专题03概率的进一步认识（8大高频考点）（期末真题汇编，北师大版）九年级数学上学期

专题03概率的进一步认识（8大高频考点） 8大高频考点概览 考点1列举法求概率 考点2列表法求概率 考点3树状图法求概率 考点4频率与概率 考点5用频率估计概率 考点6概率与转盘问题 考点7游戏公平性问题 考点8概率与方程、函数问题 考点1列举法求概率 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）有4根细木棒，它们的长度分别是、、、．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了列表法或树状图法，三角形的三边关系．利用树形图列举法得到所有4种等可能的结果，再根据三角形的三边关系得到能够组成三角形的结果有3种，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：从4根细木棒中随机抽出3根木棒，共有4种等可能的结果，分别为3、5、7；3、5、9；3、7、9；5、7、9，其中能够组成三角形的结果有3、5、7；3、7、9；5、7、9，共3种， ∴从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，有次正面朝上，次反面朝上，第次抛掷，正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了概率的计算，一枚质地均匀的硬币，抛掷后共有种可能性：正面朝上、反面朝上，所以每次抛掷后正面朝上的概率均为． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币次，有次正面朝上，次反面朝上， 第次抛掷，正面朝上的概率是． 故选：B． 3．（24-25九年级上·全国·期末）有四张形状、大小，质地完全相同的卡片，每张卡片的正面写有一个算式，将四张卡片置于暗箱摇匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是（    ） ①；②；③；④． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率的计算．熟练使用列举法或树状图法列出所有可能情况是解题的关键． 先判断每个算式是否正确，然后通过列举法找出四张卡片种随机抽取两张的所有可能情况，再找出两张卡片算式都正确的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：算式①中，并非，该算式错误； 算式②中正确； 算式③中不能合并同类项，该算式错误； 算式④正确； 抽取两张卡片的所有情况有：①②、①③、①④、②③、②④、③④共6种， 其中抽取的两张卡片上的算式都正确的情况有：②④，共1种， 所以抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是， 故选C． 4．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）在如图所示的电路图中，随机闭合开关，，中的两个，请用列表法或画树状图法求出能让灯泡发光的概率． 【答案】能让灯泡发光的概率为． 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法表示随机事件等可能结果是解题的关键． 根据题意，把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式的计算方法即可求解． 【详解】解：随机闭合开关，，中的两个的情况有，，共3种情况， 其中能让灯泡发光的是， ∴能让灯泡发光的概率为． 5．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）产品质量是企业的生命，也是企业发展长远的根本，做好产品质量检测是一件非常重要的事情．某零件厂生产了5件规格一样的产品，因某道工序的不合理产生了2件次品，现从中不分先后一次性任意抽取3件进行检验．（记3件正品分别为，，，2件次品分别为，） (1)列出“从5件产品中不分先后一次性任意抽取3件产品”的所有等可能结果； (2)求抽得的3件产品中至少含1件次品的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了列举法求概率． （1）根据题意列举出所有等可能结果即可； （2）利用概率公式进行解答即可． 【详解】（1）解：从5件产品中不分先后一次性任意抽取3件的所有等可能的结果有，，，，，，，，，． （2）解：由（1）得基本事件的总数为， 其中抽取的3件产品中没有次品的结果有种． ∴抽得的3件产品中至少含1件次品的概率为． 考点2列表法求概率 6．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）学校在世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．李华去学校图书馆借阅书籍，准备从《九章算术》、《孙子算经》、《周髀算经》、《几何原本》中随机选择一本，再准备从《西游记》、《水浒传》、《三国演义》中随机选择一本、恰好选中《九章算术》和《西游记》的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率计算的方法是解题的关键． 根据列表法解题即可． 【详解】解：分别用表示《九章算术》、《孙子算经》、《周髀算经》、《几何原本》、《西游记》、《水浒传》、《三国演义》， 用列表法列举出所有可能： 第一次第二次     一共有12种等可能的情况，恰好选中《九章算术》和《西游记》为，只有一种， ∴概率为：． 故选：A ． 7．（24-25九年级上·山西长治·期末）物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列表得出共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可． 此题考查了列表法求概率．列表法可以不重不漏地表示出所有等可能的情况，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：列表如下： - - - - 由表可知，共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种， 灯泡发光的概率为， 故选：A． 8．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）某一物理实验的电路图如图所示，其中，，为电路开关，、为能正常发光的灯泡．任意闭合开关，，中的两个，那么能让灯泡发光的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 列表得出共有6种等可能的结果，其中能让灯泡发光的结果有2种，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：由电路图可知，闭合开关和，能让灯泡发光， 列表如下： 共有6种等可能的结果，其中能让灯泡发光的结果有2种，即，， 能让灯泡发光的概率为， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）（1）不透明的袋子中装有个编号分别为，，的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出个球，求它们编号之和是偶数的概率． （2）不透明的袋子中装有个编号分别为，，，，，，，，的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出个球，它们编号之和是偶数的概率为______． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查用列表法进行求解概率． （1）根据列表法可进行求解概率； （2）分别列举出不透明的袋子中装有个编号分别为，，，，，，，，的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出个球，共有等可能性情况，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：（1）由题意可列表如下： 1 2 3 1 3 4 2 3 5 3 4 5 ∴从袋子中随机摸出个球共有种，其中它们编号之和是偶数有种情况， ∴它们编号之和是偶数的概率为； （2）不透明的袋子中装有个编号分别为，，，，，，，，的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出个球，共有种等可能性情况，分别为，，，，，，，，其中它们编号之和是偶数的有5种，分别为，，，，， ∴它们编号之和是偶数的概率为． 10．（24-25九年级上·河北唐山·期末）三张卡片正面分别写有，，，除正面的数字不同外，其余均相同． (1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，则抽到的数字是偶数的概率为_____________； (2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，记正面数字为点的横坐标，放回后重新洗匀，再随机抽取一张，记正面数字为点的纵坐标，请在表格中补全两次取出的卡片上数字所形成的点坐标所有可能的结果，并求出点在反比例函数的图象上的概率． 【答案】(1)； (2)补全表格见解析；点在反比例函数的图象上的概率为． 【分析】本题主要考查了随机事件的概率．先求出所有等可能出现的情况的数量，再求出要求出现的事件的数量，根据概率公计算即可． 从，，三个数中随机抽一个数，共有三种等可能的情况，因为只有是偶数，所以抽到偶数的可能性只有一种，所以抽到偶数的概率为； 列表把所有等可能出现的情况都列出来，共有种情况，其中在反比例函数上的情况只有种，所以点在反比例函数的图象上的概率为． 【详解】（1）解：，，中只有是偶数， 抽到的数字是偶数的概率为， 故答案为：； （2）解：补充表格如下 共有种结果，只有和在反比例函数上， 点在反比例函数的图象上的概率为． 考点3树状图法求概率 11．（22-23九年级上·全国·期末）某市举办的“喜迎二十大，奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图是该展览馆出入口示意图．小颖和母亲从同一入口进入分别参观，参观结束后，她们恰好从同一出口走出的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用树状图求概率，根据树状图找出所有等可能的情况数是解题关键．概率等于所求情况数与总情况数之比． 先画出树状图，共有9种等可能的情况，其中恰好从同一出口走出的情况有3种，再根据概率公式，计算即可得出结果． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的情况，其中恰好从同一出口走出的情况有3种， 她们恰好从同一出口走出的概率为， 故选C． 12．（22-23九年级上·山东枣庄·期末）郓城某学校开展了校内冬奥知识竞赛活动，并评出一等奖3人．现欲从小明等3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了画树状图法求概率．树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件． 先根据题意画出画树状图，可知共有种等可能的结果，其中小明被选中的结果有种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：依题意，把这三人分别记为甲、乙、丙,其中丙是小明，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中丙被选中的结果有种，即小明被选中的结果有种 小明被选中的概率为， 故选：D． 13．（24-25九年级上·河北保定·期末）有三张牌，点数分别是2，3，5，将牌背面朝上，洗匀． (1)从中抽取一张牌，若使抽到奇数和偶数的概率相等，则需要增加_________张点数为偶数的牌； (2)嘉嘉先从这三张牌中抽一张，淇淇从剩下的两张牌中抽一张，请在图中补全两人所抽取牌上数字的可能结果，并求两张牌上的数字之和是奇数的概率． 【答案】(1)1 (2)树状图见解析，两张牌上的数字之和是奇数的概率为． 【分析】本题考查用树状图求概率． （1）若抽到奇数和偶数的概率相等，需要满足点数为奇数和偶数的张数相等，计算即可； （2）根据题意补全树状图，由图可知共有6种可能结果，其中两张牌上的数字之和是奇数的有4种，计算即可． 【详解】（1）解：点数为奇数的牌有2张，点数为偶数的牌有1张， （张） 故答案为：1． （2）解：树状图如图； 共有6种等可能的结果，其中两张牌上的数字之和是奇数的结果有：，，，，共4种， ∴两张牌上的数字之和是奇数的概率为． 14．（24-25九年级上·吉林长春·期末）甲、乙两个人乘坐轨道交通6号线，在长影世纪城站下车，现有A、C、D三个出口，假设他们从任意出口通过的可能性均等． (1)甲走A出口的概率是______； (2)请用树状图或表格法求甲、乙两人走同一出口的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率．利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后利用概率公式求事件A的概率． （1）直接利用概率公式求解可得； （2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到两人走同一出口的结果数，利用概率公式求解可得． 【详解】（1）解：甲走A出口的概率是． 故答案为：． （2）解：用树状图表示甲、乙两人走同一出口的概率： ∴一共有9种等可能情况，其中甲、乙两人走同一出口的情况有3种， ∴． 故甲、乙两人走同一出口的概率为． 15．（24-25九年级上·全国·期末）小明、小刚是同班同学，在冬季运动会活动中，他俩都报名参加男子米，并将被编入三个组，他俩希望能分为同一组． (1)请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果； (2)求两人被分为同一组的概率． 【答案】(1)，，，，，，，， (2) 【分析】（）画出树状图即可求解； （）根据树状图解答即可求解； 本题考查了用树状图或列举法求概率，掌握树状图或列举法是解题的关键． 【详解】（1）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种可能的结果：，，，，，，，，； （2）解：由（）可得，两人被分为同一组的结果有种， ∴两人被分为同一组的概率． 考点4频率与概率 16．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键．根据频率的稳定性解答即可． 【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性． 故选：D． 17．（24-25九年级上·四川资阳·期末）下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率． 根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答． 【详解】解：选项A：频率是实际试验中事件发生的次数与总次数的比值，而概率是理论上的预期值，两者概念不同，故A错误。 选项B：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率会逐渐接近并稳定在概率附近，这是大数定律的体现，故B正确。 选项C：频率是试验结果，可能接近但不一定等于概率，故C错误。 选项D：即使试验次数相同，不同小组的试验结果可能存在随机性差异，导致频率不同，故D错误。 综上，正确答案为B。 故选：B． 18．（24-25九年级上·北京东城·期末）某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为 .（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了求频率，用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率稳定趋向一个固定的值，这个固定值即是概率；求出各个频率即可估计出概率． 【详解】解：表中从左往右，频率分别为， 钉尖朝上的概率约为； 故答案为：． 19．（22-23九年级上·北京西城·期末）袋中有若干个形状大小相同的黑色围棋子，小明为了估计袋中黑色棋子的数量，向袋中放入60枚与黑色棋子形状大小相同的白色围棋子，摇匀后，随机从袋中摸出一枚棋子，记录颜色后放回，摇匀后重复操作……进行了100次这样的操作后，记录显示其中有30次摸出了白色围棋子，那么他摸出白色围棋子的频率是 ，估计袋中黑色围棋子的数量为 枚． 【答案】 140 【分析】根据频率的定义和计算公式，即可求出摸出白色围棋子的频率，再根据频率与概率的关系，得出摸出白色围棋子的概率，即可求解． 【详解】解：摸出白色围棋子的频率． ∵经过大量重复实验，摸出白色围棋子的频率摸出白色围棋子的概率， ∴袋中围棋子总量（枚）， ∴黑色围棋子的数量（枚）． 故答案为：，140． 【点睛】本题主要考查了频率的计算，以及用频率估计概率，解题的关键是掌握：经过大量重复实验，事件发生的频率在一个常数附近摆动，这个常数接近事件发生的概率． 20．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在．现有以下三个结论：①估计绿色卡片有14张；②估计红色卡片有8张；③随机摸一次卡片，摸到绿色卡片的概率为．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了根据频率估计概率，概率公式求数量，求概率． 先根据题意求出绿色卡片和红色卡片的数量，再逐一判断即可． 【详解】∵经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在， ∴抽到红色卡片的概率为， ∴红色卡片有（张），绿色卡片有（张），抽到绿色卡片的概率为， ∴①错误，②正确，③正确． 故答案为：②③． 考点5用频率估计概率 21．（24-25九年级上·福建厦门·期末）十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 可以估计出针与直线相交的概率为 （精确到），由此估计的近似值为 （精确到） 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率的方法是解题的关键． 用频率估计概率的方法计算即可． 【详解】解：由题意得针与直线相交的概率为， 由此估计的近似值为， 故答案为：，． 22．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，在一个不透明的布袋中装有除颜色外完全相同的红球和白球共5个，组员小华做摸球试验，他将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再放回布袋中，不断重复上述过程．下表是试验中的部分统计数据． 摸球次数 10 20 40 60 100 150 200 红球出现次数 5 9 18 26 41 61 81 红球出现的频率 0.5 0.45 0.45 0.433 0.41 0.407 0.405 (1)从这个布袋中随机摸出一个球，估计这个球恰好是红球的概率约为________（保留一位小数）； (2)从这个布袋中随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球，请用画树状图法或列表法求摸出的两个球恰好是“一红一白”的概率． 【答案】(1)0.4 (2) 【分析】本题考查了利用频率估计概率的方法，列表法与树状图法求概率，理解频率和概率的意义以及用频率估计概率的方法是解决问题的关键． （1）根据大量的试验结果稳定在0.4左右即可得出结论； （2）先求出袋中红白球的个数，再列表得出所有等可能的结果，继而利用概率公式求解即可． 【详解】（1）从这个布袋中随机摸出一个球，这个球恰好是红球的概率为0.4， 故答案为：0.4； （2）∵袋子中红球的个数约为（个）， ∴袋子中白球有3个， 列表如下： 红 红 白 白 白 红 （红，红） （白，红） （白，红） （白，红） 红 （红，红） （白，红） （白，红） （白，红） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （白，白） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （白，白） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （白，白） 由表可知共有20种等可能结果，其中摸出的两个球恰好“一红一白”的有12种结果， ∴摸出的两个球恰好“一红一白”的概率为： 23．（24-25九年级上·广东云浮·期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其他完全相同的红、白两种球共60个．做摸球试验：将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下图是“摸到白色球”的频率折线图． (1)估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到）；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为______． (2)如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1)； (2)15个 【分析】本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用．解题时注意：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据“摸到白色球”的概率折线统计图，得出摸到白球的频率；用频率的稳定值得出摸到白球的概率即可； （2）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：估计当摸球次数n很大时，摸到白球的频率将会接近；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为； （2）解：由题意，可知白球的个数为（个），红球的个数为（个）． 设需要往盒子里再放入个白球． 根据题意，得，解得． 经检验，是分式方程的解，且符合题意． 答：需要往盒子里再放入15个白球． 考点6概率与转盘问题 24．（23-24九年级上·河北沧州·期末）某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转） (1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________； (2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果； (3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由． 【答案】(1) (2)图见解析，共有9种等可能的结果 (3)会选择方案二；理由见解析 【分析】本题考查了概率公式以及列表法与树状图法求概率，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用概率公式求解； （2）根据题意画出树状图即可解决； （3）利用（2）中树状图求出方案二中领取一份奖品的概率，然后比较两个方案中领取一份奖品的概率的大小来判断选择哪个方案． 【详解】（1）解：若转动一次转盘，指针指向数字1的概率为， 故答案为：； （2）解：树状图如图，共有9种等可能的结果； （3）解：会选择方案二． 理由：由（2）可得，方案二中，领取到一份奖品的概率为， ， 选择方案二． 25．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择： 方案一：是直接获得20元的礼金卷； 方案二：是得到一次播奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少． 指针指向 两红 一红一蓝 两蓝 礼金券（元） 27 9 27 (1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 【答案】(1) (2)方案一比较实惠 【分析】（1）根据题意列出表格，然后根据概率公式求出结果即可； （2）先分别算出指针指在两个红色区域，两个蓝色区域的概率，算出按方案二获得礼金券的平均值，最后进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：列表格如下： 蓝 蓝 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） ∵由表格可知，共有9种等可能结果，其中转盘指针分别指向一红区和一蓝区的情况数有5种， ∴两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． （2）解：∵， ∴如果选择方案二，获得礼金券的平均值为： （元）， ∵， ∴选择方案一比较实惠． 【点睛】本题主要考查了列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据题意列出表格或画出树状图，熟练掌握概率的基本公式． 26．（21-22九年级上·云南文山·期末）小明和小刚用如图的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时，小明得2分；当所转到的数字之积为偶数时，小刚得1分，这个游戏对双方公平吗？请用树状图或者列表法说明理由． 【答案】公平．理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 游戏是否公平，关键要看游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况是否一致． 【详解】解：公平．理由如下： 画树状图得： 从图表中可以得到：，， 小明的积分为，小刚的积分为． 故平均每次积分相等，所以游戏公平． 考点7游戏公平性问题 27．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 【答案】(1)图见解析，，，，，，，，，，，， (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查列表或画树状图法求概率，概率的计算． （1）画树状图列出所有等可能的结果，根据x，y对应的值写出坐标即可； （2）根据概率公式计算出小明、小红获胜的概率，即可求解． 【详解】（1）解：画树状图为：    共12种等可能的结果， 点M可能的坐标为：，，，，，，，，，，，． （2）解：点M的坐标为，，，，，时，x、y若满足， 小明胜的概率为：，小红胜的概率为：， 这个游戏公平． 28．（24-25九年级上·安徽六安·期末）小华和妹妹做游戏，游戏规则如下：小华先将3枚勋章放在如图所示的方格中，然后妹妹再从其余六个小正方形中任选一个放置勋章，若勋章所在方格构成的图形是轴对称图形，则小华获胜，否则妹妹获胜． 问上述游戏规则公平吗？请说明理由． 【答案】不公平，理由见详解 【分析】本题考查了概率的计算与游戏公平性的判断，具体涉及以下知识点：等可能事件概率的计算，游戏公平性的标准，轴对称图形的概念应用，理解这些是计算相关概率的关键前提． 分别计算出小华获胜和妹妹获胜的概率，通过找出妹妹放置勋章后能使图形成为轴对称图形的所有情况，来计算小华获胜的概率；用总情况数减去小华获胜的情况数得到妹妹获胜的情况数，进而计算妹妹获胜的概率 【详解】解：妹妹从其余六个小正方形中任选一个放置勋章， 所以总共有 6 种等可能的结果． 通过观察图形，我们发现妹妹放置勋章后能使图形成为轴对称图形的情况有 4 种， 小华获胜的概率：． 妹妹获胜的概率：． 因为，即小华获胜的概率大于妹妹获胜的概率， 所以此游戏规则不公平． 29．（24-25九年级上·广东潮州·期末）如图，两个可自由转动的转盘，转盘A被分成3等份，转盘B被分成2等份，转盘A上的数字分别是1，2，3，转盘B上的数字分别是1，小王与小张两名同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：同时用力转动A，B两个转盘．两个转盘停止后，将指针所指区域的两数相乘（当指针落在两个扇形的交线上时，当作指向右边的扇形），如果积为2的倍数，则小王获胜；否则，小张获胜． (1)用列表法或画树状图求小王获胜的概率； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请你改变游戏规则，使这个游戏对双方都公平． 【答案】(1) (2)不公平，规则见解析 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可； 修改使双方获胜的概率相等即可． 本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】（1）解：根据题意，列表如下： 1 2 3 1 1 2 3 2 2 4 6 一共有6种等可能结果，其中两个数的积为2的倍数有4种结果， 所以，积为2的倍数， 因此小王获胜的概率是 （2）解：不公平， 游戏规则修改为：两个转盘停止后，将指针所指区域的两数相加， 如果和为2的倍数，则小王获胜：否则，小张获胜答案不唯一 30．（24-25九年级上·全国·期末）如图是两个可以自由转动的转盘，转盘A中数字1所在扇形区域的圆心角为90°，转盘B被分成面积相等的三个扇形．游戏规则：依次转动转盘A，B，当转盘停止后，若指针指向的两个区域的数字之和大于5，则甲获胜；否则乙获胜．(如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘) (1)转动转盘B，指针指向的数字为3的概率是 ； (2)这个游戏公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，见解析 【分析】本题考查了概率的定义，概率的统计方式，概率的计算公式，掌握概率的定义是解题的关键． （1）先求出盘的数字3扇形区域的圆心角，再利用概率公式即可解答； （2）先用列表法求出所有可能的结果及甲、乙获胜的概率即可解答． 【详解】（1）解：转盘被分成面积相等的三个扇形，盘中数字3所对扇形区域的圆心角为， 盘中数字3所对扇形区域占整体的， ∴转动转盘B，指向的数字为3的概率是， 故答案为：； （2）解：不公平 如图，将盘4等分，这样才是指向每个区域的可能性均等，用列表法表示所有等可能出现的结果如下： 这样指向每个区域的可能性相同 列表得 AB 1 2 2 2 3 4 5 5 5 4 5 6 6 6 5 6 7 7 7 共有12种等可能结果，其中指针指向的两个区域的数字之和大于5，即甲获胜的有7种， ∴， 所以游戏不公平． 考点8概率与方程、函数问题 31．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）有四张正面分别标有数字，，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取两张，将两张卡片上的数字之和记为，则使关于的分式方程无解的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求解概率，分式方程的无解问题，先求出分式方程无解时的取值，再利用树状图法表示出洗匀后从中任取两张时出现的所有情况，然后利用概率公式即可求解． 【详解】解： 方程两边同乘得， 整理，得， 当，即时，整式方程无解，则分式方程也无解； 当，即时， ∵原分式方程无解， ∴原分式方程有增根， ∴当或当时原分式方程无解， ∴当或时，原分式方程无解； 若，那么，解得， 若，那么，解得； 综上所述，当或或时，分式方程无解； 画树状图如图所示： 由树状图可知，共有个等可能的结果，使关于的分式方程无解的结果有个， 使关于的分式方程无解的概率为； 故答案为：． 32．（2017·湖北武汉·一模）从数，，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n．若，则函数的图像经过第一、三象限的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图法求解概率，正比例函数图像的性质，当函数的图像经过第一、三象限时，，据此画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到k为正数的结果数即可得到答案． 【详解】解：当函数的图像经过第一、三象限时，， 画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中k的值为正数的结果数有2种， ∴函数的图像经过第一、三象限的概率是， 故答案为：． 33．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点在函数图象上的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点，树状图法求概率，画出树状图，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：画出树状图如下： 共有12种等可能的结果，点在函数图象上的情况有两种情况， ∴； 故答案为： 34．（14-15九年级下·浙江杭州·期末）任意抛掷一枚均匀的骰子（各个面上的点数为），将第一次，第二次抛掷的点数分别记为m，n． (1)求的概率； (2)求为奇数的概率； (3)在平面直角坐标系中，求以，，为顶点能构成直角三角形的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了概率的计算以及平面直角坐标系中直角三角形的判定． （1）通过列表法列举出所有等可能结果，根据题意可知共有6种情况，即可计算概率； （2）由（1）的所有等可能结果可知，根据题意可知共有18种情况，即可计算概率； （3）分三种情况讨论直角顶点，根据每种情况的结果进行画图列举，再将所有情况汇总可得共有10种情况，即可计算概率． 【详解】（1）解：通过列表可得： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ∴事件发生的所有等可能结果总数是36， 由题意知，有，，，，，共6种结果， ∴． （2）解：由（1）知，有，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种结果， ∴． （3）解：如图： 以为直角顶点，可取，，，，共有5种结果 以为直角顶点，可取共有4种结果 以为直角顶点，可取一种可能 ． 35．（2019·甘肃·一模）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，乙口袋中的小球上分别标有数字，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n． (1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果； (2)若m，n都是方程的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)小明获胜的概率大，理由见解析 【分析】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键． （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果； （2）画树状图展示所有种等可能的结果数，m，n都是方程的解的结果有4个，m，n都不是方程的解的结果有2个，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：树状图如图所示： 所有可能的结果有 共种结果； （2）小明获胜的概率大， 理由：∵m，n都是方程的解， ∴，或， 由树状图得：共有个等可能的结果，m，n都是方程的解的结果有4个（包括和两种情况），m，n都不是方程的解的结果有2个（包括与）， 小明获胜的概率为，小利获胜的概率为， ∴小明获胜的概率大． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03概率的进一步认识（8大高频考点） 8大高频考点概览 考点1列举法求概率 考点2列表法求概率 考点3树状图法求概率 考点4频率与概率 考点5用频率估计概率 考点6概率与转盘问题 考点7游戏公平性问题 考点8概率与方程、函数问题 考点1列举法求概率 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）有4根细木棒，它们的长度分别是、、、．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是（   ） A． B． C． D．1 2．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，有次正面朝上，次反面朝上，第次抛掷，正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·期末）有四张形状、大小，质地完全相同的卡片，每张卡片的正面写有一个算式，将四张卡片置于暗箱摇匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是（    ） ①；②；③；④． A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）在如图所示的电路图中，随机闭合开关，，中的两个，请用列表法或画树状图法求出能让灯泡发光的概率． 5．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）产品质量是企业的生命，也是企业发展长远的根本，做好产品质量检测是一件非常重要的事情．某零件厂生产了5件规格一样的产品，因某道工序的不合理产生了2件次品，现从中不分先后一次性任意抽取3件进行检验．（记3件正品分别为，，，2件次品分别为，） (1)列出“从5件产品中不分先后一次性任意抽取3件产品”的所有等可能结果； (2)求抽得的3件产品中至少含1件次品的概率． 考点2列表法求概率 6．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）学校在世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．李华去学校图书馆借阅书籍，准备从《九章算术》、《孙子算经》、《周髀算经》、《几何原本》中随机选择一本，再准备从《西游记》、《水浒传》、《三国演义》中随机选择一本、恰好选中《九章算术》和《西游记》的概率是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·山西长治·期末）物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）某一物理实验的电路图如图所示，其中，，为电路开关，、为能正常发光的灯泡．任意闭合开关，，中的两个，那么能让灯泡发光的概率为 ． 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）（1）不透明的袋子中装有个编号分别为，，的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出个球，求它们编号之和是偶数的概率． （2）不透明的袋子中装有个编号分别为，，，，，，，，的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出个球，它们编号之和是偶数的概率为______． 10．（24-25九年级上·河北唐山·期末）三张卡片正面分别写有，，，除正面的数字不同外，其余均相同． (1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，则抽到的数字是偶数的概率为_____________； (2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，记正面数字为点的横坐标，放回后重新洗匀，再随机抽取一张，记正面数字为点的纵坐标，请在表格中补全两次取出的卡片上数字所形成的点坐标所有可能的结果，并求出点在反比例函数的图象上的概率． 考点3树状图法求概率 11．（22-23九年级上·全国·期末）某市举办的“喜迎二十大，奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图是该展览馆出入口示意图．小颖和母亲从同一入口进入分别参观，参观结束后，她们恰好从同一出口走出的概率是（    ） A． B． C． D． 12．（22-23九年级上·山东枣庄·期末）郓城某学校开展了校内冬奥知识竞赛活动，并评出一等奖3人．现欲从小明等3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为（  ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·河北保定·期末）有三张牌，点数分别是2，3，5，将牌背面朝上，洗匀． (1)从中抽取一张牌，若使抽到奇数和偶数的概率相等，则需要增加_________张点数为偶数的牌； (2)嘉嘉先从这三张牌中抽一张，淇淇从剩下的两张牌中抽一张，请在图中补全两人所抽取牌上数字的可能结果，并求两张牌上的数字之和是奇数的概率． 14．（24-25九年级上·吉林长春·期末）甲、乙两个人乘坐轨道交通6号线，在长影世纪城站下车，现有A、C、D三个出口，假设他们从任意出口通过的可能性均等． (1)甲走A出口的概率是______； (2)请用树状图或表格法求甲、乙两人走同一出口的概率． 15．（24-25九年级上·全国·期末）小明、小刚是同班同学，在冬季运动会活动中，他俩都报名参加男子米，并将被编入三个组，他俩希望能分为同一组． (1)请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果； (2)求两人被分为同一组的概率． 考点4频率与概率 16．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 17．（24-25九年级上·四川资阳·期末）下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 18．（24-25九年级上·北京东城·期末）某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为 .（结果精确到） 19．（22-23九年级上·北京西城·期末）袋中有若干个形状大小相同的黑色围棋子，小明为了估计袋中黑色棋子的数量，向袋中放入60枚与黑色棋子形状大小相同的白色围棋子，摇匀后，随机从袋中摸出一枚棋子，记录颜色后放回，摇匀后重复操作……进行了100次这样的操作后，记录显示其中有30次摸出了白色围棋子，那么他摸出白色围棋子的频率是 ，估计袋中黑色围棋子的数量为 枚． 20．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在．现有以下三个结论：①估计绿色卡片有14张；②估计红色卡片有8张；③随机摸一次卡片，摸到绿色卡片的概率为．其中正确的结论是 ．（填序号） 考点5用频率估计概率 21．（24-25九年级上·福建厦门·期末）十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 可以估计出针与直线相交的概率为 （精确到），由此估计的近似值为 （精确到） 22．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，在一个不透明的布袋中装有除颜色外完全相同的红球和白球共5个，组员小华做摸球试验，他将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再放回布袋中，不断重复上述过程．下表是试验中的部分统计数据． 摸球次数 10 20 40 60 100 150 200 红球出现次数 5 9 18 26 41 61 81 红球出现的频率 0.5 0.45 0.45 0.433 0.41 0.407 0.405 (1)从这个布袋中随机摸出一个球，估计这个球恰好是红球的概率约为________（保留一位小数）； (2)从这个布袋中随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球，请用画树状图法或列表法求摸出的两个球恰好是“一红一白”的概率． 23．（24-25九年级上·广东云浮·期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其他完全相同的红、白两种球共60个．做摸球试验：将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下图是“摸到白色球”的频率折线图． (1)估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到）；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为______． (2)如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？ 考点6概率与转盘问题 24．（23-24九年级上·河北沧州·期末）某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转） (1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________； (2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果； (3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由． 25．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择： 方案一：是直接获得20元的礼金卷； 方案二：是得到一次播奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少． 指针指向 两红 一红一蓝 两蓝 礼金券（元） 27 9 27 (1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 26．（21-22九年级上·云南文山·期末）小明和小刚用如图的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时，小明得2分；当所转到的数字之积为偶数时，小刚得1分，这个游戏对双方公平吗？请用树状图或者列表法说明理由． 考点7游戏公平性问题 27．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 28．（24-25九年级上·安徽六安·期末）小华和妹妹做游戏，游戏规则如下：小华先将3枚勋章放在如图所示的方格中，然后妹妹再从其余六个小正方形中任选一个放置勋章，若勋章所在方格构成的图形是轴对称图形，则小华获胜，否则妹妹获胜． 问上述游戏规则公平吗？请说明理由． 29．（24-25九年级上·广东潮州·期末）如图，两个可自由转动的转盘，转盘A被分成3等份，转盘B被分成2等份，转盘A上的数字分别是1，2，3，转盘B上的数字分别是1，小王与小张两名同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：同时用力转动A，B两个转盘．两个转盘停止后，将指针所指区域的两数相乘（当指针落在两个扇形的交线上时，当作指向右边的扇形），如果积为2的倍数，则小王获胜；否则，小张获胜． (1)用列表法或画树状图求小王获胜的概率； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请你改变游戏规则，使这个游戏对双方都公平． 30．（24-25九年级上·全国·期末）如图是两个可以自由转动的转盘，转盘A中数字1所在扇形区域的圆心角为90°，转盘B被分成面积相等的三个扇形．游戏规则：依次转动转盘A，B，当转盘停止后，若指针指向的两个区域的数字之和大于5，则甲获胜；否则乙获胜．(如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘) (1)转动转盘B，指针指向的数字为3的概率是 ； (2)这个游戏公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由． 考点8概率与方程、函数问题 31．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）有四张正面分别标有数字，，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取两张，将两张卡片上的数字之和记为，则使关于的分式方程无解的概率为 ． 32．（2017·湖北武汉·一模）从数，，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n．若，则函数的图像经过第一、三象限的概率是 ． 33．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点在函数图象上的概率是 ． 34．（14-15九年级下·浙江杭州·期末）任意抛掷一枚均匀的骰子（各个面上的点数为），将第一次，第二次抛掷的点数分别记为m，n． (1)求的概率； (2)求为奇数的概率； (3)在平面直角坐标系中，求以，，为顶点能构成直角三角形的概率． 35．（2019·甘肃·一模）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，乙口袋中的小球上分别标有数字，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n． (1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果； (2)若m，n都是方程的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $