩形的边，分别经过点E，F，且，四边形的面积为4，求反比例函数的表达式． (2)如图，一次函数的图像分别于x轴，y轴交于点N，M，若四边形为矩形且，求反比例函数的表达式． (3)在（2）的条件下，直线上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)反比例函数为：； (3)或 【分析】（1）设，可得，结合，再建立方程求解即可； （2）如图，过作轴于，连接，求解，证明，可得，设，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． （3）如图，由四边形为矩形，证明，设直线为，可得直线为，求解，，结合在直线上，设，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点E，F为反比例函数上的点． 设， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴反比例函数为：； （2）解：如图，过作轴于，连接， 令，则，当时，则， ∴，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴， ∴， ∴反比例函数为：； （3）解：如图，∵四边形为矩形， ∴，， 设直线为，， ∴， 解得：， ∴直线为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在直线上， ∴设， ∴， 整理得：， 解得：， ∴或． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 8．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)如图，为正方形的边的中点，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、，，． (1)求的值； (2)求证：； (3)猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（）设，， 由勾股定理得，即得，，即得到，进而求出点坐标即可求解； （）连接，利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得是直角三角形，据此即可求证； （）设的中点为，连接，延长与的延长线相交于点，证明得，证明得，，即得，进而得，即得到，即可得． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∵， ∴设，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴，，， ∴， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴； （2）证明：连接，如图所示， ∵点是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵点的横坐标为，且反比例函数 的图象经过点， ∴点的坐标为， ∴，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中， ，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 设的中点为，连接，延长与的延长线相交于点，如图所示， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理及其逆定理，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 9．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，与x轴交于点C，过点A作轴于点D，，，B点的坐标为 (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)写出当一次函数值不大于反比例函数值时x的取值范围； (3)求的面积； (4)P是y轴上一点，且是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为：；反比例函数的表达式为：； (2)或 (3)的面积为9； (4)P点坐标为标为：或或或． 【分析】本题考查了勾股定理，反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的判定与性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法． （1）先求得点，利用待定系数法求得反比例函数的表达式和点B的坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数表达式； （2）结合点，B点的坐标为，且运用数形结合思想进行作答即可． （3）的面积，据此计算即可求解； （4）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设 则 ∵过点A作轴于点D，， ∴， 即 解得（负值已舍去） ∴ ∴点， 则， 故反比例函数的表达式为：， ∵B点的坐标为 ∴ 故B点的坐标为， 将点A、B的坐标代入一次函数表达式得： ， 解得， 故一次函数的表达式为：； （2）解：由（1）得点，B点的坐标为， ∵一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴结合函数图象得，当一次函数值不大于反比例函数值时，或 （3）解：设一次函数交y轴于点为M， 令，则， 故， ∵点，， ∴的面积； （4）解：设点，而点A、O的坐标分别为：、， ，，， 当时，，解得：或0（舍去0）； 当时，同理可得：； 当时，同理可得：； 综上，P点坐标为：或或或． 10．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)已知：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B，交点A、B的横坐标分别为和2． (1)求一次函数的表达式； (2)直接写出当时，x的取值范围； (3)如图，连接、，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用； （1）先求解，，再利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）由，，结合函数图象可得答案； （3）如图，记与轴的交点为，求解，结合，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B，交点A、B的横坐标分别为和2， ∴，， ∴，； ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式是． （2）解：∵，； ∴当时，x的取值范围为或； （3）解：如图，记与轴的交点为， ∵一次函数的解析式是， 当，则， 解得：， ∴， ∴． 11．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)连接、，求的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)或 (3) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由（）得到点坐标，再根据图象解答即可； （）设直线与的交点为，可得，再根据计算即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何图形，正确求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴一次函数的表达式为，， 把代入得，， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵，， ∴，， 由函数图象可知，当或时，， ∴不等式的解集为或； （3）解：设直线与轴的交点为， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．(45-25九上·广东揭阳榕城区2·期末)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出的解集； (3)在x轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】此题考查一次函数与反比例函数的交点问题，正确求出函数解析式，是解题的关键． （1）根据题意利用三角形面积公式求得，得到，将A代入反比例函数，求出反比例函数解析式，再把B代入解析式，即可解答； （2）根据函数图象结合解析式即可判断； （3）作点关于轴的对称点，直线与轴交于，得到 ，设直线的关系式为，将 ，代入得到解析式，即可解答． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵，即， ∴， ∵点在第二象限， ∴， ∴， 将代入得：， ∴反比例函数的关系式为：， 把代入得：， ∴ ∴，； （2）解：由图象可以看出的解集为：或； （3）解：如图，作点关于轴的对称点，直线与轴交于， 此时最大， ∵ ∴ 设直线的关系式为，将 ，代入得： 解得：，， ∴直线的关系式为， 当时，即，解得， ∴． 地 城 考点04 K值意义 1．(24-25九上·广东茂名高州·期末)如图，点M为反比例函数图象上的一点，过点M作轴，垂足为A，若的面积为2，则k的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：根据反比例函数k值的几何意义可得： ． 故选：C． 2.如图，点P是反比例函数图像上的一点，轴于F点，且面积为4．若点也是该图像上的一点，则m的值为（    ） A．－2 B．－4 C．2 D．4 【答案】D 【分析】直接利用反比例函数的系数的几何意义得出 ，即可求出． 【详解】解：， ， ， 在该图像上， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数系数的几何意义，正确表示出时解题的关键． 3．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上．若平行四边形的面积是，则的值是（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，掌握几何图形面积的计算与反比例系数的关系是解题的关键． 根据题意，设，则，，根据平行四边形的面积的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：在反比例函数的图象上， ∴设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵平行四边形的面积是， ∴， 解得，， 故选：D ． 4．(24-25九上·广东佛山三水区·期末)【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，的一边与轴正方向重合，点在射线上；过点作轴于点，的面积是，函数的图象经过点；以点为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点；分别过点，点作轴和轴的平行线，两线相交于点，连接；过点作轴的平行线交线段于点． 【构建联系】 （1）填空： ． 【深入探究】 （2）求证：点在直线上． （3）请写出与的数量关系，并说明理由． （4）尺规作图：求作射线，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】（1） （2）见解析 （3），见解析 （4）见解析 【分析】（1）运用反比例函数系数的几何意义即可求得答案； （2）设，，由轴，轴，可得，，运用待定系数法可得直线的解析式为，当时，，即可证得结论； （3）连接交于点，可证得四边形是矩形，推出，再证得，即可求得答案； （4）连接交反比例函数的图象于点，以点为圆心，为半径画弧交反比例函数的图象于点，分别过、作轴、轴的平行线交于点，作点关于轴的对称点，连接、即可． 【详解】解：（1）由于函数的图象经过点， 则， 又， ， 故答案为：； （2）证明：由（1）知：， 设，， 轴，轴， ，， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点在直线上； （3），理由如下： 轴，轴， ， 四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， ， ， 轴， ， ； （4）如图所示，连接交反比例函数的图象于点，以点为圆心，为半径画弧交反比例函数的图象于点，分别过、作轴、轴的平行线交于点，作点关于轴的对称点，连接、，则射线，即为所求． 【点睛】本题考查了待定系数法、反比例函数系数的几何意义、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 地 城 考点05 反比例函数与一次函数的图像判断 1．(24-25九上·广东清远清新区·期末)若，则函数与函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质及反比例函数的性质，根据图象所在象限，正确判断、的符号是解题关键．根据得出、同号，根据一次函数和反比例函数所在象限，分别判断、的符号，根据、同号判断即可得答案． 【详解】解：∵， ∴、同号， A．一次函数图象在一、三、四象限，则，，故该选项不符合题意， B．一次函数图象经过原点，则，故该选项不符合题意， C．一次函数图象在一、二、三象限，则，，反比例函数图像在一、三象限，则，故该选项符合题意， D．一次函数图象在一、二、四象限，则，，故该选项不符合题意． 故选：C． 2．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，先根据一次函数的性质判断出取值，再根据反比例函数的性质判断出的取值，二者一致的即为正确答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、由函数的增减性可知，但从函数图象与轴的交点来看，相矛盾，故选项不符合题意； B、由函数的增减性可知，但从函数图象与轴的交点来看，相矛盾，故选项不符合题意； C、由函数的图象可知，由函数的图象可知，故选项符合题意； D、由函数的图象可知，由函数的图象可知，相矛盾，故选项不符合题意； 故选：C． 3．(24-25九上·广东清远英德·期末)如图，函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，根据一次函数及反比例函数的性质分开讨论：当时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，然后与选项作比较即可得出结果；当时，直线经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限， 【详解】解：当时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限， 当时，直线经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限， A、图中直线经过直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第二、四象限，故选项错误； B、图中直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，故选项正确； C、图中直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，故选项错误； D、图中直线经过第二、四象限，双曲线经过第一、三象限，故选项错误． 故选B． 4．(24-25九上·广东茂名高州·期末)如图所示，在平面直角坐标系中，函数与（不为零）的图象相交于点，，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 根据反比例函数与一次函数的交点问题解答即可． 【详解】解：函数与（不为零）的图象相交于点，， 关于x的不等式的解集是：或． 故答案为：或． 地 城 考点06 反比例函数的交点问题 1．(24-25九上·广东茂名电白区·期末)如图，四边形是平行四边形，点B在x轴上，的延长线与y轴交于点D，反比例函数的图象经过点，且与边交于点E．若，且，则点E的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，再根据四边形是平行四边形求得，然后根据可得，即；进一步得到反比例函数为、直线解析式为，再将代入求得满足题意的x，然后将代入即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴， ∵ ∴，即， ∴， ∴反比例函数为， 设直线解析式为， 把，代入可得： ，解得：， ∴直线解析式为， 将代入可得：，解得：， ∵点E在第一象限， ∴， 把代入， 解得：， 则点E的纵坐标为∶ 故选∶A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合、平行四边形的性质等知识点，正确求得反比例函数和直线解析式是解答本题的关键． 2．(24-25九上·广东茂名龙岭学校·期末)已知直线与双曲线的一个交点为，则它们另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象是中心对称图形，经过原点的直线与它的图象的两个交点关于原点对称即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线与双曲线的一个交点为，且两图象的交点关于原点对称， ∴它们另一个交点坐标是， 故选：． 3．(23-24九上·广东广州增城区·期末)解方程“”时，小明绘制了如图所示的函数图象，通过观察图象，该方程的解为(   ) A． B．， C．， D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，由图象可得：两函数图象的一个交点坐标是，再根据函数的对称性可得另外一个交点为，即可求解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：两函数图象的一个交点坐标是， ∵反比例函数与一次函数的两个交点关于原点对称， ∴两个函数的另外一个交点是， 方程的解是，， 故选：C． 4．(23-24九上·广东普宁·期末)如图，函数与的图象相交于点两点，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据函数图象交点写出不等式解集，根据函数图象，写出当一次函数图象低于反比例函数图象时，自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵函数与的图象相交于点两点， ∴由图可知，当或时，， 故选：B． 5．(24-25九上·广东清远清城区·期末)如图，一次函数和反比例函数的图像相交于点，，若，则x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图像的上下位置关系结合交点的横坐标即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数和反比例函数图像相交于，， ∴根据函数图像可知：当或时，一次函数图像在反比例函数图象下方，即． 故答案为：或． 6．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．则的的取值范围 ．    【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用函数图象解不等式，采用数形结合的思想是解此题的关键．结合图象即可得出答案． 【详解】解：由图象可知，的的取值范围或． 故答案为：或． 7．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)网格是研究几何图形的一种工具，是解决问题的一种方法，是培养几何直观的一种方式． (1)如图1，点A、、、都在格点（正方形的顶点）上．仅用无刻度的直尺在线段上找出点，使得和相似，并说明画图的依据； (2)如图2，点为一次函数与反比例函数图象的交点．将一次函数的图象绕点逆时针方向旋转45°，求新图象的表达式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，反比例函数与一次函数的综合、矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握全等三角形的判定和性质及待定系数法是解题的关键． （1）根据矩形的性质和三角形的中位线的性质作图即可； （2）先根据反比例的性质求得点P的坐标，根据全等三角形的判定和性质及待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：如图：点E即为所求． 根据矩形的对角线互相平分找到的中点E，再根据三角形的中位线平行于第三边可得，可使和相似． （2）解：由题意得∶，解得∶， ∴， 如图：设交y轴于点A，则， 过P作轴于点C，过A作且，过B作轴于点D， 则， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为，即新图象的表达式为． 8．(24-25九上·广东揭阳惠来县·期末)如图，已知反比例函数与直线交于点，点C是x轴上的一点，连接． (1)求反比例函数的表达式及直线的函数表达式； (2)若，求点C的坐标； (3)如图2，直线l绕若点旋转，直线l上有一动点P，过P作交反比例图象于M，作轴交反比例函数图象于N，连接，若在直线上刚好存在三个不同的P点且使得的面积为9时，请直接写出此时直线的斜率． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设直线与轴交于点，设，根据，列出方程进行求解即可； （3）设直线的解析式为，把代入，得到，设，进而得到，，根据的面积为9，列出方程，根据直线上刚好存在三个不同的P点，得到有3个不相等的实数根，利用根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数与直线交于点， ∴， ∴， ∴，， ∴，解得：； ∴； （2）设直线与轴交于点，设， ∵， ∴当时，，解得， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴或， ∴或； （3）设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∴， 设， ∵过P作交反比例图象于M，作轴交反比例函数图象于N， ∴到，， ∴， ∵的面积为9， ∴， ∴， 整理，得：， 设，则：， ∴； ①当时，，解得：或， ∴或， 即：或， 当时，， ∴有2个不相等的实数根， ∵直线上刚好存在三个不同的P点， ∴有2个相等的实数根， ∴，解得：或； ②当时，则：，解得：或， ∴或， 当时，； 当时，； ∵直线上刚好存在三个不同的P点， ∴或， 当时，解得：或； 当，无解； 综上：或或或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，分割法求面积，根与系数的关系等知识点，综合性强，计算量大，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 地 城 考点07 反比例函数的面积问题 1．(23-24九上·广东惠州一中教育集团·期末)如图、点A是第一象限内反比例函数 图象上的一点，轴，垂足为点B，点C在x轴上，的面积是4， 则k 的值等于（  ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，解题关键是利用两平行线间的距离相等得到，再结合反比例函数的几何意义解答． 【详解】解：连结，如图， ∵轴， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∵反比例函数图像在一、三象限， ∴，即 故选D． 2．(23-24九上·广东深圳南山区·期末)【教材再现】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考． （1）若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，，，根据“相似三角形对应的高的比等于相似比”可以求得此时正方形的边长是________． 【问题解决】：若木板是面积仍然为的锐角三角形，按照如图（乙）所示的方式加工，记所得的正方形的面积为，如何求的最大值呢？某学习小组做了如下思考： 设，，边上的高，则，，由得：，从而可以求得，若要内接正方形面积最大，即就是求的最大值，因为为定值，因此只需要分母最小即可． （2）小组同学借鉴研究函数的经验，令．探索函数的图象和性质： ①下表列出了与的几组对应值，其中________． … 1 2 3 4 … … 4 4 … ②在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象； ③结合表格观察函数图象，以下说法正确的是 A．当时，随的增大而增大． B．该函数的图象可能与坐标轴相交． C．该函数图象关于直线对称． D．当该函数取最小值时，所对应的自变量的取值范围在之间． 【答案】（1）；（2）①；②见解析；③D 【分析】（1）利用勾股定理以及面积法求得各边长和斜边上的高，设正方形的边长为，根据，利用“相似三角形对应的高的比等于相似比”列式计算即可求解； （2）①将代入计算即可求解； ②描点、连线，即可画出图象； ③结合表格观察函数图象即可判断． 【详解】解：（1）作交于点N，交于点M， 设正方形的边长为，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 此时正方形的边长是， 故答案为：； 解：（2）①当时，， 故答案为：； ②描点、连线，图象如图所示， ③由图可知： A、当时，随的增大，先减小后增大，原说法错误； B、a不能为零，可知与y轴无交点，a为正数可知，,与横轴无交点，即该函数的图象不可能与坐标轴相交，原说法错误； C、该函数图象没有对称轴，原说法错误； D、当，函数值先减少后增加，故当该函数取最小值时，所对应的自变量的取值范围在之间，说法正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，函数的图象和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 3．(24-25上·广东珠海凤凰中学·期末)已知等边，边长为4，点A在第一象限，点B在x轴上，反比例函数经过的中点M，与边相交于点N． (1)求k的值； (2)连接、，求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了等边三角形的性质，反比例函数等知识，解题的关键是： （1）过A作轴于C，根据三角形的性质得出，根据三线合一的性质得出，根据勾股定理求出，则可求出A、B的坐标，然后根据中点坐标公式求出M的坐标，最后把M的坐标代入求解即可； （2）根据待定系数法求出直线的解析式，与反比例函数解析式联立方程组求出N的坐标，根据待定系数法求出直线的坐标，则可求出点D的坐标，最后根据求解即可． 【详解】（1）解∶过A作轴于C， ∵等边，边长为4， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，， ∵M是的中点， ∴，即， ∵经过点M， ∴， 解得； （2）解∶如图，设的延长线与y轴相交于D， 由（1）知：反比例函数解析式为， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴， 联立方程组， 解得或（舍去）， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴ ． 4．(24-25九上·广东茂名电白区·期末)综合运用： 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)存在，、、或 【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． （1）先把点的坐标代入反比例函数，求得的值，把的坐标为，的坐标为代入，即可得到结论； （2）利用一次函数的解析式求得点的坐标，利用即可求解； （3）存在，在轴和轴上分两种情况：①若时，如图所示，利用两点间的距离公式和勾股定理即可求解；②若时，如图所示，过点作轴，垂足为点，即可求解． 【详解】（1）解：点的坐标为在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点的坐标为也在上， ， 的坐标为，的坐标为都在一次函数的图象上， 代入可得： ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：直线与轴交于点， 当时，可得，解得 ， ， 的坐标为，的坐标为， ； （3）解：①若时，如图所示， 的坐标为， 点的坐标为； ②当时，如图， 设点， ，， 是直角三角形， ， 即， 解得， 点的坐标为． ③当时，如图， 当点在轴上时，设点， ，， 是直角三角形， ， ， 解得， 点的坐标为． ④若时，如图所示， 的坐标为， 点的坐标为． 综上可得点的坐标为、、或． 5．(23-24九上·广东连州·期末)综合运用：如图，直线与反比例函数的图象相交于，两点，连接，． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)若点M在第一象限内反比例函数图象上，点N在x轴上方且在一次函数图象上，若以O，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为 (2) (3)点M的坐标为或 【分析】（1）将，代入，求得，的值，再由，坐标利用待定系数法即可求解； （2）先求出、点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）过点B作y轴的垂线，垂足为点D，过M作y轴的垂线，过N作x轴的垂线，交点为E，证明，得到，，再分两种情况，即可得出答案． 【详解】（1）∵，两点在反比例函数的图象上 ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为：， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； （2）设直线交y轴于点C， ∴， ∴， ∴ （3）点M的坐标为或 解析如下：如图，由题意得，， 过点B作y轴的垂线，垂足为点D，过M作y轴的垂线，过N作x轴的垂线，交点为E， 则， ∴，， 当点在点A的左侧时， 设，则， ∵在上， ∴，即， ∴，， 经检验是原方程的根且符合题意，，不合题意，舍去； 当时，， ∴； 当点在点A的右侧时， 设，则， ∵在上， ∴，即， ∴，， 经检验是原方程的根且符合题意，，不合题意，舍去； 当时，， ∴； 综上所述：点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与特殊四边形的综合题目，涉及求反比例函数解析式，三角形的面积公式，反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键． 6．(23-24九上·广东清远清城区·期末)在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与等腰直角三角形相交，，. (1)如图1，若反比例函数的图象恰好经过的顶点B时，求反比例函数的表达式； (2)在（1）的前提下，过点A作交反比例函数的图象于点Q，连接，求的面积和点Q的坐标； (3)如图2，若反比例函数的图象交的边于点C，且，点P是反比例函数图象上的一动点，满足的面积是3，请直接写出点P的坐标. 【答案】(1) (2)，点Q的坐标为， (3)或 【分析】（1）过点B作于点H，利用等腰直角三角形的性质求出点B的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点Q作轴于点M，求出直线的解析式是和直线的解析式为，与反比例函数解析式联立得到点Q的坐标为，则，利用即可得到答案； （3）求出，过点C作于点N，得到，过点P作轴于点R，求出反比例函数解析式为，由（2）可知，，解方程即可得到m的值，即可得到点P的坐标. 【详解】（1）解：过点B作于点H， ∵是等腰直角三角形，，. ∴， ∴点B的坐标为， ∵反比例函数的图象恰好经过的顶点B， ∴， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）过点Q作轴于点M， 设直线的解析式是，把点B的坐标代入得到， ， 解得， ∴直线的解析式是， ∵， ∴可设直线的解析式为，把点A的坐标代入得到 ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得或（不合题意，舍去）， ∴点Q的坐标为， ∴， ∴ ； （3）∵是等腰直角三角形，，. ∴， ∵， ∴, ∴， 过点C作于点N，则，过点P作轴于点R， ∴点C的坐标是， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为， 设点P的坐标为， 则,， 由（2）可知，， 解得：（不合题意，舍去）或或或（不合题意，舍去）， ∴点P的坐标为或 【点睛】此题考查了反比例函数和几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式，解分式方程、等腰直角三角形的性质、一次函数和反比例函数图象交点问题等知识，数形结合是解题的关键. 地 城 考点08 反比例函数与几何综合 1．(24-25九上·广东揭阳普宁·期末)根据图①所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图②．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作平行x轴交图象于点P，Q，连接，则以下结论：①时，；②的面积为定值；③时，y随x的增大而增大；④；⑤存在．其中正确结论是（　　） A．②④⑤ B．①②⑤ C．③④⑤ D．②③⑤ 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合．根据图①所示的程序得，当时，，当时，，可判断结论①错误；设，，则，，，可判断结论②正确；时，，y随x的增大而减小，可判断结论③错误；根据，可判断结论④正确；设，根据有实数解，可判断结论⑤正确． 【详解】解：根据图①所示的程序得，当时，，当时，， 故①结论错误； 设，， 则，， ∴， 故②结论正确； 时，，y随x的增大而减小， 故③结论错误； ，， ∴， ∴， 故④结论正确； 设， ∴，， ∴， ∴，， 令，得：， 即， 有实数解， ∴存在． 故⑤结论正确； ∴正确结论是②④⑤． 故选A． 2．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)反比例函数图象经过点，过点作轴的垂线交轴于点．当点在轴上运动时，的面积为（   ） A．3 B．6 C．12 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征、坐标与图形、平行线之间的距离相等，熟练掌握反比例函数的图象上点的坐标特征是解答的关键．先求出点A、B的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】将代入反比例函数得解析式得：， ， 又过点作轴的垂线交轴于点， ， 故选：B． 3．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)如图，已知菱形的面积为5，边在轴上，顶点在反比例函数图象（第一象限的分支）上，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，菱形的面积．作轴于点，作轴于点，设，在中，利用勾股定理列式，求得，据此求解即可． 【详解】解：作轴于点，作轴于点， 设，且， ∵菱形的面积为5， ∴， ∴，， 在中，， 即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 4．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)阅读材料：有一边是另一边倍的三角形叫做“卓越三角形”，这两边中较长的边称为“卓越边”，这两边的夹角称为“卓越角”． (1)如图①，在菱形中，对角线相交于点O，已知，请找出图中的一个“卓越三角形”，并说明判断依据． (2)如图②，是卓越三角形，是卓越角，是卓越边，若，求的长． (3)如图③，在平面直角坐标系中，有一卓越，是卓越角，是卓越边，顶点A在x轴上，其坐标为，顶点B、C均在反比例函数的第一象限图象上，点B在点C下方，且纵坐标为，当是直角三角形时，求反比例函数的表达式． 【答案】(1)是“卓越三角形”（答案不唯一，，，也满足） (2) (3)或 【分析】本题主要围绕“卓越三角形”的定义，结合菱形、三角函数以及反比例函数的相关知识进行求解。对于（1），根据菱形性质和“卓越三角形”定义找出符合的三角形并说明理由；对于（2），通过作高构造直角三角形，利用三角函数求解边长；对于（3）先根据点B纵坐标求出其横坐标，再设出点C坐标，利用勾股定理和“卓越三角形”定义建立方程求解． （1）根据卓越三角形的定义即可得到结论； （2）过点C作于点D，构造两个有特殊角的直角三角形，解直角三角形即可得到结论； （3）由题意可知，因此当为直角三角形时，不可能为斜边，即或两种情况讨论．作辅助线构造三垂直模型，证得相似或全等三角形，再利用对应边的关系把B、C的坐标表示出来，再代入计算． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 在中，， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， ∴是“卓越三角形”（答案不唯一，，，也满足）； （2）解：过点C作于点D，如图， ∵， ∴在中，， ∴； 设， ∵是卓越三角形，是卓越角，是卓越边， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∵，即 解得：， ∵， ∴ ∴， 在等腰直角三角形中，； （3）解：在卓越中，为卓越边，为卓越角， ∵是直角三角形， ∴不可能为斜边，即， ∴或， ①当时，如图3， 过点B作轴于点E，过点C作交延长线于点F，过点C作轴于点G，则． ∴， ∴， ∴， ∴ 设，则， ∵， ∴ ∵，， ∴，， ∵点B，C在函数的图象上， ∴， 解得：（舍去）． ∴， ∴反比例函数解析式为； ②当时，如图4，过点C作轴于点M，过点B作轴于点N． 则． ∴． ∴． ∴， ∵为卓越边，为卓越角， ∴， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∴，． ∵点B，C在函数的图象上， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上所述，反比例函数解析式为：或． 5．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)综合与应用 【知识背景】如题图，在反比例函数的图象上有一点，过点作轴于点，连接，点为反比例函数图象上一动点，连接． 【基础尝试】 求反比例函数的表达式； 【深入探究】 若，求点的坐标； 如题图，若，求的面积． 【答案】；；． 【分析】把点的坐标代入反比例函数的解析式，求出的值即可； 过点，作轴，垂足为，交于点，根据矩形的性质可证，根据等角对等边可知，设，则，，根据勾股定理可得，解得，从而可得直线的解析式为，因为点是直线与反比例函数图象的交点，解方程组求出点的坐标即可； 过点作轴，垂足为，交的延长线于点，根据直角三角形的性质可证，又因为，从而可证，根据相似三角形对应边成比例可知，设点的坐标为，可得，解方程求出的值，即可得点的坐标为，根据即可求出的面积． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 反比例函数表达式为； 解：如下图所示，过点，作轴，垂足为，交于点， 轴， ， ， 由题意可知，， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 由图象可知，所在直线是正比例函数， 设所在直线的函数为， 将代入， 可得：， 解得， 所在直线的函数为， 联立构成方程组得：， 解得：或（不符合题意，舍去） 点的坐标为 解：如下图所示，过点作轴，垂足为，交的延长线于点， 则， ， ，即， 轴， ，即， ， ， ， ， ，即， 设，则，， 由，得，， ， 整理得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 点的坐标为， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何的综合题，涉及到的知识点有：用待定系数法求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理． 6．(24-25九上·广东揭阳普宁·期末)【综合实践】 如图1所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，小杰组装了如图2所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图2，即） … b … … 8 a 2 … (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为 N； (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则： ①y关于x的函数关系式是 ． ②完成表格： ； ． ③借助表格，在图3的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，若点A的坐标为，点B的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点C，使得，请求出点C的坐标． 【答案】(1) (2)①；②4；；③见解析 (3)点C的坐标为或 【分析】（1）根据公式进行计算即可； （2）①根据公式即可得到；②根据①求出a、b的值即可；③先描点，再连线，画出函数图像即可； （3）设，连接，，，根据三角形的面积求出a的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴重物B所受拉力为， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴，即， 故答案为：； ②由①得，， 填表如下： … … … 8 4 2 … 故答案为：4，； ③函数图象如下所示： ； （3）解：点A的坐标为，B的坐标为，C为反比例函数上一点， 设，连接，，， ∴ ， ∵， ∴， 整理得：， 解得，， 经检验，或是原方程的根， ∴时；时，， ∴点C的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，反比例函数的性质和图像，正确理解题意是解题的关键． 7．(24-25九上·广东清远清新区·期末)综合与实践 【主题】反比例函数图象与三等分角 【素材】我们知道，利用尺规可以平分任意一个角，从而可以把一个角四等分、八等分……那么，能否用尺规三等分一个任意角呢？ 公元前5世纪，古希腊的学者们就提出了这个问题．为了解决这个问题，数学家们花费了大量的时间和精力．直到1837年，数学家才证明了“三等分任意角”是不可能用尺规完成的．在研究这个问题的过程中，古希腊数学家帕普斯（Pappus，约300-350）给出了一种方法． 【实践与操作】 步骤1：建立平面直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合． 步骤2：在平面直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P． 步骤3：以P为圆心，的长为半径作弧，交函数的图象于点R． 步骤4：分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线交于点M． 步骤5：连接，得到． 【实践探索】 (1)过P作轴于点H且交于Q，连接，，请证明四边形为矩形． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）设，，则，得到的直线解析式，证明四边形为平行四边形，即可得到结论； （2）设矩形的对角线交于点，则，证明，根据平行的性质得到，，即可得到结论． 【详解】（1）证明：设，，则， 所以的直线解析式为， 轴， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为矩形； （2）证明：设矩形的对角线交于点，则， ， ， ， 又， ， 又， ， 又轴， ． ， 即． 地 城 考点09 实际问题与反比例函数 1．(23-24九上·广东深圳·期末)【项目式学习】 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考察测量 （1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ； 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段能通过直角弯道； ②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是　 　； ③当时，线段不能通过直角弯道． （3）如图3，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，且矩形能通过该直角弯道，求a的最大整数值． 任务三：成果迁移 （4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线上，两边分别与x轴，y轴平行， ．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为　　　　．（参考数据：） 【答案】（1）；（2）；（3）a的最大整数值为7；（4）10 【分析】（1）延长内侧交外侧于点，则，根据勾股定理，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质，即可求解； （3）解法一：设与相交于点G，根据题意得：，证明，可得到，即可求解；解法二：设直线分别与直线相交于点I，H，根据等腰直角三角形的性质，以及勾股定理可得，即可求解； （4）过点A作轴于点，求出反比例函数的解析式，设直线与的交点为P，则，过点P作轴于点，延长交x轴于点K，求出，，可求出直线的解析式，从而得到的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，延长内侧交外侧于点，则， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由图形可知是等腰直角三角形，则， 故答案为：； （3）解法一、如图3（1），设与相交于点G，根据题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴根据实际情况得：a的最大整数值为7． 解法二：如图3（2），设直线分别与直线相交于点I，H， ∵四边形为矩形， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∴根据实际情况得：a的最大整数值为7． （4）如图4，过点A作轴于点， 由勾股定理可得， ∴， 把代入，得：， ∴反比例函数的解析式为； 设直线与的交点为P，则， 过点P作轴于点，延长交x轴于点K，则，是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：， ， ∴， ∵， ∴的最大整数值为10． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数与一次函数的图象和性质，勾股定理等知识，利用类比思想和数形结合思想解答是解题的关键． 2．(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)如图，现有一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在O点左侧处挂一个重的物体，在点O的右侧处用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤的示数F（单位：）与相应的L的部分实验数据如下表： … 10 15 20 25 … … 30 20 15 a … (1)填空：表中a的值为______． (2)猜想并验证F与L之间的函数关系式． (3)保持木杆处于水平状态，移动弹簧秤到什么位置时，弹簧秤的示数F最小？是多少？ 【答案】(1)12 (2)猜想：，见解析； (3)距离为时，弹簧秤的示数最小，为 【分析】本题考查的是反比例函数的应用； （1）由的乘积为定值，再列式计算可得的值； （2）先猜想，再进行验证即可； （3）根据反比例函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：猜想： 验证：，， 与成反比例函数关系，且（求三个点的乘积  确定定值） 猜想正确； （3）解：，， 当时，随的增大而减小 ，   当取最大值时，取最小值， 木杆长100cm，为木杆的中点，故， 当时，， 距离为50cm时，弹簧秤的示数最小，为6N． 3．(24-25九上·广东佛山三水区·期末)某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，已知每天组装的数量y（台）与组装的时间x（天）之间的关系如下表： 组装的时间x（天） 30 40 45 50 60 每天组装的数量y（台） 300 225 200 180 150 (1)求y关于x的函数关系式． (2)某商场以每台2400元的进货价购进这批空调．调查发现，当销售价为2800元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．设商场每台空调降价x元． ①降价后每天卖出 台，每台盈利 元（用含x的代数式表示）； ②该商场平均每天的盈利可能是4000元吗？为什么？ 【答案】(1) (2)①；②不可能，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． （1）的乘积是定值即可判断； （2）①根据题意可知降价25元多卖一台即可列出式子； ②代入数据可得方程，根据根的判别式计算可判断根的情况，再做出判断． 【详解】（1）解：∵， ∴y是x的反比例函数， 设， 把代入得，， 解得， ∴y关于x的函数关系式为； （2）解：①，即降价25元多卖一台， 降价后每天卖出台，每台盈利元， 故答案为：，； ②该商场平均每天的盈利不可能是4000元， 理由：依题意得：， 整理得：， ， ∴该方程没有实数根， ∴该商场不可能每天盈利4000元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $